初等数学研究教案
初等数学研究完整ppt课件
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定理2 设Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}} Z- ={[(0,a)]|a∈N-{0}}
则Z= Z+∪[(0,0)]∪Z-, 且Z+, [(0,0)], Z-两两不相交. 定义3 称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。
✓（1）对于任意a, b∈ N, 都有
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(a·b)=f(a)·f(b)
✓（2）对于任意a, b∈ N, 若a≤b, 则f(a)≤f(b).
证明：构造f: N→Z如下
f(a)=[(a,0)] 即可满足定理要求。
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因此，以后我们可以对a与[(a,0)]不加区别地使用， 从而有Z+=N-{0}.
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减法
加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算— —减法。
定义6 设a，b∈Z，若存在x∈Z，使x+b=a，则 称x=a-b.
整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。
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除法
乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运
算——除法。
定义7 设a，b∈Z, b≠[(0,0)], 若存在x∈Z，使
根据定义，有
✓ (a)b a
✓
b
a
b
a
1
b
除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在
自然数集上除法不具有封闭性。
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初等数论教案7范文
初等数论教案7范文初等数论教案7范文课程名称：初等数论学时：2课时教学目标：1.了解数论的基本概念和方法；2.理解并能够应用质数的基本性质；3.掌握素数分解和最大公约数、最小公倍数的计算方法；4.能够解决与数论相关的简单问题。
教学内容：一、数的整除与整数1.基本概念：正整数、负整数、零、奇数、偶数、素数、合数、因数、倍数；2.除法的定义和性质；3.整数的四则运算；4.质数的性质及应用。
二、质因数分解1.质因数分解的定义和性质；2.求解正整数的质因数分解；3.应用质因数分解计算最大公约数和最小公倍数。
三、最大公约数和最小公倍数1.最大公约数的定义和性质；2.求解两个数的最大公约数；3.最小公倍数的定义和性质；4.求解两个数的最小公倍数。
四、线性同余方程1.同余关系的基本概念和性质；2.同余方程的基本概念和求解方法；3.模线性方程的应用。
教学重点：1.质数的基本性质和应用；2.质因数分解的计算方法；3.最大公约数和最小公倍数的求解；4.线性同余方程的基本求解方法。
教学方法：1.讲授与互动式教学相结合，让学生参与讨论和演算，培养学生的数学思维能力；2.通过多种形式的练习，提高学生的运算能力；3.引导学生运用数学知识解决实际问题。
教学资源：1.教师课件和讲义；2.学生练习册和作业本；3.黑板和粉笔。
教学过程：第一课时：教学内容教学方法时间分配数的整除与整数讲授15分钟质因数分解讲授+互动20分钟最大公约数与最小公倍数讲授10分钟练习与作业导学+讲授15分钟第二课时：教学内容教学方法时间分配质数的性质及应用讲授10分钟线性同余方程讲授+互动20分钟练习与作业导学+讲授20分钟课堂扩展活动小组讨论15分钟教学反思：本节课的教学重点是质因数分解和最大公约数、最小公倍数的求解方法。
在教学过程中，我结合了讲授和互动式教学，使学生更加活跃地参与其中。
通过讲授、练习和讲解作业，学生对课程的重要概念和方法有了更好的理解，并通过实际问题的应用来巩固所学知识。
初等数学研究教学大纲
《初等数学研究》教学大纲Elementary Mathematics Research一、本大纲适用专业数学与应用数学。
二、课程性质与目的1. 课程目标（1）使学生了解初等数学的研究对象，明确初等数学在数学学科中的地位、作用以及本课程与中学数学的联系；（2）使学生理解初等数学中的概念、原理、法则、方法等；（3）使学生掌握初等数学的理论体系和结构以及初等数学中的重要的思想方法；（4）使学生学会运用高等数学的理论和观点分析研究初等数学，熟练地运用重要的思想方法解决初等数学中的问题；（5）使学生对中学数学新课程改革的基本思想和内容的设置有个较为全面地了解和认识，并产生自己的思考；（6）使学生提高分析、认识和处理中学数学教材的水平，培养学生独立思考、探索研究、分析和解决问题的能力，以及养成数学的思维习惯；（7）为学生今后从事数学教师职业提供必要的专业训练和知识准备，以及辅导中学生研究数学问题所需的基本方法。
2. 与其它课程的关系《初等数学研究》是在学习了《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》等专业基础课的基础上开设的，并且与后继课程《现代教育学》、《教育心理学》、《数学课程与教学论》、《数学方法论与数学史》等教育理论，《几何画板与flash 制作》、《竞赛数学》等紧密结合。
3. 开设学期按培养方案规定的学期开设。
三、教学方式及学时分配序号主要内容主要教学方式学时1 第一章数系面授讲课 42 第二章解析式面授讲课 63 第三章方程与函数面授讲课84 第四章数列面授讲课 65 第五章排列与组合面授讲课 26 第六章算法面授讲课 27 第七章平面几何问题与证明面授讲课 48 第八章初等几何变换面授讲课 29 第九章几何轨迹面授讲课 210 第十章几何作图问题面授讲课 211 第十一章立体几何面授讲课 2四、教学内容、重点第一章数系1. 教学目标（1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则；（2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造；（3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质；（4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质；（5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。
初等数论教案01
第一章整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节数的整除性定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数c，使得a = bc成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被b 整除，记为b|/a。
显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。
定理1下面的结论成立：(ⅰ) a∣b⇔±a∣±b；(ⅱ) a∣b，b∣c⇒a∣c；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, , k⇒b∣a1x1+a2x2+ +a k x k，此处x i（i = 1, 2, , k）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒ |b| ≤ |a|；b∣a且|a| < |b| ⇒a = 0。
证明留作习题。
定义2若整数a≠ 0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
定理2任何大于1的整数a都至少有一个素约数。
证明 若a 是素数，则定理是显然的。
若a 不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d 1, d 2, , d k 。
不妨设d 1是其中最小的。
若d 1不是素数，则存在e 1 > 1，e 2 > 1，使得d 1 = e 1e 2，因此，e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。
这与d 1的最小性矛盾。
所以d 1是素数。
证毕。
推论 任何大于1的合数a 必有一个不超过a 的素约数。
证明 使用定理2中的记号，有a = d 1d 2，其中d 1 > 1是最小的素约数，所以d 12 ≤ a 。
初等数学研究 课程教学大纲
初等数学研究课程教学大纲一、课程的基本信息适应对象：数学与应用数学课程代码：14E01726学时分配：54学时赋予学分：3先修课程：教育心理学、教育学原理、数学方法论后续课程：教育实习，毕业综合训练二、课程性质与任务《初等数学研究》是从中学数学的教学需要出发，根据中学数学的内容和知识结构，主要围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”这两个基本问题进行初等数学解题的理论分析与实践探索；使学生掌握中学数学教学所需的解题理论。
三、教学目的与要求通过本课程的教学，使学生熟练掌握解题的有效途径，理解一些有代表性的解题观点，如解题推理论、解题化归论、解题化简论、解题信息论、解题系统论、解题差异论和解题坐标系等。
通过分析典型例题的解题过程来领会解题的四步骤基本程式：“简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析”。
是学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。
四、教学内容与安排第一章解题概论（12课时）解题研究的现状分析，解题概念的初步界定，成功解题的基本要素，基于经验的解题分析.第二章解题观点(16课时）解题推理论，解题化归论，解题化简论，解题信息论，解题系统论，解题差异论，解题坐标系.第三章解题案例（26课时）问题解决视角的解题分析，数学解题的思维过程，特殊与一般的双向沟通，高考数列题的解题反思，高考题的完整求解与思维测试，数学教育的结论也是要证实的，明确知识的认识封闭现象.五、附录教学参考文献1．罗增儒. 中学数学解题的理论与实践[M]. 南宁：广西教育出版社，2008.2．波利亚（涂泓、冯承天译）. 怎样解题[M]. 上海：上海科技教育出版社，2015.3．单墫. 解题研究[M]. 上海：上海科技教育出版社，2016.4．王林全，吴有昌. 中学数学解题研究[M]. 北京：科学出版社，2009. 5．全国历届数学高考题.。
(完整版)初等数论教案
初等数论教案一、数论发展史数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory ）。
初等数论的大部分内容早在古希腊欧几里德的《 几何原本》中就已出现。
欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。
我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。
近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。
1801年，高斯的《算术探究》是数论的划时代杰作。
“数学是科学之王，数论是数学之王”。
-----高斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等 新分支。
而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了 广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。
二 几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。
初等数学研究第二讲
2、有理数的顺序
3、有理数运算与有理数域 1)、有理数的加法、乘法和减法 定义、运算律与整数相同 2）、有理数的除法
3）、有理数域 因为有理数集Q含有0和单位元1，而且Q对 于加减乘除（除数不为0）四种运算都封闭， 且Q的加法和乘法都满足交换律和结合律， 还满足乘法对加法的分配律，所以Q是一个 数域。
2、近似值精确程度的衡量
1）、绝对误差和绝对误差界 A a a、 A a a A a b、
2）相对误差与相对误差界
3）有效数字和可靠数字
定理：具有n个有效（可靠）数位的近似值， 其相对误差界不受小数点所在位置的影响
3、近似数四则运算的经验法则
第二讲
一 整数环
（一）整数概念： 1、减法的定义：设A是一个非空数集，a, b A 使得 b x a 如果存在 x A
x 为a减去b的差
2、负数的定义：对于任意自然数 n 有一个新数 n 和 它对应 n (n) (n) n 0 3、绝对值的定义：
（二） 整数运算与整数环 1、加法法则 1）、同号两数相加，绝对值相加，并取原号 2）、异号两数相加，绝对值相减，并取绝对 值大的符号 3）、一个数和零相加
4）、运算比较性质 定理（运算比较性质） 设 a, b Q, 则有
(1)a b a b 0 (2)a b a b 0
(3)a b a b 0
4、有理数集的性质
二、近似计算
1、近似计算几种方法 1）去尾法 2）进一法3）四舍五入法（优点 a误差产生的误差比前两种方法的绝对误差 小；b产生的误差可相互抵消）
2、乘法法则 1）、同号两数相乘，绝对值相乘，积取正号 2）、异号两数相乘，绝对值相乘，积取负号 3）、任何数和零相乘等于零 加法和乘法满足交换律和分配律 定理：在整数集中，两数差是唯一存在的。
初三数学教案的教学研究性学习设计
初三数学教案的教学研究性学习设计初三数学教案的教学研究性学习设计一、教学目标1. 知识目标：通过本课的学习，学生能够掌握初三数学知识点，并能够将其运用到实际问题中。
2. 能力目标：培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，提高学生的数学素养。
3. 情感目标：培养学生对数学学科的兴趣和好奇心，增强他们对数学的自信心。
二、教学内容本课以初三数学《方程的解法》为教材内容进行教学设计。
三、教学重难点1. 教学重点：通过教学使学生理解并掌握方程的解法。
2. 教学难点：培养学生解决实际问题的能力。
四、教学过程1. 导入环节通过设计生活实例，引导学生思考方程与实际问题之间的联系，激发学生的学习兴趣和思维动力。
2. 知识讲解在导入环节后，对方程的解法进行系统的讲解，包括一元一次方程、一元二次方程等。
3. 学习活动设计(1) 小组合作学习：将学生分为小组，让他们合作解决一些方程题目，通过合作学习来培养他们解决问题的能力。
(2) 探究式学习：提供一些实际问题，让学生通过探究的方式找到解决问题的方法，并进行解释和总结。
(3) 案例分析学习：选取一些具有实际背景的案例进行分析和讨论，让学生将所学知识运用到解决实际问题中。
4. 学习评价(1) 个人答题评价：要求学生独立完成一定数量的方程题目，并进行自我评价和解题反思。
(2) 小组评价：学生互相交换纠错，提出改进意见，并相互讨论解题思路。
(3) 教师评价：教师对学生的学习成果进行评价，并给予积极的肯定和指导。
五、教学手段1. 板书展示：将关键知识点和解题步骤进行板书展示，提供有助于学生理解的图示和实例。
2. 多媒体辅助：通过使用多媒体设备，展示生动有趣的学习素材，提高学生的学习兴趣。
六、教学资源1. 教材：初中数学教材（方程的解法章节）2. 多媒体设备：电脑、投影仪等七、教学延伸通过教学设计，引导学生在课后进行相关问题的练习，巩固所学知识点。
同时，鼓励学生积极参与数学学习小组，相互交流，提高解决问题的能力。
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初等数学研究教案
第一节：整数及其运算
一、整数
整数是由正整数、负整数和0组成的数集。
我们通常用Z表示整数集。
正整数：1，2，3，4，5，...
负整数：-1，-2，-3，-4，-5，...
零：0
整数的四则运算法则：
1. 加法运算法则
对于任意整数a、b和c，有以下性质：
（1）交换律：a + b = b + a
（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
（3）加法单位元：a + 0 = a
（4）加法逆元：a + (-a) = 0
2. 减法运算法则
对于任意整数a、b和c，有以下性质：
（1）a - b = a + (-b)
（2）a - b = a + (-b) = (-b) + a
（3）a - b = 0的解是唯一的，即a = b
3. 乘法运算法则
对于任意整数a、b和c，有以下性质：
（1）交换律：a * b = b * a
（2）结合律：(a * b) * c = a * (b * c)
（3）乘法单位元：a * 1 = a
（4）乘法逆元：对于任意非零整数a，存在一个整数b，使得a * b = 1，b称为a的乘法逆元。
4. 除法运算法则
对于任意整数a、b和c（其中b≠0），有以下性质：
（1）a ÷ b = a * (1 / b)
（2）a ÷ b = a * (1 / b) = (1 / b) * a
（3）对于非零整数a，a ÷ a = 1
（4）对于非零整数a，a ÷ 1 = a
（5）乘法逆元的应用：若a/b = c，则a = b * c
二、整数的应用
整数在生活中的应用极为广泛，下面以几个例子来说明其应用情况。
1. 温度计
温度计用于测量温度，常见的温标有摄氏度和华氏度。
整数在温度
计上的运用使得我们能够准确地判断温度的高低和进行温度的比较。
2. 银行存款利息
银行存款利息的计算也需要用到整数。
例如，如果你有1000元存款，年利率为5%，那么一年后你的存款将增加50元。
3. 距离与位置
我们经常使用整数来表示距离和位置。
例如，你离学校的距离是5
公里，你的朋友离学校的距离是3公里，那么你们两个之间的距离就
可以用5 - 3 = 2公里表示。
第二节：分数及其运算
一、分数
分数是由整数与整数间的比值表示的数，分数由分子和分母组成。
我们通常用Q表示分数集。
比如，1/2，2/3，3/4等都是分数。
分母不能为0，分子与分母没有公因数，且分子和分母都是整数的
分数，称为真分数。
如2/3。
分母不等于0，分子或分母中有零存在的分数，称为假分数。
如7/4。
分母为1的分数就是整数。
如5/1 = 5。
二、分数的四则运算法则
1. 加法运算法则
分数的加法运算规则如下：
（1）分母相同的分数相加：a/b + c/b = (a + c)/b
（2）分母不同的分数相加：a/b + c/d = (a*d + c*b)/(b*d)
2. 减法运算法则
分数的减法运算规则如下：
（1）分母相同的分数相减：a/b - c/b = (a - c)/b
（2）分母不同的分数相减：a/b - c/d = (a*d - c*b)/(b*d)
3. 乘法运算法则
分数的乘法运算规则如下：
（1）两个分数相乘：(a/b) * (c/d) = (a * c)/(b * d)
4. 除法运算法则
分数的除法运算规则如下：
（1）两个分数相除：(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) * (d/c) = (a * d)/(b * c)
三、分数的应用
分数在生活中的应用非常广泛，下面以几个例子来说明其应用情况。
1. 食谱
在烹饪过程中，食谱中常常使用分数来表示配料的比例或部分。
例如，食谱中可能写着：3/4杯牛奶，1/2茶匙盐，1/4杯糖等等。
2. 打折
商场中的打折活动常常使用分数来表示折扣的比例。
例如，商场打出的广告可能是：“全场商品7折起”，这就意味着商品的价格会以原价的7/10出售。
3. 体积与容积
在科学实验室中，分数常常用于表示液体的体积或容器的容积，如1/2升的盐水，3/4升的试剂等等。
第三节：小数及其运算
一、小数
小数是用整数和分数之间的比值表示的数，它们的表示形式为有限小数和无限循环小数。
例如，0.5、0.25、0.333...等都是小数。
二、小数的四则运算法则
1. 加法运算法则
小数的加法运算规则如下：
（1）小数相加：将小数的小数点对齐，直接相加即可。
2. 减法运算法则
小数的减法运算规则如下：
（1）小数相减：将小数的小数点对齐，直接相减即可。
3. 乘法运算法则
小数的乘法运算规则如下：
（1）小数相乘：将小数两个因数的小数位数相加，然后将结果小数点向左平移相应位数。
4. 除法运算法则
小数的除法运算规则如下：
（1）小数相除：将除数和被除数都乘以一个适当的倍数，使得除数变成一个整数，然后进行除法运算。
三、小数的应用
小数在生活和科学中的应用非常广泛，下面以几个例子来说明其应用情况。
1. 金融计算
小数在金融计算中扮演着重要角色。
例如，银行利率计算、投资回报率等都需要使用小数进行计算。
2. 科学实验
在科学实验中，小数常用于表示测量结果或数据分析。
例如，物体
的质量、长度等都是可以用小数表示的。
3. 概率与统计
在概率与统计中，小数常用于表示事件发生的概率。
例如，掷一枚
硬币，正面朝上的概率是0.5。
综上所述，初等数学涵盖了整数、分数和小数等内容及其运算法则。
整数、分数和小数在生活中有着广泛的应用，它们帮助我们解决实际
问题，提高计算准确度。
了解和掌握初等数学的相关知识对于提升数
学素养和解决实际问题具有重要意义。