母函数与递推关系

其中： x前的系数为a,b,c的所有可重1-组合， x2前的系数为a,b,c的所有可重2-组合， 一般地： xn前的系数为a,b,c的所有可重n-组合， 在前式中取a=b=c=1,则xn前的系数为a,b,c的所有 可重n-组合数F(3,n). 1 2 1 2 1 2 (1 x x ...)(1 x x ...)(1 x x ...) 1 1 2 3 (1 x x ...) 3 (1 x )
x x3 x5 x x 2 x 3 1! 3! 5! ... 1! 2! 3! ...


母函数与递推关系
从而有
n n n 1 (5 x ) (4 x ) x fe ( x ) 1 4 n0 n! n! n 0 n 0 n! 5n 4n 1 x n 4 n! n 1
由递推关系，我们有 a1 1 a1 2a0 1 a0 0 我们设{an}的母函数为
f ( x ) an x
n 0

n
母函数与递推关系
由递推关系可得
a x
n n1

n
( 2an1 1) x 2 an1 x x
n n n1 n1 n1 n1



第二步把A下面一个圆盘移到C上
最后再把B上的n-1个圆盘经过A转移到C上

A

B

C
母函数与递推关系
上述算法是递归的运用。n=2时已给出算法； n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到B上 ，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把 柱B上两个圆盘转移到柱C上。n=4，5，…以此类 推。 算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要的转移 盘次。根据算法先把前面n-1个盘子转移到B上； 然后把第n个盘子转到C上；最后再一次将B上的 n-1个盘子转移到C上。 n=2时，算法是对的，因此，n=3是算法是对 的。以此类推。于是有
所以
5 4 1 an , n 1, 2,... 4
n n
母函数与递推关系
§2 递推关系
定义：设(a0,a1,…,an,…)是一个序列，把该序列 中 an 与它前面几个ai(0≤i<n)关联起来的方程称 为递推关系。序列中的一些已知条件称为初始 条件。 例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
则称序列{an}为k阶常系数线性递推关系。 若 f (n) = 0 则称序列{an}为k阶常系数线性齐次 递推关系。 称： xk+b1xk-1+...+bk-1x+bk = 0 为k阶常系数线性递推关系的特征方程。
母函数与递推关系
1，齐次常系数线性递关系的解法 若递推关系的特征多项式有k个相异实根x1, x2,…, xk，则递推关系的通解为：
an an1 2an 2 a1 1, a2 2
母函数与递推关系
利用递推关系进行计数这个方法在算法分析 中经常用到，举例说明如下： 例一. Hanoi Tower（河内塔）问题：n个圆 盘依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图 示。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不 允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个 盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动 几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。
1 3 x 6 x 10x ... F ( 3, n) x
2 3 n 0 n
母函数与递推关系
所以，构造某组合问题的组合数an的母函数f(x) 的基本方法为： 用一个乘积因子(1+x+x2+…)来代表一个所选元素 ，若该元素可重复n次，则因子中应出现xn。 例 设有2个红球，3个白球，1个黑球和1个黄球. 求从这些球中取出5个的不同方案数。 解：设从所给球中取出i个的不同方案数为ai,则 由题设可得{ai}的母函数为 2 2 3 2 f ( x ) (1 x x )(1 x x x )(1 x )
f ( x ) C ( n, i ) x i (1 x ) n
i 0 n
这里的母函数只是“形式幂级数”，运算均按收 敛
母函数与递推关系
母函数的组合意义：考察
[1 ( ax) ( ax) ...] [1 ( bx) ( bx) ...]
1 2 1 2
[1 ( cx ) ( cx ) ...]
1 2 1 1 2 4 (1 x ) 1 x 1 x
母函数与递推关系
1 由 x n两 边 求 导 数 得 1 x n 0
1 n1 n nx ( n 1 ) x 2 (1 x ) n1 n1


于是
1 n n n n f ( x ) 2 ( n 1) x x ( 1) x 4 n 0 n 0 n 0
母函数与递推关系
2 4 x x x x fe ( x ) 1 1! 2! ... 1 2! 4! ... 2 2
x x x x e e e e e 2x ( e x 1) 2 2 e 2 x e 2 x e 2 x ( e x 1) 4 1 5x ( e e 4 x e x 1) 4

2n 3 ( 1) n x 4 n 0
n
母函数与递推关系
定义：给定序列(a0, a1,…,an,…)，记为{an}.函数
x x2 xn fe ( x ) a0 a1 a2 ... an ... 1! 2! n!
称为该序列的指数型母函数,简称指数母函数。
例 常数列(1,1,…)的母函数为
x x2 xn x fe ( x ) 1 ... ... e 1! 2! n!
例 从 n 个不同元素中取 r 个的排列数P(n，r)指 数母函数为： n n xr fe ( x ) P ( n, r ) C ( n, r ) x r (1 x ) n r! r 0 r 0

n
所以
an 2 1
n
母函数与递推关系
三，常系数线性递关系的 解法 定义：若序列（a1, a2,…）满足 an b1an1 b2 an2 b3 an3 ... bk ank f ( n)
其中 , b1 , b2 ,...,bk为常数 , 且bk 0, f ( n)为已知函数 .
1 2
1 (a b c ) x ( a ab ac b bc c ) x
2 3 2 2 2 2 2 2 2
( a a b ab a c ac abc b b c bc c ) x ...
3 2 2 3 3
母函数与递推关系
n n


母函数与递推关系
解得
x 1 1 f ( x) (1 2 x )(1 x ) 1 2 x 1 x 1 1 n n f ( x) (2 x ) x 1 2 x 1 x n 0 n 0
(2 1) x
n n 0




n
2 x an1 x
n1

x 2 x an x x
n n n1
n



n
n 0
n
n1
故有 f ( x ) an x an x a0
n 0 n 1
x 2 x an x x 2 xf ( x ) 1 x n 0 n 1
母函数与递推关系
§2 递推关系的求解方法
一，迭代法 例如前面的Hanoi Tower（河内塔）问题：
an 2an1 1 a1 1
我们有
an 2an 1 1 2(2an 2 1) 1 22 an 2 2 1 22 (2an 3 1) 2 1 23 an 3 22 2 1 ...

an c x c2 x ... ck x
n 1 1 n 2
n k
其中c1, c2,…, ck为任意常数。
若对递推关系再给出一组k个初始值，还可以由 通解求出满足初始条件的唯一解。
母函数与递推关系
例 求解：
Fn Fn1 Fn 2 F0 F1 1 解：此递推关系的特征方程为
母函数与递推关系
2
a1 1 n1
a1 2 2
n 2
2百度文库
n 3
... 2 1
n
2
n1
n 2
2
n 3
... 2 1 2 1
母函数与递推关系
二，母函数法 例如前面的Hanoi Tower（河内塔）问题：
an 2an1 1 a1 1
母函数与递推关系
算法复杂度为：
h(n) 2h(n 1) 1, h(1) 1
2 3
(*)
H ( x ) h(1) x h(2) x h(3) x ,(**) H(x)是序列 h(1), h(2), h(3), 的母函数。给
定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也 一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而 知了。当然，利用递推关系(*)式也可以依次求 得 h(2), h(3), ，这样的连锁反应关系，叫做递 推关系。
1 4 x 8 x 11x 11x 8 x 4 x x
2 3 4 5 6 7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为 f ( x ) [1 x x 2 ][1 x 2 ( x 2 )2 ( x 2 )3 ] 1 1 1 x 1 x2 1 (1 x )(1 x ) 2
母函数与递推关系
例 n 个不同元素的可重 r-排列数 nr (r = 0, 1, 2, … )的指数母函数为
x x n nx r x (1 ...) e n 1! 2! r! r 0
2

n
例 求用1,2,3,4,5五个数字组成的n位数的个数， 要求1出现的次数为偶数，2 出现的次数为奇数 ，并且3至少出现一次。 解：设所求n位数的个数为an ，则由题设可得 {an}的指数母函数为：
n 2
母函数与递推关系
§1 母函数
定义：给定序列(a0,a1,…,an,…)，记为{an}.函数 f(x)= a0+a1x+…+anxn+… 称为该序列的普通母函数，简称母函数。 例 常数列(1,1,…)的母函数为 f(x)= 1+x+…+xn+…=1/(1-x) 数列{C(n,i)},i=0,1,2,…n的母函数为
母函数与递推关系
递推关系是计数的一个强有力的工具，特别 是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主 要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处，但 这主要是介绍解递推关系上的应用。例如
(1 a1 x )(1 a2 x ) (1 an x ) 1 (a1 a2 an ) x (a1a2 a1a3 an1an ) x a1a2 an x
A
B
C
母函数与递推关系
Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计 算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。 算法：n = 2时 第一步先把最上面的一个圆盘套在 最后把 B上的圆盘移到C上 C上 B上 第二步把下面的一个圆盘移到 到此转移完毕
A
B
C
母函数与递推关系

假定n-1个盘子的转移算法已经确定。 对于一般n个圆盘的问题， 先把上面的n-1个圆盘经过C转移到B。