湘教版八年级数学上册第5章 5.1 二次根式 第2课时 二次根式的化简
八年级数学上册 第5章 二次根式 5.1 二次根式教学课件 (新版)湘教版
例1 (见教材P155，例1) 分析：因为 x 1是二次根式，所以当x-1≥0时，它在 实数范围内才有意义. 例2（见教材P156，例2） 分析：利用公式( a )2＝a（a≥0）解答. 例3（见教材P156，例3) 分析：利用公式 a2 =a(a≥0)解答.
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1.什么叫二次根式？“ ”叫什么？“ 2 ”应
因为 a是a的一个平方根，所以 ( a ).2 a
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问题3：在下列横线上填上适当的数：
22 =
;
32 =
;
42 =
;
52 =
.
根据上述结果，你能总结出当a≥0时， a2 等于
多少吗？
引导学生猜想： a2 =a(a≥0).
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问题4：以上猜想对吗？即当a≥0时， a2 =a吗？ 引导学生进行推理论证：由于a的平方等于a2，因 此a是a2的一个平方根；而当a≥0时，a2的一个正的平 方根是 a2 . 因此，a和 a2 都是a2的正平方根，所 以 a2 =a(a≥0).
此基础上归纳：形如 a （a≥0)的式子叫作二次根式
，符号“ ”叫作二次根号，根号下的数字叫作被 开方数.
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2.引导学生探讨以下问题： 问题1：被开方数可能是负数吗？为什么？ 在实数范围内，因为负数没有平方根，因此只有当被 开方数是非负数时，二次根式才在实数范围内有意义.
问题2：当a≥0时，( a )2 等于多少？
该怎样读？ 2.本节课介绍了二次根式的哪两个性质？
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第五章 二次根式
5.1 二次根式
1
理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解
答具体题目. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问
题.
湘教版-数学-八年级上册-5.1 第2课时 二次根式的化简 学案
二次根式的化简一、学习目标1.理解并掌握积的算术平方根的性质：b a ⋅=a ·b （a ≥0，b ≥0）.2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。
重点：积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。
难点：将二次根号下的平方因子正确地移出根号。
二、自主学习学一学：自主预习教材P157 、158、159的内容，完成下列各题。
试一试：1.用式子表示积的算术平方根的性质：b a ⋅=__________(a ≥0，b ≥0).2.化简=___________，x ≥0，y ≥0)=_________. 三、合作探究学一学：利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。
⑴ 12； ⑵ 27； ⑶b a 39（a ≥0，b ≥0）.议一议：化简二次根式的一般步骤是什么？【归纳总结】⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。
⑵ 选出被开方数中的_________________.⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________).说一说：最简二次根式应有如下两个特点：（1）被开方数中不含________________的因数或因式; ⑵ 被开方数不含__________.一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成_________二次根式。
四、基础演练1.下列二次根式中最简二次根式是（ ） A. 51 B.5.0 C.5 D.502. 化简下列二次根式，其中.0,0≥≥b a⑴ 54 ⑵ 3527b a ⑶23)(8b a a +3. 化简下列二次根式⑴ 427 ⑵245（34.设3<x ，化简二次根式962+-x x .。
湘教版-数学-八年级上册-5.1 二次根式 第2课时 二次根式的化简 学案
第2课时 二次根式的化简1. 理解并掌握二次根式的性质：(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥，并学会利用这一性质对二次根式进行化简.2.掌握最简二次根式的概念.自学指导：阅读课本P157-159，完成下列问题.知识探究1. 积的算术平方根的性质： （1）计算4×25=10 ；254⨯=10. 25.0×100=5；10025.0⨯=5. （2）观察：以上式子及其运算结果，看看其中有什么规律？并用表达式表示你发现的规律： (0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥.（3）:12==434323=⨯⨯；32==16216242=⨯⨯；20==454525=⨯⨯；28==474727=⨯⨯.自学反馈1. 下列运算中，正确的是 （ D ）A.(－5)×(－3)＝－5×－3 B. 52－32＝52－32＝5－3＝2 C. －8x 2y 3 (x ≥0)＝2xy －2y D. 52×32＝52×32＝5×3＝15 2．化简下列二次根式：(1)12；解：3212= .(2)34a ；解：a a a 243= （此题中的a 默认是非负）.(3) 432x .解：242432x x =.1.二次根式的性质：积的算术平方根 ⑴参考上面的结果，用“>、<或=”填空. 49⨯ 49⨯； 916⨯ 916⨯⑵根据上面的探究，下列式子也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证.①23⨯ 23⨯；②25⨯ 25⨯；③56⨯ 56⨯⑶结论：(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥⑷例：化简下列二次根式：①18 ②20 ③72 ④12 ⑤352.最简二次根式：观察上面的例题中各小题的最后结果，你发现这些式子中的二次根式有什么特点？通过分析得到，二次根式有如下两个特点：⑴被开方数中不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.*在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.三、应用迁移活动1 典例精析例1 利用二次根式的性质化简：⑴4925⨯； ⑵640； ⑶38； ⑷2235⨯. 解：（1）35 （2）810 （3）64 （4）15活动2 变式运用⑴已知等式()()3333a a a a +-=+⋅-成立，则a 的取值范围是 -3≤a ≤3⑵已知等式3222x x x x +=-+成立，则x 的取值范围是 x ≤-2活动3 归纳小结⑴积的算术平方根的性质：⑵最简二次根式：① ②活动4 跟踪训练1.下化简4x 的结果是（ C ）A ．2xB ．2x ±C ．2xD ．2x ±2.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ B ）A ．4B ．22a b +C ．15D ．20 3. 写出一个化简后被开方数是3的二次根式：27.4..316化简后的结果是3.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应部分.。
湘教版(2012)初中数学八年级上册 5.1 二次根式的化简 课件
你可以开始今天的新课学习了！
二、自主学习
【自学指导】认真阅读课本P157-P159， 并完成以下任务。
1、找出本节中的重要公式，并理解推导 的过程。
2、应该怎么把二次根式化简，大概思路 是什么？
3、怎样判断一个二次根式是不是已经化 到最简？
【自学检测】完成P159练习 T1.
三、深度理解
1、化简二次根式。
二次根式的化简
一、前置夯实：
1、【前置诊断】 检测你的基础，助力新课学习
2、【前置巩固】 如果你没有全部正确，务必回顾复习.
12=1，22=4， 32=9，42=16， 52=25，62=36， 72=49，82=64， 92=81，102=100……
2 a a(a 0)
。
a2
a
a(a 0) a(a 0)
2、最简二次根式。
例2 下次二次根式中，是最简二次根式 的是（ ）
A. 12
C. 10
B. 1.2
D. 1 2
变式训练
设a≥0，b≥0，下列二次根式中，是最简二 次根式的是（ ）
A. 2a2 B. 2b3
C. 2ab2 D. 2a
小结： 最简二次根式的特点
（1）被开方数
中不含开得尽方 （2）被开方数不含
3
课堂作业：P160第4，5题。
家庭作业：《学法大视野》 P88课堂训练第1-5题，选 做课后提升1-10题
的因数（或因式）
分母
【反思迁移】 1、积的算术平方根：
a b a b（a≥0，b≥0）
积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积。
2、最简二次根式的条件
•被开方数不含平方因子
（1）
•被开方数不含分母
湘教版八年级数学上册5.1.2二次根式的化简
ab
a
b.
由此得出
a b a b （a≥0 ， b≥0）
ab a
b （a≥0 ， b≥0）
上述公式，从左到右看，是 积的算术平方根 的性质. 利用这一性质，可以化简二次根式.
讨论：上述公式中为什么要求a≥0 ， b≥0？
例4
化简下列二次根式：
解
1 1
18 ; 18 3² 9 2
计算下列各式:
1
2
4 9
6
,
4 9
6
;Байду номын сангаас
9 16 12 ,
9 16 12 .
观察计算结果，你发现了什么？
4 9 4 9, 9 16 9 16.
一般地，当a≥0 ， b≥0时，由于
a
b
a b
2 2
2
a b,
因此
9是哪一个正 数的平方？ 9是3的平方， 我们称9(3² )是 一个平方因子.
9 2 3 2.
根号里的平方因子 最后怎么样了？大 家认真观察哦！
根号里的平方因子 去掉平方号移到根 号外啦！
2
解
20; 20 45
2
4 5 2 5.
最后结果的被开方数是5， 它是开得尽方的因数吗？
1.化简下列二次根式：
1 3
24; 32;
2 4
28; 54.
提示：化简时先把被开方数分解成 平方因子和其它因数的积，注意不 能遗漏了平方因子.
2.化简下列二次根式：
1
45 ; 2
2
125 . 12
提示：先考虑被开方数乘什么数是平 方因子，把分子分母乘这个数，再把 平方因子去掉平方号放到根号外.