函数的最值与导数公开课导学案

1.3.3 函数的最大(小)值与导数

复旧知新

问题一：函数极值相关概念

（1）若函数y=f(x)在点x=b 的函数值f(b)比它在点x=b 附近其他点的函数值都小，满足f '(b)=0

且在点x=b 附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,则把点b 叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函

数y=f(x)的极大值。

（2）若函数y=f(x)在点x=a 的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的函数值都小,满足f '(a)=0

且在点x=a 附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0,则把点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函

数y=f(x)的极小值。

问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？

解方程f '(x) =0。当f '(x 0) =0时：

（1）如果在x 0附近 的左侧 f '(x) >0 ，右侧 f '(x)<0 ,那么f (x 0)是极大值；

（2）如果在x 0附近 的左侧 f '(x)<0，右侧 f '(x) >0 ,那么f (x 0)是极小值；

讲授新课

观察区间[a ,b ]上函数y =f (x )的图象，你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的最大值，

最小值吗？

极大值：f (x 2)，f (x 4)，f (x 6)

极小值：f (x 1)，f (x 3)，f (x 5)

最大值：f (a) 最小值：f (x 3)

规律总结

最值特点：

性质探究

探究问题1：开区间上的最值问题

如图，观察（a ，b ）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a ，b ）上有最大值、最小值吗？

如果有，最大值和最小值在什么位置取到？

探究问题2：闭区间上的最值问题

如图，观察[a ，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a ，b]上有最大值、最小值吗？如

果有，最大值和最小值分别是什么？

在闭区间[a,b]上连续的函数是f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值的条件

牛刀小试

例1 .给出下列说法：

（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值。（2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。

（3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值。（4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值。

其中说法正确的有

提炼升华

一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值

2 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值

典例精讲

例2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3, 5]上的最值。

巩固练习

求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2, 1]上的最值

课堂小结

1.规律总结；

2.函数存在最值的的条件

3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的步骤.

布置作业

课本P31页：练习（2）（4）题

练习册：

课时作业