初等数论ppt(12)第六章 - 指数与原根
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初等数学研究完整ppt课件
定义2： N×N按等价关系“~”划分的等价类 （以[(a,b)]表示(a,b)所属的等价类）叫做整数， 一切整数组成的集合叫做整数集，记为Z.
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26
定理2 设Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}} Z- ={[(0,a)]|a∈N-{0}}
则Z= Z+∪[(0,0)]∪Z-, 且Z+, [(0,0)], Z-两两不相交. 定义3 称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。
✓（1）对于任意a, b∈ N, 都有
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(a·b)=f(a)·f(b)
✓（2）对于任意a, b∈ N, 若a≤b, 则f(a)≤f(b).
证明：构造f: N→Z如下
f(a)=[(a,0)] 即可满足定理要求。
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36
因此，以后我们可以对a与[(a,0)]不加区别地使用， 从而有Z+=N-{0}.
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31
减法
加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算— —减法。
定义6 设a，b∈Z，若存在x∈Z，使x+b=a，则 称x=a-b.
整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。
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32
除法
乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运
算——除法。
定义7 设a，b∈Z, b≠[(0,0)], 若存在x∈Z，使
根据定义，有
✓ (a)b a
✓
b
a
b
a
1
b
除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在
自然数集上除法不具有封闭性。
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26
定理2 设Z+={[(a,0)]|a∈N-{0}} Z- ={[(0,a)]|a∈N-{0}}
则Z= Z+∪[(0,0)]∪Z-, 且Z+, [(0,0)], Z-两两不相交. 定义3 称Z+为正整数集，称Z-为负整数集。
✓（1）对于任意a, b∈ N, 都有
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(a·b)=f(a)·f(b)
✓（2）对于任意a, b∈ N, 若a≤b, 则f(a)≤f(b).
证明：构造f: N→Z如下
f(a)=[(a,0)] 即可满足定理要求。
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因此，以后我们可以对a与[(a,0)]不加区别地使用， 从而有Z+=N-{0}.
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减法
加法的消去律保证我们可以定义加法的逆运算— —减法。
定义6 设a，b∈Z，若存在x∈Z，使x+b=a，则 称x=a-b.
整数都有负元保证了整数集上减法的封闭性。
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除法
乘法的相消律保证我们可以定义乘法的逆运
算——除法。
定义7 设a，b∈Z, b≠[(0,0)], 若存在x∈Z，使
根据定义，有
✓ (a)b a
✓
b
a
b
a
1
b
除单位元之外其他自然数都没有逆元，这说明在
自然数集上除法不具有封闭性。
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初等数论
3 同余
性质：同余关系是等价关系。 模m等价类: 在模m同余关系下的等价类. [a]m, 简记作[a]。 Zm: Z在模m同余关系下的商集。 在Zm上定义加法和乘法如下: a, b, [a]+[b]=[a+b], [a]· [b]=[ab]. 例6：写出Z4的全部元素以及Z4上的加法表和乘法表. 解 Z4={[0],[1],[2],[3]}, 其中[i]={4k+i |k∈Z}, i=0,1,2,3. + [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [1] [2] [3] [0] [2] [3] [0] [1] [3] [0] [1] [2] · [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1]
解 150=2×3×52, 168=23×3×7. gcd(150,168)=21×31×50×70=6, lcm(150,168)=23×31×52×71=4200.
欧几里得算法-辗转相除法
除法算法: a=qb+r, 0≤r <|b|, 记余数r=a mod b
例如, 20 mod 6=2, 13 mod 4=3, 10 mod 2=0
RSA公钥密码
私钥密码:加密密钥和解密密钥都必须严格保密 公钥密码 (W.Diffie,M.Hellman,1976 ):加密密钥公开,解密 密钥保密
整数. 则 min( rk , sk ) min( r1 , s1 ) min( r2 , s2 ) gcd(a,b)= p1 p2 pk ,
max( rk , sk ) max( r1 , s1 ) max( r2 , s2 ) p p p lcm(a,b)= 1 2 k
初等数论
定理及推论 • 定理1:任何大于1的整数a都至少有一个素约数.
证明 : 若a是素数, 则定理是显然的. 若a不是素数, 那么它有两个以上的正的非平凡约数, 可设它们为d1 , d 2 , , d k ( k 2). 不妨设d1是其中最小的, 若d1不是素数, 则存在e1 , e2 , 使得d1 e1e2 ,因此, e1和e2 也是a的正的非平凡约数, 这与d1 的最小性矛盾.
练习题
1 证明 : 若3 | n且7 | n, 则21| n.
1证明 : 3 | n,可设n 3m, 由7 | n得, 7 | 3m, 而7 | 7 m, 所以7 | (7 m - 2 3m), 即7 | m, 21| 3m, 即21| n.
2 设a 2k -1, k Z , 若a | 2n, 则a | n.
推论1 推论2
• 如果a是大于1的正整数,则a的大于1的最小约数必为素数.
任何大于 1 的合数a必有一个不超过 a的素约数.
证明 : 若a d1d 2 , 其中d1 1是最小素约数, 则d12 a, 成立.
定理2:素数的个数是无限的.
证明 : 假设正整数中只有有限个质数, 设为p1 , p2 , , pk , 令N p1 p2 pk 1, N 1, 若N 是质数, 结论显然成立; 若N 不是质数, 则N 有一质因数p, 这里p pi , i 1, 2, , k , 否则p | p1 p2 pk , 又 p | N p1 p2 pk 1, 因此p | 1, 这与p是质数矛盾, 故p是上面k 个质数以外的质数, 得证.
证明 : (1) a | b, b aq, b aq, a | b; (2) a | b, b | c, b q1a, c q2b, c q1q2 a , a | c; (3) b | ai (i 1, 2, , k ), ai qi b(i 1, 2, , k ), ai xi qi xi b(i 1, 2, , k ), a1 x1 a2 x2 ak xk b (q1 x1 q2 x2 qk xk ) b | a1 x1 a2 x2 ak xk (其中xi是任意的整数);
指数函数和对数函数ppt课件
解法 2：a－b＝ln22－ln33＝3ln2－6 2ln3 ＝16(ln8－ln9)<0. ∴a<b.同理可得 c<a，∴c<a<b.故选 C.
[答案]C
4．考查函数的定义域 函数的定义域是历年高考中均考查的知识点，其难度 不大，属中低档题，但在求解时易漏掉部分约束条件造成错 解，因而也是易错题． [例 4] 函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是
[例 1] (1)化简
3 ÷(1－2
ba)×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
(2)解法一 12lg3429－43lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg4＋lg7 5 ＝lg(472×14×7 5) ＝lg 10＝12lg10＝12.
解法二 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12.
[例7]求不等式x－1<log6(x＋3)的所有整数解． [解析]设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作
出它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标
显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.
因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)>0，x＝2时， log6(2＋3)－(2－1)<0，所以1<xP<2.
2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数． (2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像
0<a<1
a>1
初等数论-绪论
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。
四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。
三 几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞 懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先 发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数 学家欧拉,正式提出了以下的猜想：
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
《指数》指数函数与对数函数PPT
1.(1)整数指数幂的运算性质有哪些?
提示:①am·an=am+n;②(am)n=am·n;
m-n
③ =a (m>n,a≠0);(4)(a·b)m=am·bm.
(2)零指数幂和负整数指数幂是如何规定的?
1
提示:规定:a0=1(a≠0);00 无意义,a-n=(a≠0).
课前篇
自主预习
在幂的运算中,对于形如 m0 的式子,要注意对底数 m 是否为零进
行讨论,因为只有在 m≠0 时,m 才有意义;而对于形如
0
们一般是先变形为
,再进行运算.
-
的式子,我
课堂篇
探究学习
探究一
解:(1)
探究二
2
3
125
27
探究三
探究四
2
3 -3
5
=
33
5-2
=
=
32
思想方法
随堂演练
9
= 25.
(1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a2-a-2.
1
1
分析:解答本题可从整体上寻求各式与条件 2 + 2 = 5 的联
系,进而整体代入求值.
1
解:(1)将2
1
2
-
+ = 5的两边平方,
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.
(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,
数, =|a|=
-, < 0.
课前篇
自主预习
一
二
2.填空
三
四
提示:①am·an=am+n;②(am)n=am·n;
m-n
③ =a (m>n,a≠0);(4)(a·b)m=am·bm.
(2)零指数幂和负整数指数幂是如何规定的?
1
提示:规定:a0=1(a≠0);00 无意义,a-n=(a≠0).
课前篇
自主预习
在幂的运算中,对于形如 m0 的式子,要注意对底数 m 是否为零进
行讨论,因为只有在 m≠0 时,m 才有意义;而对于形如
0
们一般是先变形为
,再进行运算.
-
的式子,我
课堂篇
探究学习
探究一
解:(1)
探究二
2
3
125
27
探究三
探究四
2
3 -3
5
=
33
5-2
=
=
32
思想方法
随堂演练
9
= 25.
(1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a2-a-2.
1
1
分析:解答本题可从整体上寻求各式与条件 2 + 2 = 5 的联
系,进而整体代入求值.
1
解:(1)将2
1
2
-
+ = 5的两边平方,
得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.
(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,
数, =|a|=
-, < 0.
课前篇
自主预习
一
二
2.填空
三
四
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件
2
2
同样有 t b . 存在性得证 ；下证唯一性. 2
16
4
设a bs t bs1 t1，s1 s, 则 t t1 b(s1 s) b ，(1)
另一方面，t
b 2 , t1
b 2
t t1 t t1 b
(2)
当b为奇数时，②式中的等号不能成立， s s1, t t1.
(1) a 14q 4, r 2
(2) a 14,b 3 14 3 5 ( 余 1 ), q 5, r 1
(3)a 14,b 3
14 (3) 14 3
注：一般地，要求a,q是整数，b, r是非负整数； 如果允许b取负值，则要求 0 r b .
4
1
因此
a b m q1 q2 ,
q1 q2是个整数,故m a b .
定理3
m a1 ,, m an , q1,,qn Z m (q1a1 qnan )
eg2 (1) 已知：x和y是整数，13︱( 9x + 10y )，
求证：13︱( 4x + 3y )；
(2)若 a ,b 是整数，且7∣( a + b ), 7∣( 2a－b )，
注：显然每个非零整数a都有约数 1，a，称这四个 数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。 eg1 有一个自然数乘以9后，得到一个仅由数字1组成 的多位数，求这个自然数最小为多少？ 12345679
3
中小学数学中的一些数论问题：
1.已知66︱X1998Y，求所有满足条件的六位数X1998Y.
证明：a , b不全为0，
在S ax by | x, y Z中存在正整数，
所以，存在形如ax by的最小正整数ax0 by0 .
数学---初等数论共68页文档
数学---初等数论
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
必修一基本初等函数复习PPT课件
18
底数互为倒数的两个 对数函数
y = loga x, y = log1 x
的函数图像关于x轴对a称。
19
当a>1时，a值越大， y=logax的图像越靠近x轴；
当0<a<1时，a值越大， y=logax的图像越远离x轴。
20
4.若loga2＜logb2＜0，则( B )
(A)0＜a＜b＜1
(B)0＜b＜a＜1
y
叫做幂函数，
其中x是自变
量，α是常数.
O
x
23
幂函数的性质
函数
性质 y=x
y=x2
1
y=x3 y = x 2
y=x-1
定义域 R
R
R [0,+∞) {x|x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇
偶
奇
单调性
增
[0,+∞)增 (-∞，0]减
增
非奇非偶 奇
(0,+∞)减
常用对数：通常将log10N的对数叫做常用对数，为了简便， N的常用对数记作lgN。
自然对数：通常将使用以无理数e=2.71828…为底的对数
叫
做自然对数，为了简便，
N的自然对数logeN简记作lnN.
12
2024/10/27
13
9.对数恒等式
( ) aloga N = N a 0且a 1，N 0 叫做对数恒等式
10.对数的性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是零，即loga1=0； (3)底数的对数等于1，即logaa=1 11.对数的运算法则 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么
初等数学研究(PPT课件)
初等数学研究
感谢您的阅览
初等数学研究（PPT课件）
1
• 数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些．但 是，历史有独特的自身发展逻辑．
• 事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在 研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了．
初等数学研究（PPT课件）
2
• “数系”的历史扩展途径 • “数系”的逻辑扩展途径
• 接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数 和复数．
• 到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛 盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等．
初等数学研究（PPT课件）
4
“新数”为何最初不被承认？
• 不能够测量 • 并非非有不可 • 不能够理解 • 逻辑基础不清楚
初等数学研究（PPT课件）
5“新数”为何最终获得Fra bibliotek认？“因为在数学中和在其他场合一 样，成功是最高法庭，任何人都得 服从它的裁决.”
D.Hilbert《论 无限》
初等数学研究（PPT课件）
6
• 算法合理性是“新数”获得承认的主要原因 • 算术到代数的演进加速了数系的形成 • 广泛的应用促进广泛的承认 • “理想数” 的思想
初等数学研究（PPT课件）
7
1.2 数系的构造理论
初等数学研究（PPT课件）
8
1.2.1自然数的定义
• 自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数 的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。
• Peano公理陈述如下：
• （1）0是自然数；
• （2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ；
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• 数学教育研究表明，人们认识负数比起认识无理数要容易些．但 是，历史有独特的自身发展逻辑．
• 事实上，当人们还普遍怀疑负整数也是一种数时，人们就已经在 研究正的有理数与无理数，甚至已经开始使用复数了．
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2
• “数系”的历史扩展途径 • “数系”的逻辑扩展途径
• 接着是代数运算的需要，因减法、开方运算的需要产生了负数、无理数 和复数．
• 到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，人们为了追求运算的无矛 盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等等．
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“新数”为何最初不被承认？
• 不能够测量 • 并非非有不可 • 不能够理解 • 逻辑基础不清楚
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1.2 数系的构造理论
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1.2.1自然数的定义
• 自然数严格的抽象定义是由peano公理给出的，它刻画了自然数 的本质属性，并导出了有关自然数的所有运算和性质。
• Peano公理陈述如下：
• （1）0是自然数；
• （2）每个自然数都有一个后继，a的后继记为a+ ；