一元二次不等式的应用(1)
一元一次方程,二元一次方程,一元一次不等式,一元二次不等式应用题及答案
一元一次方程例1 某厂一车间有64人，二车间有56人．现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半．问需从第一车间调多少人到第二车间？解析：如果设从一车间调出的人数为x，那么有如下数量关系设需从第一车间调x人到第二车间，根据题意得：2（64-x）=56+x，解得x=24；答：需从第一车间调24人到第二车间二元一次方程例2两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，一元一次不等式例3将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？设笼有x个，那么鸡就有（4x+1）只，根据若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只，可列出不等式求解．解：设笼有x个．4x+1＞5(x?2) 4x+1＜5(x?2)+3 ，解得：8＜x＜11 x=9时，4×9+1=37x=10时，4×10+1=41（舍去）．故笼有9个，鸡有37只一元二次不等式例4用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？解：设有x辆汽车，则货物有(4x+20)吨，根据题意，有不等式组：4x+20﹤8x (1)4x+20﹥8(x-1) (2)解不等式(1)得：x﹥5解不等式(2)得：x﹤7所以，不等式组的解为 5﹤x﹤7因为x为整数，所以 x=6答：有6辆汽车。
一元二次不等式的应用
一元二次不等式的应用哎呀呀，一元二次不等式？这对我这个小学生来说，一开始简直就像个超级大怪兽！你能想象吗？在数学的世界里，突然冒出这么个看起来很复杂的家伙。
老师在黑板上写下那些奇怪的式子，我瞪大眼睛，心里直犯嘀咕：“这到底是啥呀？”就拿买东西来说吧，假如我有20 块钱，去买笔。
一支笔的单价是x 元，商家说买两支以上每支便宜1 块钱。
那我怎么知道我能买多少支笔，才能让花的钱既不超过20 块，又能尽量多买呢？这时候一元二次不等式就派上用场啦！我同桌小明，数学可好了。
我问他：“小明，这一元二次不等式到底咋弄啊？”小明说：“别着急，你看啊，咱先设能买y 支笔。
如果买两支以下，那总价就是xy 要小于等于20；要是买两支以上，那总价就是(x - 1)y 也要小于等于20。
这不就是一元二次不等式嘛！”我听了，好像有点明白，但又好像还有点迷糊。
再比如说，学校组织活动，要租车。
一辆车能坐30 个人，租车的费用和车的数量有关系。
如果租的车太多，费用太高；租的车太少，又坐不下所有人。
这时候就得用一元二次不等式来算一算，到底租几辆才最合适，既省钱又能把大家都拉走。
还有啊，盖房子的时候。
假如一块地的面积是固定的，要盖一个长方形的房子，长和宽怎么定才能让房子的面积最大，同时又满足一些条件，比如不能超过预算啥的。
这也得靠一元二次不等式来帮忙算清楚。
你说，这一元二次不等式是不是就像个神奇的魔法棒，能帮我们解决好多生活中的难题？虽然一开始它让我头疼得要命，可一旦搞明白了，还真是挺有用的呢！我觉得啊，数学虽然有时候很难，但是只要我们认真学，多思考，多问问老师和同学，就一定能把这些难题都解决掉！。
2.3.2一元二次不等式的应用2021-2022学年高一数学同步备课系列(湘教版新教材必修一)
所以每件销售价应定为 12 元到 16 元之间 故选:C
能力培优
1．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯 15 元的价格销售，每天能卖出 30 盏；若售
价每提高 1 元，日销售量将减少 2 盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得 400 元以
的价格 x 元的取值范围为（ ）
A．{x | 0 x 2.5}
B．{x | x 4}
C．{x | 2.5 x 4}
D．{x | 0 x 2.5, 或 x 4}
【答案】C
【解析】提价后杂志的定价设为 x 元，则提价后的销售量为：8 x 2.5 0.2 （万本）， 0.1
销售的总收入仍不低于 20 万元， 列不等式为： (8 x 2.5 0.2)x 20 ．
证税金收入每年不少于 9106 元，则实数t 的取值范围是
A．t 1 t 3
B．t 3 t 5
C．t 2 t 4
D．t 4 t 6
【答案】B 【分析】 依照题意知，税金收入＝销售额 税率＝销售量 销售价格 税率，求出税金收入，列出不 等式求解即可．
【解析】设按销售收入的 t% 对木材征税时，税金收入为 y 元，则
【答案】C
【解析】由题意可得 300 2x x 500 30x 8600 ，
即 x2 135x 4550 0 ，
则 x 65 x 70 0 ，
故 65 x 70 ， 故选：C
3．某种杂志原来以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本，据市场调查，杂志的单价每
提高 0.1 元，销售量就可能减少 2000 本.若使提价后的销售总收入不低于 20 万元，应该确定
工资每人 40 元，现有工资预算 2000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人，x ，y 满足的条件是（ ）
一元二次不等式的解法应用
f(x)≥a恒成立，求a的取值范围. 解 方法一 此二次函数图象的对称轴为x=a, ①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知，f(x)在[-1,+∞)
上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3,
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a, 即2a+3≥a,解得a≥-3,又a<-1, ∴-3≤a<-1.
11.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax (a∈R).
解
原不等式变形为ax2+(a-2)x-2≥0.
(1)当a=0时，原不等式变为-2x-2≥0, 故其解集为{x|x≤-1}；
(2)当a≠0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0.
2 ①当a>0时，不等式即为 ( x )( x 1) 0, a 2 故其解集为 {x | x 或x 1}; a
．
【例3】（12分）已知不等式mx2-2x-m+1<0.
（1）若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范 围； （2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立, 求x的取值范围. 思维启迪 （1）由于二次项系数含有字母，所以首 先讨论m=0的情况，而后结合二次函数图象求解. （2）转换思想将其看成关于m的一元一次不等式， 利用其解集为［-2，2］，求参数x的范围.
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【2】若不等式 (m-2)x2+2(m-2)x-4<0 对于 x∈[-1,1]恒成立,则实数m 的取值范围是_______.
令 f ( x ) ( m 2) x 2 2( m 2) x 4,
m 2 0 0 m 2 或 f (1) 0 f (1) 0
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是代数学中的重要内容，它与一元二次方程相似，但存在着一定差异。
在本文中，我们将深入探讨一元二次不等式的性质、解法以及其在实际问题中的应用。
1. 一元二次不等式的性质一元二次不等式的一般形式为 ax^2 + bx + c < 0（或 > 0）。
其中，a、b、c为实数，且a ≠ 0。
与二次方程类似，一元二次不等式也可以表示为图像形状不同的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法主要有两种：图像法和代数法。
2.1 图像法通过绘制一元二次不等式对应的二次函数图像，可以直观地获取不等式的解集。
首先，根据a的正负确定抛物线的开口方向。
然后，通过求解抛物线与x轴的交点，即解出方程 ax^2 + bx + c = 0 。
最后，根据抛物线的位置与x轴的交点确定不等式的解集。
2.2 代数法通过代数方法解一元二次不等式，可以利用求解二次方程的方法，或者根据不等式性质进行变形和分类讨论。
对于形如 ax^2 + bx + c < 0 的一元二次不等式，可以首先求解对应的二次方程 ax^2 + bx + c = 0 。
根据一元二次方程求解公式，可以得到方程的两个根 x1 和 x2 。
然后，根据二次函数的凹凸性，结合不等式的符号要求，可以将解集分为3种情况，即 x < x1，x1 < x < x2，x >x2。
3. 一元二次不等式的应用一元二次不等式在现实生活中有着广泛的应用。
以某企业的生产问题为例，假设x表示产品的销量，其成本函数为 C(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
为了使企业利润最大化，我们可以通过解一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0 来确定销量x的取值范围。
此外，一元二次不等式还可以应用于优化问题、几何问题等各个领域。
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是代数学中常见的一种求解问题的方法，它可以描述一个变量的取值范围。
在实际问题中，一元二次不等式的解法及其应用广泛存在于各个领域。
本文将介绍一元二次不等式的解法，并探讨其在实际应用中的具体案例。
一、一元二次不等式的解法对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤进行求解。
步骤一：化简方程首先，我们需要将一元二次不等式化简为标准形式，即将不等式的右边移动到左边，使得不等式的右边等于零。
步骤二：求解方程在化简为标准形式后，我们将不等式转化为等式，即求解ax^2+bx+c=0的方程。
通过因式分解、配方法、求根公式等方法，我们可以得到方程的根。
步骤三：确定范围在得到方程的根后，我们需要使用数轴或数表来确定解的范围。
根据方程的根的位置和曲线的走势，我们可以判断出不等式的解在数轴上的位置。
步骤四：确定不等号最后，根据方程和不等式的关系，确定不等号的方向。
如果方程的根对应的点满足不等式，那么不等号应为“≥”或“≤”；如果方程的根对应的点不满足不等式，那么不等号应为“>”或“<”。
通过以上步骤，我们可以得到一元二次不等式的解的具体范围和形式。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用广泛存在于各个领域，如经济学、物理学、工程学等。
下面我们将介绍一些具体的应用案例。
1. 经济学应用在经济学中，一元二次不等式可以用于描述成本、收益、销售额等变量之间的关系。
例如，某公司的利润可以用一元二次不等式P(x) = -2x^2 + 30x - 50来表示，其中x表示销售量。
通过求解不等式P(x) > 0，可以确定该公司的利润为正的销售范围，从而帮助决策者制定合适的销售策略。
2. 物理学应用在物理学中，一元二次不等式可以用于描述运动过程中的问题。
例如，一个物体的运动方程可以表示为一元二次不等式h(t) = -16t^2 + vt+ h0，其中h(t)表示物体的高度，t表示时间，v为初速度，h0为初始高度。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是数学中常见的一种形式，它可以描述一个二次函数与一个常数之间的关系。
本文将探讨一元二次不等式的基本概念、解法以及一些相关的应用。
一、基本概念一元二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 （或 < 0 或≥ 0 或≤ 0）的不等式，其中 a、b、c 是实数（a ≠ 0）。
在解一元二次不等式之前，我们需要了解一些基本概念。
1. 判别式对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，判别式Δ = b^2 - 4ac 是一个重要的指标。
当Δ > 0时，方程有两个不等的实数解；当Δ = 0 时，方程有一个实数解；而当Δ < 0 时，方程无实数解。
2. 开区间与闭区间在解一元二次不等式时，我们需要用到开区间和闭区间的概念。
开区间 (a, b) 表示实数 x 的取值范围为 a < x < b；闭区间 [a, b] 表示实数 x 的取值范围为a ≤ x ≤ b。
在计算中，根据具体问题选择合适的区间。
二、解一元二次不等式为了解一元二次不等式，我们分为三种情况进行讨论：开口向上的情形、开口向下的情形和特殊情形。
1. 开口向上的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c > 0，其中 a > 0。
为了求解此类不等式，首先我们需要求出二次函数的零点，即求解方程 ax^2 + bx + c = 0。
当方程有实数解时，我们可以得到两个实数根 x1 和 x2。
然后，我们在这两个实数根的左右两侧进行讨论，确定不等式的解集。
2. 开口向下的情形考虑不等式 ax^2 + bx + c < 0，其中 a < 0。
与开口向上的情形类似，我们也需要先求解二次函数的零点，并在零点的左右两侧进行讨论。
3. 特殊情形特殊情况指的是不等式的判别式Δ = 0 或Δ < 0。
当Δ = 0 时，不等式有一个实数解，解集为该实数解所在的点；当Δ < 0 时，不等式无实数解，解集为空集。
高中数学课时作业十六一元二次不等式的应用湘教版必修第一册
课时作业(十六) 一元二次不等式的应用1．一服装厂生产某种风衣，日产量为x (x ∈N )件时，售价为p 元/件，每天的总成本为R 元，且p ＝160－2x ，R ＝500＋30x ，要使获得的日利润不少于1300元，则x 的取值范围为( )A ．{x ∈N |0<x <45} B.{x ∈N |0<x ≤45}C ．{x ∈N |0<x ≤20} D.{x ∈N |20≤x ≤45}2．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价(单位：元)的取值范围是( )A ．[10，16)B.[12，18) C ．[15，20) D.[10，20)3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x (单位：m)的取值范围是( )A ．15≤x ≤30B ．12≤x ≤25C ．10≤x ≤30D ．20≤x ≤304．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是( )A ．{t |1≤t ≤3} B.{t |3≤t ≤5}C ．{t |2≤t ≤4} D.{t |4≤t ≤6} 5．(多选)某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x ≤120 )时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4500x L ，其中k 为常数，若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9 L ，则速度x 的值可为( )A ．60 B.80 C ．100 D.1206．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是________．7．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为________．8．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？9．2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元．若进行技术指导，养羊的投资减少了x (x >0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1＋0.25x )倍．现将养羊少投资的x 万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15(a －0.875x )万元，其中a >0.(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x 的取值范围；(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a 的最大值．10．为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入．据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名(x ∈N 且45≤x ≤75)，调整后研发人员的年人均投入增加(4x )%，技术人员的年人均投入调整为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2x 25万元． (1)要使这100－x 名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？(2)是否存在这样的实数m ，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由．课时作业(十六) 一元二次不等式的应用1．解析：设日利润为y 元，则y ＝(160－2x )·x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500，由y ≥1300，解得20≤x ≤45，即x 的取值范围为{x ∈N |20≤x ≤45}．答案：D2．解析：设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0， 因为方程x 2－30x ＋200＝0的两根为x 1＝10，x 2＝20，所以解x 2－30x ＋200<0得10<x <20，又因为x ≥15，所以15≤x <20，因此，应将这批台灯的销售单价制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．答案：C3．解析：设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40， 所以y ＝40－x ，因为xy ≥300，所以x (40－x )≥300，即x 2－40x ＋300≤0，解得10≤x ≤30.答案：C4．解析：由题意可得，⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×2400×t 100≥900，整理可得t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5.答案：B5．解析：由汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，∴15⎝ ⎛⎭⎪⎫120－k ＋4500120＝11.5，解得k ＝100，故每小时油耗为15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4500x －20， 由题意得15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4500x －20≤9，解得：45≤x ≤100， 又60≤x ≤120，故60≤x ≤100，所以速度x 的取值范围为[60，100].答案：ABC6．解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4，8].答案：[4，8]7．解析：第一次操作后，剩下的纯药液为V －10，第二次操作后，剩下的纯药液为V －10－V －10V×8，由题意可知： V －10－V －10V×8≤V ·60%⇒V 2－45V ＋200≤0⇒5≤V ≤40， 因为V ≥10，所以10≤V ≤40.答案：10≤V ≤408．解析：设提价后每本杂志的定价为x 元，则销售总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000－x －2.50.1×2000·x ≥200 000，即2x 2－13x ＋20≤0，解得2.5≤x ≤4， 所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．9．解析：(1)由题意，得0.15(1＋0.25x )(10－x )≥0.15×10，整理得x 2－6x ≤0，解得0≤x ≤6，又x >0，故0<x ≤6.(2)由题意知网店销售的利润为0.15(a －0.875x )x 万元，技术指导后，养羊的利润为0.15(1＋0.25x )(10－x )万元，则0.15(a －0.875x )x ≤0.15(1＋0.25x )(10－x )恒成立，又0<x <10，∴a ≤5x 8＋10x＋1.5恒成立， 又5x 8＋10x≥5，当且仅当x ＝4时等号成立， ∴ 0<a ≤6.5，即a 的最大值为6.5.10．解析：(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为[1＋(4x )%]a 万元， 则(100－x )[1＋(4x )%]a ≥100a ，(a >0 )解得0≤x ≤75，∵45≤x ≤75，所以调整后的技术人员的人数最多75人；(2)①由技术人员年人均投入不减少有a ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2x 25≥a ，解得m ≥2x 25＋1. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有(100－x )[1＋(4x )%]a ≥x ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2x 25a ， 两边同除以ax 得⎝ ⎛⎭⎪⎫100x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 25≥m －2x 25， 整理得m ≤100x ＋x 25＋3， 故有2x 25＋1≤m ≤100x ＋x 25＋3， 因为100x ＋x 25＋3≥2100x ·x 25＋3＝7，当且仅当x ＝50时等号成立，所以m ≤7， 又因为45≤x ≤75，当x ＝75时，2x 25取得最大值7，所以m ≥7， ∴7≤m ≤7，即存在这样的m 满足条件，使得其范围为m ∈{7}．。
一元二次不等式的解法与应用
一元二次不等式的解法与应用一元二次不等式是数学中常见的问题之一，其解法和应用可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一元二次不等式的解法以及如何应用这些解法解决实际问题。
一、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的基本思路是将其转化为二次方程，并根据二次方程的性质求解。
具体而言，在解一元二次不等式时，我们可以先将不等式中的一项移项，使其整理为一个平方项与一个线性项的形式。
然后根据平方项的性质，我们可以通过求解对应的二次方程来找到不等式的解集。
举个例子来说明，假设我们要求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
我们可以将其转化为二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，并求出其根。
通过分析根的位置，我们可以得出x^2 - 4x + 3 > 0的解集为x < 1或x > 3。
除了这种基本的解法外，我们还可以利用一元二次不等式的性质进行推导和求解。
例如，根据二次函数图像的几何性质，我们可以根据一元二次不等式的系数来确定不等式的解集的范围。
二、一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种实际问题。
接下来，我们将介绍一些实际问题，并利用一元二次不等式的解法进行求解。
1. 生产问题假设某公司从事产品生产，确定某一产品每天的销售量为x，销售价格为p(x)，销售成本为c(x)。
为了保证利润最大化，我们可以通过不等式p(x) - c(x) > 0来确定每天的最低销售量。
2. 函数图像问题假设我们需要绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并且要指定函数图像在某一区间上的增减性。
我们可以通过求解不等式ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0来确定函数图像的增减性。
3. 优化问题假设我们需要在一定条件下寻找某个函数的最值。
可以通过求解函数的一元二次不等式来确定函数的极值点和取值范围。
这些只是一元二次不等式应用的一小部分例子，实际上，一元二次不等式的应用范围非常广泛。
一元二次不等式的应用含答案
课时作业17 一元二次不等式的应用时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．不等式(1－|x |)(1＋x )>0的解集为( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或－1<x <1} 【答案】 D 【解析】原不等式可化为⎩⎨⎧x ≥0且x ≠1(1－x )(1＋x )>0，或⎩⎨⎧x <0且x ≠－1(1＋x )(1＋x )>0.即0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1，故选D.2．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2,0)C ．(－2,1)D ．(0,1)【答案】 D【解析】 令f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0f (－1)<0，∴⎩⎨⎧m 2＋m －2<0m 2－m <0，∴0<m <1.3．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(0,8)【解析】不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－8a<0，∴0<a<8，即a的取值范围是(0,8)．4．解不等式：(1)(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0.(2)3x－5x2＋2x－3≤2.【分析】(1)本题考查高次不等式的解法．应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．(2)考查分式不等式的解法．给出的不等式并非分式不等式的标准形式，要通过移项、通分的办法将其化为标准形式再解．【解析】(1)设y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)，则y＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，其画出示意图如下：∴不等式的解集是{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}．(2)原不等式等价变形为3x－5x2＋2x－3－2≤0，即－2x2－x＋1x2＋2x－3≤0，即2x2＋x－1x2＋2x－3≥0，即⎩⎨⎧(2x 2＋x －1)(x 2＋2x －3)≥0，x 2＋2x －3≠0，即等价变形为⎩⎨⎧(2x －1)(x ＋1)(x ＋3)(x －1)≥0，x ≠－3且x ≠1.画出示意图如下：可得原不等式的解集为 {x |x <－3或－1≤x ≤12或x >1}．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式x －3x ＋2<0的解集为( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |x <－2}C ．{x |x <－2或x >3}D ．{x |x >3}【答案】 A【解析】 不等式x －3x ＋2<0可转化为(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3.2．不等式(x 2－4x －5)(x 2＋4)<0的解集为( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |－1<x <5} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <－1或x >5} 【答案】 B【解析】 原不等式等价于x 2－4x －5<0.3．不等式x ＋ax 2＋4x ＋3≥0的解集为{x |－3<x <－1或x ≥2}，则a的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12【答案】 B【解析】 原不等式可化为x ＋a (x ＋1)(x ＋3)≥0，等价于⎩⎨⎧(x ＋a )(x ＋1)(x ＋3)≥0(x ＋1)(x ＋3)≠0，由题意得对应方程的根为－3，－1，2，∴a＝－2.4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4<a <4C ．a ≥4或a ≤－4D ．a <－4或a >4【答案】 D【解析】 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4，故选D.5．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3]【答案】 D【解析】 ∵(x －1)2>0， 由x ＋5(x －1)2≥2可得：x ＋5≥2(x －1)2，且x ≠1. ∴2x 2－5x －3≤0且x ≠1，∴－12≤x ≤3且x ≠1. ∴不等式的解集是[－12，1)∪(1,3]． 6．不等式x ＋2x －1>－2的解集是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－1,1)∪(1，＋∞)【答案】 B【解析】 不等式移项通分，得x (x －1)＋2－(－2)(x －1)x －1>0，整理得x (x ＋1)x －1>0，不等式等价于⎩⎨⎧x －1>0，x (x ＋1)>0(1)，或⎩⎨⎧x －1<0，x (x ＋1)<0(2)，解(1)得，x >1；解(2)得，－1<x <0. 所以不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】 C【解析】 x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，等价于a ≥－x －1x 时对一切x ∈(0，12]恒成立．设f (x )＝－x －1x .∵f (x )在(0，12]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (12)＝－52. ∴a ≥－52.∴a 的最小值为－52，故选C.8．定义运算：a *b ＝a ·(2－b )，若不等式(x －m )*(x ＋m )<1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1<m <0B ．0<m <2C ．－32<m <12D ．－12<m <32【答案】 B【解析】 因为a *b ＝a ·(2－b )，所以(x －m )*(x ＋m )＝(x －m )·(2－x －m )＝－(x －m )[x －(2－m )]，所以(x －m )*(x ＋m )<1可化为x 2－2x －m 2＋2m ＋1>0，令x 2－2x －m 2＋2m ＋1＝0，所以Δ＝4＋4(m 2－2m－1)＝4(m 2－2m )<0，即0<m <2，故选B.二、填空题(每小题10分，共20分) 9．不等式x －2x 2－1<0的解集为________．【答案】 {x |x <－1或1<x <2}【解析】 因为不等式x －2x 2－1<0等价于(x ＋1)(x －1)·(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}．10．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则实数k 的取值范围为________．【答案】 [0,1]【解析】 kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立， 当k ＝0时，满足．当k ≠0时，⎩⎨⎧k >0，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0⇒0<k ≤1.∴0≤k ≤1.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．若不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4>0对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．【解析】 ∵x 2－8x ＋20＝(x －4)2＋4＞0∴要使不等式x 2－8x ＋20mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对任意实数x 恒成立，只要mx 2＋2(m ＋1)x ＋9m ＋4＞0对于任意实数x 恒成立．①当m ＝0时，2x ＋4＞0，x ＞－2，此时原不等式对于x ＞－2的实数x 成立，∴m ＝0不符合题意．②当m ≠0时，要使不等式对任意实数x 恒成立，须⎩⎨⎧m ＞0Δ＜0解得：m ＞14.∴m 的取值范围是{m |m ＞14}．12．实数m 取何范围的值时，方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两根满足：(1)都是正数；(2)都在(0,2)内．【解析】 (1)设方程的两根为x 1，x 2，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0x 1＋x 2＝3－m ＞0x 1·x 2＝m ＞0，解得m 的取值范围是(0,1]．(2)设f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝m 2－10m ＋9≥0f (0)＝m ＞00＜3－m 2＜2f (2)＝3m －2＞0，解得m 的取值范围是(23，1]。