高考复习文科数学课时试题(39)空间几何体的结构及三视图和直观图及答案.doc

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2013届高考一轮数学文湖南版复习方案课件第39讲空间几何体的结构及三视图和直观图备用例题

示，则截面的可能图形是(
A．①② C．①②③
B．②④ D．②③④
第39讲 │ 备用例题
[解析] C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面，也不过体对角线时得①，但是无论如何都不会截得④.
第39讲 │ 空间几何体的结构及三视图和直观图
第39讲空间几何体的结构及三视图和直观图
第39讲 │ 备用例题
备用例题
[ 备选理由 ] 考纲要求学生学会用平行投影与中心投影两种方法画图，而我们在正文中没有列入相关例题，例 1 考查正投影与中心投影的相关概念，可用此题作一补充．例 2 为截面问题，此类问题主要考查立体图形和平面图形互相转化．通过此例的讲解可以掌握一般截面问题的求解方法及注意事项．
第39讲 │ 备用例题
例 1(1)下列投影是中心投影的是( ) A．三视图 B．人的视觉 C．斜二测画法 D．人在中午太阳光下的投影 (2)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AA1， D1C1 的中心，G 是正方形 BCC1B1 的中心，则空间四边形 AEFG 在该正方体的面上的正投影不可能是( )
第39Байду номын сангаас │ 备用例题
[解析] (1)B (2)B
(1)A，C，D 均为平行投影，B 为中心投影． (2)由题意知，空间四边形 AEFG 在该正方体的上、下面上的正投影是 A，在前、后面上的正投影是 C，在左、右面上的正投影是 D.故选 B.
第39讲 │ 备用例题
例2 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所 )

高考数学大一轮复习配套课时训练：第七篇立体几何第1节空间几何体的结构及三视图和直观图(含答案)

第七篇立体几何(必修2)第1节空间几何体的结构及三视图和直观图课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013山东烟台模拟)如图是底面半径为1,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧(左)视图的面积为( C )(A)8π(B)6π(C)4+(D)2+解析:该组合体的侧(左)视图为其中正方形的边长为2,三角形为边长为2的三角形,所以侧(左)视图的面积为22+×22×=4+,故选C.2.(2013山东莱州模拟)一个简单几何体的正(主)视图,侧(左)视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是( C )(A)①(B)② (C)③ (D)④解析:当该几何体的俯视图为圆时,由三视图知,该几何体为圆柱,此时,正(主)视图和侧(左)视图应相同,所以该几何体的俯视图不可能是圆,其余都有可能.故选C.3.(2013韶关市高三调研)某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( B )(A)4+4 (B)4+4(C) (D)12解析:由三视图知该几何体为正四棱锥P ABCD,底面边长为2,高PO=2,如图所示,取CD的中点E,连接OE、PE,则PE==,因此几何体的表面积为2×2+×2×4×=4+4,故选B.4.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A )(A)2+(B)(C)(D)1+解析:由题意画出斜二测直观图及还原后原图,由直观图中底角均为45°,腰和上底长度均为1,得下底长为1+,所以原图上、下底分别为1,1+,高为2的直角梯形.所以面积S=(1++1)×2=2+.故选A.5.(2013北京东城区模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示,利用长方体模型可知,此三棱锥A BCD的四个面中,全部是直角三角形.故选D.6.(2013广州市毕业班测试(二))一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图所示,若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1∶7的上、下两部分,则截面的面积为( C )(A)π(B)π (C)π(D)4π解析:由题意知,该几何体是底面半径为3,高为4的圆锥.由截面性质知截面圆半径为×3=,故截面的面积为π·（）2=,故选C.7.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题为( D )(A)①②(B)①③(C)②③(D)②④解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面与底面垂直且互相平行,而另两个相对侧面可能与底面不垂直,则不是直棱柱,故①假;对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真;对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱(如图(1)所示),故③假;对于④,四棱柱一个对角面的两条对角线,恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一条对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一条对角线,故侧棱垂直于底面,故④真.故选D.二、填空题8.如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是.解析:过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB,垂足为D,所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到的是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体.答案:两个圆锥的组合体9.一个几何体的正(主)视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.解析:显然①②⑤均有可能;当三棱柱放倒时,其正(主)视图可能是三角形,所以③有可能,④不可能.答案:①②③⑤10.如图,点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心,点E为平面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是(填出所有可能的序号).解析:空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①;在平面BCC′B′上的投影是②;在平面ABCD上的投影是③,而不可能出现投影为④的情况.答案:①②③11.(2013山东烟台模拟)如图,三棱柱的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形,AA1⊥面A1B1C1,正(主)视图是边长为2的正方形,俯视图为正三角形,则侧(左)视图的面积为.解析:因为俯视图为正三角形,所以俯视图的高为,侧视图为两直角边分别为2、的矩形,所以侧(左)视图的面积为2.答案:2三、解答题12.(2013西工大附中模拟)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,求此四棱锥的四个侧面的面积中最大值.解:由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥,顶点P在底面的射影是底面矩形的顶点D.底面矩形边长分别为3,2,△PDC是直角三角形,直角边为3与2,所以S△PDC=×2×3=3.△PBC是直角三角形,直角边长为2,,三角形的面积为×2×=.△PAB是直角三角形,直角边长为3,2;其面积为×3×2=3.△PAD也是直角三角形,直角边长为2,2,三角形的面积为×2×2=2. 所以四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为3.13.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.解:圆台的轴截面如图.设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,延长AA1交OO1的延长线于点S.在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°.所以SO=AO=3x,OO1=2x.又×(6x+2x)×2x=392,解得x=7.所以圆台高OO母线长l=OO1=14 cm,底面半径分别为7 cm和21 cm.B组14.(2013广州高三调研)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是( C )(A)3 (B)2(C)6 (D)8解析:四棱锥如图所示,PM=3,×4×=2,S△PDC=S△PAB=×4×3=6,S△PBC=S△PAD=×2×3=3,故四个侧面中面积最大的是6.15.(2013北京西城检测)三棱锥D ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为.解析:取AC的中点E,连结BE,DE,由正(主)视图可知BE⊥AC,BE⊥DE.DC⊥平面ABC且DC=4,BE=2,AE=EC=2.所以BC====4,即BD====4.答案:416.三棱锥V ABC的底面是正三角形,顶点在底面ABC上的射影为正△ABC的中心,其三视图如图所示:(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧(左)视图的面积.解:(1)直观图如图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC=2,作AM⊥BC于M,连结VM,过V作VO⊥AM于O,过O作EF∥BC交AB,AC于F、E,则△VEF即侧(左)视图.由=,得EF=.又VA=4,AM==3.则AO=2,VO===2.××2=4.所以S即侧(左)视图的面积为4.。

高考文数题型秘籍【39】空间几何体的结构及三视图(解析版)

专题三十九空间几何体的结构及其三视图和直观图【高频考点解读】1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构、2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图、能识别上述三视图所表示的立体模型、会用斜二测画法画出它们的直观图、3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图、了解空间图形的不同表示形式、4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上、尺寸、线条等没有严格要求)、【热点题型】题型一空间几何体的结构特征例1、给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点、则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形、其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似、但侧棱长一定相等、其中正确命题的个数是()A、0B、1C、2D、3【提分秘籍】1、有两个面互相平行、其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱、2、既然棱台是由棱锥定义的、所以在解决棱台问题时、要注意“还台为锥”的解题策略、3、球的任何截面都是圆、球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆、大圆的半径等于球的半径；被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆、小圆的半径小于球的半径、【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征、必须多角度、全面地去分析、多观察实物、提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键、熟悉空间几何体的结构特征、依据条件构建几何模型、在条件不变的情况下、变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素、然后再依据题意判定；(3)通过反例对结构特征进行辨析、即要说明一个命题是错误的、只要举出一个反例即可、【举一反三】有一个几何体的三视图如图所示、这个几何体应是一个()A、棱台B、棱锥C、棱柱D、都不对【热点题型】题型二空间几何体的三视图与例2、(1)(2013年高考四川卷)一个几何体的三视图如图所示、则该几何体的直观图可以是()(2)(2013年高考湖南卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形、则该正方体的正视图的面积不可能等于()A、1 B.2 C.2－12 D.2＋12【提分秘籍】1、画几何体三视图的要求是：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等、一般正视图与侧视图分别在左右两边、俯视图画在正视图的下方、2、对于简单几何体的组合体、在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的、然后再画其三视图、3、由三视图还原几何体时、要遵循以下三步：(1)看视图、明关系；(2)分部分、想整体；(3)综合起来、定整体、【举一反三】下列四个几何体中、每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是()A 、①②B 、①③C 、③④D 、②④【热点题型】题型三几何体的直观图例3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形、则原来的图形是( )【提分秘籍】利用斜二测画法时、注意原图与直观图中的“三变、三不变”即 “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度改变减半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.【举一反三】等腰梯形ABCD 、上底CD ＝1、腰AD ＝CB ＝2、下底AB ＝3、以下底所在直线为x 轴、则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________、【热点题型】题型四空间几何体中的最值问题例4、某四面体的三视图如图所示、该四面体四个面的面积中最大的是( )A 、8B 、6 2C 、10D 、8 2【提分秘籍】本题考查了三视图的相关知识能够由三视图描述该几何体的特征是解决这类问题的关键、突破这一点、问题就迎刃而解了、空间几何体的最值问题是近几年命题的又一热点、主要包括三视图中的最值问题、线段长度的最值问题等、解决此类问题的关键是抓住空间几何体的结构特征、转化计算、【举一反三】在如图所示的几何体中、四边形ABCD是矩形、平面ABCD⊥平面ABE、已知AB＝2、AE＝BE＝3、且当规定主(正)视图方向垂直于平面ABCD时、该几何体的左(侧)视图的面积为22.若M、N分别是线段DE、CE上的动点、则AM＋MN＋NB的最小值为________、【高考风向标】1、（2014·安徽卷）如图1-5所示、四棱锥P -ABCD的底面是边长为8的正方形、四条侧棱长均为217.点G、E、F、H分别是棱PB、AB、CD、PC上共面的四点、平面GEFH⊥平面ABCD、BC∥平面GEFH.图1-5(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2、求四边形GEFH的面积、2、（2014·福建卷）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴、将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A 、2πB 、πC 、2D 、13、（2014·湖北卷）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土、这是我国现存最早的有系统的数学典籍、其中记载有求“囷盖”的术“置如其周、令相乘也、又以高乘之、三十六成一、”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h 、计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么、近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134、（2014·新课标全国卷Ⅱ）正三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面边长为2、侧棱长为3、D 为BC 中点、则三棱锥A - B 1DC 1的体积为( )A 、3 B.32 C 、1 D.325、（2014·重庆卷）如图1-4所示四棱锥P ABCD 中、底面是以O 为中心的菱形、PO ⊥底面ABCD 、AB ＝2、∠BAD ＝π3、M 为BC 上一点、且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP 、求四棱锥P -ABMO 的体积、图1-46、（2014·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示、则该多面体的体积是()图1-2A.233B.476 C 、6 D 、77、（2014·北京卷）某三棱锥的三视图如图1-3所示、则该三棱锥最长棱的棱长为________、图1-38、（2014·湖北卷）在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中、一个四面体的顶点坐标分别是(0、0、2)、(2、2、0)、(1、2、1)、(2、2、2)、给出编号为①、②、③、④的四个图、则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A、①和②B、③和①C、④和③D、④和②9、（2014·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示、将该石材切削、打磨、加工成球、则能得到的最大球的半径等于()图1-2A、1B、2C、3D、410、（2014·辽宁卷）某几何体三视图如图1-2所示、则该几何体的体积为( )图1-2A 、8－π4B 、8－π2C 、8－πD 、8－2π11、（2014·浙江卷）某几何体的三视图(单位：cm)如图所示、则该几何体的体积是( )图1-1A 、72 cm 3B 、90 cm 3C 、108 cm 3D 、138 cm 312、（2014·新课标全国卷Ⅱ）如图1-1、网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)、图中粗线画出的是某零件的三视图、该零件由一个底面半径为3 cm 、高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到、则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图1-1 A.1727 B.59 C.1027 D.13(cm 3)、所以V 切V 毛坯＝20π54π＝1027.13、（2014·全国新课标卷Ⅰ）如图1-1、网格纸的各小格都是正方形、粗实线画出的是一个几何体的三视图、则这个几何体是( )A 、三棱锥B 、三棱柱C 、四棱锥D 、四棱柱14、（2014·陕西卷）四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示、平行于棱AD 、BC 的平面分别交四面体的棱AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H .图1-4(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形、15、（2014·四川卷）某三棱锥的侧视图、俯视图如图1-1所示、则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝13Sh 、其中S 为底面面积、h 为高)( )图1-1A 、3B 、2 C. 3 D 、116、（2014·重庆卷）某几何体的三视图如图1-2所示、则该几何体的体积为( )图1-2A、12B、18C、24D、3017、（2014·天津卷）一个几何体的三视图如图1-2所示(单位：m)、则该几何体的体积为________m3.【随堂巩固】1、如图是一个物体的三视图、则此三视图所描述物体的直观图是()2.如图△A′B′C′是△ABC的直观图、那么△ABC是()A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、钝角三角形3、如图、水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2、且侧棱AA1⊥平面A1B1C1、正视图是正方形、俯视图是正三角形、该三棱柱的侧视图面积为()A、23 B. 3C、2 2D、44.如图、三棱锥V －ABC 的底面为正三角形、侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC 、已知其正视图的面积为23、则其俯视图的面积为( )A.32B.33C.34 D.365、一个长方体去掉一个小长方体、所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示、则该几何体的俯视图为( )6、在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中、过对角线BD1的一个平面交AA1于E、交CC1于F、得四边形BFD1E、给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是()A、①②③④B、②③④⑤C、①③④⑤D、①②④⑤答案：B7.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示、其中四边形ABCD是边长为2 cm的正方形、则这个正四面体的正视图的面积为________cm2.8、一个几何体的三视图如图所示、则侧视图的面积为________、9、如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图、则此几何体共由________块木块堆成、10、已知：图①是截去一个角的长方体、试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图、试说明该几何体的构成、11、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥、截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16、截去的圆锥的母线长是3 cm、求圆台的母线长、12.已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示、(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积、。

高考数学总复习第七章立体几何 38 空间几何体的结构及其三视图和直观图课时作业文

课时作业 38 空间几何体的结构及其三视图和直观图一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和俯视图可知选项D正确，故选D.答案：D2．下列命题中，正确的是( )A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故A，C都不够准确，B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确．答案：D3．(2018·惠州市第三次调研考试)如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为( )解析：从几何体的左面看，对角线AD1在视线范围内，画实线，棱C1F不在视线范围内，画虚线．C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，C1的截面为AEC1F，如图，中的图形．故选C.．(2018·惠州市第三次调研考试)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱PC⊥平面ABCD，PC＝ 3.如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为．(2018·东北三省四市联考)如图，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长的棱和最短的棱长度之和为( )本题考查空间几何体的三视图．由三视图知，该几何体是底面为腰长为的侧棱垂直于底面(垂足为腰与底边交点＋22＝26＋2，故选如图，在正四棱柱ABCD－的正视图与侧视图的面积之比为命题①不是真命题，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱是斜四棱柱；直角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体叫做圆锥，边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥；命题③是真命题，如图所示，在分别作出在六个面上的射影可知选②③.中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，则以斜边AB所在直线为轴旋转可得到一52－⎝ ⎛＝92.重合、N 与G 重合、Q 与E 重合、P 与B 1重合时，三棱锥、P 是所在线段的中点时，三棱锥P －MNQ 的俯视图为B 位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P －MNQ ，使其俯视图为D.故选一只蚂蚁从正方体ABCD 的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行A．①② B．①③C．③④ D．②④解析：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.答案：D17．(2018·济南模拟)我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆，则其俯视图形状为( )解析：本题考查几何体的三视图．由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.答案：B。

高考文科数学第8章8.1 空间几何体的结构特征、三视图和直观图试题

A组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·云南玉溪一中月考)如图所示，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH 截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是()A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．四边形EFGH可能为梯形【解析】若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在直线B1C1上，与EH∥B1C1矛盾，所以FG∥EH，故A正确；由EH⊥平面A1B1BA，得到EH⊥EF，可以得到四边形EFGH为矩形，故B正确；将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，故C正确；因为EFGH 截去几何体EFGHC1B1后，EH綊B1C1綊GF，所以四边形EFGH不可能为梯形，故D错误．故选D.【答案】D2．(2017·安徽黄山一模)已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主(正)视图和俯视图如图所示，则它的左(侧)视图是()【解析】如图，由题意可知截取三棱台后的几何体是七面体，左视图的轮廓是正方形，因AP不可见，故而用虚线，故选A.【答案】A3．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1 B. 2C. 3 D．2【解析】四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长P A＝12＋12＋12＝ 3.【答案】C4．(2017·豫晋冀上学期第二次调研)如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()【解析】由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C，D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球全被挡住，由于两球不等，所以排除A，所以B正确．【答案】B5．(2017·临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC-DEF截去一个三棱锥A-BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()【解析】由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直，故选C.【答案】C6．(2017·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为()A．1∶1B．2∶1C．2∶3D．3∶2【解析】根据题意，三棱锥P-BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.【答案】A7．(2017·广东华师附中、广雅中学等四校联考)三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为()A ．16 3 B.38 C ．4 2 D ．211【解析】由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面△ABC 为等腰三角形．在△ABC 中，AC ＝4，AC 边上的高为23，故BC ＝4.在Rt △SBC 中，由SC ＝4，可得SB ＝4 2.【答案】 C8．(2017·江西新余一中四模)如图所示，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为2的正三角形，则其侧视图面积为( )A ．2 B. 3 C.32 D.32【解析】根据所给的正视图与俯视图的结构特征可以判定该三棱锥底面为正三角形，一个侧面为正三角形，且该侧面垂直于底面，所以其侧视图为一个底边和高均为3的等腰直角三角形，其面积为32.故选C.【答案】 C9．(2016·北京海淀期末)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长的棱的长度为________．【解析】该四棱锥的底面是一个直角梯形，高为2，所以最长的棱的长度为22＋22＋22＝2 3.【答案】 2 310．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．【解析】 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正六棱锥的高，则AD ＝3a ，所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.B 组专项能力提升 (时间：30分钟)11．(2017·武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是( )【解析】易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合B 、D 选项知，D 选项中侧视图方向错误，故选D.【答案】 D12．(2017·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 面积为________．【解析】因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.【答案】 2213．(2017·昆明、玉溪统考)如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．【解析】设三棱锥V -ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 的边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧(左)视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32a ×h ＝12×32×43＝33.【答案】3314．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．【解析】 (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体．(2)直观图如图所示．15．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，求a ＋b 的最大值．【解析】如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A 1C ＝7，则它的正视图投影长为A 1B ＝6，侧视图投影长为A 1D ＝a ，俯视图投影长为A 1C 1＝b ，则a 2＋b 2＋(6)2＝2·(7)2，即a 2＋b 2＝8，又a ＋b2≤ a 2＋b 22，当且仅当“a ＝b ＝2”时等号成立．所以a ＋b ≤4，即a ＋b 的最大值为4.。

2022高考数学一轮复习课时规范练36 空间几何体的结构及其三视图、直观图(文,含解析)新人教

课时规范练36 空间几何体的结构及其三视图、直观图基础巩固组1.下列说法中正确的是()A.斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B.水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C.一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形,则该直四棱柱就是长方体D.用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台2.(2020浙江衢州模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是()A.圆B.矩形C.梯形D.椭圆或部分椭圆3.将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()4.(2020江西南昌八一中学期中)如图,一个水平放置的面积是2+√2的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形,其中A'D'∥B'C',则等腰梯形面积为()A.12+√22B.1+√22C.1+√2D.2+√25.如图所示,O是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点,E为棱BB1的中点,则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是()6.某三棱锥的三视图如图所示,其俯视图是一个等腰直角三角形,在此三棱锥的六条棱中,最长棱的长度为()A.2B.2√2C.√6D.√27.(2020北京丰台一模)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中,面积等于√3的有()A.1个B.2个C.3个D.4个8.正方体被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则截面图形的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.平行四边形D.梯形9.(2020广东广雅中学模拟)如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是cm.10.(2020北京朝阳一模)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的长为.(第9题图)(第10题图)综合提升组11.如图是某几何体的三视图,则过该几何体顶点的所有截面中,最大截面的面积是()D.1A.2B.√3C.√3212.已知某长方体的三视图如图所示,在该长方体的一组相对侧面M,N上取三点A,B,P,其中P为侧面N的对角线上一点(与对角线端点不重合),A,B为侧面M的一条对角线的两个端点.若以线段AB为直径的圆过点P,则m的最小值为()A.4B.4√3C.2D.2√313.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为线段CD和A1B1上的动点,且满足CE=A1F,则四边形D1FBE所围成的图形(如图所示阴影部分)分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和()A.有最小值32B.有最大值52C.为定值3D.为定值214.(2020安徽阜阳模拟)如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4√3m,则圆锥底面圆的半径等于m.创新应用组15.《九章算术》涉及中国古代算数中的一种几何体——阳马,它是底面为矩形,两个侧面与底面垂直的四棱锥,已知网格纸上小正方形的边长为1,现有一体积为4的阳马,则该阳马对应的三视图(用粗实线画出)可能为()16.(2020黑龙江绥化模拟)刍甍,中国古代算数中的一种几何形体,《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍甍的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则该茅草屋顶的面积为.17.(2019全国2,文16)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有个面,其棱长为.图1图2参考答案课时规范练36 空间几何体的结构及其三视图、直观图1.D 对于选项A,斜棱柱的每个侧面是平行四边形,但是全部展开以后,那些平行四边形未必可以构成一个平行四边形,所以是错误的.对于选项B,水平放置的正方形的直观图是平行四边形,不可能是梯形,所以是错误的.对于选项C,一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形,则该直四棱柱不一定是长方体,因为底面可能不是矩形,所以是错误的.对于选项D,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台,是正确的.故选D.2.C 当圆柱筒竖直放置时,液面形状为圆形,当圆柱筒水平放置时,液面为矩形,当圆柱筒倾斜放置时,若液面经过底面,则液面为椭圆的一部分,若液面不经过底面,则液面为椭圆,故选C .3.D 易知侧视图的投影面为矩形.又AF 的投影线为虚线,故该几何体的侧视图为选项D .4.A 根据斜二测画法的规则得原水平放置的平面图:上底为AD ,下底为BC ,高为2A'B'的直角梯形,所以水平放置的平面图形的面积为S ABCD =12(A'D'+B'C')×2A'B'=2+√2,则S A'B'C'D'=12(A'D'+B'C')×√22A'B'=√24S ABCD =√24×(2+√2)=12+√22.故选A .5.A 空间四边形OEC 1D 1在正方体左侧面上的正投影是C 选项的图形,空间四边形OEC 1D 1在正方体下底面上的正投影是D 选项的图形,空间四边形OEC 1D 1在正方体后侧面上的正投影是B 选项的图形,只有A 选项不可能是投影,故选A.6.B 由题意可知几何体的直观图如图:可知PA ⊥底面ABC ,三角形ABC 是等腰直角三角形,AB ⊥BC ,可知最长棱为PC=√4+4=2√2.故选B .7.C 该几何体对应的直观图如图所示,S △ABC =12×2×√3=√3,S △ABD =12×2×√3=√3,S △BCD =12×2×√3=√3,∵AC=√22+(√3)2=√7,AD=√22+(√3)2=√7,∴S △ACD =12×2×√(√7)2-12=√6.则面积等于√3的有3个,故选C.8.A如图所示,由三视图可得,该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体,很明显三棱锥的两条侧棱相等,故截面是等腰三角形.故选A.9.8由题意得原图形为O'B'=√2cm,对应原图形平行四边形OABC的高为2√2cm,所以原图形中,OA=BC=1cm,AB=OC=√(2√2)2+12=3(cm),故原图形的周长为2×(1+3)=8(cm).10.5如图所示A-BCD是三棱锥的直观图,其中AF⊥平面BCD,垂足为F,根据三视图可知,BE=ED=2,CE=EF=2,AF=3,所以BF=DF=BC=CD=2√2,AB=AD=√(2√2)2+32=√17,AC=√AF2+CF2=√32+42=5,可知该三棱锥的最长棱的长为AC=5.11.A由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥,且圆锥的底面半径为r=√3,高h=1,故俯视图是一个腰长为2,顶角为120°的等腰三角形,易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形,且腰长为2,顶角的范围为(0°,120°],设顶角为θ,则截面的面积S=1×2×2×sinθ=2sinθ,2当θ=90°时,面积取得最大值2.故选A.12.D如图,连接HF与NM,由长方体可得,线段NM是直线HF与AB的公垂线段.当点P在对角线HF的中点时,点P到直线AB距离最短为2.又以线段AB为直径的圆过点P,则AB 2≥2,即√m 2+222≥2,解得m ≥2√3.所以m 的最小值为2√3.故选D .13.D 依题意,设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面,下面,右面的投影点分别为D 1',F',B',E',则四边形D 1FBE 在后面,下面,右面的投影分别如下图,所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1,在下面的投影面积S 下=D 1'E'×1=DE ×1=DE , 在右面的投影面积S 右=B'E'×1=CE ×1=CE ,所以投影的面积之和S=S 后+S 下+S 右=1+DE+CE=1+CD=2.故选D .14.43 把圆锥侧面沿过点P 的母线展开成如图所示的扇形,由题意OP=4,PP'=4√3,则cos ∠POP'=42+42-(4√3)22×4×4=-12,所以∠POP'=2π3.设底面圆的半径为r ,则2πr=2π3×4,所以r=43.15.C 由三视图可知几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,B,D 对应的几何体不符合阳马的特点,A 对应的阳马体积不是4,C 对应的阳马体积是4,故选C .16.32√5 如图,E ,F 在平面ABCD 内的垂足分别为Q ,G ,则QG=EF=FG=4,H 为AB 的中点,则GH=2,于是FH=√FG 2+GH 2=2√5,FA=√FH 2+HA 2=√20+22=2√6.点G 在DA 边上的垂足为P ,则AP=2,FP=√FA 2-AP 2=2√5,则S △ABF =12AB·FH=12×4×2√5=4√5,S 梯形ADEF =12(AD+EF )·FP=12×(8+4)×2√5=12√5,所以茅草屋顶的面积为2×(4√5+12√5)=32√5.17.26 √2-1 由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x ,则AB=BE=x ,延长CB 与FE 的延长线交于点G ,延长BC 交正方体的棱于点H.由半正多面体的对称性可知,△BGE 为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=√22x ,所以GH=2×√22x+x=(√2+1)x=1,解得x=1√2+1=√2-1,即该半正多面体的棱长为√2-1.。

新编高考文科数学题型秘籍【39】空间几何体的结构及三视图(解析版)

专题三十九空间几何体的结构及其三视图和直观图【高频考点解读】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．4.会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求)．【热点题型】题型一空间几何体的结构特征例1、给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【提分秘籍】1．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．2．既然棱台是由棱锥定义的，所以在解决棱台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．3．球的任何截面都是圆．球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，大圆的半径等于球的半径；被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆，小圆的半径小于球的半径．【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．【举一反三】有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个()A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对【热点题型】题型二空间几何体的三视图与例2、(1)(高考四川卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)(高考湖南卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A．1 B.2 C.2－12 D.2＋12【提分秘籍】1．画几何体三视图的要求是：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．一般正视图与侧视图分别在左右两边，俯视图画在正视图的下方．2．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图．3．由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．【举一反三】下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是()A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④【热点题型】题型三几何体的直观图例3、用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )【提分秘籍】利用斜二测画法时，注意原图与直观图中的“三变、三不变”即 “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度改变减半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.【举一反三】等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．【热点题型】题型四空间几何体中的最值问题例4、某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2【提分秘籍】本题考查了三视图的相关知识能够由三视图描述该几何体的特征是解决这类问题的关键，突破这一点，问题就迎刃而解了．空间几何体的最值问题是近几年命题的又一热点．主要包括三视图中的最值问题．线段长度的最值问题等．解决此类问题的关键是抓住空间几何体的结构特征，转化计算．【举一反三】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定主(正)视图方向垂直于平面ABCD时，该几何体的左(侧)视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．【高考风向标】1．（20xx·安徽卷）如图1-5所示，四棱锥P -ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.图1-5(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．2．（20xx·福建卷）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A ．2πB ．πC ．2D ．13．（20xx·湖北卷）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．（20xx·新课标全国卷Ⅱ）正三棱柱ABC - A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A - B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32 C ．1 D.325．（20xx·重庆卷）如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．图1-46．（20xx·安徽卷）一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是()图1-2A.233B.476 C ．6 D ．77．（20xx·北京卷）某三棱锥的三视图如图1-3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．图1-38．（20xx·湖北卷）在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②9．（20xx·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()图1-2A．1 B．2 C．3 D．410．（20xx·辽宁卷）某几何体三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )图1-2A ．8－π4B ．8－π2C ．8－πD ．8－2π11．（20xx·浙江卷）某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )图1-1A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 312．（20xx·新课标全国卷Ⅱ）如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )图1-1 A.1727 B.59 C.1027 D.13(cm 3)，所以V 切V 毛坯＝20π54π＝1027. 13．（20xx·全国新课标卷Ⅰ）如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱14．（20xx·陕西卷）四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图1-4(1)求四面体ABCD 的体积； (2)证明：四边形EFGH 是矩形．15．（20xx·四川卷）某三棱锥的侧视图、俯视图如图1-1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)( )图1-1A ．3B ．2 C. 3 D ．116．（20xx·重庆卷）某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )图1-2A．12 B．18 C．24 D．3017．（20xx·天津卷）一个几何体的三视图如图1-2所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.【随堂巩固】1．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()2.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形3．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是正方形，俯视图是正三角形，该三棱柱的侧视图面积为()A．23 B. 3C．2 2 D．44.如图，三棱锥V －ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其俯视图的面积为( )A.32B.33C.34 D.365．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：①四边形BFD1E有可能为梯形；②四边形BFD1E有可能为菱形；③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；⑤四边形BFD1E面积的最小值为6 2.其中正确的是()A．①②③④B．②③④⑤C．①③④⑤D．①②④⑤答案：B7.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2 cm的正方形，则这个正四面体的正视图的面积为________cm2.8．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．9．如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由________块木块堆成．10．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．12.已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．。

高中数学考点26 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积(含高考试题)新人教A版

考点26 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T7)同(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是 ( )A.17πB.18πC.20πD.28π 【解析】选A.该几何体是一个球体挖掉18剩余的部分,如图所示,依题意得78×43πR 3=28π3,解得R=2,所以该几何体的表面积为4π×22×78+43π×22=17π.2.(2016·全国卷Ⅱ文科·T7)同(2016·全国卷Ⅱ理科·T6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )A.20πB.24πC.28πD.32π【解题指南】观察三视图,确定圆柱和圆锥的底面半径和高,再利用表面积是各个面的和进行计算. 【解析】选C.几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l ,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,h=4,由勾股定理得:l 表=πr 2+ch+21c l =4π+16π+8π=28π.3.(2016·全国卷Ⅱ文科·T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12πB.323π C.8π D.4π【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为,所以正方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·)2=12π.4.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T10)与(2016·全国卷3·理科·T9)相同如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18+36C.90D.81【解题指南】根据三视图作出原几何体是关键.【解析】选B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱,上下底面为边长为3的正方形,左右为底边长为3,侧棱为的矩形,前后为底边为3,侧棱为的平行四边形,且底边上的高为6,所以S=9+9+18+18+9=54+18.5.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T11)与(2016·全国卷3·理科·T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )A.4πB.9π2C.6πD.32π3【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内.【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=68102+-=2,直径为4>侧棱.所以球的最大直径为3,半径为32,此时体积V=9π2.6.(2016·山东高考文科·T5)同(2016·山东高考理科·T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13+23πB.13πC.13πD.1+π【解题指南】充分利用三视图各测度的数值,还原几何体本身各测度的数值,进而求其体积.【解析】选C.由三视图可知,半球的半径为,四棱锥底面正方形边长为1,高为1,所以该组合体的体积=43π·3⎝⎭×12+13×1×1×1=13+π. 7.(2016·天津高考文科·T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为 ( )【解题指南】利用正视图和俯视图进行判断.【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.8.(2016·北京高考理科·T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 ( )A.61 B.31 C.31 D.1【解题指南】三棱锥的体积为31Sh. 【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=21×1×1=21,所以体积V=31Sh=61.二、填空题9.(2016·浙江高考理科·T11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm 3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2×(2×2×4)=32(cm 3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=72(cm 2). 答案:72 3210.(2016·浙江高考理科·T14)如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【解题指南】利用三棱锥的体积公式表示出体积,再利用不等式求最值.【解析】结合图形利用不等式的放缩进行求值,注意基本不等式的适用条件. 在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°,所以=设CD=x,则-x,所以PD=2所以V P-BCD=13S△BCD·h≤13×12BC·CDsin30°·PD=16×2x×12×-x)=16x(2-x)≤216⎝⎭=16×2⎝⎭=12,当且仅当x=2即时取“=”,此时,BD=1,PB=2,满足题意.答案: 1 211.(2016·浙江高考文科·T9)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,S表=6×22+2×42+4×2×4-2×22=80(cm2),V=23+4×4×2=40(cm3).答案:80 4012.(2016·四川高考理科·T13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.【解题指南】先根据正视图和已知条件判断几何体的形状,代入公式即可得出几何体的体积.【解析】由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得如下俯视图,且三棱锥高为h=1,则体积V=13Sh=13×112⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×1=.答案:13.(2016·四川高考文科·T12)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .【解题指南】根据俯视图求出底面积,根据侧视图求出高,从而得出几何体的体积.【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=12×2,高为1,所以该几何体的体积V=13Sh=13×1=.答案:14.(2016·天津高考理科·T11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为 m 3.【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】底面为平行四边形,面积为2×1=2,高为3,所以V=2×1×3×13=2.答案:2 15.(2016·北京高考文科·T11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为 .【解题指南】四棱柱的体积为底面积乘以高. 【解析】由俯视图可知底面面积为12×(1+2)×1=32,由侧(左)视图可知高为1,所以体积为32×1=32. 答案:32三、解答题16.(2016·浙江高考理科·T17)如图,在三棱台ABC-DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证:BF ⊥平面ACFD.(2)求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值.【解析】(1)延长AD,BE,CF 相交于一点K,如图所示, 因为平面BCFE ⊥平面ABC,且AC ⊥BC, 所以AC ⊥平面BCK, 所以BF ⊥AC,又因为EF ∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK 为等边三角形,且F 为CK 的中点,则BF ⊥CK, 所以BF ⊥平面ACFD.(2)过点F 作FQ ⊥AK,连接BQ.因为BF ⊥平面ACK,所以BF ⊥AK,则AK ⊥平面BQF, 所以BQ ⊥AK.所以,∠BQF 是二面角Β-ΑD-F 的平面角.在Rt △ACK 中,AC=3,CK=2,得在Rt △ΒQF 中,FQ=,得cos ∠BQF=.所以,二面角Β-ΑD-F 的平面角的余弦值为17.(2016·江苏高考T17)(本小题满分14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1(如图所示),并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍.(1)若AB=6m,PO 1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6m,则当PO 1为多少时,仓库的容积最大?【解题指南】根据正四棱锥和正四棱柱的体积公式以及导数求解. 【解析】(1)由PO 1=2m ⇒OO 1=8m,则1111111123P A B C D A B C D 111V S 6224,3)3==(PO m -⨯⨯=⨯ 111123ABCD A B C D 1V 68288,()ABCD S OO m -=⨯=⨯=111111113P A B C D ABCD A B C D +=V V 312V m --==,故仓库的容积为312m 3.(2)设PO 1=xm,仓库的容积为V(x),连接A 1O 1,则OO 1=4xm,A 1O 1=1B 1=⋅11111111233P A B C D A B C D 1112V S 24=x x 333PO x m -⎛⎫⨯=⨯=- ⎪⎝⎭,11112ABCD A B C D 1V =4ABCD S OO x -⨯=⨯=(288x-8x 3)m 3.V(x)=1111P A B C D V - +1111ABCD A B C D V -=3224x x 3⎛⎫-⎪⎝⎭m 3+(288x-8x 3)m 3 =326x 312x 3⎛⎫-+ ⎪⎝⎭m 3(0<x<6), 所以V'(x)=-26x 2+312=-26(x 2-12)(0<x<6),当x ∈(0,2)时.V'(x)>0,V(x)单调递增,当x ∈,6)时.V'(x)<0,V(x)单调递减,因此,当,V(x)取到最大值,即PO 1时,仓库的容积最大.。

空间几何体的三视图和直观图

1.2空间几何体的三视图和直观图自我检测1．已知△ABC ，选定的投影面与△ABC 所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC( )B A ．全等 B ．相似 C ．不相似 D ．以上都不正确 2．一条直线在平面上的平行投影是( )D A ．直线B ．点C ．线段D ．直线或点3．下列说法错误的是( )DA ．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度B ．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度C ．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度D ．一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样 4．在已知图形中平行于x 轴的线段AB ＝6 cm ，则在直观图中线段A ′B ′＝________cm ；在已知图形中平行于y 轴的线段CD ＝4 cm ，则在直观图中线段C ′D ′＝________cm.解析：由于平行于x 轴的线段在直观图中保持原长度不变，则A ’B ’=AB=6cm,平行于y 轴的线段在直观图中长度变为原来的一半，则C ’D ’=CD 21=2cm. [答案] 6 25、在空间几何体中，平行于z 轴的线段AB ＝10 cm ，则在直观图中对应的线段A ′B ′＝________cm.[解析] 由于平行于z 轴的线段在直观图中保持长度不变，则A ′B ′＝AB ＝10 cm. [答案] 106、水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，求AB 边上的中线的实际长度为多少．[解析] 由于在直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中，∠ACB ＝90°，又∵在直观图中，A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则在原图形中，AC ＝3，BC ＝4，∴由勾股定理，得AB ＝5，则AB 边上的中线的长度为52.考点一画简单几何体的三视图例1 画出如图所示的正三棱柱和正五棱台的三视图[解析] 上图(1)所示的正三棱柱的三视图如图①所示．上图(2)所示的正五棱台的三视图如图②所示．[点评] 正五棱台的正视图中有两条虚线，它们是正五棱台后面两条棱所形成的投影，辨析某条棱的可见与不可见的方法是：把物体看成是不透明的，能看见的棱就是可见轮廓线，看不见、但又确实存在的棱就是不可见轮廓线．例2、如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是图中的( )[解析] 此题主要研究实物图到三视图的转化过程，正视图是通过正面观察物体的形状，侧视图是从左侧面去观察，俯视图是从上往下看物体的形状如何．从正面看是个矩形，从左面看是个圆，从上往下看是一个矩形，对照图中的A、B、C、D，可知A是正确的．例3、某几何体的正视图和侧视图均如左图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )[分析]本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如左图所示知，几何体下面为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或底面是直角三角形的直三棱柱．[解析]A，B，D都可能是该几何体的俯视图，C不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如下图所示的矩形．[答案] C例4、如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为( )[分析]依次确定四面体AB1CD1的每一条棱在面AA1D1D上的投影即可．[解析]显然AB1，AC，B1D1，CD1分别投影得到正视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．故A正确．[答案] A例5、在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )[解析]此几何体为一个半圆锥和一个三棱锥的组合体，只有D项符合题意．[答案] D变式练习1、画出圆台(如图所示)的三视图．[解析] 圆台的三视图如图．2、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[答案] D考点二画简单组合体的三视图例1 如下图所示，画出下列组合体的三视图.[分析] 图①是一个长方体挖去一个四棱柱，图②是上下叠起且轴线重合的三个圆柱组成的几何体．三视图如下图①②所示．1、如图①所示的几何体，则该几何体的俯视图是图②中的( )[解析] (1)此几何体俯视图首先为矩形．但上方被截去角的三棱柱的侧棱及角的边是看得见的，所以，俯视图中间有实线且靠左边有三角形形状．故选C.2、画出如图所示几何体的三视图．解：①此几何体的三视图如图所示：②此几何体的三视图如图所示：考点三由三视图还原空间几何体例1 某几何体的三视图如图所示，试分析该几何体的结构特征.[解析] 由正视图和侧视图可知，该物体的下半部分为柱体，上半部分为锥体，又因俯视图为一个正六边形，故该几何体是由一个正六棱柱和一个正六棱锥组合而成的，如图所示．例2、下面是某立体图形的三视图，请说出立体图形的名称．[解析] 该立体图形为长方体，如下图所示．1、若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体是( )A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球[解析] 正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆说明此几何体是圆锥．答案：C2、如图所示是两个立体图形的三视图，请说出立体图形的名称．解析：由已知可知甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又正视图和侧视图均是矩形，则甲是圆柱：乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又正视图和侧视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥．答案：甲是圆柱；乙是三棱锥．考点四斜二测画法的性质例1、在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝( ) A．45°B．135° C．90°D．45°或135°[解析] 因∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.[答案] D例2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( )①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0 B．1 C．2 D．3[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．[答案] C例3．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是( )A ．①B ．①②C ．③④D ．①②③④[解析] 根据画法规则，平行性保持不变，与y 轴平行的线段长度减半．[答案] B变式练习1．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是( )A ．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B ．平行四边形的直观图仍是平行四边形C ．两条相交直线的直观图可能是平行直线D ．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直[点评] 斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比．[答案] B考点五水平放置的平面图形直观图的画法例1、画正五边形的直观图画法： (1)以正五边形的中心为原点O ，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy ，再建立如图(2)所示的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°；(2)在图(1)中作BG ⊥x 轴于G ，EH ⊥x 轴于H ，在坐标系x ′O ′y ′中作O ′H ′＝OH ，O ′G ′＝OG ，O ′A ′＝12OA ，O ′F ′＝12OF ，过F ′作C ′D ′∥x ′轴使C ′D ′＝CD 且F ′为C ′D ′的中点．(3)在平面x ′O ′y ′中，过G ′作G ′B ′∥y ′轴，且G ′B ′＝12BG ，过H ′作H ′E ′∥y ′轴，且H ′E ′＝12HE ，连接A ′B ′，B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′，得五边形A ′B ′C ′D ′E ′为正五边形ABCDE 的平面直观图．(4)擦去x ′，y ′轴得直观图五边形A ′B ′C ′D ′E ′.例2、在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( )[解析] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，原来高h 变为h2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变为原来的12.[答案] C变式练习1、画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图．[解析] (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34 cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图．(3)擦去x ′，y ′轴得直观图△A ′B ′C ′.2、如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )[解析] 由斜二测画法可知，与y ′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A 正确．考点六画几何体的直观图例1、用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF 的直观图，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在正六边形的投影是正六边形ABCDEF 的中心（尺寸自定）[解析] 画法：(1)画六棱锥P －ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，对称轴MN 所在直线为y 轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴，三轴交于O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，∠x ′O ′z ′＝90°(如图2所示)．②在图2中，以O ′为中点，在x ′轴上取A ′D ′＝AD ，在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ，以点N ′为中点画B ′C ′平行于x ′轴，并且等于BC ；再以M ′为中点画E ′F ′平行于x ′轴，并且等于EF .③连接A ′B ′，C ′D ′，D ′E ′，F ′A ′得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥P －ABCDEF 的顶点，在O ′z ′轴上截取O ′P ′＝OP.(3)成图．连接P ′A ′，P ′B ′，P ′C ′，P ′D ′，P ′E ′，P ′F ′，并擦去x ′轴，y ′轴，z ′轴，便得到六棱锥P －ABCDEF 的直观图P ′－A ′B ′C ′D ′E ′F ′(图3)．变式练习1、用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm 的长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的直观图．[画法] (1)画轴．如图①所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32 cm.分别过点M 和点N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱，过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′. (4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．考点七由三视图画直观图例1、某几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图.[画法] (1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画圆台的两底面．利用斜二测画法，画出底面⊙O ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中相应的高度，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，作Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出上底面⊙O ′(与画⊙O 一样)． (3)画圆锥的顶点．在Oz 上取一点P ，使PO ′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接PA ′，PB ′，A ′A ，B ′B ，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.变式练习1、利用下图所示的三视图，画出它的直观图．[解析] 该几何体是一个三棱柱，直观图如下图所示．2、下图是一个几何体的直观图，画出它的三视图．[解析] 三视图如图所示．考点八与直观图有关的计算问题例1、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）[解析] 如图所示， ∵A ′D ′∥B ′C ′， ∴AD ∥BC .∵∠A ′B ′C ′＝45°， ∴∠ABC ＝90°. ∴AB ⊥BC .∴四边形ABCD 是直角梯形．其中，AD ＝A ′D ′＝1，BC ＝B ′C ′＝1＋2，AB ＝2， ∴S 梯形ABCD ＝2＋ 2.例2、如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________．[解析]由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10. [答案] 10例3、如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4，又∵底边OB 的高为8，∴面积S ＝12×4×8＝16.[答案] 16 变式练习1、已知正△ABC 的边长为a,那么正△ABC 的直观图△A ’B ’C ’的面积是（）[解析] 如图(1)为实际图形，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.如图(2)，建立坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直观图画法知：A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a.过C′作C′D′⊥O′x′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.所以△A′B′C的面积是S＝12·A′B′·C′D′＝12·a·68a＝6 16a2.2、有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________．[解析]由于该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，所以由公式S′＝24S，其直观图的面积为S′＝24S＝52(cm2)．易错题例1、画出如图所示的正视图和俯视图.解：正视图和俯视图，如图所示．例2、如图①所示，△ABC水平放置的直观图为△A’B’C’,∠B’A’C’=30°，∠A’C’B’=90°，请用作图法画出原△ABC,并量出△ABC的各个内角，∠BAC是否等于∠B’A’C’的2倍？∠BCA是否等于∠B’C’A’?[正解] 如图②所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点．在直观图中过C′作C′D′∥O′y′轴，交A′B′于D′，在Ox轴上截取AB＝A′B′，AD＝A′D′.过D作DC∥Oy轴，使DC＝2D′C′，连接AC，BC，则△ABC为原三角形．用量角器量出∠BAC，可以得出∠BAC≠60°，所以∠BAC≠2∠B′A′C′，∠BCA≠∠B′C′A′.11变式练习1、如图所示的是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直观图，其中D为AC的中点，原ABC中，∠ACB ≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________．[解析] 先按照斜二测画法把直观图还原为原来的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把△ABC还原为平面图形后为直角三角形，则D为斜边AC的中点． [答案] AD，DC2、如图所示的物体的三视图有无错误？如果有，请更正．总结:下图是最基本的常见几何体的三视图.几何体直观图形正视图侧视图俯视图正方体长方体圆柱圆锥圆台球1213。

高考训练专题8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图(讲)-2019年高考数学----精校解析 Word版

2019年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第八章空间向量与立体几何第01节空间几何体的结构、三视图和直观图【考纲解读】【知识清单】1．空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．2空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．3.空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．【重点难点突破】考点1：空间几何体的结构特征【1-1】【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. C. D.【答案】C【1-2】【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.【领悟技法】三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，要特别注意掌握它们的几何特征．【触类旁通】【变式1】【2018年理数全国卷II】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C【变式2】【2018届云南省名校月考一】已知长方体1111ABCD A BC D -的所有顶点在同一个球面上，若球心到过A __________．【解析】设长方体1111ABCD A BC D -过点A 的三条棱的长分别为,,a b c ，由已知条件得：=，=，=22228a b c ++=，所以球的半径为=考点2 空间几何体的直观图【2-1】【2018届山东省济南市一模】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为1BD 的中点，则PAC ∆在该正方体各个面上的正投影可能是（）A ． ①②B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 【答案】B【解析】P 点在上下底面投影落在AC 或11AC 上，所以PAC ∆在上底面或下底面的投影为①，在前面、后面以及左面，右面的投影为④，选B.【2-2】在如图所示的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2 cm ，则在xOy 坐标系中，四边形ABCO 为________，面积为________ cm 2.【答案】矩形 8【解析】由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy 坐标系中，四边形ABCO 是一个长为4 cm ，宽为2 cm 的矩形，所以四边形ABCO 的面积为8 cm 2. 【领悟技法】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝4S 原图形，S 原图形＝直观图．【触类旁通】【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2 B. 12+ C. 22+ D ．1+【答案】A【解析】由题意画出斜二测直观图及还原后原图，由直观图中底角均为45°，腰和上底长度均为1，得下底长为11, 12的直角梯形．所以面积S ＝12(12故选A.【变式2】如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形【答案】C【解析】将直观图还原得▱OABC ，如图，∵O′D′＝2O′C′＝2 2 (cm)，OD＝2O′D′＝4 2 (cm)，C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，OC ＝CD2＋OD2＝22＋22＝6 (cm)，OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，故原图形为菱形．综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.考点3 空间几何体的三视图【3-1】【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.【3-2】【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A. B.C. D. 2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B. 【3-3】【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A. AB. BC. CD. D【答案】A【解析】分析：观察图形可得。

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课时作业(三十九) [第39讲空间几何体的结构及三视图和直观图]
[时间：45分钟分值：100分]
基础热身
1．给出下列命题：
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截得截面与底面之间的部分；
③若四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
2．下列说法中正确的是( )
A．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B．梯形的直观图可能是平行四边形
C．矩形的直观图可能是梯形
D．正方形的直观图可能是平行四边形
3．一个锥体的正视图和侧视图如图K39－1所示，下面选项中，不可能是．．．．该锥体的俯

视图的是( )

图K39－1
图K39－2
4．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图K39－3所示，则相应的侧视图可
以为( )

图K39－3 图K39－4
能力提升
5．如图K39－5，直观图所表示的平面图形是( )

图K39－5
A．正三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
2

6．如图K39－6所示，O是正方体ABCD－A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E
为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能．．．是( )

图K39－6
图K39－7
7．已知某一空间几何体的正视图与侧视图如图K39－8所示，则在下列①②③④⑤
对应图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有( )

图K39－8
图K39－9
A．①②③⑤ B．②③④⑤
C．①②④⑤ D．①②③④
8．设计一个杯子，其三视图如图K39－10所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的
高度h随时间t变化的图象是( )

图K39－10
图K39－11

图K39－12
9．如图K39－12是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，
其正视图、俯视图如图K39－12；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其
正视图、俯视图如图．其中真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
3

10．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积
是原三角形面积的________．
11．如图K39－13，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′
的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可
能是________(填出所有可能的序号)．

图K39－13

图K39－14
12．已知一几何体的三视图如图K39－14，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方
形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何
形体是(写出所有正确结论的编号)________．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④每个面都是直角三角形的四面体．
13．如图K39－15是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共
由________块木块堆成．

图K39－15
14．(10分)一几何体的表面展开图如图K39－16，则这个几何体是哪一种几何体？选择
适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的最长的一条棱的长．

图K39－16
15．(13分)有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如
图K39－17所示)，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1 m，若平
均每1 m2菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(精
确到1元)
4

图K39－17
难点突破

16．(12分)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋
b的最大值．
5

课时作业(三十九)
【基础热身】
1．D [解析] ①是错误的，如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的
几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥；对于③，构造斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1，其中
侧面A1ABB1和D1DCC1都垂直于底面ABCD(图2)，故③不正确；根据圆柱、圆台的定义和
性质可知，②④两个命题是正确的，故选D.

图1
图2
2．D [解析] 直观图不能保证垂直关系，故A错；平行性不变，B错；由斜二测画法
知矩形的直观图为平行四边形，C错；由直观图的斜二测画法知，D正确．故选D.
3．C [解析] 由正视图和侧视图可知该锥体的长和宽均为1，C中的宽为正三角形的高，
显然不为1，故不可能是该锥体的俯视图的是C.
4．D [解析] 由正视图和俯视图知该几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组
合而成的，如图，故侧视图选D.

【能力提升】
5．D [解析] A′C′，B′C′在直观图中分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中AC，
BC分别与y轴，x轴平行，所以AC与BC垂直．
6．A [解析] B项是空间四边形OEC1D1在面ABB1A1上的正投影；C项是空间四边形
OEC1D1在面BB1C1C上的正投影；D项是空间四边形OEC1D1在面A1B1C1D1上的正投影，
故选A.
7．D [解析] 图⑤的俯视图长宽不等，与正视图和侧视图反映的信息不符，其他图形
都满足要求，故选D.
8．B [解析] 由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下、大小相同，所
以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，选项B符合题意．
9．A [解析] ①可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断②正确；③可以是放倒的
圆柱，所以也正确．

10.24 [解析] 设原三角形底边上的高的长度为h，根据斜二测画法，在直观图中，其

长度变为h2，而且与x轴夹角为45°，设此时直观图中三角形的高为h1，则h1＝h2sin45°＝24h.
而底边长度不变，故面积变为原来的24.
11．①②③ [解析] 空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′
6

上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对
面A′B′C′D′上的正投影是③，故填①②③.
12．①③④ [解答] 如图所示，长方体为几何体的直观图．

当选择的四个点为B1、B、C、C1时，可知①正确；
当选择B、A、B1、C时，可知③正确；
当选择A、B、D、D1时，可知④正确．
13．5 [解析] 根据题意可知，几何体的最底层有4块长方体，第2层有1块长方体，
一共有5块．
14．[解答] 该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱VA与底面ABCD垂直，直
观图如图(1)所示．
正视图、侧视图、俯视图分别是等腰直角三角形、等腰直角三角形、正方形，则三视图
如图(2)所示．
该几何体的最长的一条棱的长为

VC＝62＋622＝63.

15．[解答] 在直观图中，过A′点作A′E⊥B′C′，垂足为E，则在Rt△A′B′E中，
A′B′＝1 m，∠A′B′E＝45°，∴B′E＝22 m.
而四边形A′EC′D′为矩形，A′D′＝1 m，
∴B′C′＝B′E＋EC′＝22＋1m.

由此可还原图形，如图所示，在原图形中，AD＝1 m，AB＝2 m，BC＝22＋1m，且
AD∥BC，AB⊥BC，
∴这块菜地的面积为

S＝12(AD＋BC)·AB＝12×1＋1＋22×2＝2＋22(m2)，
所以这块菜地所产生的总的经济效益是300S≈300(2＋0.707)＝812.1≈812(元)．

【难点突破】
16．[解答] 如图，把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线刚好为几何体的已知
棱，设长方体的对角线A1C＝7，则它的正视图投影长为A1B＝6，侧视图投影长为A1D
＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，
7

则a2＋b2＋(6)2＝2·(7)2，
即a2＋b2＝8，

又a＋b2≤a2＋b22，
∴a＋b≤4.
从而a＋b的最大值为4.