第二部分 专题八 动态问题
高中语文苏教版选修唐诗宋词选读教学案：专题八第二板块苏幕遮碧云天天仙子水调数声持酒听含答案
第二板块苏幕遮碧云天天仙子水调数声持酒听八声甘州对潇潇、暮雨洒江天对应学生用书P66一、字音识记1．黯．乡魂(àn) 2.追旅思．(sì)3．空记省．(xǐnɡ) 4.池上暝．(mínɡ) 5．苒．苒(rǎn) 6.渺邈．(miǎo)7．颙．望(yóng) 8.正恁．．凝愁(zhēnɡ)(nèn) 二、词语释义1．黯乡魂．．．：因思念家乡而黯然销魂。
黯，愁苦的样子2．追旅思．．．：羁旅的愁思缠扰不休。
追，追随，纠缠3．伤流景．．：如流水般消逝的光景4．往事后期．．．．空记省．．往事后期：以往的欢情，以后的期约记省：记得清楚5．沙上并禽池上暝．：天黑，日暮6．对潇潇．．：形容雨势急骤7．渐．霜风凄惨．．渐：旋，又凄惨：寒冷逼人8．关河．．冷落：关口和渡口，此处泛指江山9．是处红衰翠减．．．．．．是处：到处红衰翠减：红花枯萎，绿叶凋零10．苒苒物华．．．．休苒苒：茂盛的样子。
一作“冉冉”，缓慢移动的样子物华：岁时的风物11．望故乡渺邈．．：渺茫而又遥远12．叹年来．．踪迹：近年来。
这里有“长久”的意思13．何事苦淹留．．：久留14．想佳人、妆楼颙望．．：举头凝望15．争．知我：怎16．正恁凝愁．．．恁：如此凝愁：忧愁凝结不解三、名句背诵1．碧云天，黄叶地。
秋色连波，波上寒烟翠。
2．山映斜阳天接水。
芳草无情，更在斜阳外。
3．明月楼高休独倚。
酒入愁肠，化作相思泪。
4．沙上并禽池上暝。
云破月来花弄影。
5．是处红衰翠减，苒苒物华休。
惟有长江水，无语东流。
6．不忍登高临远，望故乡渺邈，归思难收。
对应学生用书P66整体感知一、作者简介范仲淹(989－1052)，字希文，苏州吴县(今属江苏)人。
宋真宗进士。
庆历三年(1043)七月，授参知政事，主持庆历改革，因守旧派阻挠而未果。
次年罢政，自请外任，卒谥文正。
他不仅是北宋著名的政治家、军事家，文学成就亦斐然可观。
散文《岳阳楼记》为千古名篇，词则能突破唐末五代词的绮靡风气。
中考数学专题——动态问题(非常全面)
（中考数学专题3） 动态几何问题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．D NCM B A（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）A DC B P M Q 60图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。
难点探究专题：全等三角形中的动态问题(原卷版)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
专题07 难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四 利用全等三角形中的动点综合问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，12cm AB =，6cm AC =．动点E 从A 点出发以3cm /s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为(0)t t >，则当 t =________ 个秒时，DEB 与BCA 全等．【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B =90°AB ∥DF ，AB =3cm ，BD =8cm ，点C 是线段BD 上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC ⊥CE ，若AC =CE ,则DE 的长为______.【变式训练】（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ⊥AB 于E ，DH ⊥AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为________．【变式训练】（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）△ABC 是边长为2的等边三角形，点P 为直线BC 上的动点，把线段AP 绕A 点逆时针旋转60°至AE ，O 为AB 边上一动点，则OE 的最小值为____．考点四 利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C 在线段AB 上（点C 不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE ，BD 交于点P ．(1)观察猜想：1.AE 与BD 的数量关系为______；2.∠APD 的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．一、选择题1．（2022·福建漳州·八年级期末）已知点A 为线段BC 上方的一动点，且满足AC -AB =3，BC =8，若AD 平分∠BAC ，且CD ⊥AD 于点D ，则S △BDC 的最大值为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．32．（2020·山东·鲁村中学八年级阶段练习）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，D 为AC 中点，P 为AB 上的动点，将P 绕点D 逆时针旋转90°得到P ′，连CP′的最小值为（ ）A．1.6 B ．2.4 C ．2 D ．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．52B ．152C ．3D ．125二、填空题4．（2022·全国·八年级）如图，AB ⊥BC 于B ，DC ⊥BC 于C ，AB =6，BC =8，CD =2，点P 为BC 边上一动点，当BP ＝________时，形成的Rt △ABP 与Rt △PCD 全等．5．（2022·河南漯河·八年级期末）如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，延长BC 到点E ，使1cm CE =，连接DE ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿AB BC CD DA →→→向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，当PBC ∆和DCE ∆全等时，t 的值为 __．6．（2020·浙江宁波·八年级专题练习）如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BD CD=_______．三、解答题7．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图1，E ，F 为线段BC 上的两个动点，AE DF ∥，且AE DF CF BE AD ==，，交EF 于点O ．(1)现有甲、乙、丙、丁四个结论：甲：点O 是AD 的中点；乙：点O 是BC 的中点；丙：点O 是EF 的中点；丁：AB CD ∥正确的结论是____________；请选择一个你认为正确的结论进行证明；(2)当点E ，F 移动至如图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中四个结论正确的是__________．8．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点D 在AC 上，且AD =6cm ，过点A 作射线AE ⊥AC （AE 与BC 在AC 同侧），若动点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm /s ，设点P 运动时间为t 秒．连接PD 、BD ．(1)如图①，当PD ⊥BD 时，求证：△PDA ≌△DBC ；(2)如图②，当PD ⊥AB 于点F 时，求此时t 的值．9．（2021·贵州·兴义市万峰林民族学校八年级期中）如图，在长方形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以2cm /s 的速度向点C 匀速运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CD 方向以2cm /s 的速度向点D 匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t （s ）（0<t <3）．解答下列问题：（1）当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，求t 的值；（2）是否存在某一时刻t ，使ABP PCQ ∆∆≌若存在，求出t 的值，并判断此时AP 和PQ 的位置关系；若不存在，请说明理由．10．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．。
中考数学总复习 第八章 综合与探究 第42课 动态型问题课件
Rt△AON 中运用三角函数可求出 ON＝AO·tan∠OAN＝1× 33＝ 33；当 m＝23 时，连结 PM，如解图③，点 M 从点 A 绕着点 P 逆时针旋转了一周的23，从
而可得到旋转角为 240°，则∠APM＝120°，同理可求出 ON 的长为 33，故
点
N
相应移动的路径长为
33＋
33＝2
(1)当 m＝41时，n＝________．
(例 1 题图)
(2)随着点 M 的转动，当 m 从31变化到23时，点 N 相应移动的路径长为
________．
解析 (1)当 m＝14时，连结 PM，如解图①，点 M 从 点 A 绕着点 P 逆时针旋转了一周的14，从而可得到旋转 角∠APM 为 90°，根据 PA＝PM 可得∠PAM＝∠PMA ＝45°，则有 NO＝AO＝1，即可得到 n＝－1.
3
3 .
(例 1 题图解②)
答案
(1)－1
23 (2) 3
(例 1 题图解③)
变式训练 1 (2015·黔南州)如图①，在矩形 MNPQ 中，动点 R 从点 N 出
发，沿 N→P→Q→M 方向运动至点 M 处停止．设点 R 运动的路程为 x，△
MNR 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图②所示，那么当 x＝9 时，点
பைடு நூலகம்
题型精析
题型一 点的运动型问题
【例 1】 (2015·嘉兴)如图，在直角坐标系 xOy 中，已知
点 A(0，1)，点 P 在线段 OA 上，以 AP 为半径的⊙P 周长为
1.点 M 从点 A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线 AM 交 x
轴于点 N(n，0)，设点 M 转过的路程为 m(0<m< 1)．
人教版九年级物理上册习题课件：第17章 专题八 动态电路分析与计算(共39张PPT)
8. 电路元件 A 和 B 中的电流与两端电压的关系如 图所示，由图可知，A 的电阻是 5 Ω.若将 A、B 并联 后接在电压为 2 V 的电源两端，干路中的电流是 0.6 A．若将 A、B 串联后接在电压为 3 V 的电源两端，B 两端的电压为 2 V.
第 8 题图
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9. 如图甲的电路中，电源电压恒为 12 V，滑动变 阻器的铭牌上标有“100 Ω 0.5 A”字样，图乙为 R1 的 I-U 图象，R1 的阻值为 20 Ω.当电路中电流为 0.2 A 时， 滑动变阻器 R2 接入电路的阻值为 40 Ω.为了不损坏滑 动变阻器，R2 接入电路的阻值应不小于 4 Ω.
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3. (2017·枣庄)如图所示的电路中，电源电压保持 不变，闭合开关 S，将滑动变阻器的滑片 P 向左移动， 下列说法中正确的是( D )
A．电流表 A1 的示数变小，电流表 A2 的示数变大 B．电流表 A1 的示数和电流表 A2 的示数同时变大 C．电压表的示数变大，电流表 A1 的示数变小 D．电压表的示数不变，电流表 A1 的示数变小
A．5 V 30 Ω
B．8 V 20 Ω
C．3 V 30 Ω
D．3 V 20 Ω
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3. (多选)如图所示，闭合开关 S，当滑动变阻器的
滑片 P 在某两点之间来回滑动时，电流表的示数范围
是 1.0～2.0 A，电压表的示数范围是 7.2～2.4 V，则(BD)
A．电源电压为 15 V B．电源电压为 12 V
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第 1 题图
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2. 如图所示，MN 间电压恒定，R1 为定值电阻， 滑动变阻器 R2 的最大阻值为 20 Ω.当滑动变阻器滑片 P 处于 a 端时，电流表示数为 0.25 A；当滑片 P 处于 ab 中点时，电流表示数为 0.40 A，则电源电压 U 和电阻 R1 的大小为( C )
(完整版)初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)
初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题.关键: 动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：（2013 年上海市虹口区中考模拟第25 题）如图1，在Rt△ABC 中，∠ A＝90°，AB＝6，AC ＝8，点 D 为边BC 的中点，DE⊥BC 交边AC 于点E，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠ PDQ ＝90°．（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP＝2，求CQ 的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△ PDF 为等腰三角形，求BP的长．思路点拨1．第（2）题BP＝ 2 分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ ．解答：（1）在Rt△ ABC 中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．3 15 25在Rt△CDE 中，CD ＝5，所以ED CD tan C 5 ，EC ．4 4 4（2）如图2，过点 D 作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN 是△ABC 的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠ PDQ ＝90°，∠ MDN ＝90°，可得∠ PDM ＝∠ QDN ．因此△ PDM∽△ QDN．①如图3，当BP＝2，P在BM 上时，PM＝1．3 3 3 19此时QN 3PM 3．所以CQ CN QN 4 3 19．4 4 4 4②如图4，当BP＝2，P在MB 的延长线上时，PM＝5．所以PMQNDM 4．所以QN 3PM ，PM 4QN．DN 3 4 3图2图33 15 15 31此时QN 3PM 15．所以CQ CN QN 4 15 31．4444（3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，tan QPD QD DN3PD DM4在Rt△ ABC 中，tan C BA 3BA 3．所以∠ QPD＝∠ C．CA 4由∠ PDQ ＝90°，∠ CDE ＝90°，可得∠ PDF＝∠ CDQ．因此△ PDF∽△ CDQ．当△ PDF 是等腰三角形时，△ CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图 3 所示）．4 4 4 5此时PM QN ．所以BP BM PM 3 ．3 3 3 3②如图6，当QC＝QD 时，由CH cosC CH，可得CQ5425 CQ25825所以QN＝CN－CQ＝4257（如图 2 所示）．8847此时PM QN ．所以BP BM PM 3 7253666③不存在DP＝DF 的情况．这是因为∠ DFP≥∠ DQP >∠ DPQ （如图5，图6所示）．图5 图 6考点伸展：如图6，当△ CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三25角形，PB＝PD ．在△ BDP 中可以直接求解BP ．6二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题4 例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线y x 4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点3A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ ABC 是等腰三角形；2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S．① 求S与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△ MON 为直角三角形时，求t 的值．5思路点拨：1．第（ 1）题说明△ ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点 M 、N 同时出发，同时到达终点． 2．不论 M 在 AO 上还是在 OB 上，用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的，用含有 t 的 式子表示 OM 要分类讨论．3．将 S ＝4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程．4．分类讨论△ MON 为直角三角形，不存在∠ ONM ＝ 90°的可能． 解答：4（ 1）直线 y3 x4 与 x 轴的交点为 B （3，0）、与 y 轴的交点 C （ 0，4）．3Rt △BOC 中， OB ＝ 3，OC ＝ 4，所以 BC ＝ 5．点 A 的坐标是（ -2，0），所以 BA ＝5． 因此 BC ＝ BA ，所以△ ABC 是等腰三角形．（ 2）①如图 2，图 3，过点 N 作 NH ⊥AB ，垂足为 H ．44 在 Rt △BNH 中， BN ＝t ， sin B ，所以 NH t ． 55 如图 2，当 M 在 AO 上时， OM ＝2－t ，此时1 1 42 2 4 S OM NH (2 t) t t t ．定义域为 0< t ≤2．2 2 5 5 5如图 3，当 M 在 OB 上时， OM ＝t － 2，此时11 42 2 SOM NH (t 2) t t 2 2 25 5解得 t 1 2 11， t 2 2 11（舍去负值）因此，当点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S ＝4 的情形，此时 t 2 11 ．3③ 如图 4，当∠ OMN ＝90°时，在 Rt △BNM 中， BN ＝ t ，BM 5 t ，cosB ，4．55 5 54t5t 325 所以 ．解得 t ．t 58如图 5，当∠ OMN ＝90°时， N 与 C 重合， t 5． 不存在∠ ONM ＝90°的可能．考点伸在本题情景下，如果△ MON 的边与 AC 平行，求 t 的值．如图 6，当 ON//AC 时， t ＝如图 7，当 MN //AC 时， t ＝2.5．6，BA ＝3 5 ．分别以 OA 、OC 边所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系．图1图2 思路点拨： 1．第（ 1）题和第（ 2）题蕴含了 OB 与 DF垂直的结论，为第（ 3）题讨论菱形提供了计 算基础．2．讨论菱形要进行两次 （两级）分类，先按照 DO 为边和对角线分类， 再进行二级分类，图6三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题 例 3：（ 2010年山西省中考第 26 题）在直角梯形 OABC 中，CB//OA ，∠ COA ＝90°， CB ＝3，OA（ 1）求点 B 的坐标；（2）已知 D 、E 分别为线段 OC 、OB 上的点， 直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求OD ＝5，OE ＝2EB ，直线 DE 交 x 轴于点 F ．求 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N ，使以 O 、 N 的坐标；若不存在，请说明理由．DO 与DM、DO 与DN 为邻边．解答：(1)如图2，作BH⊥x 轴，垂足为H，那么四边形BCOH 为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ ABH 中，AH ＝3，BA＝3 5，所以BH＝6．因此点 B 的坐标为(3,6)．22(2) 因为OE＝2EB，所以x E x B 2 ，y E y B 4 ，E(2,4)．33 b 5, 1设直线DE 的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得解得k ，b 5 ．所2k b 4. 21 以直线DE 的解析式为y x 5 ．21(3) 由y x 5，知直线DE 与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝5 5 ．2①如图3，当DO 为菱形的对角线时，MN 与DO 互相垂直平分，点M 是DF 的中点．此时点M55 的坐标为(5, )，点N 的坐标为( －5, )．22②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM 为菱形的邻边时，NO ＝5，延长MN交x轴于P．考点伸展如果第( 3)题没有限定点N 在x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图 6 的情形．由△ NPO ∽△ DOF ，得NP POOFNO，即NP PO 5．解得NP 5DF 5 10 5 5图3图5 图6DOPO四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4：（2013 年苏州中考28 题）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G 分别从A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为1cm/s，点 F 的运动速度为3cm/s，点G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C （即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△ EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB′F．设点E、F、G 运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= s 时，四边形EBFB ′为正方形；（2）若以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O 重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t 值，它们互相矛盾，所以不存在．解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF ，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：① 若△EBF∽△FCG ，则有，即，解得：t=2.8；② 若△EBF∽△GCF ，则有，即，解得：t=﹣14﹣2 （不合题意，舍去）或t=﹣14+2 ．∴当t=2.8 s或t=（﹣14+2 ）s时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O 重合．如图，过点O 作OM⊥BC 于点M，则在Rt△OFM 中，OF =BF =3t，FM = BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM 2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t= ；过点O 作ON⊥AB 于点N，则在Rt△OEN 中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2解得：t=3.9．∵ ≠3.9，∴不存在实数t，使得点 B ′与点O 重合．考点伸本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．拓展练习：1、如图1，梯形ABCD 中，AD∥ BC，∠ B=90 °，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点P从 A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从 C 开始沿CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移动，如果P，Q 分别从A，C同时出发，设移动时间为t 秒。
动态型问题
D
P
C
∴
y S
∆ ABC
=
Q
B
7 15
4 2 7 ∴ t + 4t = × 24 5 15
计算要仔细
∴ t + 5t − 14 = 0 ∴ (t + 7)(t − 2) = 0
O
A
二、线动型
），经过 例2、如图，已知点 、如图，已知点A( 6 3 , 0),B（0，6），经过 、B的直 （ ， ），经过A、 的直 以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动 与此同时， 个单位的速度向下作匀速平移运动， 线 l 以每秒 个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点 P从点 出发，在直线 l 上以同样的速度沿直线 向右下方向做匀 从点B出发 上以同样的速度沿直线l向右下方向做匀 从点 出发， 速运动。 速运动。设它们的时间为 t 秒。 代数式表示点P坐标 （1）用含 代数式表示点 坐标 B ）用含t代数式表示点 坐标;
2
∴ t = − 7 ( 舍去） t = 2 ,
的面积与△ 的面积比为7︰ ∴当t=2时， △ APQ的面积与△ ABC的面积比为 ︰15 时 的面积与 的面积比为
得到△ （4）连接 得到△QDP，那么是否存在某一时刻 ，使得点 ）连接DP,得到 ，那么是否存在某一时刻t，使得点D 在线段QP的中垂线上？若存在，求出相应的 的值 若不存在， 的值； 在线段 的中垂线上？若存在，求出相应的t的值；若不存在， 的中垂线上 说明理由。 说明理由。
如图： 如图：已知
中考数学第二轮专题复习--动态问题
2014年中考数学第二轮专题复习--动态问题答案1.由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2；（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，∴在△APE和△BQF中，∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，∴∴△APE≌△BQF，∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是答案此题的关键2.解析：（1）由b=2a ，点M 是边AD 的中点，可得△AMB 和△DMC 是等腰直角三角形，∠AMB=∠DMC=450，可证明∠BMC=900; （2）（3）分析图形，△ABM ∽△DMC, 利用相似图形的性质列出方程，探索方程根的情况， 当△=b 2-4ac ＞0, 存在∠BMC=900；当△=b 2-4ac ＜0, 不存在∠BMC=900； 解：（1）证明：∵b=2a ，点M 是边AD 的中点，∴AB=AM=MD=DC. 又∵四边形ABCD 是矩形，∠A=∠D=900，∴∠AMB=∠DMC=450， ∴∠BMC=900; (2)存在。
中考总复习第二阶段专题2：动态几何问题
中考总复习第二阶段专题：动态几何问题动态几何问题是一类用函数的观点来解决的新型几何问题.函数是中学数学的一个重要概念，加强对函数思想方法的考查是近年来中考试题的一个显著特点.大量涌现的动态几何型问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现.这类问题有一定的实际意义，因此，对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件，即自变量的取值限定在一定的范围内。
例1：反比例函数xk y =)0(≠k 的图象如图所示，点M 是该函数图象上一动点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果MON S ∆=2，则k 的值为 .分析：由待定系数法知，要求k 的值就需知道点M 的坐标， 但在此题中，M 为双曲线上的动点，其坐标不确定；因此，设M ),(y x 且M 在第二象限，则MN=y y =，NO=x x -=，由MON S ∆ =2)(2121=-⋅⋅=⋅⋅x y ON MN ，得xy =-4，由x k y =可得xy k =，故k =-4. 【双曲线中k 的几何意义是双曲线上任一点向x 轴、y 轴作垂线所围成的矩形的面积】 例2：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=15cm ，BC=21cm ，点M 从点A 开始，沿AD 边向点D 运动，速度是1cm/s ；点N 从点C 开始，沿CB 边向点B 运动，速度是2cm/s.设运动时间为t （s ）.（1）当t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？（2）当t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？分析：（1）由题意知，AD ∥BC ，即MD ∥CN ，只要当MD=NC 时，四边形MNCD 就是平行四边形；（2）从等腰梯形的判定出发，当MN=CD 且MD ≠CN 时，四边形MNCD 就是等腰梯形.如图，过D 作DF ⊥BC 于F ，过M 作ME ⊥BC 于E ，得矩形MEFD ，得MD=EF ；证△CDF ≌△NME ，得NE=CF=6cm ，进而可以通过把MD 与CF 建立等量关系，从而列出关于t 的方程求解.解：（1）由AD ∥BC ，即MD ∥CN ，当MD=CN 时，四边形MNCD 是平行四边形，即15-t=2t ，解得t=5.故当t=5时，四边形MNCD 为平行四边形.（2）当MN=CD 且MD ≠CN 时，四边形MNCD 就是等腰梯形.如图，过D 作DF ⊥BC 于F ，过M 作ME ⊥BC 于E ，得矩形MEFD ，则MD=EF ； 由△CDF ≌△NME ，得NE=CF=6cm ，当运动时间为t （s ）时，MD=EF=15-t ，NC=2t, 有NE+CF=NC-EF,即6+6=2t-(15-t)，解得t=9.故当t=9（s ）时，四边形MNCD 是等腰梯形.【在由点运动构造的动态几何问题中，要注意点运动的路线所形成的分类讨论问题，解答方法是将各个时刻的图形分解出来，各个击破；在解题过程中，应善于借助方程做桥梁，再设法分别求解.】例3：如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：（1）设△BPQ 的面积为S （2cm ），求S 与t 的函数关系式；（2）作QR ∥BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？分析：（1）如图，要表示△BPQ 的面积，则需过点Q 作QE ⊥AB 于E ，且含t 的代数式分别表示出△BPQ 的底（PB ）和高（QE ）即可；（2）由QR ∥BA 得△QRC 也是等边三角形，从而可以用含t 的代数式表示出QR ；再证四边形EPRQ 是矩形，又因为要满足△APR ∽△PRQ ，则必有∠QPR=∠A=60°，最后在Rt △PRQ 中运用锐角三角函数即可求出t 的值. 解：（1）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E ，由QB=2t ，得QE=2t ︒⋅60sin =3t.由AP=t ,得PB=6-t ， 故.33233)6(21212t t t t QE BP S BPQ +-=⋅-=⋅⋅=∆(0≤t ≤3) （2）∵QR ∥BA ， ∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°，∴△RQC 是等边三角形， ∴QR=RC=QC=6-2t.∵BE=BQ ︒⋅60cos =⨯212t=t ， ∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, ∴EP ∥QR ，EP=QR, ∴四边形EPRQ 是平行四边形， ∴PR=EQ=3t.又∵∠PEQ=90°， ∴∠APR=∠PRQ=90°.∵△APR ∽△PRQ, ∴∠QPR=∠A=60°，∴tan60°=PR QR ,即3326=-tt .解得t=1.2, ∴当t=1.2时，△APR ∽△PRQ.【点评】这类题目的一般解法是抓住变化中的“不变”，以“不变”解决几何图形中的“变”的问题，在解题过程中，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、锐角三角函数、圆幂定理、面积关系，借助方程做桥梁，再设法求解.例4：如图1，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm,点P 从A 点出发沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从点D 出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 点停止.若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm.a 秒时，点P 、Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒b （cm ），点Q 的速度变为每秒c （cm ）.如图2是点P 出发x 秒后△APD 的面积1S (2cm )与x （秒）的函数关系图象；图3是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积2S (2cm )与x （秒）的函数关系图象.根据图象，（1）求c b a ,,的值；（2）设点P 离开点A 的路程为1y （cm ），点Q 到点A 还需走的路程为2y （cm ），请分别写出改变速度后1y 、2y 与出发后的运动时间x 秒的函数关系式，并求出P 与Q 相遇时x 的值.分析：图2是点P 出发x 秒后△APD 的面积1S (2cm )与x （秒）的函数关系图象.由图象可知有坐标（24,a ），表示当运动时间为a 秒时，APD S ∆=⋅21AP ⋅AD=24，因此可求出AP ，即可求出a 的值；又由图2中（10,36）可知P 在AB 上运动时间共为10秒，此段1S (2cm )随x （秒）的增大而增大，当P 点运动到BC 边时（含B 、C 两点），△APD 的面积1S (2cm )保持不变；图3除反映点Q 出发x 秒后△AQD 的面积2S (2cm )与x （秒）的函数关系为，还反映了点Q 共运动了22秒.解：（1）由图1和图2知APD S ∆=⋅21AP ⋅AD=24，又AD=BC=6，所以AP=8，即=a 8秒.图1中，当运动时间为8秒时，PB=12-8=4cm ，由图2得224==b cm/秒.当Q 从D 出发a =8秒时，Q 运动了2⨯8=16cm ，而Q 沿D →C →B →A 路线运动，到A 点停止，则Q 到点A 还剩余30-16=14cm ，则图3知点Q 运动总时间为22秒，则有1)822()1630(=--=秒cm c cm/秒. （2）由题意得822)8(181-=⨯-+⨯=x x y ；22]1)8(28[302+-=⨯-+⨯-=x x y ；由图1可知点A 的路程1y （cm ）即为点Q 到点A 还需走的路程2y （cm ），故2282+-=-x x ，解得10=x ，即P 与Q 相遇时x 为10秒.【点评】（1）弄清楚题目中各个变量所表示的实际意义；（2）对于图形中各运动点所运动的距离用代数式表示；（3）能通过阅读图2和图3中函数的图象，知道图象上特殊点所表示的实际意义和每段图象所表达的实际意义.能力训练：一、选择题：1、如图，正方形ABCD 与正方形OPQR 的边长均为2，正方形OPQR的顶点O 与正方形ABCD 的中心重合，且正方形OPQR 绕点O 旋转，两正方形重叠部分的面积是（ ）A. 0.25B. 0.5C. 1D. 无法判断2、如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD=60°，AB=5，BC=3，点P从起点D 出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动，设点P 所走过的路程为x ，点P 经过的线段与AD 、AP 所围成的图形的面积为y ，y 随x 的变化而变化.在下列图象中，最能正确反映y 与x 的函数关系式的是（ ）A. B. C. D.3、在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P 从点A 出发，以3个单位/s 的速度沿AD →DC 向终点C 运动，同时点Q 从点B 出发，以1个单位/s 的速度沿BA 向终点A 运动，在运动期间，当四边形PQBC 为平行四边形时，运动时间为（ ）A. 3sB. 4sC. 5sD. 6s二、填空题：1、如图，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米.2、如图，菱形ABCD 中，∠BAD=60°，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB 长为 .三、解答题：1、已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数343+=x y 的图象与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得到△A ´OB ´.（1）求直线A ´B ´的解析式；（2）若直线A ´B ´与直线AB 相交于点C ，求AOB BCA S S ∆∆:'的值.2、如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD.（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形.3、李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬行最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁爬行的最短路程的长.（1）如图①，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体的表面爬到点C’处；（2）如图②，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱的表面爬到点C’处；（3）如图③，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图④所示，且∠AOA’=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.4、已知如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 分别从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点都停止运动.设点P 的运动时间为t(s)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（2）设四边形APQC 的面积为)(2cm y ，求y 与t 的关系式.是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值，如果不存在，说明理由；（3）设PQ 的长为)(cm x ，试确定y 与x 的关系式.5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=50，AC=30,D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，点P 从点D 出发沿折线DE →EF →FC →CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动，点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC →CA 于点G.点P 、Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止.设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）.（1）D 、F 两点间的距离是 .（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值；若不能，说明理由.（3）当点P 运动到折线EF →FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值.。
(完整版)初二动点问题(含答案)2
3．分三种情况讨论等腰三角形 PMN ，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题．
满分解答
（ 1）如图 4，过点 E 作 EG⊥BC 于 G．
在 Rt△ BEG 中， BE
1 AB
2 ，∠ B＝ 60°，
2
所以 BG BE cos60 1， EG BE sin 60 3 ．
所以点 E 到 BC 的距离为 3 ．
(3) 如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线 ,L 在 BD 上，且 BL=BC, 连结 CL ，点 E 是 CL 上任一点 , EF⊥ BD 于点 F， EG⊥ BC 于点 G，猜想 EF、 EG、 BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
(4) 观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形，
MD
C
M C
M C
EN
D
E
A
B
A
图1
E
图2
N
(1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△
B
A
B
D
N
图3
ADC ≌△ CEB；② DE=AD ＋BE ；
图1
图2
图3
思路点拨
1．先解读这个题目的背景图，等腰梯形
ABCD 的中位线 EF ＝4，这是 x 的变化范围．平行线间的
距离处处相等， AD 与 EF 、 EF 与 BC 间的距离相等．
2．当点 N 在线段 AD 上时， △PMN 中 PM 和 MN 的长保持不变是显然的， 求证 PN 的长是关键． 图 形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要．
例 （ 10 年房山二模压轴） 25. （1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E
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(3)小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转一周的过程中，△
DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若
不能，请说明理由．
图 Z8-5
图 Z8-6
(1)解：∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′， ∴CD′＝CD＝2. 在 Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，∴∠CD′E＝30°.
∴△GCD′≌△E′CD(SAS)．∴GD′＝E′D.
(3)解：能．理由如下： ∵四边形ABCD为正方形，∴CB＝CD. ∵CD＝CD′，∴CB＝CD′. ∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形．
当∠BCD′＝∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′.
①当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时， 360° －90° α＝ ＝135° ； 2 ②当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时， 1 ∠BCD′＝∠DCD′＝2∠BCD＝45° ， 90° 则 α＝360° － 2 ＝315° . 即当旋转角 α 的值为 135° 或 315° 时， △DCD′与△CBD′ 全等．
(3)成立．理由如下： 由(1)，同理可证 AE＝DF，∠DAE＝∠CDF. 如图 Z8-2，延长 FD，交 AE 于点 G， 则∠CDF＋∠ADG＝90°.∴∠ADG＋∠DAE＝90°.
∴∠8-2
图 Z8-3
(4)如图 Z8-3，由于点 P 在运动中保持∠APD＝90°， ∴点 P 的路径是一段以 AD 为直径的圆弧． 设 AD 的中点为 O，连接 OC，交弧于点 P，此时 CP 的长 度最小．
图 Z8-4
解析：如图 Z8-4，连接 OE，∵∠ACB＝90°， ∴A，B，C 在以点 O 为圆心，AB 为直径的圆上． ∴点 E，A，B，C 共圆． ∵∠ACE＝3°×24＝72°， ∴∠AOE＝2∠ACE＝144°. ∴第 24 秒点 E 在量角器上对应的读数是 144°.
答案：144°
小结与反思：本题考查的是圆周角定理．此题难度适中， 注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
(3)成立．由(1)，同理可证 AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，如 图 Z8-2 延长 FD，交 AE 于点 G，再由等角的余角相等，可得
AE⊥DF.
(4)由于点 P 在运动中保持∠APD＝90°，∴点 P 的路径是 一段以 AD 为直径的弧．设AD 的中点为O，连接 OC 交弧于点
P，此时 CP 的长度最小，再由勾股定理，得 OC 的长，再求 CP 即可．
小结与反思：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全 等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线 段的夹角等于旋转角，也考查了正方形、矩形的性质以及三角 形全等的判定与性质.
运动变化过程中发展学生思维和空间想象能力，是中考热点，
常在中考中以压轴题的形式出现．
点动 例 1：(2014 年山东烟台)在正方形 ABCD 中，动点 E，F 分
别从 D，C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC，CB 上移
动． (1)如图 Z8-1①，当点 E 自 D 向 C，点 F 自 C 向 B 移动时， 连接 AE 和 DF 交于点 P，请你写出 AE 与 DF 的位置关系，并 说明理由；
在 Rt△ ODC 中，OC＝ CD2＋OD2＝ 22＋12＝ 5， ∴CP＝OC－OP＝ 5－1.
小结与反思：本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定 理，四边形的综合知识等，综合性较强，特别是第(4)题要认真 分析．
线动
例 2：(2013 年甘肃兰州)如图 Z8-4，量角器的直径与直角
三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与 点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3°的速 度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E，则第 24 秒点 E 在量 角器上对应的读数是________．
面动 例 3：(2013 年山东潍坊)如图 Z8-5，将一个边长为 2 的正 方形 ABCD 和一个长为 2，宽为 1 的长方形 CEFD 拼在一起， 构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时
针旋转至 CE′F′D′，旋转角为α. (1)当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角α的值； (2)如图 Z8-6，G为 BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′
(2)如图 Z8-1②，当 E，F 分别移动到边 DC，CB 的延长线 上时，连接 AE 和 DF，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答
“是”或“否”，无需证明)
(3)如图 Z8-1③，当 E，F 分别在边 CD，BC 的延长线上移 动时，连接 AE，DF，(1)中的结论还成立吗？请说明理由； (4)如图 Z8-1④，当 E，F 分别在边 DC，CB 上移动时，连 接 AE 和 DF 交于点 P，由于点 E，F 的移动，使得点 P 也随之 运动，请你画出点 P 运动路径的草图．若 AD＝2，试求出线段
CP 的最小值．
①
②
③
图 Z8-1
④
思维点拨：(1)AE＝DF，AE⊥DF.先证得△ADE≌△DCF.
由全等三角形的性质，得 AE＝DF，∠DAE＝∠CDF，再由等 角的余角相等，可得 AE⊥DF. (2)是．∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＝ ∠DCF＝90°，DE＝CF，∴△ADE≌△DCF，于是 AE＝DF， ∠DAE＝∠CDF.∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∠DAE＋∠ADF＝ 90°，∴AE⊥DF.
∵CD∥EF，∴∠α＝30°.
(2)证明：∵G 为 BC 中点，∴CG＝1.∴CG＝CE. ∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′， ∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°， 且 CE′＝CE＝CG，CD′＝CD.
∴∠GCD′＝∠DCE′＝90°＋α.
在△GCD
和′DCE′中，
CD′＝CD， ∠GCD′＝∠E′CD， CG＝CE′，
专题八 动态问题
动态几何问题就是研究在几何图形的运动中伴随着一定的
图形位置、数量关系的 “变”与 “不变”性．就其运动对象
而言，有 “点动” “线动”和“面动”；就其运动形式而言，
有“移动”“滚动”“旋转”和“翻折”等． 动态几何问题常集几何、代数知识于一体，数形结合，有 较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，动静结合，能够在
解：(1)AE＝DF，AE⊥DF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°. 又∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF(SAS)． ∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF. 又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°. ∴∠APD＝90°，即AE⊥DF. (2)是．