矩阵理论 第一章线性空间与线性变换
11线性空间
P[x]n {an xn an1xn1 a1x a0 an , an1,, a0 R}
对于通常的多项式加法，数与多项式的乘法构成线性空 间．
例 4 在实数域上， m n 矩阵全体 Rmn 按照通常矩阵的
加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
例 1. 实数域 R 按照实数间的加法与乘法，构成一 个自身上的线性空间，仍记为 R ．
例 2 分量属于数域 P 的全体 n 元数组 (x1, x2 , , xn )T 按照通常的加法与数与 n 元数组的乘法，构成 P 上的一个 线性空间，记作 Pn ．当 P = C 时，Pn 称为 n 元复线性空间， 记作 C n ；当 P = R 时，Pn 称为 n 元实线性空间，记作 Rn ．
S x Ax , x Cn 是否构成线性空间？
例 9 设 an ,bn 是两个收敛于 0 的实数无穷序列，则
lnim(an
bn
)
lim
n
an
lim
n
bn
0；
且 a R, 有
lim
n
aan
a
lim
n
an
0；
并且易证八条性质也成立． 所以，一切收敛于 0 的实序列对于如上
此基称为 R n 的标准基． 因对于任意的 (a1, a2 , , an )T R n ，
有
a11 a2 2 an n ，
所以 在基1, 2 ,, n 下的坐标为 (a1, a2 ,, an )T ．
例 15 在 Rn 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1),T 2 (0,1,1,,1)T , ， n (0,0,,0,1)T 也是 R n 的一个基，因为对于任意的 (a1, a2 , , an )T R n ，有
矩阵论 第一章 线性空间和线性映射
和乘法* 例：数域是一个集合含有加法+和乘法 数域是一个集合含有加法 和乘法
含有元素0，满足对任何元素a，有 a+0=a； 含有元素 ，满足对任何元素 ， ； 含有1，满足对任何元素 ， 含有 ，满足对任何元素a，有 a*1=a； ； 任何元素 a 存在负元素 b，满足 ，满足a+b=0； ； 非零元素a存在逆元素 ，满足a*b=1； 非零元素 存在逆元素b，满足 存在逆元素 ； 对加法和乘法封闭
线性空间的定义（ 线性空间的定义（续）
（5）数1：对α∈V，有： ） ： ∈ ， 1α=α （6）对k,l∈F,α∈V 有： ） ∈ ∈ (kl) α= k (l α) （7）对k,l∈F,α∈V 有： ） ∈ ∈ (k+l) α= k α+l α （8）对k∈F,α, β∈V 有： ） ∈ ∈ k (α+β)= k α+k β 上的线性空间。 称这样的集合 V 为数域 F 上的线性空间。 可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。 可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 = 1, y2 = 1, y3 = 1, y4 = 4
设
基变换与坐标变换 旧的） α1 , α 2 , , α n（旧的）与 β1 , β 2 , , β n
∞
[a1, a2 , a3 , ] + [b1, b2 , b3 , ] = [a1 + b1, a2 + b2 , a3 + b3 , ] k[a1, a2 , a3 , ] = [ka1, ka2 , ka3 , ]
上的一个线性空间。 则 R∞ 为实数域 R上的一个线性空间。 上的一个线性空间
电磁场中的矩阵理论及应用
⎡ a11 a12
⎢ ⎢
a21
a22
a1 j
a1N ⎤
a2 j
a2 N
⎥ ⎥
⎢
⎥
行i →
⎢ ⎢
ai1
ai 2
aij
aiN
⎥ ⎥
=
A
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣aM1 aM 2
aMj
aMN ⎥⎦
↑
列j
(1‐16)
M × N 矩阵 A 可以写成 M 块行向量Vi (i = 1, 2, , M )
2
第一章 线性空间与线性变换
(1‐6)
X 和Y 的点积是一个标量值，表示为 X iY = x1 y1 + x2 y2 + + xN yN
(1‐7)
1
电磁场中的矩阵理论与计算
向量 X 的长度（范数）定义为
( ) X = x12 + x22 + + xN2 1/2
(1‐8)
式(1-8)称为向量 X 的欧几里得范数。
如果 X 和Y 表示位置向量， N 维空间中两点 X 和Y 的距离可表示向量差的范
向量 X 和Y 相等当且仅当它们对应的各分量相等，设向量Y = ( y1, y2, , yN )
X = Y if and only if xj = y j 其 中 j = 1, 2, , N
(1‐2)
向量 X 与Y 的和是它们对应的各分量分别相加得到的向量，表示为
X + Y = ( x1 + y1, x2 + y2 , , xN + yN )
r( A) = r(PA) = r(AQ)
(1‐25)
证 由定理 1.2的后一个不等式，得 r( A) ≥ r(PA) ≥ r(P−1(PA)) = r( A) 。同理可 证其余部分。
研究生《矩阵论》教学大纲
《矩阵论》教学大纲Matrix Theory第一部分大纲说明1. 课程代码：2. 课程性质：专业学位课3. 学时/学分：40/2.54. 课程目标：《矩阵论》课程旨在培养学生学习和掌握信息计算相关的矩阵基础理论及矩阵计算方法。
通过本课程的学习，使得学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础之上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识，为学习后续课程、开展工程与科学研究打下必要基础。
5. 教学方式：课堂讲授6. 考核方式：考试7. 先修课程：线性代数、高等数学9. 教材及教学参考资料：（一）教材：《矩阵论》科学出版社，主编戴华（二）教学参考资料：《矩阵论》华中科技大学出版社主编杨明，刘先忠第二部分教学内容和教学要求第1章线性空间与线性变换教学内容：1.1线性空间的基本概念及性质1.2线性变换及其矩阵表示教学要求：理解线性空间的定义，理解线性空间的基、维数与坐标变换等知识，了解线性空间的子空间。
第2章矩阵的对角化、Jordan标准形教学内容：2.1 矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵相似与相似对角化2.3 Hermite矩阵与Hermite二次型2.4 矩阵2.5 矩阵相似的条件2.6 矩阵的Jordan标准形教学要求：掌握矩阵的相似对角化方法；了解Hermite矩阵的概念，掌握向量组正交标准化的方法；理解初等因子及相关理论，掌握矩阵Jordan标准形的求解方法。
第3章矩阵分解教学内容：3.1 Gauss消去法与矩阵的三角分解3.2 矩阵的QR分解3.3 矩阵的满秩分解3.4 矩阵的奇异值分解教学要求：掌握矩阵的三角分解方法，掌握矩阵的QR分解及满秩分解方法，了解矩阵的奇异值分解。
第4章欧式空间与酉空间教学内容：4.1 欧式空间与酉空间的定义4.2 Schmidt正交化方法4.3 酉变换与正交变换教学要求：理解欧式空间的概念，理解酉空间的概念，会判断一个空间是否为酉空间；了解酉变换与正交变换；掌握向量组正交标准化的方法。
矩阵分析 第一章
矩阵的代数性质1.矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2.矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。
学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：a ij =a ji也可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为： Ax=∇f(x), 其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x 处的梯度。
3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。
反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。
图像压缩就是矩阵的表示问题.这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。
4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。
很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。
第一章：线性空间和线性变换1. 线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。
集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。
整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。
集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设S ，S'为集合映射：为一个规则σ：S → S', 使得S 中元素a 和S'中元素对应，记为 a'=σ(a),或σ：a →a'. 映射最本质的特征在于对于S 中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。
映射的原象，象；映射的复合。
高等工程数学笔记
⾼等⼯程数学笔记⾼等⼯程数学笔记第⼀部分矩阵理论（矩阵分析）第⼀章线性空间与线性变换⼀、线性空间的概念1.数域：含有⾮零数的数集F ，F 中四则运算封闭即F b a ∈?,，有)0(,,,≠∈∈?∈-∈+b F ba Fb a F b a F b a常见数域：有理数域Q ，实数域R ，复数域C 其他数域：{}{}{}{}1,,1,Q ,Q ,3Q ,222321-=∈+=-=∈+=∈+=∈+=i R b a bi a C i b a bi a F b a ba Fb a b a F整数集Z 不是数域数域特点：F F F ∈∈∈整数,0,1C F Q ??2.线性空间的定义设V 是⼀个⾮空集合，F 是⼀个数域，V 中元素定义了两种运算①加法②数乘即V ∈?βα,，有唯⼀V ∈+βα与之对应；F R V ∈?∈?,α，有唯⼀V k ∈α与之对应，并且满⾜：(1) V ∈?βα,，有αββα+=+(2) V ∈?γβα,,，有)()(γβαγβα++=++(3)V 中存在零元θ，使得V ∈?α，总有αθαθα+==+(4) V V ∈?∈?βα,，使得θβα=+，记αβ-=（称为α的负元） (5) F l k ∈?,，V ∈?α，有αααl k l k +=+)( (6) V F k ∈?∈?βα,,，有βαβαk k k +=+)( (7) V F l k ∈?∈?α,,，有ααα)()()(kl k l l k == (8) αααα-=-=)1(,1则称集合V 为数域F 上的⼀个线性空间。
3.线性空间的例⼦例1.(1) R F R V n ==,+++=+ =?=n nn nb a b a b a b b b a a a22112121,βαβα ??=?=∈?000,,21θαnka ka ka k F k V 称为F 的线性空间(2) C F C V n ==,，V 也构成F 上的线性空间例2. (1) R F RV nm ==?,n m ij mn m m n n n a a a a a a a a a a a a a A ?===)(21332312222111211记α V b B n m ij ∈==?)(βn m ij ij mn mn m m nn b a ba b a b a b a B A ?+=++++=+=+)(11111111βα==∈mn m m n ka ka ka ka ka ka kA k F k2111211,α=000000000θ V 构成F 上的线性空间(2) C F C V n m ==?, V 构成F 上的线性空间例3.{}R Fb a b a C V ===,],[],[成的集合上的实的连续函数所组],[)(),(b a C x g x f ∈==?βα有],[)()(b a C x g x f ∈+=+βα],[)(,b a C x kf k R k ∈=∈?αθ=恒为0的常数函数 V 构成F 上的线性空间例4.设F 为⼀个数域，令{}n n n n t F F aa a t a t a t a a V ][,,110112210记=∈++++=--- ={数域F 上关于t 的次数⼩于n 的多项式或零多项式} V 构成数域F 上的线性空间4.性质设V 是数域F 上的⼀个线性空间，则 (1) V 中零元θ⼀定存在⽽且唯⼀(2) V ∈?α，则α的负元⼀定存在⽽且唯⼀ (3) V F k ∈∈α,，则θαθα==?=或0k k 为讨论⽅便，把线性空间V 的元素称为⼴义向量。
矩阵论第一章第二节
是一个线性变换. 是一个线性变换
线性变换的简单性质 1．σ 为V的线性变换，则 ． 的线性变换， 的线性变换
σ (0) = 0, σ ( −α ) = −σ (α ).
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 ．线性变换保持线性组合及关系式不变， 若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 σ ( β ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ). 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 ． 的向量组. 的向量组 即
线性变换， 例． V = P[ x ]或P[ x ]n 上的求微商是一个 线性变换， 表示， 用D表示，即 表示
D : V → V , D( f ( x )) = f ′( x ), ∀f ( x ) ∈ V
例. 闭区间 [a , b] 上的全体连续函数构成的线性空间
C ( a , b ) 上的变换 J : C ( a , b ) → C ( a , b ) , J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
则有
y1 x1 y2 x2 M ＝ A M . y x n n
证：由已知有
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A,
x1 x2 ξ＝( ε 1 , 2 ,L , ε n ) , ε M x n y1 y2 σ (ξ ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) . ε M y n
B = X AX .
−1
证：由已知，有 由已知，
σ ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) A, ε ε
矩阵理论及方法(谢冬秀,雷纪刚,陈桂芝编著)PPT模板
第7章矩阵的广义逆与直积及其应用
7.1矩阵的几种广义逆
01
7.1.1广义逆矩阵的基本概 念
03
7.1.3自反减号逆A<sup></sup><sub>r</sub>
05
7.1.5最小二乘广义逆A<sup></sup><sub>l</sub>
02
7.1.2减号逆
04
7.1.4极小范数广义逆A<sup></sup><sub>m</sub>
01
习题6
06
6.2随机矩 阵与双随 02 机 矩 阵
6 . 5 T o e p l 05 itz矩阵与 Hankel
矩阵
04
6.4广义对 角占优矩阵
6.3M矩
03
阵与 Stieltje
s矩阵
第6章几类特殊矩阵
6.1非负矩阵
6.1.2非负矩 阵谱半径的 界
6.1.1Perron -Frobenius 定理
2.4.3常用的 直接三角分 解法
第2章矩阵的变换与分解
2.5QR分解
2.5.1QR分解的概念
2.5.2QR分解的实际求 法
2.5.3基于QR分解的参 数估计问题
2.5.4矩阵与Hessenberg矩 阵的正交相似问题
04 第3章矩阵范数及其应用
第3章矩阵范数及其应用
3.1向量范数
3.2矩阵范数
06
7.1.6加号逆 A<sup>+</sup>
第7章矩阵的广义逆与直积及其应用
7.2广义逆与线性方程组的解