高数：已知函数y=e^x-e^（-x）是某个一阶线性微分方程的特解，求这个微分方程。
一阶微分方程习题课
sin
2y
2 sin
y cos
y, d
tan dy
y
1 cos2
. y
对方程做恒等变形得，
1 cos2
y
dy dx
x( 2 sin y cos y
x2)
0.
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自然做变化
z tan y, 原方程化为：
dz 2xz x3. dx
求解上面的线性方程得：
tan y 1 (x2 1) Cex2 . 2
(03考研)
解: (1) F(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g 2(x) f 2(x)
[g(x) f (x)]2 2 f (x)g(x)
(2ex )2 2F(x)
所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:
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F(x) 2F(x) 4e2x
(2) 由一阶线性微分方程解的公式得
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( z z)dx (x2 x)dz 0
这是一个变量可分离方程，求解得
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1 1 C(1 z )2. x
故原方程的通解为
1 1 C(1 y )2.
x
x
例 3 求方程
dy x x2 y
（3）
dx
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解：该方程求解的困难在于右端的根号，
我们希望去根号，因此，做变化
x
( 6x3 3xy2 ) dx (3x2 y 2y3) dy 0
P 6xy Q
y
x
故这是一个全微分方程 .
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例2. 求下列方程的通解:
(1) xy y y ( ln x ln y )
解一阶线性微分方程
解一阶线性微分方程一阶线性微分方程是一类常见的微分方程，解决这类问题的方法有很多。
本文将介绍一些解线性微分方程的方法及其相关理论。
一、定义一阶线性微分方程（简称线性微分方程）是指具有如下形式的微分方程：a(x)yb(x)y=f(x)其中，a(x)，b(x)和f(x)是在区间[a，b]内定义的连续函数，y 是未知函数，y表示y的导数。
二、解法1.一般解一般解是指不考虑特殊情况的一般的解法，也就是通用的解法。
设定f(x)=0，a(x),b(x)不全为0则在[a,b]之间有：y= Cexp(-∫b(x)/a(x)dx) +f(x)exp(∫b(x)/a(x)dx)dx 其中C是一个任意常数。
2.特殊解特殊解是指考虑特殊情况时，要使用的特殊的解法。
（1）a(x)=b(x)=0，f(x)=g(x)则有：y=Cx+∫g(x)dx其中C是一个任意常数。
（2）a(x)=b(x)=0，f(x)不等于0则有：y=Cexp(∫f(x)dx)其中C是一个任意常数。
（3）a(x)不为0，b(x)=f(x)=0则有：y=C其中C是一个任意常数。
三、实例下面举一个实例来讲解解线性微分方程的方法及其实际应用。
实例：解 y+y=x+2（x>0）解：这里a(x)=1，b(x)=1，f(x)=x+2，因此有y=C*exp(-x)+x+2-2即y=Cexp(-x)+x取x=0时，有C=y0综上，得通解为：y=y0exp(-x)+x四、总结线性微分方程是一类常见的微分方程，一般可以用一般解法和特殊解法来解决。
一般解法适用于大多数情况，而特殊解法是在一般解法不能够满足特殊约束的情况下使用的，它们非常灵活，能够满足各种不同的需求。
本文介绍了解一阶线性微分方程的方法，以及其实际应用的一个实例，希望对读者有所帮助。
一阶线性微分方程及其解法2
f ( xy , x y)
2 2
x 2
2
xy
2
xy 2 f ( x, y ) x y 2 0
x2 y2 0 . x2 y2 0
1 , x 1 2 因此方程满足初始条件的特解为
由y
0得 C
1 1 1 y 2 x 2x2
2
y 这是齐次方程， 令 u ,即 y xu x
故 代入得：
dy du ux dx dx
du u ux dx u 1
2
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：
1 1 dx 1 du x u
u ln|u| ln|x| ln|c
y 3 x y
其中 P ( x ) 1 ,
dx
Q( x ) 3 x
e x 3 xe x dx C ex
x
3 xde
dxdx C 3x e
C
e x 3( xe x e x dx) C
k t e m
k t g e m dt
k k t t m e m g d (e m ) C C k
k t e m (g
m k
k t em
mg Ce C) k
k t m
由 v t 0 0 得
1 1 C 1 x2 2 xC 2 2 x x x 2
1 , x 1 2 因此方程满足初始条件的特解为
由y
0得 C
一阶微分方程解的形式
一阶微分方程解的形式一阶微分方程是数学中常见的一类方程，它涉及到未知函数的一阶导数。
求解一阶微分方程是微分方程学的基本内容之一，也是应用数学中的重要工具。
一阶微分方程的解具有一定的形式，可以通过变量分离、恰当形式、线性、可降阶等方法进行求解。
一阶微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是给定的函数。
我们的目标是找到函数y(x)的表达式，使得方程左侧和右侧的函数相等。
我们来看一个简单的例子。
考虑一阶线性微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
这个方程可以通过乘以一个积分因子的方法来求解。
积分因子可以表示为μ(x) = exp[∫p(x)dx]，其中exp表示指数函数。
通过乘以积分因子，我们可以将方程变为d[y(x)μ(x)]/dx = q(x)μ(x)。
然后，对等式两边进行积分，即可得到y(x)的表达式。
除了线性微分方程，还有一些特殊的一阶微分方程解的形式。
例如，可分离变量的一阶微分方程可以通过变量分离的方法来求解。
这类方程可以表示为dy/dx = g(x)h(y)，其中g(x)和h(y)是已知函数。
我们可以将方程变形为dy/h(y) = g(x)dx，然后对等式两边进行积分，最后得到y(x)的表达式。
一阶齐次线性微分方程的解的形式也具有特殊的形式。
一个一阶齐次线性微分方程可以表示为dy/dx = F(y/x)，其中F是一个已知函数。
通过变量替换y = vx，我们可以将方程化简为dv/dx = (F(v) - v)/x。
然后，我们可以通过分离变量或者其他的方法来求解这个方程。
除了上述的几种解的形式外，还有一些其他的方法可以用于求解一阶微分方程。
例如，可以通过恰当形式的方法来求解一些特殊的微分方程。
此外，一阶微分方程还可以通过可降阶法、变量替换、常系数线性微分方程等方法来求解。
总结起来，一阶微分方程的解具有一定的形式，可以通过变量分离、恰当形式、线性、可降阶等方法进行求解。
高等数学8.3.一阶线性微分方程的解法
i|t00．
方程 di R i Em sinw t 为非齐次线性方程，由其通中解公式，得
dt L L
i(t)e PP((tt))ddtt (
Q(t)e PP((tt))ddtt
dtC)
e
RRddtt LL
(
Emm
s in w
t
e
RRddtt LL
两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC，
方程的通解为
这就是齐次线性方程和通解
yC(x2)．
（积分中不再加任意常数）．
非齐次线性方程的解法： 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x)，把
y u(x) e P(x)dx
设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得
uln |u1|xC． yln |xy1|C，
或
xC 1ey y1 (C 1 e C )．
§8.3一阶线性微分方程的解法
一、线性方程
线性方程、齐次线性方程的解法 非齐次线性方程的解法
一、 一阶微分线性方程
线性方程：
下列方程各是什么类型方程？
方程 dy P(x)y Q(x) dx
叫做一阶线性微分方程．
(1) 3x25x5y0； (2) dy 10xy ；
dx
如果Q(x)0 ，则方程称为齐
R 2 w 2 L2
经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化 为已知其求解方法的方程．
例 5 解方程dy 1 ． dx x y
解 令xyu，则原方程化为
du 11 ，即 du u 1 ．
dx u
dx u
分离变量，得
u du dx， u 1
两端积分得 以uxy代入上式，得
高数微分方程
高数微分方程高数微分方程是高等数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然现象或数学模型的一类方程，同时也被广泛应用于物理、化学、生物、经济等领域。
本文将从定义、分类、解法及应用等多个方面深入探讨高数微分方程这一课题。
一、定义微分方程是一类用导数描述的方程，通常表示为y'=f(x,y)（一阶）或y''=f(x,y,y')（二阶）等形式。
其中x为自变量，y为因变量。
微分方程分为一阶和高阶两种，解析式解不容易求出，通常需要借助某些数学工具来解决。
二、分类微分方程分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程中，只含有一个自变量，其导数只包含一阶或高阶导数，方程中未出现偏导数。
常微分方程又分为：1）可以直接通过初值求解的常微分方程。
y' = f(x, y)，y(x0) = y0这种常微分方程称作初值问题，因为y(x0) = y0称作初值。
2）可以直接通过边值求解的常微分方程。
y'' = f(x, y)，y(a) = α, y(b) = β这种常微分方程称作边值问题，因为y(a) = α,y(b) = β称作边值。
偏微分方程中，含有两个或两个以上自变量的导数关系方程，方程中出现偏导数, 通常用来描述空间或时间上的变化过程。
三、解法常微分方程的求解方法分为以下三种：1）分离变量法对于方程y=f(x)+g(y), 其中f(x)仅是自变量x的函数，g(y)仅是因变量y的函数。
这种形式的方程，我们可以采用分离变量法来求解。
具体来说，就是将方程两边联合，然后分离出x和y的部分，将其进行积分，最后得到通解。
实际上，分离变量法就是一种利用变量分离来求解微分方程的方法。
2）齐次微分方程法对于方程y'=f(x,y), 其中f(x,y)是x,y的线性组合，若对于任意实数a,b,都有f(ax,by)=f(x,y)两边等式成立，则称其为齐次微分方程。
此时，我们可以引入新的变量z=y/x，将原方程化为z'=f(z)-x/z，这是一个齐次微分方程。
常微分方程练习题
常微分方程练习题在数学中，微分方程是研究函数及其导数之间关系的方程。
常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是指只含有一个自变量的微分方程。
常微分方程的研究对于很多领域都具有重要意义，比如物理学、经济学、工程学等。
本文将通过一些常见的常微分方程练习题来帮助读者巩固对这一概念的理解。
练习题一：一阶线性常微分方程求解微分方程 $\frac{{dy}}{{dx}} + y = 2x$。
解答：根据微分方程的一阶线性常数系数形式，我们可以将方程写为$\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)$ 的形式，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) =2x$。
首先，我们求解齐次线性微分方程 $\frac{{dy_{h}}}{{dx}} + y_{h} = 0$。
解得 $y_{h} = Ce^{-x}$，其中 $C$ 为常数。
接下来，我们求解非齐次线性微分方程的特解。
首先，我们猜测特解形式为 $y_{p} = Ax + B$，代入微分方程得到 $A = 2$，$B = -1$，因此特解为 $y_{p} = 2x - 1$。
最后，将齐次解和特解相加，得到原微分方程的通解为 $y = Ce^{-x} + 2x - 1$。
练习题二：二阶齐次常微分方程求解微分方程 $y'' - 4y' + 4y = 0$。
解答：首先，我们设 $y = e^{rx}$，代入微分方程得到 $r^{2} - 4r + 4 = 0$。
解这个二次方程得到重根 $r = 2$。
因此，齐次线性微分方程的通解为 $y = (C_{1} + C_{2}x)e^{2x}$，其中 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 为常数。
练习题三：二阶非齐次常微分方程求解微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 4x^{2} + 1$。
解答：首先，我们求解齐次线性微分方程 $y'' + 3y' + 2y = 0$。
微积分-一阶线性微分方程的解
一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。
接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
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高数：已知函数y=e^x-e^（-x）是某个一阶线性微分方程的
特解，求这个微分方程。
高数：已知函数y=e^x-e^（-x）是某个一阶线性微分方程的特解，
求这个微分方程。
可以这样求：
y=e^x-e^(-x)
y'=e^x+e^(-x)
两式相加：y'+y=2e^x
这就是所求的一阶线性微分方程。
已知某四阶常系数齐次线性微分方程的特解e^-x,e^x,sinx,cosx,求
该微分方程
由解e^(-x)知道-1是特征方程的根，由解e^x知道1是特征方程
的根，由解sinx.cosx知道±i是特征方程的根，而特征方程是一元四次
方程，所以特征方程是(r+1)(r-1)(r^2+1)=r^4-1，所以所求四阶常系
数齐次线性微分方程是y^(4)-y=0。这里y^(4)代表y的四阶导数。
求一阶线性微分方程的特解
这是最基础的变量分离。
dy=2xydx
dy/y=2xdx
两边求积分：
ln(y)=x^2+C
y(1)=1带入求出C
0=ln(1)=1^2+C，所以C=-1
所以：ln(y)=x^2-1
y=e^{x^2-1}
这个一阶线性微分方程怎么解。
dy=xe^(-x)dx
两边积分，得
∫dy=∫xe^(-x)dx
y=-∫xde^(-x)
=-xe^(-x)+∫e^(-x)dx
=-xe^(-x)-e^(-x)+c
高数一阶线性微分方程问题
根据题意
dy/dx=2x+y
即dy/dx-y=2x
dy/dx-y=0的通解：
dy/dx=y
dy/y=dx两边积分得
∫dy/y=∫dx
ln|y|=x
y=Ce^x
再求dy/dx-y=2x的通解
设C=μ（x）则y=μe^x代入dy/dx-y=2x
得μ’e^x+μe^x-μe^x=2x
整理得μ’=2xe^(-x)
μ=∫2xe^(-x)dx=-2x·e^（-x）-∫2·（-e^(-x)）dx+C==-2x·e^
（-x）-2e^(-x)+C
代入y=μe^x得
y=-2x-2+Ce^x
由于此曲线过原点即-2+C=0 C=2
所以y=2e^x-2x-2
微分方程 求解答 这种是一阶线性微分方程吗？？
是，你把方程倒过来
dx/dy=px+q
p=cosy, q=e^(siny)
x对y就是一阶线性方程，公式法你会的
为什么 xdx=(x+y)dy不是一阶线性微分方程，而ydx=(x+y^2)dy
却是一阶线性微分方程？
线不线性不一定是看y的
线性的定义如下
对于微分方程 Ly=f(y',y)=rhs
rhs表示与y无关的项
只需要L(a*y)=a*L(y)
L(y1+y2)=L(y1)+L(y2)
那么方程就是线性的
A.Ly=y'-x*siny=10
L(2y)=2y'-x*sin(2y)
显然sin(2y)不恒等于2sin(y)
所以L(2y)不等于2L(y),非线性
倒过来看
Lx=x'-1/(10+xsiny)显然非线性
B.看Ly=y'-y/(x+y^2)时显然非线性
但是看Lx的话却是线性的
Lx=x'-x/y=y
L(x1+x2)=(x1+x2)'-(x1+x2)/y=L(x1)+L(x2)
L(a*x)=ax'-ax/y=a(x'-x/y)=aL(x)
所以线性
C.D.同理可得非线性
线性方程不一定是对于dy/dx的，也可以是dx/dy的
大一高数一阶线性微分方程求解
贝努力方程。设 z = y^(1-4) = 1/y^3, 则 y = z^(-1/3), 代入方程
得
(-1/3)z^(-4/3)z' + (1/3)xz^(-1/3) = (1/3)xz^(-4/3)， 即 z' - xz
= -x，
z = e^(∫xdx)[∫-xe^(-∫xdx)dx + C] = e^(x^2/2)[∫-xe^(-
x^2/2)dx + C]
= e^(x^2/2)[∫e^(-x^2/2)d(-x^2/2) + C]
= e^(x^2/2)[e^(-x^2/2) + C] = 1 + Ce^(x^2/2).
得 y^3[1 + Ce^(x^2/2)] = 1
这个一阶线性微分方程怎么做？？
C'(x)/x=sinx/x
C'(x)=sinx
C(x)=C-cosx
y=C/x-cosx/x
一阶线性微分方程求详解
对的，可以化为关于x的一阶线性方程（两边除以dy）