数学勾股定理及逆定理
初中数学勾股定理及其逆定理
勾股定理中考要求知识点睛1． 勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。
CAB cba如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。
4．勾股数：满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。
例题精讲【例1】 下列说法正确的是（ ）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【解析】在直角三角形中,才可应用勾股定理.其次,要注意边和角的对应.选D. 【答案】D【例2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为 【解析】可知三边为345，，，所以周长为12 【答案】12【例3】 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 【解析】勾股数中只有唯一的一组:6，8，10. 【答案】6，8，10【巩固】在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______． 【解析】设另外两个数为1n n +，，则()222111n n +-=，故三个数分别为666511，， 【答案】132cm ．【例4】 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定【解析】整体代入法.应用平方差公式.选C. 【答案】C【例5】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.8【解析】本题易错.最短边为6，它的高为8.选D .【答案】D【例6】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【答案】B【例7】 在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c =_______； （2）如果68a b ==，，则c =_______； （3）如果512a b ==，，则c =________； （4）如果1520a b ==，，则c =________.【解析】直接应用勾股定理,且c 为斜边. (1)5；(2)10；(3)13；(4)25. 【答案】(1)5；(2)10；(3)13；(4)25【例8】 △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．(1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______； (2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______；(3)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______； (4)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______．【答案】(1)13； (2)9； (3)2，3； (4)1，2．【例9】 如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为______．【答案】52【例10】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【解析】直接计算,只有AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为2.选C. 【答案】C【例11】 如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（ ） cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【解析】a= b，c= 选D. 【答案】D【例12】 蚂蚁沿图中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）【解析】把折线从A 到D,分三段计算.第1段长为5,第2段长为13,第3段长为10,进行加法计算,所以蚂蚁一共爬了28cm .【答案】28cm【例13】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长. 【解析】①当两直角边为3和45=；②当斜边为4，一直角边为3【答案】5【例14】 若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能是 ．【答案】【例15】 等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．【答案】5【例16】 已知直角三角形两边x ，y的长满足240x -，则第三边长为______________．【解析】根据绝对值和平方根的非负性可知：．【答案】【例17】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C 到旗杆底部B 的距离为CBA【解析】设BCx=米，则()8AC x=-米，因为6AB=米，根据勾股定理可得：()22268x x+=-，解答74x=，故折断点C到旗杆底部的距离为74米【答案】74【例18】如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．“路”4m3m【解析】直接应用勾股定理可知,少走了5m.又知2步为1米,所以少走了10步.【答案】10【例19】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于．【答案】6【例20】R t△ABC中，斜边BC＝2，则222AB AC BC++的值为( )．【答案】8【例21】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，•如果8cmAB=，10cmBC=，EC的长为．【解析】由题意得，10cmAF AD==.在ABF∆中，应用勾股定理得，6cmBF=.所以1064FC BC BF=-=-=.在CEFEC x=，得∆中，应用勾股定理，设cm()222-=+.84x x解得3EC=.x=即3cm【答案】3cm【例22】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，则BC的长为．【解析】过点D作AB的垂线DE，设BC为x，则AB为2x，BE BC xAE===，310【答案】.3【例23】一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．【解析】题目要求只在平面状态下考虑,所以直接用勾股定理可知铁条最长为25.【答案】25【例24】如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和3求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？【解析】这是立体几何问题.盒子内两点间最长距离是长方体的斜对角线.22（10）=20cm.++2863细木棒露在盒外面的最短长度是25-20=5cm.【答案】5cm【例25】将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外边的长度为cmh，则h的取值范围为【答案】2.3cm【例26】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为．【答案】225【例27】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为【答案】100【例28】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h c；(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．【答案】(1)a＝45cm．b＝60cm；(2)540；(3)a＝30，c＝34；(4)63；(5)12【例29】如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．【答案】.5【例30】在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．【答案】4【例31】如图，△ABC中，∠C＝90°．(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S1＋S2与S3的关系；(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S 1＋S 2与S 3的关系； (3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S 1＋S 2与S 3的关系．图① 图② 图③【解析】(1)()213S AC =，()223S BC ，()233S AB 【答案】(1)S 1＋S 2＝S 3；(2)S 1＋S 2＝S 3；(3)S 1＋S 2＝S 3。
人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件 (共15张PPT)
知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,
勾股定理及勾股定理的逆定理
八年级上册全科资料群5526293231. 勾股定理文字表述符号语言在直角三角形中，如果两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.2.勾股定理命名依据我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理,国外称为毕达哥拉斯定理.勾股定理反映了直角三角形中三边之间的平方关系，它把图形的特征转化成了数量之间的关系.相传2500多年前，古希腊有一位非常著名的数学家毕达哥拉斯，他善于观察和思考问题，经常从生活中寻找一些数学问题，有一次，他到朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边长度平方的某种数量关系.(2)在应用时，要分清哪个是直角边的长、斜边的长及直角边和斜边的位置；(3)已知直角三角形的两条边长，可求第三条边长.除勾股定理外，要注意勾股定理的如下两种变形：①b2=c2–a2，②a2 =c2–b2(其中a和b为直角边，c为斜边).示范例题例题1. (解析题)在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)若a=6，b=8，求c；(2)若b=5，c=13，求a；(3)若a:b=3:4，c=20，求a和b.【答案】见解析【解析】在△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得a2+b2=c2.(1)∵a2+b2=c2，∴c2=a2+b2=62+82=100，∴c=10.(2)∵a2+b2=c2，∴a2=c2-b2=132-52=144，∴a=12.点拨已知直角三角形两边之比及第三边的长，常用设参数的方法把两边表示出来，然后利用勾股定理求出第三边，就可求出两边的长.知识点2 勾股定理的证明【重点】勾股定理的验证方法较多，例如，以下动图很好地展示了边长为a的正方形的面积加上边长为b的正方形的面积，等于边长为c勾股定理证明勾股定理证明最佳勾股定理证明勾股定理证明另外，还有常用的拼图法：式，通过化简等运算就可验证勾股定理.举例列表如下：拼图法1拼图法2拼图法3 划重点用拼图法证明勾股定理的关键是抓住图形面积间的关系，即用不同的面积形式表示同一个图形的面积.示范例题例题1. (解析题)如图1，是用硬纸板做成的两个完全一样的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c 为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？(2)用这个图形证明勾股定理；(3)假设图1中的直角三角形有若干个，你能运用图1中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图.【答案】见解析【解析】(1)如下图，是直角梯形.(3)如下图所示，拼出能证明勾股定理的图形.用拼图法证明勾股定理，关键是抓住图形面积间的关系，利用同一个图形面积的不同表示法，列等式证明.知识点3 勾股定理的逆定理【重点】1. 勾股定理的逆定理文字表述三角形是直角三角形.数学语言在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形.的思想.(3)在判定时不能说成“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.(4)a2+b2=c2只是一种表现形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+ c2的也是直角三角形.2. 直角三角形的判定方法(1)利用定义如果有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形.当题目中的条件与角有关时，常用此方法.(2)利用勾股定理的逆定理.先找出最长边，再计算两个短边的平方和，看它与最长边的平方是否相等.若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形.当已知三边的长或三边之间的关系时，常用此方法.示范例题例题1. (解析题)判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.(1) 在△ABC中，AB=12，BC=20，CA=16；(2) 在△ABC中，AB=52，BC=42，CA=32；(3) △ABC的三边分别为2n，n2 –1，n2 +1(n为正整数).【答案】见解析【解析】(1) ∵AB2 +CA2=122+162=144 +256=400，而BC2=400，∴AB2+CA2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠A为直角.(2)∵BC2+CA2=(42)2+(32)2=256+81=337，而AB2=(52)2=625，∴BC2+CA2≠AB2，∴△ABC不是直角三角形.(3) ∵(n2 +1)2 = n4 +2n2 +1，(n2-1)2 =n4 –2n2+1，(2n)2 =4n2.∴(n2+1)2 =n4 +2n2 +1=(n4 -2n2+1) +(4n2) ，即(n2 +1)2 = (n2 –1)2 +(2n)2，∴△ABC是直角三角形，且长度为n2 +1的边所对的角为直角.做第(2)题时要注意不要由32+42=52，得出三角形是直角三角形.知识点4 勾股数【基础】1. 定义2. 判别勾股数的一般步骤这三个数不是一组勾股数.(2)如果一组数是勾股数，那么当它们扩大相同整数倍(3)常见的勾股数有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17；④7,24,25；⑤5,12,13；⑥9,12,15.(1)毕达哥拉斯发现的勾股数组:2n+1,2n2 +2n,2n2+2n+1(n是正整数).当n=2时，可以得到一组勾股数5,12,13.(2)柏拉图发现的勾股数组:2n,n2-1,n2 +1(n>1,且n是正整数).当n=4时，可以得到一组勾股数8,15,17.示范例题例题1.(单选题)[2019陕西宝鸡陈仓区期末]下列各组数据中，不是勾股数的是()A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，6，9【答案】D【解析】A、32+42＝52，是勾股数；B、72+242＝252，是勾股数；C、82+152＝172，是勾股数；D、52+62≠92，不是勾股数．故选D．K重难题型1勾股定理的简单应用示范例题例题1.(单选题)[2020湖北黄冈蕲春县期中]如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为无理数的边有()A．3条B．2条C．1条D．0条【答案】B题型2 勾股定理的证明勾股定理的证明一般通过同一个图形，不同的面积表示形式，或两个图形面积相等，列出等式，然后变形证明.示范例题例题1. (解析题)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=b，BC=a，请你利用这个图形说明a2+b2=c2.【答案】见解析点拨根据题意，我们可在图中找到等量关系，大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式.题型3 勾股定理的逆定理的简单应用已知三边判断是否是直角三角形时，只需验证两条较小边的平方和是否等于最大边的平方即可.若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角.若不相等，则不是直角三角形.示范例题例题1.(单选题)[2020山东济南历城区校级期中]在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①∠A+∠B＝∠C，是直角三角形；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，是直角三角形；③∠A＝2∠B＝3∠C，不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，不是直角三角形，是等边三角形，能确定△ABC是直角三角形的条件有2个.故选B．。
7勾股定理与逆定理(名师总结)
ACD勾股定理与逆定理讲义 姓名【知识点1】勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2=c 2）●补充定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30度，则这个角所对的直角边等于斜边的一半。
例1：以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是【 】A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，40例2：等边三角形的边长为2，求它的面积。
例3：直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。
例4：在下面的图形中，每个大正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是【 】DCBA【知识点2】勾股定理的逆定理概念：如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
即：在ΔABC 中，若a 2+b 2=c 2，则ΔABC 为RtΔ。
其中c 是三角形中最长的边。
例1：如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是【 】 A. 0B. 1C. 2D. 3例2：如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是【 】A. CD ，EF ，GHB. AB ，CD ，GHC. AB ，EF ，GHD. AB ，CD ，EFCB A D EABCD题型1、勾股定理与勾股定理的综合例1：四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
题型2、勾股定理的证明例2：如图：△ABC 中，AD 是角平分线，AD=BD ，AB=2AC 。
求证：△ACB 是直角三角形。
题型3、勾股定理的实际应用（利用方程求线段长）例3：如图，公路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄， DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路AB 上 建一车站E ，①使得C ，D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少km 处？ ②DE 与CE 的位置关系③使得C ，D 两村到E 站的距离最短，E 站建在离A 站多少km 处？题型4、图形的翻转与折叠例4：如图，用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•ADEBCABCD例5：在矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按图所示方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长。
勾股定理定理和逆定理
勾股定理定理和逆定理勾股定理，这个词一听就觉得有点高大上，其实说白了，就是说在直角三角形里，直角对面的边，叫做斜边。
它的长度的平方，等于另外两条边长度的平方之和。
简单点说，假如你有个直角三角形，边长分别是3和4，那么斜边的长度就可以用3平方加4平方再开根号得到。
哇，5！你看，这不就成了一个经典的三角形组合。
生活中也常常用到，像装修、设计，甚至是跑步时，计算直线距离，都是这个定理在背后默默支持。
讲真，勾股定理就像数学界的超人，给我们解决了很多实际问题。
想象一下，你在操场上打篮球，投篮的时候想知道到篮筐的距离，别担心，拿出这个定理，嘿嘿，简单搞定。
很多建筑师和工程师可得感谢它了，盖房子的时候，想要确保角度对，不让墙歪了，勾股定理可是他们的好帮手。
用得好，真是让人叹为观止，简直是“千里之行，始于足下”嘛，虽然是算数学，但它的应用可是无处不在。
再说说逆定理，这个名字听起来就有点拗口，其实也不难理解。
逆定理是说，如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那它就是个直角三角形。
就像我们常说的“事后诸葛亮”，你得先知道它是个直角三角形，才能用这个逆定理来推导。
所以啊，它也是个聪明的小家伙，能帮我们推测出许多未知的角落。
试想一下，如果你在户外野营，看到一个三角形的帐篷，心里打了个鼓，咋知道是不是直角三角形？用上逆定理，简单一算，就能知道答案，省去许多麻烦。
生活中，这些数学定理就像隐形的绳索，把我们连接在一起。
有时就像吃饭时的调料，恰到好处，增加了不少风味。
想想看，勾股定理和逆定理就像是数学界的小搭档，一个负责解决问题，另一个负责推理分析。
两者搭配在一起，简直就是“天作之合”，让人倍感舒心。
就像我们生活中的朋友，有的负责打掩护，有的负责出主意，最终的结果总是让人满意。
说实话，很多人听到这些定理可能会觉得晦涩难懂，其实它们的本质都和我们生活息息相关。
无论是打游戏时的路径规划，还是在学校里解决作业，勾股定理和逆定理都在默默陪伴着我们。
中考数学 勾股定理及其逆定理
勾股定理及其逆定理一、知识总结1、经过证明被确认是 的命题叫做定理。
勾股定理是研究 三角形三边之间的数量关系的定理。
2、如果直角三角形的两直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，那么有 。
3、如果三角形的三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 。
4、我们把 和 正好相反的两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫作它的 。
5、常见的勾股数：○1 ；○2 ；○3 ；○4 ；○5 ；○6 ；○7 ；○8 。
二、典例解析例1 在ABC ∆中，90C ∠=︒，9,41a c ==，求b 的值。
方法总结：直角三角形中三边满足勾股定理，但应分清直角边和斜边，如果不清楚应当分类讨论。
变式1在ABC ∆中，90C ∠=︒，若:3:4,15a b c ==，求,a b 的值。
变式2 在直角三角形中，两条边的长分别为5和12，求第三边的长。
例2如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，D 是AC 的中点，DE ⊥BC ，E 为垂足，BC=9，EC=3,。
求AB 的长。
方法总结：在解有关三角形的有关题目中，如果“有三角形无直角”常作三角形的一条高构造直角三角形，然后利用勾股定理求解；如果“有直角无三角形”的问题中常构造直角三角形，然后求解。
变式1 如图，在ABC ∆中，60,45,4A B AC ∠=︒∠=︒=，求AB 的长。
例2图E DCBA例2变式1图CBA变式2 在四边形ABCD 中，90,4,6,2B AB BC CD DA ∠=︒====。
（1）求DAB ∠的度数；（2）四边形ABCD 的面积（用根号表示）。
变式3 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 上一点。
求证：22AD BD DC AB +=g 。
例 3 已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且满足2228610500a b c a b c ++---+=，试判断ABC ∆的性状。
方法总结：对于这种一个方程含有多个未知数求值的问题，一般方法是通过配方将其转化成几个非负数之和为0的形式，在求解。
勾股定理及其逆定理综合应用
毕达哥拉斯定理是一个基本的数学概念，它指出在直角三角形中，斜边（直角的对边）长度的平方等于其他两条边的平方和。
该定理在数学、物理和工程中有许多实际应用，是解决各种问题的重要工具。
在本文中，我们将详细探讨勾股定理及其逆定理的综合应用。
我们还将讨论这些定理的证明，并提供示例说明如何使用它们来解决现实世界的问题。
什么是勾股定理？毕达哥拉斯定理是数学中最著名和最广泛使用的定理之一。
它以发现它的古希腊数学家毕达哥拉斯命名。
该定理指出，在直角三角形中，斜边长度的平方等于其他两条边的平方和。
这种关系可以用等式表示：a^2 + b^2 = c^2其中a和b是三角形两条边的长度，c是斜边的长度。
勾股定理的证明毕达哥拉斯定理有几种不同的证明，每一种都以不同的方式证明了定理的有效性。
该定理最著名的证明之一被称为“图解证明”，它涉及绘制直角三角形图并使用几何原理来证明该定理成立。
毕达哥拉斯定理的另一个证明被称为“代数证明”，它涉及使用代数方程来证明定理的有效性。
此证明首先将直角三角形分成两个较小的直角三角形，每个直角三角形的边等于较大三角形的斜边。
然后可以通过证明两个较小三角形的平方和等于较大三角形斜边的平方来证明该定理。
勾股定理的应用毕达哥拉斯定理在数学、物理学和工程学等各个领域都有许多实际应用。
在数学中，该定理常用于求坐标平面上两点之间的距离或求直角三角形斜边的长度。
在物理学中，勾股定理用于计算三维空间中两点之间的距离，以及计算物体沿直线运动的速度。
在工程中，该定理用于计算梁和其他结构元件的长度，以及设计和分析各种结构的强度。
逆勾股定理逆勾股定理是与勾股定理相关的数学概念。
该定理指出，如果已知直角三角形两条短边的平方，则可以计算出斜边的长度。
逆毕达哥拉斯定理可以用等式表示：c = 开方(a^2 + b^2)其中a和b是三角形两条边的长度，c是斜边的长度。
反勾股定理的证明逆勾股定理可以通过从勾股定理的等式(a^2 + b^2 = c^2) 开始并求解c 来证明。
勾股定理逆定理
勾股定理的逆定理（1）知识领航1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.e 线聚焦【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD 的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A .4组B .3组C .2组D .1组 2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A .两直线平行,同旁内角互补B .若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C .对顶角相等D .如果a =b ,那么a 2=b 25．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D综合运用认真解答，一定要细心哟！6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ADA D8. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.A D C B勾股定理的逆定理（2）知识领航1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.e 线聚焦【例】如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC =900.又AB 2+BC 2=52+122=169=132=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =900.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ， 则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE =288， ∴CE =13144. 13144÷169144≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形.B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾A ME NC B顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .综合运用◆ 认真解答，一定要细心哟！7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？9．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10m 的D 处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D 处上爬到树顶A 处，利用拉在A 处的滑绳AC ，滑到C 处，另一只猴子从D 处滑到地面B ，再由B 跑到C ，已知两猴子所经路程都是15m ，求树高AB .拓广创新◆ 试一试，你一定能成功哟！10．如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB =1，PC =2，P A =3，求∠BPC 的度数．B12 5。
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一、一周知识概述勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系．勾股定理的作用是：①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；③用于证明平方关系；④利用勾股定理，作出长为的线段．二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理:勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a，b，c，其中c为斜边）的三边关系，即c2=a2＋b2．它的变形为c2－a2=b2或c2－b2=a2．运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边．例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm，4cm，求第三边长．因为该题设没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论．当两直角边分别为3cm，4cm时;当斜边为4cm，一直角边为3cm时2、直角三角形的几个性质（1）两锐角互余；（2）三边长满足勾股定理；（3）如果有一个锐角等于30°，那么所对的直角边（设此边长为a）等于斜边的一半，三边长的关系为a，，2a；（4）等腰直角三角形（直角边边长为a）三边长的关系为a，a，；（5）面积等于两直角边乘积的一半．3、用尺规画长为的线段教材中介绍了用尺规画长为的线段的作法，对画长为（k为自然数）的线段，我们通常可将k写成两个自然数的平方和或平方差来解决．例如用尺规画长为的线段．因为21=25－4=52－22，所以画Rt△ABC，使一条直角边AC=2，斜边AB=5，则另一条直角边BC=；同理，因为37=36＋1=62＋12，所以画Rt△ABC，使两直角边AC=1，BC=6，则斜边AB=．4、数形结合思想三、典型例题剖析1、运用勾股定理求值例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，CD=，∠BCD=30°，求AC的长．解：∵CD⊥AB于D，∠BCD=30°，∴BD=BC．设BD=x，则BC=2x．在Rt△BCD中，由勾股定理有BD2＋CD2=BC2，即点拨：这里分别在两个直角三角形中运用了勾股定理，但含30°角的直角三角形的性质也给解题带来了很大的方便．例2、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．解：连结PB，BD=BC－DC=6．在Rt△BDP和Rt△PDC中，PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2，∴BP2－BD2=PC2－DC2．∴BP2－PC2=36－9=27．∵AP=PC，∴BP2－AP2=AB2=27，∴AB=．点拨：连结BP，在PD为公共边的两个直角三角形中运用勾股定理，得到BP2－PC2=BD2－DC2=27，是解答本题的关键所在．例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，BE=，AD=5，求AB的长．解：设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y．在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得在Rt△ABC中，．点拨：运用勾股定理计算时，常设未知数，列方程或方程组来求解．2、构造直角三角形解题例4、如图，已知，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1．求BC和AD的长．解：如图，延长BC，AD交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=4．同理CE=2CD=2．在Rt△ABE中，BE2=AE2－AB2=16－4=12，∴BE=．在Rt△CDE中，DE2=CE2－CD2=4－1=3，∴DE=．∴BC=BE－CE=－2，AD=AE－DE=4－．点拨：灵活根据图形及条件，构造直角三角形（其实也就是补图），创造条件去利用勾股定理解题．例5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2＋BE2=DE2．解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF，则∠ACF=∠B=45°，BE=CF，∠BAE=∠CAF．又∵∠ACB=45°，∴∠DCF=90°．∵∠EAD=45°，∴∠BAE＋∠DAC=45°．∴∠DAF=∠CAF＋∠DAC=45°．在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD，∴ED=FD．又在Rt△CDF中，CD2＋CF2=FD2，∴CD2＋BE2=DE2.点拨：此题从待论证的结论可以联想到勾股定理，而三条线段不在同一个直角三角形中，故可运用旋转法将分散的线段集中在同一个三角形中．3、运用面积法解题例6、如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24．在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（）A．1B．3C．6D．无法求出解：依勾股定理知AC=．设点P到各边的距离为r，连结PA、PB、PC．依三角形的面积关系，有S△ABP＋S△BCP＋S△ACP=S△ABC，即AB·r＋BC·r＋AC·r=AB·BC．得（7＋24＋25）r=7×24，解得r=3．故选B．点拨：涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而可应用面积法来解题．因为它是一种代数方法，因此显得十分直观、简捷．例7、如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且．求PD、PE、PF的长．解：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=3，∴BC==5．设PF=x，PE=y，PD=z，则．①连结PA、PB、PC．∵S△PAB＋S△PBC＋S△PAC=S△ABC，∴AB·x＋BC·z＋AC·y=AB·AC，即4x＋3y＋5z=12．②①＋②，得4x＋3y＋5z＋=24，配方，得∴PD=PE=PF=1．点拨：本题显然不能直接运用勾股定理来计算PD、PE、PF的长，只能在连结PA、PB、PC后，将原三角形分成三个分别以AB、BC、CA为底，PF、PD、PE为高的三角形，由面积法列出关系式，再利用题设条件，即可求解．4、构造几何图形解答代数问题例8、设a、b、c、d都是正数，求证：．分析：题中出现线段的平方和，考虑构造直角三角形，利用勾股定理证明．证明：构造一个边长分别为(a＋b)、(c＋d)的矩形ABCD（如图）．在Rt△ABE中，．在Rt△BCF中，．在Rt△DEF中，．在△BEF中，BE＋EF>BF，即点拨：勾股定理将直角三角形的位置关系（两边垂直）转化为数量关系，这为我们运用代数方法研究几何问题提供了工具，反过来，对有些代数问题，特别是含有平方和或平方差的代数式，我们也可以通过构造直角三角形用勾股定理来解决，即用几何方法解决代数问题．勾股定理的逆定理一、一周知识概述1、勾股定理的逆定理是直角三角形判定的重要方法如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．这就是勾股定理的逆定理．在叙述定理时，不能简单地将原命题(勾股定理)的条件和结论颠倒过来，写成“如果一个三角形的两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”．要是这样叙述，则条件中所说“直角边，斜边”等名词已承认三角形是直角三角形，而结论又为直角三角形，这样条件与结论就会混乱．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法．这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的．实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的．这里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法．它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”！2、逆命题和逆定理的概念把一个命题的题设和结论互换，就得到它的逆命题．一个真命题的逆命题不一定也是真命题．例如“全等三角形的对应角相等”是一个真命题，它的逆命题是“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，显然这个命题不是真命题，即为假命题．一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是这个定理的逆定理．例如：勾股定理和勾股定理的逆定理，就是互逆定理．前一个是直角三角形的性质定理，后一个是直角三角形的判定定理，我们要善于比较这两个定理间的联系和区别．我们前面学习的角平分线的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定等都是像这样的互逆定理，大家可以对照复习一下．对于那些不是以“如果……，那么……”形式给出的命题，在叙述它们的逆命题时，可以把这些命题变为“如果……，那么……”的形式．例如“等边对等角”可以改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”．3、勾股数组能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．不难验证(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，(11,60,61)，…均为基本勾股数组．显然，若(a,b,c)为基本勾股数组，则(ka,kb,kc)也为勾股数组，其中k为正整数．例如(6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26)，…为勾股数组．若能掌握前几个基本勾股数组，会给解题带来方便和快捷．二、重难点知识归纳1、勾股定理的逆定理的应用．2、逆命题和逆定理的概念．3、勾股数组．三、典型例题剖析1、利用勾股定理的逆定理证直角例1、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17．求△ABC 的面积．解：∵BD2＋AD2=36＋64=100=102=AB2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°．在△ADC中，∴BC=BD＋DC=6＋15=21．点拨：已知三角形的三边长，常验证其中是否有两个数的平方和等于第三个数的平方，以便判断该三角形是否为直角三角形．例2、如图，四边形ABCD为正方形(四角为直角、四边相等的四边形)，点E为AB中点，点F在AD边上，且求证：EF⊥CE．点拨：这里先运用勾股定理计算出△CEF各边的边长，然后运用勾股定理的逆定理来判断其为直角三角形，这是证明两条直线垂直的又一种方法．例3、如图，P为正三角形内一点，且PC=3，PB=4，PA=5．求∠BPC．解：将图中的△ACP绕顶点C按逆时针旋转60°，得△BP′C的位置．∵PC=P′C，∠PCP′=60°，∴△PP′C为正三角形．在△BP′P中，BP=4，PP′=PC=3，BP′=AP=5，∴△BP′P为Rt△．∴∠BPP′=90°，∠BPC=∠BPP′＋∠P′PC=90°＋60°=150°．点拨：由PC=3，PB=4，PA=5想到常见的勾股数组，但这三条线段不在同一个三角形中，但可以借助旋转将三条线段集中起来，由勾股定理的逆定理得到一个直角三角形．2、勾股数组例4、试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1(n为正整数)的三角形是否是直角三角形？解：∵(2n2＋2n＋1)－(2n2＋2n)=1＞0，(2n2＋2n＋1)－(2n＋1)=2n2＞0，∴2n2＋2n＋1为三角形中最大边．又∵(2n2＋2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴(2n2＋2n＋1)2=(2n2＋2n)2＋(2n＋1)2．由勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形．点拨：这里先作差比较确定最大边，其依据是：a－b＞0，则a＞b；a－b=0，则a=b；a－b＜0，则a＜b．实际上有时用这种方法还会有困难，对于不考虑过程仅需要答案的题，还可利用特殊值迅速解决．例5、(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a=______，b=______，c=______；(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．解：(1)n2－1；2n；n2＋1．(2)以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明如下：∵a2＋b2=(n2－1)2＋4n2=n4－2n2＋1＋4n2=n4＋2n2＋1=(n2＋1)2=c2，∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．点拨：解决此类问题的思路一般是观察→猜想→证明．例6、(2002，湖北省)如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC的长．解：如图，延长AD至E，使DE=AD=6，连结CE．∵CD=BD，且∠ADB=∠EDC，∴△ABD≌△ECD．∴AB=CE=5．点评：根据题设的条件，由中线联想到中线倍长，将分散的条件集中起来，由数据关系可判定△ACE是直角三角形，再在Rt△CDE中求CD的长就不难了．例7、写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)如果a=0，那么ab=0；(2)如果x=4，那么x2=16；(3)面积相等的三角形是全等三角形；(4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；(5)在一个三角形中，等角对等边．分析：先分清原命题的题设和结论，再把题设和结论互换位置，就得到原命题的逆命题．解答：(1)的逆命题是：如果ab=0，那么a=0．它是一个假命题．(2)的逆命题是：如果x2=16，那么x=4．它是一个假命题．(3)的逆命题是：全等三角形的面积相等．它是一个真命题．(4)的逆命题是：如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角．它是一个假命题．(5)的逆命题是：在一个三角形中，等边对等角．它是一个真命题．方法总结：写一个命题的逆命题的关键是分清题设和结论，再交换题设与结论的位置，必要时要加一些适当的语句，切忌不能生搬硬套．例8、下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来．(1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等；(2)内错角相等，两直线平行；(3)等边三角形的三个角都等于60°．分析：先写出每个定理的逆命题，再判断其真假．方法总结：先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举一个反例即可。