整式分式根式
4分式、根式与二次方程
分式、根式与二次方程
一.分式：
B 表示2个整式，B 中含有字母，那么式子B
A 就叫作分式。
注意：A 中可以不含字母，
B 中必须含字母，且B ≠0. 单独的分数是整式，整式与分式统称有理式
1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变
2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
1、某玩具厂要加工x 只2008奥运吉祥物“福娃”，原计划每天生产y 只，实际每天生产(y+z)只,
（1）该厂原计划 天完成任务（2）该厂实际用 天完成任务
2、用a kg 橘子糖、b kg 椰子糖、c kg 奶糖混合成“什锦糖”，如果这3种糖 的单价分别是：28元/kg 、32元/kg 、48元/kg ，那么这种“什锦糖”的单价是 元/kg 。
3求下列分式的值： （1）7
612-+x x 其中x=-3； （2）y x y xy 2322+-其中x=2，y=21
4、当x 取什么值时，下列分式有意义？
（1）
212x x - （2）1676-+x x （3）42132-+x x
5.分式的正负. 当x 取何值时分式为负
1.222+-y y
2.7
534--x x 3.312+-x x 4.16109422+--x x x 6.分式=0. 分子为0,分母不为0 7.与分式有关的变形求值题
1.==-b
-a ab ,2111则b a 2.m>n>0,m 2+n 2=4mn,则=-mn
n m 22 3.m-31=m ,则m 2
-=21m 8.分式运算(化简时保留分母不为零的条件)
二.根式。
整式与分式知识点 (2)
中考复习 整式2012年中考整式复习策略：整式是初中代数的基础知识，也是学习分式、根式的基础；去添括号法则，合并同类项、乘法公式及幂的运算法则是本节的重点。
在运算中根据题目特征，灵活运用公式是本节知识的关键。
一、中考要求：1．考查整式的有关概念及计算，同类项与去括号，以及幂的相关性质和运算，了解乘法公式的几何背景，两个乘法公式的应用2．会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）二、知识要点：1．代数式定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方） 分类：⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎨⎪⎪⎩⎪⎩单项式整式有理式多项式分式无理式代数式 把数与字母连接而成的式子。
代数式中不能含：“=”“<”“>”2.单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或 也是单项式）.多项式：几个单项式的 叫做多项式.整式： 与 统称整式. 2323x y z π-的系数是 ，次数是 .3. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 ___.4. 幂的运算性质: a m ·a n = ； (a m )n = ； a m ÷a n ＝_____； (ab)n = .5. 乘法公式：(1)平方差公式：（a ＋b ）(a －b)＝ ；(2) 完全平方公式：(a ＋b)2＝ ； (a －b)2＝ .6. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的 的形式．因式分解的方法：有 因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．强调：分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．例如（1）2xy 9x -= （2）3269x x x -+=2012年中考数学一轮复习考点 分式考点1： 分式的概念相关知识：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式。
代数式单项式和多项式都统称为整式。整式是有理式的一部分,在有
代数式单项式和多项式都统称为整式。
整式是有理式的一部分，在有各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢整式。
单项式和多项式都统称为整式。
整式是有理式的一部分。
在有理式中可以包含加。
减。
乘。
除。
乘方五种运算。
但在整式中除数不能含有字母。
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式。
这种变形叫做把这个多项式因式分解。
分解因式与整式乘法互逆。
中文名,整式。
分类,单项式。
多项式。
运算,加。
减。
乘。
除。
乘方。
开方。
总概念。
单项式与多项式统称为整式。
例题：。
是整式。
代数式不是整式。
单项式。
由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式。
如Q。
-1。
a。
β等。
单项式中的常数因数叫做单项式的系数.如3x的系数是3。
如果一个单项式只含有字母因数。
是正数的单项式系数为1。
是负数的单项式系数为-1。
如系数为1。
系数为-1。
如果只是一个数字。
系数是本身。
如5的系数还是5。
一个单项式中。
所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。
例如中字母x的次数是1。
字母y的次数是2。
则的次数为1+2=3。
又如。
次数为2+1=3。
因为3的次数3不算入单项式的次数中。
单独一个非零数的次数是0。
单项式的系数包括前面的符号。
如：-a的系数是-1；单项式是由数字因数和字母因数组成的。
单项式不含加减运算。
含有除法运算时。
分母不含字母。
分子不含加减运算。
如：就不是单项式。
也不是单项式。
因为它们都含加减运算；单项式的次数与多项式的次数是不同概念。
要注意区分；系数是1或-1时。
省略1不写；指数是1时。
1也省略不写。
在这两个知识点上容易出现错误。
单项式加减即合并同类项。
也就是合并前各同类项系数的和。
字母不变。
例如：, 等。
同时还要运用到去括号法则和添括号法则。
单项式相乘。
把它们的系数。
相同字母分别相乘。
对于只在一个单项式里含有的字母。
则连同它的指数作为积的一个因式例如：同底数幂相除。
底数不变。
指数相减。
多项式。
整式知识点分类归纳总结
整式知识点分类归纳总结整式的种类有多种，主要包括单项式、多项式、分式，以及它们的运算。
下面对整式相关的知识点进行分类归纳总结：一、整式的基本概念1. 代数式的定义代数式是由数字、字母和运算符号组成的符合语法规则的表达式。
代数式可以表示数与数之间的关系，可以用来表示具有普遍性的数学规律。
2. 整式的定义整式是由字母和数以及加减乘除等运算符号组成的代数式。
整式中不包含分式以及根式等算术式。
整式通常由常数项、一次项、二次项、三次项等各种次数的项组成。
3. 单项式和多项式单项式是只包含一个变量的代数式，例如3x、-2y等。
多项式是由单项式经过加法与减法运算得到的代数式，例如3x+2y、5x^2+3x-6等。
4. 整式的次数整式中的最高变量次数称为整式的次数。
例如5x^2+3x-6的次数为2，3x^4-2x^3+5x^2-3x+4的次数为4。
5. 整式的分类整式按照其结构特点和性质可以分为单项式、多项式和分式。
单项式是只包含一个变量的代数式，多项式是由单项式经过加法与减法运算得到的代数式，分式是一个整式除以另一个整式所得到的代数式。
6. 整式的运算整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
整式的加法与减法是基于单项式和多项式的加减法运算规则，整式的乘法是基于分配律和乘法法则的运算，整式的除法则是利用多项式的因式分解和除法规则进行运算。
二、单项式与多项式的运算1. 单项式的加法与减法单项式的加法和减法是遵循着同类项相加减的原则，即变量的指数相等的项可以相加减，常数项也可以相加减。
2. 多项式的加法与减法多项式的加法和减法是将同类项进行合并，即对应位置的项进行加减操作，最终得到合并后的多项式。
3. 单项式与多项式的乘法单项式与多项式的乘法是利用分配律，即将单项式的每一项分别与多项式进行乘法运算，最后将结果合并得到最终的乘积。
4. 多项式的乘法多项式的乘法是将每个多项式中的项依次与另一个多项式中的项进行乘法运算，最后将结果合并得到最终的乘积。
整式,分式,二次根式测试题
整式、分式、二次根式测试题一、选择题（每题3分 共30分） 1 下列各式一定是二次根式的是（ ）A ．7B ．m 2C ．12-mD ．ab 2.下列运算正确的是（ ）=x •(x 5)2=x 13 C.(-x)6÷(-x)3=x 3 D.-2•10-1=103.明天数学课要学“勾股定理”，小敏在“百度”搜索引擎中输入“勾股定理”，能搜索到与之相关的结果个数约为12 500 000，这个数用科学记数法表示为（ ）A. 51.2510⨯B.61.2510⨯C. 71.2510⨯D. 81.2510⨯ 4. 63(210)⨯=（ ）A ．9610⨯B ．9810⨯C ．18210⨯D ．18810⨯5.若分工2422---x x x 的值为零，则x 的值是（ ）A ．2或-2B ．26.计算()221222-+---1（-）=（ ） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．10 7.能使等式22---x x x x 成立的x 的取值范围是（ ）A ．x=2B ．x ≥0C ．x ＞-2D ．x ≥2 8. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ）A 、53x x +B 、12+x C 、 12 D 、5.09.已知y =2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152-D ． 15210.若9x 2+mxy+16y 2是完全平方式，则m=( ) A ．12 B ．24 C ．+12 D ． +24 二、填空题（每题3分 共15分）11. 若2x =3,4y =5，则2x-2y 的值为____________12. 在实数范围内分解因式：x 4-9=___________________12. 如果3m 7x n y+7和-4m 2-4y n 2x 是同类项，则x= ,y= ；这两个单项式的积是＿ 13、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ____________ 14、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．15．已知A （-1，-2）和B （1，3），将点A 向______平移________ 个单位长度后得到的点与点B 关于y 轴对称． 三、计算（每题5分，共55分）16. |－3|＋(－1)2011×(π－3)0－327＋(12)－217.分解因式：①-x 2+241y ②6xy 2-9x 2y+y 3P 2P 1N MOPB ABCA18. 解方程：①271326x x x +=++ ②221046(1)1x x x x -=--19.先化简，再求值： （a －1＋12+a ）÷（a 2＋1），其中a=2－1.20. 已知：如图，已知△ABC ，分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 ；21、作图题（保留作图痕迹）（1）作线段AB 的中垂线EF （2）作∠AOB 的角平分线OC（3） 要在公路MN 上修一个车站P ，使得P 向A ，B 两个地方的距离和最小，请在图中画出P 的位置。
分式与根式
分式与二次根式—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．要点诠释：约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质；2.；(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：00)a b =≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：00)a b =≥>，. 6.若0a b >≥>.要点诠释： 0(0)a ≥≥2(0)a a =≥与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，43==+(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.【典型例题】类型一、分式的意义1．使代数式有意义的的取值范围是（）A. B. C.且 D.一切实数【答案】C；【解析】解不等式组得且，故选C．【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即需中的x0；分母中的2x-10.举一反三：【变式】当x取何值时，分式12922---xxx有意义?值为零?【答案】当2120x x--≠时，分式12922---xxx有意义，即-34x x≠≠且时，分式12922---xxx有意义.当29=0x-且2120x x--≠时，分式12922---xxx值为零，解得=3x±，且-34x x≠≠，，即=3x时，分式12922---xxx值为零.类型二、分式的性质12-xxx≥x21≠x0≥x21≠x210xx≥⎧⎨-≠⎩≥x21≠x≥≠2．已知,求下列各式的值. (1); (2). 【答案与解析】(1)因为,所以. 即.所以. (2), 所以. 【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.举一反三：【变式】已知求的值. 【答案】 由得 所以即.所以.类型三、分式的运算3．（2015•眉山）计算：． 【答案与解析】14x x+=221x x +2421x x x ++14x x +=2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭221216x x ++=22114x x +=4242222222111114115x x x x x x x x x x ++=++=++=+=2421115x x x =++111,a b a b +=+b a a b +111,a b a b +=+1,a b ab a b+=+2(),a b ab +=22a b ab +=-221b a a b ab a b ab ab+-+===-解：=•= ．【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.举一反三：【变式】（2015•宁德）化简：•．【答案】解：原式=：•=．类型四、分式方程及应用4．如果方程有增根, 那么增根是 . 【答案与解析】 因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.答案:【点评】使分母为0的根是增根.5．为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．【答案与解析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．11322x x x-+=--20x -=20x -=2x =2x =2x =根据题意得：． 方程两边同乘以x （x+25），得30（x+25）+30x=x （x+25），即x 2﹣35x ﹣750=0．解之，得x 1=50，x 2=﹣15．经检验，x 1=50，x 2=﹣15都是原方程的解．但x 2=﹣15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．方案一：由甲工程队单独完成．（所需费用为：2500×50=125000（元）．方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间．（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x 天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1．（2）首先根据（1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．举一反三：【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．【答案】303015x x ++2（1）设原计划零售平均每天售出x 吨．根据题意，得， 解得x 1=2，x 2=﹣16．经检验，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合题意，舍去．答：原计划零售平均每天售出2吨．（2）． 实际获得的总利润是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）．类型五、二次根式的定义及性质6．当x的值最小？最小值是多少？【答案与解析】，∴当9x +1=0，即3有最小值，最小值为3. 【点评】≥0（a ≥0）.的最小值为0，因为3是常数，的最小值为3.类型六、二次根式的运算7．计算：1(46438)222-+÷； 【答案与解析】原式22)262264(÷+-= .232+=5)2(62006200=++-+x x ()天20226200=++913x +0，33≥19x =-03【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．分式与二次根式—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列各式与相等的是( ) A ． B. C. 2xy y D. 2x y x+ 2．（2015•泰安）化简：（a+）（1﹣）的结果等于（ ）A ．a ﹣2B ．a+2C ．D ．3．若分式的值是0，则x 为（ ） A ．0 B.1 C.-1 D.±14．下列计算正确的是 （ ）5．在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个 甲型包装箱可装x 个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（ ）A ．－＝10B ．－＝10C ．－＝10D ．－＝10 6．函数中自变量x 的取值范围是（ ） A. x ≤2 B. x =3 C. x ＜2且x ≠3 D. x ≤2且x ≠3x y22x y 22y x ++211x x -+13=====x 100005010000+x 5010000-x x 10000x 100005010000-x 5010000+x x1000013y x =-二、填空题7．（2014春•张家港市校级期末）下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”．①② ③ ④ ⑤ ．8．化简的结果是__________. 9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.10中，是最简二次根式的有个. 11. 若最简二次根式是同类二次根式，则x 的值为 .12．（1化简的结果是 . （2）估计的运算结果应在 之间.（填整数）三、解答题13．（2015•南京）计算：（﹣）÷．14.（1）已知：12a +=，求5361a a a a +++的值. （22=+.15．在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元.212293m m +-+信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.16.已知.分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（ ）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个2．分式有意义的条件是（ ） A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠23．使分式等于0的x 的值是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算201220131)1)的结果是（ ）5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．B ． 45282x x y x ++=+，求(1)(2)(2)(1)x x x x +---224x x +-128002800304-=x x 28002800304-=x xC ．D ． 6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（ ）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子÷（a+b ）的值为_______________.9. ；②；③；④其中正确的是 （填序号）.10．当x =__________时，分式的值为0.11．（1，则的值为. （2）若5,3,x y xy +==+的值为 . 12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式：①==﹣128002800305-=x x 2800280030-=5x xa b b a-===0,0).a b =＞≥33x x -+2()x y =+x y -②==﹣③==﹣… 回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数） （2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知,求的值. （2）已知和,求的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=． （1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？13x x +=2421x x x -+2510x x -+=0x ≠441x x+16.阅读下列材料，然后回答问题.我们可以将其进一步化简.；（一）；（二）；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：221.====（四）；（1）请用不同的方法化简= ；= ；（2分式与二次根式—巩固练习（基础解析）【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；==3=1===…【解析】化简2xy y = . 2.【答案】B ；【解析】•=•=a+2．故选B ．3.【答案】B ； 【解析】分式的值为0，则解得.4.【答案】A ；【解析】根据具体选项，应先进行化简，再计算. AB，C 选项逆用平方差公式可求得，而D 选项.故选A. 5.【答案】B ；【解析】设每个甲型包装箱可装x 个鸡蛋，－＝10． 故选B ．6.【答案】A ； 【解析】2-x ≥0，∴x ≤2，3不在x ≤2的范围内.二、填空题7．【答案】×，√，×，×，√；【解析】①=；②是最简分式；③==；④=﹣1；x y 210,10,x x ⎧-=⎨+≠⎩1x ====2+（=4-5=-1=5010000-x x10000⑤是最简分式；只有②⑤是最简分式．故答案为：×，√，×，×，√．8．【答案】；【解析】找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分.]9．【答案】4.8；【解析】平均速度=总路程÷总时间，设从学校到家的路程为s,则. 10．【答案】3；.11．【答案】-1；【解析】根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1.12．【答案】（1；（2）3和4；【解析】（1）（2三、解答题13.【答案与解析】解：（﹣）÷=[﹣]×=[﹣]×=×=．14.【答案与解析】23m-22424244.8325546s s ss s s s s====++===21232 4.=++因为，∴＜（1）∵233,122a a +=+= ∴a 2=a +1 原式=5326a a a a ++=526(1)a a a a ++=546a a a +=46(1)a a a +=66a a=1 （2）∵10•=1052+==.15.【答案与解析】设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款x 元. 根据题意, 得,解这个方程得. 经检验,是原方程解.答：甲班平均每人捐款5元.16.【答案与解析】由二次根式的定义及分式性质，得分式与二次根式—巩固练习（提高解析）【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中， 最简二次根式有、、共3个．故选：C ． 2.【答案】D ；45300232245x x =+5x =5x =2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠22287,222y ++∴==+∴===【解析】分式有意义，则且.3.【答案】D ；【解析】令得，而当时，，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为20121)1) 1.⎡⎤--=⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得． 故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是 把3化为+了.二、填空题7．【答案】 ；【解析】由已知得且，解得，，再代入求值.故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①，.10．【答案】3；【解析】由得±3.当时，，当时，，所以当时，分式的值为0.20x -≠10x -≠20x +=2x =-2x =-240x -=28002800304-=x x 232269(3)0a a a -+=-=10b -=3a =1b =0a ≥0b ＞30x -=x =3x =360x +=≠3x =-3330x +=-+=3x =11．【答案】（1）2； （2； 【解析】（1，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x-y =2.（2）12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-. （2）+++…++ =…+1.三、解答题13.【答案与解析】 （1）因为，所以用除所求分式的分子、分母.原式. （2）由 和 ,提, 所以14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义，∴8﹣x≥0，∴x≤8；（2）方法一：分三种情况：5,3,0,0,x y xy x y +==∴∴=+==＞＞原式0x ≠2x 22221111113361()21x x x x ====--++--2510x x -+=0x ≠15x x +=24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a 2+c 2=b 2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c ＞b∴存在两种情况，①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x 天，则乙公司单独完成此项工程1.5x 天，根据题意，得，解之得，x=20, 经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y 元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元） ，乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1（2112-1111.512x x +===22====+++…=121)2n ++=.。
第三节 分式与根式
三、 二次 根式的定 义及性质
１ 如 ．形
做二 次根式．
（ ≥０ 的代 数 式 叫 口 ）
行恒 等变 形 ， 分前 后 。 分式 值 是 约 的
不变的 ， 约分 的前 提是确 定分式 的 分
子 与分母 的公因式．
一
２ ．二次根式 的性质
个分 式 的 最后 形 式 必须 是 最
（） １双重非负性 ， ／ 即、 ａ中的口 ≥
０， ／ａ Ｘ Ｏ；
简分式 （ 就是分 子和分 母 之间 没有 也
公因式 ） ， ４ ．分式 的通分 根 据分式 的基本 性质 。 把几 个异
分母 的 分式—
—
（ ）、 ２ （ ／ａ） （ ） ／ ￣： ３ ｘ－ ａ ｄ
（ ≥Ｏ ； ０ ） ．
３ ．最 简二 次 根式 应 满足 下 列条
塑壹主 堡 堑
／
一
初 中知识 回顾
一
一
— —
．
２ 分式 的除法 ： ！
、
分 式
即鱼÷ ． ： 旦：
１ 用 Ａ和 示 两 个 整 式 ． 可 ． 表 Ａ柏 以写成 的形 式 ， 果Ｂ 如
Ｂ
ａ ｃ ａ ｄ ０ ｄ
（） １除式 的分 子和 分母颠 倒位 置
— —
主 （ 是不 等于０ 的整式 ）
，
，
变 为 同 分 母 的分 式 ， 后 然
Ｂ Ｍ ÷
３ ．分式 的约分 ： 叫做分 式的约 分．
即 ± ： ± ：ｂ ＋ ｄ — ａ ｃ
—
．
ａ
ｃ
ａｃ
约分根 据 的是 分式 的基 本性质 ．
对一 个 分式 进 行 约 分就 是对 分 式 进
初中数学分式
分式一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：（1）代数式分为整式，分式，根式，整式又分为单项式和多项式分数是单项式属于整式不属于分式（2）π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式. （3）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .二、分式有意义，无意义，等于零，为正负的条件分式，（1）B=0，分式无意义（2）B ≠0，分式有意义（3）=0，则A=0且B ≠0 （4）＞0，则AB 同号 （5）＜0，则AB 异号 题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； A Ba π2x y xxy xy A B A BA B A B（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3） 当x 取何值时,分式121--x x 的值为正数? 分析:分为两种情况:（1）⎩⎨⎧>->-01201x x 或（2）⎩⎨⎧<-<-01201x x .练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x（3）x 111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质， 式子表示是：（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A 、B 、M 表示的是整式.其中B ≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M ≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M ≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则 ， . 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 41313221+- （2）b a b a +-04.003.02.0 A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，x b b a a -=-b b b a a a-==--题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241-的值.练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求b a b a 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---. 分式的约分确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.（1）322016xy yx -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x . （4）=2322912yx y x _________; （5）=--xy y x x 222_________; （6）=+--122222x x x _________; （7）=--2293mm m __________ （8）ba b ab a +++36922 第二节 分式运算1.分式的乘除运算乘法法则：分子乘分子，分母乘分母除法法则：除以一个数等于乘以它的倒数1. 计算:（1）3234x y y x ⋅; （2）cd b a cab 4522223-÷.2. 计算:（1）411244222--⋅+-+-a a a a a a ; （2）mm m 7149122-÷-.3. 计算:（1）2232251033b a b a ab b a -⋅-; （2）xy x y x y xy x x y 2222422222+-÷++-.（3）3592533522+⋅-÷-x x x x x .4. 先化简,再求值:xx x x x x x +-⋅-+÷+--111112122,其中21=x .5. 当2.3-=x 时,求322444222++-÷-+-xx x x x x 的值.2.分式乘方运算运算法则：分子分母分别乘方1. 计算:（1）22333⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-z y x ; （2）b a b a b a 552222⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-.3.分式加减运算同分母相加，分母不变，分子相加异分母相加，先通分化成同分母再加减确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.通分（1）； （2）；（3）； （4）c b a c a b ab c 225,3,2--a b b b a a 22,--22,21,1222--+--x x x x x x x aa -+21,2计算=-+-m n n n m m 22 111--x x=---++b a b b a b ab a 22222__________.10. 化简:=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2241a aa __________.11. 当3,6==y x 时,代数式y x xyy x y y x x 232+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+++的值是_________.12. 若121442=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-+-w a a ,则w 等于【 】（A ）2+a （B ）2+-a（C ）2-a （D ）2--a13. 计算:=+-+1112a a a __________.14. 计算:=---x x x 2111__________.15. 化简()1111+⎪⎭⎫⎝⎛+-m m 的结果为__________.16. 已知0132=+-a a ,则=+a a 1_________.17. 若1=+y x 且0≠x ,则=+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++x yx x y xy x 22_________.18. 已知b a >,如果2,2311==+ab b a ,那么b a -的值为_________.19. 计算:（1）x xx x -+-+24242; （2）1112---x xx .20. 计算:（1）aa a a a a 24444222--+--; （2）112+-+x x x . 21. 计算:（1）2221111a a a a ++-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+; （2）2211112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x x .22. 先化简,再求值:b a b a b ++-1222,其中1,3==b a .题型三：分式的混合运算（1）42232)()()(a bc ab c c b a ÷-⋅-； （2）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）m n m n m n m n n m ---+-+22； （4）112---a a a ；题型四：化简求值题（1） 已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2） 已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3） 已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值.练习（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； （2）ab ab b b a a ----222；（3）b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； （4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-； （6）2121111x x x ++++-；2.（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a .（2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yx x y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值.4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值. 题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.。
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第二节 整式、分式、根式的运算
中学数学中，随着数的范围的扩充，目前运算范围扩充到有理数运算，实数运算，
随着字母表示数，运算对象又由数发展到式，相应地引入了整式的运算，分式的运算，
根式的运算，随着学习的深入，今后还要扩充到复数运算，熟练掌握这些运算的法则
和运算技能，对学好中学数学起起到至关重要的作用．
一、知识回顾
1、 幂运算：①nmaa ②nma ③mab ④
nmaa
2、乘法公式：2ba baba
3ba
2cba
3、一个正数有 个平方根，它们 ，0的平方根是 ， 数
没有平方根．
4、在的符号应为被开方数中a，a ，a 0，2a ，
2a
5、定义：
（1）最简二次根式：①根号内不含分母；②被开方数的每个因式的指数小于2．
（2）分母有理化：分子分母同时乘以分母有理化因式（或称共轭因式），化去分母中
的根号的过程．
（3）繁分式：在分式的分子或分母含有分式的式子．
二、诊断练习
1、222322322 ．
6
2、的范围为则xxx,112 ．
3、估算：23250的值在整数 和整数 之间．
4、xx，xx1212则若 ．
5、的值为则若221111,1baab ．
6、2241,51aaaaa则 ．
三、例题讲解
【例1】化简下列各式：
32
81ba
721822
35353
xyyxxyxy24
babaa22115
7
【例2】：化简下列分式：（1）babababa11 （2）a11111
四、训练巩固
1、化简下列各式：
（1）232 （2）aaaa166 （3）1227
（4）ababbaab23 （5）3535
2、化简下列分式：
（1）111bba （2）111111aaaa
的值求时、当122115433aa，a
．
的值求、33221,1,414xxxxxx
．
的值求、若yxyxyxyxyx2232,3115
．