08第八章 非线性控制系统

第八章 非线性控制系统

一．基本要求：

1．了解非线性控制系统与线性控制系统最重要的区别； 2．掌握自动控制系统中常见的典型非线性特性；

3．了解分析非线性控制系统的常用两种方法—描述函数法和相平面法。 4．掌握分析非线性控制系统的方法—描述函数法； 5．熟练掌握应用描述函数分析法分析系统的稳定性；

6．掌握应用描述函数分析法，分析系统自振荡产生的条件及振幅和频率的确定。

二．本章要点：

1．常见的典型非线性特性：饱和特性、死区特性、回环特性、继电器特性、变放大系数特性等。

2．非线性系统的特性：非线性控制系统与线性控制系统相比，有如下特点： （1）非线性控制系统的稳定性，不仅取决于系统的结构和参数，而且与输入信号的幅值和初始条件有关。

（2）在非线性控制系统中，如果输入是正弦信号，输出就不一定是正弦信号，而是一个畸变的波形，它可以分解为正弦波和无穷多谐波的叠加。

（3）叠加原理不适用于非线性控制系统。

（4）非线性控制系统常常产生自振荡。在非线性控制系统中，即使没有外加的输入信号，系统自身产生一个有一定频率和幅值的稳定振荡，称为自振荡（自持振荡）。自振荡是非线性控制系统的特有运动模式，它的振幅和频率由系统本身的特性所决定。

3．非线性控制系统的分析研究方法：

目前分析非线性控制系统的常用方法之一描述函数法，是一种基于频率域的分析方

法。这种方法主要用于研究非线性系统的稳定性和自振荡问题。如系统产生自振荡，如何求

)(X N )

( j G r

c

-

出其振荡的频率和幅值，以及寻求消除自振荡的方法等。

非线性控制系统经过变换和归化可表示为图8-1所示的典型结构。其中函数)(X N 称为该非线性元件的描述函数，)(ωj G 为系统的线性环节。 此描述函数)(X N 是正弦输入信号幅值X 的函数，这时线性系统中的频率法就可用来研

8-1非线性控制系统典型结构图 究非线性系统的基本特性，而)(1X N -称为描述函数的负倒特性。

4．用描述函数法分析非线性控制系统稳定性：

仿效线性系统用奈氏判据来判定非线性系统的稳定性，不再是参考点)0,1(j -，而是一条)(1X N -的轨迹线。因此，对非线性系统进行稳定分析时，首先要在复平面上分别绘制出以频率ω为变量的)(ωj G 幅相特性曲线和以幅值X 为变量的)(1X N -曲线，然后根据它们的相对位置来判定该系统的稳定性。

（1）如果)(1X N -的轨迹没有被)(ωj G 曲线所包围，则非线性系统是稳定的。而且两曲线相距愈远，系统愈稳定。

（2）如果)(1X N -的轨迹被)(ωj G 曲线所包围，则相应的非线性系统是不稳定的。 （3）如果)(1X N -的轨迹与)(ωj G 曲线相交，则系统的输出有可能产生自持振荡。

为简便判断交点处产生的自持振荡是否稳定，我们以)(ωj G 曲线为界把复平面划分为稳定区和不稳定区。若)(1X N -曲丝沿箭头方向由不稳定区经交点进入稳定区，则在该交点处产生的自持振荡是稳定的；若)(1X N -曲线沿箭头方向由稳定区经交点进入不稳定区，该交点产生的自持振荡就是不稳定的。

三．典型例题分析：

[例8-1] 非线性系统的)(ωj G 及)(1X N -的轨迹如图8-2所示，试判断该系统是否稳定。

Im

Re

Q

P

-1/N

G(jw)

-1

X

-1/N

ω

)

(ωj G Im

Re

图

8-2

非

线

性

系

统

框

图

图8-3 非线性系统框图

解：因为由图可知，)(ωj G 曲线包围了)(1X N -曲线，所以不论幅值X 如何变化，该非线性系统都是不稳定的。

[例8-2]非线性系统的)(ωj G 及)(1X N -的轨迹如图8-3所示，试判断该系统有几个点存在自振荡。

解：因为由图可知，在复平面上)(ωj G 曲线与)(1X N -相交，系统可能发生自持振荡。图中)(1X N -曲线沿箭头方向由稳定区经交点P 进入不稳定区，所以P 点不存在自持振荡；而)(1X N -曲线沿箭头方向从不稳定区经交点Q 进入到稳定区，所以交点Q 处存在自持振荡。

[例8-3] 具有理想继电型非线性元件的非线性控制系统如图8-4(a)所示，试确定系统自振荡的幅值和频率。

)

12.0)(11.0(15

++s s s 2-2

0-

x y

x

y

r

c

图8-4(a) 非线性控制系统结构图

解：（1）在复平面上分别绘制)(1X N -曲线和)(ωj G 曲线。 ①绘制)(1X N -曲线：由理想继电型非线性特性可知

X

M

X N π4)(=

由图8-4(a)的系统结构图知2=M ，则得负倒数描述函数：8

4)(1X

M X X N ππ-=-=-

当X 从∞→0变化时，-∞→=-0)(1X N ，)(1X N -曲线起始于坐标原点)0,0(，并随着幅值X 的增大沿着复平面的复实轴向左移动，终止于∞-，如图8-4(b)所示。

②绘制)(ωj G 曲线：

由于)(ωj G 与实轴相交： 0)

0004.005.01()

02.01(15)(4

22

=++--=

ωωωωωj ImG ， 解得： 50=ω，代入)(ωj ReG 求得：

10004.005.015

.4)(50

4

250

-=++-=

==

ωωωωωj ReG

图8-4(b) )(ωj G 与)(1X N - 则)(ωj G 曲线示于图8-4(b)。

（2）确定系统自振荡的幅值和频率：

由图8-4(b)可见：)0,1(j -点为)(ωj G 曲线与负实轴的交点，亦是)(1X N -和

)(ωj G 的交点。因)(1X N -穿出)(ωj G ，故交点为自持振荡点。

自振频率50=ω,自振振幅由下列方程解出：

σ

)

(ωj 0

)

(ωj G )

(1X N --1

1)(Re )

(1

50

-==-

=

ωωj G X N ，即

18

-=-X

π，

55.28

==

π

X

[例8-4]非线性系统的)(ωj G 及)(1X N -的轨迹如图8-5所示，(该非线性系统相对负倒数描述函数)(1X N -曲线重合于实轴，为了清晰起见，画成了双线)。其中交点1M 处的振幅为76.01=X ，交点2M 处的振幅为83.12=X ，频率为

200=ω。试确定系统是否存在自持振荡，若有自持振荡，求

出系统自持振荡的幅值和频率。

解： )(1X N -的轨迹与

)(ωj G 曲线相交，则系统的输出有

可能产生自持振荡。在交点1M 处，)(1X N -曲线沿箭头方向从稳定

图8-5 非线性系统 区进入了不稳定区，

1M 点产生的自持振荡就是不稳定的；

而在交点2M 处，)(1X N -曲线沿箭头方向是由不稳定区进入到了稳定区，故在该交点处产生的自持振荡是稳定的； 即2M 点是自振荡点，所以系统自持振荡的幅值为83.12=X ，频率为200=ω。

四.习题

8-1 如图8-6所示的非线性系统，非线性部分的描述函数为X

M

X N π4)(=（M=1），线性部分的传递函数为2

)15.0(4

)(+=

s s j G ω，试用描述函数法讨论：

σ

2

M 1

M )

(ωj 0

)

(ωj G )

(1X N -

(1)该系统是否存在稳定的自持振荡点。 (2)确定其自持振荡的幅值和频率。

M -M

0y

x

r

c

x

y -

)

(ωj G

图8-6 非线性控制系统

框图

8-2 非线性系统如图8-7所示， (1)该系统是否存在稳定的自持振荡点。 (2)确定其自持振荡的幅值和频率。

)

2)(1(10

++s s s 1-1

0y

x

r

c

x

y -

图8-7 非线性控制系统

框图

8-3 非线性系统)(ωj G 及)(1X N -的轨迹如图8-8所示，试判断该系统有几个点是稳定的自持振荡点。

Im

Re

G(jw)

-1/N

B A

D C

E