正余弦定理高三复习教案
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案
教师：李强学生：但江荣科目：数学日期：2018.5.15
以恒教育学科教师辅导教案
讲义编号 一、 授课内容：
1． 内角和定理：
在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -
cos 2
A B +=sin 2C 2． 关于三角形面积问题：
①ABC S ?=
21ah a ＝21bh b ＝2
1ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； ③ABC S ?＝2R 2sin A sin B sin C .（R 为外接圆半径）
④ABC S ?＝R
abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,??
? ??
++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径)
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：R C
c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：??
???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)
4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2222cos a b c bc A =+-
S=
ABC中，b ABC
B、60 C或150 D或已知：A、B、C
正弦与余弦定理和公式高中数学知识点梳理
正弦与余弦定理和公式高中数学知识点 梳理 首先，我们要了解下正弦定理的应用领域 在解三角形中，有以下的应用领域： (1)已知三角形的两角与一边，解三角形 (2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 (3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦 正弦定理 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R为三角形外接圆的半径) 其次，余弦的应用领域 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形
中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sin A+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R为外接圆半径) (4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA (5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1.在△ABC中，C=90，a=1，c=4，则sinA 的值为 2.已知为锐角，且，则的度数是( ) 3.在△ABC中，若，A，B为锐角，则C的度数是() 4.若A为锐角，且，则A=() 5.在△ABC中，AB=AC=2，ADBC，垂足为D，且AD= ，E 是AC中点， EFBC，垂足为F，求sinEBF的值。
高一数学正余弦定理知识点梳理和分层训练修订稿
高一数学正余弦定理知 识点梳理和分层训练 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-
高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练 班级 姓名 座号 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin 2222 A B C A B C ++==. 表一：
表二：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况，具 基础达标： 1. 在△ABC 中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为 A. 一个解 B. 二个解 C. 无解 D. 无法确定 2．在△ABC 中，若2,a b c ===+A 的度数是 A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 3．ΔABC 中，若a 2 =b 2 +c 2 +bc ，则∠A= A. 60 B. 45 C. 120 D. 30 4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 5.在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45.求A 、C 及c.
正弦定理应用教案
正弦定理应用教案 【篇一：正弦定理、余弦定理应用举例教案】 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例 【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题． 【基础梳理】 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、 物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的 角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点 的方 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 3、解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量 与量 之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近 似计算的要求等． 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上 的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐 步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 【例题分析】 一、基础理解 a．．3 m c． m 2
解：如图．答案 b 例4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船 a．5海里 b．3海里 c．10海里 d．海里 5里)，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案 c 0.5 二、测量距离问题 例1、如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸 [分析] 在△bcd中，求出bc，在△abc中，求出ab. 例2、如图，a，b，c，d 都在同一个与水平面垂直的平面内， b、d为两岛上的 试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b， d的距离． 故cb是△cad底边ad的中垂线，所以bd＝ba. 2＋同理，bd(km)．故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db，延长ba交ce于点e，在△aec中 解得x＝10(33) m．故山高cd为10(33 ) m. 总结：(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．， cd cdx ab解：在△abc中，ab＝5，ac＝9，∠bca＝sin∠acb 9同理，在△abd中，ab＝5，sin∠bad 10 abbd∠adb＝， sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结：要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理． 点，ad＝10，ac＝14，dc＝6，求ab的长． 解：在△adc中，ad＝10，ac ＝ 14，dc＝6， 【篇二：《正弦定理》教学设计】
正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳
正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-
●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理
222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦 均可考虑利用余弦定理进行边角互化。 （2）勾股定理是余弦定理的特例 （3）在?ABC 中，222090?? <+?< 习题课 正弦定理和余弦定理 学习目标 1.学会利用三角形中的隐含条件.2.学会根据条件特点选择正弦定理、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题． 知识点一 有关三角形的隐含条件 “三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论： (1)由A ＋B ＋C ＝180°可得 sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2， cos A ＋B 2＝sin C 2 . (2)由三角形的几何性质可得 a cos C ＋c cos A ＝ b ，b cos C ＋ c cos B ＝a ， a cos B ＋b cos A ＝c . (3)由大边对大角可得sin A ＞sin B ?A ＞B . (4)由锐角△ABC 可得任意两内角之和大于π 2，进而可得sin A ＞cos B . 知识点二 正弦定理、余弦定理常见形式 1．正弦定理的呈现形式 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； (2)a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C ＝2R sin A ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . 2．余弦定理的呈现形式 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ， cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 特别提醒：解题的关键是根据题目特点，选择恰当的定理及变形，进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变形解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件，如内角和等． 1．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B .(√) 2．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B .(×) 3．在△ABC 中，若cos A ＝cos B ，则A ＝B .(√) 类型一 利用正弦、余弦定理转化边角关系 例1 在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，cos A ＝2 3，求sin B 的值． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变形的综合 解 由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理，得 sin C cos B ＝sin B cos C ， 故sin(B －C )＝0，∵0 第 1 课时： §1.1 正弦定理（1） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 二、过程与方法 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C == ，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 （1）在直角三角形中：c a A = sin ,1sin ,sin ==C C B B ， 即 =c A a sin ，=c B b sin ，=c C c sin ∴A a sin =B b sin =C c sin 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC 中，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111 sin sin sin 222 ABC S ab C ac B bc A ?= ==，每项 正余弦定理 1.定理内容： （1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 2sin sin sin a b c R A B C === （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。即： 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+- （3）面积定理：111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ?= == 2.利用正余弦定理解三角形： （1）已知一边和两角： （2）已知两边和其中一边的对角： （3）已知两边和它们所夹的角： （4）已知三边： 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12C ．2 D.1 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 课题：§2.1.1正弦定理 教学目标： 1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教材版本：北师大必修5 教学课时：1 教学过程： 一、新课引入： 如左图，在ABC Rt ?中，有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。 经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===， 所以在ABC Rt ?中有：c C c B b A a ===sin sin sin 思考：在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢，这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图，无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中，c B b B b ==sin sin '， c C 是ABC Rt ?，C AB ' ?外接圆的直径。所以对任意ABC ?，均有R C c B b A a 2s i n s i n s i n ===(R 为ABC ?外接圆的半径) 这就是我们这节课所探讨的内容：正弦定理 二、新课讲解 (一)正弦定理及变形： R C c B b A a 2sin sin sin === 定理变形：⑴C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ⑵R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === ⑶C B c b C A c a B A b a sin :sin :,sin :sin :,sin :sin :=== (二)定理应用 例1、在△ABC 中，BC ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求AC ，AB,c 解：【分析】 由三角形内角和定理得 B A C --=0180 由正弦定理A BC B AC C AB sin sin sin = = 得A B BC AC sin sin = ,A C BC AB sin sin = 【点评】：已知两角一边，通过正弦定理求剩下的三个量：两边一角。 例2、已知：△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 及c. 解：【分析】 根据正弦定理，得 sin A ＝asin B b ＝3sin 45°2 ＝32， ∵b 正弦定理和余弦定理 一、正、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： 1．已知两角和任意一边，求另两边和另一角； 2．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角． 第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定． 第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况． 下面以已知a ，b 和A ，解三角形为例加以说明． 法一;由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： (1)若sin B ＝ b sin A a >1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； (2)若sin B ＝ b sin A a ＝1，则满足条件的三角形的个数为1； (3)若sin B ＝ b sin A a <1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0 《正弦定理》教学设计 一、教学内容分析 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。 根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。 二、学情分析 对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。 三、设计思想： 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识网络 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 正余弦定理知识点 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 平面向量知识点 考试内容：数学探索?版权所有https://www.360docs.net/doc/fa3148012.html,向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移．数学探索?版权所有https://www.360docs.net/doc/fa3148012.html,考试要求：数学探索?版权所有https://www.360docs.net/doc/fa3148012.html,<1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．数学探索?版权所有https://www.360docs.net/doc/fa3148012.html,<2）掌握向量的加法和减法．数学探索?版权所有https://www.360docs.net/doc/fa3148012.html,<3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．数学探索?版权所有https://www.360docs.net/doc/fa3148012.html,<4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．数学探索?版权所有https://www.360docs.net/doc/fa3148012.html,<5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．数学探索?版权所有https://www.360docs.net/doc/fa3148012.html,<6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式． 1.本章知识网络结构 2.向量的概念 (1>向量的基本要素：大小和方向向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a； 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝<ｘ，ｙ） (3>向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜ (4>特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝ 单位向量aO为单位向量｜aO｜＝ (5>相等的向量：大小相等，方向相同ｘ1，ｙ1>＝<ｘ2，ｙ2） (6> 相反向量：a=-b b=-a a+b=0 (7>平行向量(共线向量>：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量 3.向量的运算 , 《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计 设计意图： 学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实际应用问题。 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数 学知识的理解和掌握。虽然是复习课，但我们不能一味的讲题，在教学中应体现 以下教学思想： ⑴重视教学各环节的合理安排： 设疑探究拓展实践循环此流程 在生活实践中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧知识与方法，引出课题。激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的状态，符合学生的认知规律。 ⑵重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法贯穿整个教学过程。 ⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。 ⑷重视加强前后知识的密切联系。对于新知识的探究,必须增加足够的预备知识,做好衔接。要对学生已有的知识进行分析、整理和筛选，把对学生后继学习中有需要的知识选择出来，在新知识介绍之前进行复习。 ⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。从数学教学的传统上看解三角形内容有不少高度技巧化、形式化的问题，我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。 二、实施教学过程 评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解. 思考讨论：该题若用余弦定理如何解决? 【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边， （1）若△ABC的面积为，c=2,A=600,求边a,b的值； （2）若a=ccosB,且b=csinA,试判断△ABC的形状。 （五）变式训练、归纳整理 【例3】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若 b cosC=(2a-c)cosB (1)求角B (2)设,求a+c的值。 剖析：同样知道三角形中边角关系，利用正余弦定理边化角或角化边，从而解决问题，此题所变化的是与向量相结合，利用向量的模与数量积反映三角形的边角关系，把本质看清了，问题与例2类似解决。 此题分析后由学生自己作答，利用实物投影集体评价，再做归纳整理。 （解答略） 课时小结（由学生归纳总结，教师补充） 1.解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系 常用正弦定理 2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为 边.并常用正余弦定理实施边角转化。 3.用正余弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用 向量的模求三角形的边长。 4.应用问题可利用图形将题意理解清楚，然后用数学模型解决问题。 5.正余弦定理与三角函数、向量、不等式等知识相结合，综合运用解决实际问 题。 课后作业： 材料三级跳 《正弦定理》教学设计 一、教材分析 正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章1.1.1的内容,是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边与角之间的数量关系。通过创设问题情景，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题： （1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。 二、学情分析 本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。 根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。 三、教学目标： 1.知识与技能：通过创设问题情境，引导学生发现正弦定理，并推证正弦定理。会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题。 2.过程与方法：引导学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角正弦的比值之间的关系，培养学生通过观察，猜想，由特殊到一般归纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之 间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣。 四、教学重点与难点： 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点： ①正弦定理的证明； ②了解已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的情况不唯一。 五、学法与教法 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： sin sin sin a b c A B C = = ， 接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖，培养学生“会观察”、 “会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。 教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式 （1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲。 （2）掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合，动脑思考,由特殊到一般，组织学生自主探索,获得正弦定理及证明过程。 （3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。 （4）巩固练习——深化对正弦定理的理解。 六、教学过程 创设问题情境：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出两点间A 、C 的距离55m ，∠ACB=600，∠BAC=450求A 、B 两点间的距离。 引导学生理清题意，研究设计方案，并画出图形，探索解决问题的方法． 启发学生发现问题实质是：已知△ABC 中∠A 、∠C 和AC 长度，求AB 距离.即：已知三角形中两角及其夹边，求其它边． B C A 1．1.2 余弦定理(一) 课时目标 1．熟记余弦定理及其推论； 2．能够初步运用余弦定理解斜三角形． 1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C . 2．余弦定理的推论 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3．在△ABC 中： (1)若a 2＋b 2－c 2＝0，则C ＝90°； (2)若c 2＝a 2＋b 2－ab ，则C ＝60°； (3)若c 2＝a 2＋b 2＋2ab ，则C ＝135°. 一、选择题 1．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A. 3 B ．3 C. 5 D ．5 答案 A 2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12 答案 B 解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ＝72＋(43)2－(13)2 2×7×43 ＝32.∴C ＝π6 . 3．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 答案 C 解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 2 2a ＝a ＝2. 4．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 答案 B 解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， 正余弦定理重要知识点 本张武林秘籍，乃武林之精髓所在，得此天书者，细细研习，来日方长，必 成大器。下星期一需要全部背住，不然你不知道我要出哪一招。 6①如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角； ② 如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角； ③ 如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。 （课本第6页右下角） 、C 的对边，贝①若①a 2 b 2 c 2，则C 90o ; ③若a 2 b 2 c 2，则0 C 90 ; C 为锐角 7、在三角形中一些重要的知识点; 1. A B C ，代 B,C （0,） 2. 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3. 大角对大边，小角对小边，等角对等边。 4. 在三角形中，如果某一边不是最大的边，那么这条边所对的角一定是锐角 5. 在三角形中，如果某一边是最大的边，那么它所对的角可能是锐角，直角，钝 的外接圆的半径，则有 a b c 2R （ R 是三角形外接圆半 径） sin sin sin C 2、正弦定理的变形公式： ① a 2Rsin ， b 2Rsin ，c 2RsinC ; ② sin —， sin b si nC c 2R 2R ' 2R ' ③ a: b: c sin :sin :sin C 3、余弦定理：在 C 中, 有 a 2 b 2 c 2 2bc cos ，b 2 2 a c 2 2ac cos ，c 2 a 2 b 2 2abcosC 1、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、C 的对边，R 为 C 4、余弦定理的推论：cos ,2 2 2 b c a ，cos 2bc 2 2 , 2 a c b 2ac ，cosC 2 , 2 2 a b c 2ab 1 5、三角形面积公式：S C bcsin 2 S ABC -两边之积 2 1 亠 S ABC 底咼 2 absin C 2 1 . acs in 2 两边夹角的正弦值 例如a 、b 、c 是 C 的角 ②若 a 2 b 2 c 2 ，则.90 C 180，C 为钝角 高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案 教学目标： 1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形. 2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点． 3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形． ③能解决与三角形有关的实际问题． 教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解． ②将实际问题转化为解斜三角形． 教学过程 一、基础回顾 1、正余弦定理 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bccosA ， b 2＝a 2＋ c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 2、变形式 ①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径) ②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB ③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab . 3、三角形中的常见结论 (1) A ＋B ＋C ＝π. (2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC 的面积公式 ① S ＝12 a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ； ③ S ＝12 r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12 (a ＋b ＋c)． 二、基础自测 1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________． 2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________． 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形． 4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________． 一、教学内容分析 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。 根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。 二、学情分析 布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、 积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引 导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“余弦定理”的教学， 不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展 等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问 题、解决问题等研究性学习的能力。 三、设计思想： 《正弦定理》一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究。旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力)，培养学生发展性学力(培养终身学习能力)，诱发学生创造性学力(提高应用能力)，最终达到素质教育目的。为此，我在设计这节课时，采用问题开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略。通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。以学生参与为主，教师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教育观，在开放式讨论过程中，提高学生的数学基础能力，发展学生的各种数学需要，使其获得终身受用的数学基础能力和创造才能。建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。 为此我们根据“问题教学”模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问习题课 正弦定理和余弦定理
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