第二章(多自由度系统的运动微分方程)

m3 g
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
l1
m1g
对C取矩
B
l2 m2 g
1 l3 m3 gx3
C
l3 x3
对B取矩 对A取矩
l3 x3 m3 g
l2 x2 (m2 m3 ) g
1 (l3 l2 ) m3 g ( x2 x3 ) m2 gx2
1
x1
x2 d33
m3 g
K 1 D
上次课内容回顾
6.刚度法和柔度法的优缺点
刚度法： 优点：当系统具有刚体运动自由度时，刚度法仍可应用，因此适
用范围广；
缺点：刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地 增加了系统约束的数目，求解比较繁； 柔度法： 优点：柔度法维持原系统的约束，实施比较方便； 缺点：如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效；
1 (l3 l2 l1 ) m3 g ( x1 x2 x3 ) m2 g ( x1 x2 ) m1 gx1
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32 d13 d 23 d33
STOP
x1
l1 (m1 m2 m3 ) g
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【课堂练习】求图示摆的柔度矩阵
A
1
d11
l1
1
对A取矩:
l1 cos1 (m1 m2 m3 ) gl1 sin 1
d 21 d31
m1 g
l1 cos1 (m1 m2 m3 ) gd11 l1 (m1 m2 m3 ) gd11
d11 d21 d31
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32
cos 1 1
m2 g m3 g
l1 (m1 m2 m3 ) g
d13 d 23 d33
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
对B取矩
l1
B
1 l2 (m2 m3 ) gx2
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )
返回
用影响系数法建立系统的运动微分方程
1.总体思路
刚度影响系数 柔度影响系数 影响系数法 阻尼影响系数
K
D
C
M
质量影响系数
用影响系数法建立系统的运动微分方程
2.刚度影响系数
0
Ku f
Mu Cu Ku f
0 第j行 k1 j 0 k 2j 1 0 k Nj 0
激振力向量
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
2.系统运动微分方程的建立方法
牛顿第二定律: 适用于自由度不多的离散系统或简单的 连续系统
动量矩定理:
影响系数法： 建立方法
主要适用于自由度不多的离散系统
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
建立多自由度系统运动微分方程的各种方法的概述
1.多自由度系统运动微分方程的一般形式
回想单自由度系统运动微分方程的一般形式
mu(t ) cu(t ) ku(t ) f (t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
u(t )
u(t )
位移向量
m
阻尼矩阵
M
质量矩阵
c
f (t )
C
k
K
刚度矩阵
f (t )
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
5.质量影响系数
0
Mu f
Mu Cu Ku f
质量影响系数 mij ：第 j 个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度
为零时，需要在第 i 自由度处施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
6.思考
此系统用刚度法方便还是柔度法方便？
m1
m2
m3
能否对此系统实施柔度法？
k k m1 0 u1 (t ) k k u1 (t ) 0 m u (t ) k k u (t ) 0 K k k 2 2 2
u1
k1
m1
解： 令 u1
u2
k2
m2
k3
1, u2 0 u1 1
u2 0
k1
k11
k2
k2
k21
m1
k11 k1 k2
k11 K k21 k2 k21
m2
k12 k22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1 k1
m1
令 u1
u2
k2
m2
k3
列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。 加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要 用
x 或 y 或 z 表示就可以了。
用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
2. 用牛顿第二定律列写运动微分方程
u1 u2
k1u1
f1 (t )
k2 (u2 u1 )
k2 (u2 u1 )
对A取矩
m1 g
l2
d 22
x1 x2
m2 g l3
1 1 (l1 l2 ) (m2 m3 ) g ( x1 x2 ) m1gx1
d32
l1 l2 d22 d32 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32 d13 d 23 d33
隔离体2的受力分析
T1
m1
R2
T2
m1 R2 T2 T1
Lagrange方程的产生背景
I
R1 k1
R2

m1
r
m2
k2
隔离体3的受力分析
T2
f
r
m2
R2
k2 R2
刚体平面运动微分方程：（见《理论力学》，范钦珊主编）
d1 j d2 j d Nj
d1 N d2 N d NN
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的柔度矩阵。
u1
u2
k2
k1
m1
d11 k1d11
柔度矩阵：
m2
k2 (d22 d12 ) k3d22 1
d11 D d 21
d12 d 22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
4.阻尼影响系数
0 0
Cu f
Mu Cu Ku f
时，需要在第 i自由度处施加的力。
阻尼影响系数 cij ：第 j 个自由度产生单位速度，其他自由度处的速度为零
0, u2 1
u1 0
u2 1
k12
m1
k2
k2
k22
m2
k3
k12 k2
k22 k2 k3 k1 k2 k2 刚度矩阵： K k 2 k2 k3
k11 K k21
k12 k22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
3.柔度影响系数
柔度矩阵
0
u K 1 f D f
Ku f
0 第j行 d1 j 0 d 2j 1 0 d Nj 0
Mu Cu Ku f
d11 d 21 d N1
f 2 (t )
k3u2
c1u1
m1
c2 (u2 u1 ) c2 (u2 u1 )
m2
c3u2
受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析 时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错.
根据牛顿第二定律，得到系统的运动方程：
m1u1 k1u1 k2 (u2 u1 ) c1u1 c2 (u2 u1 ) f1 (t ) m2u2 k2 (u2 u1 ) k3u2 c2 (u2 u1 ) c3u2 f2 (t )
用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
m1u1 k1u1 k2 (u2 u1 ) c1u1 c2 (u2 u1 ) f1 (t ) m2u2 k2 (u2 u1 ) k3u2 c2 (u2 u1 ) c3u2 f 2 (t )
m1 0 u1 c1 c2 c2 u1 k1 k2 k2 u1 f1 0 m u c c2 c3 u2 k2 k2 k3 u2 f 2 2 2 2
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1
k1
m1
d12 k1d12
F1 0 m1
u2
k2 m2
k3
k2 (d22 d12 )
k2 (d22 d12 ) k1d12 0
d 22
k2 (d22 d12 )
F2 1
k3d 22
k1 k2 d12 d21 , d22 k1k2 k1k3 k2 k3
奇异（秩亏损）
用影响系数法建立系统的运动微分方程
7.小结
① 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约 束的数目，求解比较繁。 ② 柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统 的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。 ③ 如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效，但刚度法却可奏效。所 以刚度法的应用范围比柔度法要大。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由ຫໍສະໝຸດ Baidu（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
l3 l1 l2 d33 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g m3 g
上次课内容回顾
1. 多自由度系统运动微分方程的一般形式
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )
2. 用牛顿第二定律列写运动微分方程
受力分析时假定两质量块均沿着坐标的正方向运动.因为这样在受力分析 时容易确定所受力的大小和方向,不容易出错.
主要适用于自由度不多的离散系统
Lagrange方程法：主要适用于离散系统
Hamilton原理： 主要适用于连续系统
有限单元法： 离散系统，连续系统都适用，是一种最
通用的建模方法
返回
用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
1.直角坐标形式的牛顿第二定律
d 2x m dt 2 Fx d2y m 2 Fy dt d 2z m 2 Fz dt
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第二讲：
1.Lagrange方程的产生背景 2.利用Lagrange方程建立系统的运动 微分方程 3.课堂练习
Lagrange方程的产生背景
1.牛顿力学方程的缺陷
I
R1 k1
R2

m1
r
m2
k2
I
隔离体1的受力分析
k1 R1
R1
R2
T1
I T1 R2 k1 R1 R1