2019届北京市朝阳区高三第一学期期中数学(理)试题(word版)
2019届北京市朝阳区高三第一次(3月)综合练习(一模)数学(理)试题(PDF版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学 （理）2019．3本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A B =A ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R 2．在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．41()x x-的展开式中的常数项为A ．12-B ．6-C ．6D ． 124．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+ B ．()sin(4)6f x x π=+ C ．()cos(2)3f x x π=+ D ．()cos(4)6f x x π=+6．记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A ．4B ．2C ．83D ．43[8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A ．5B ．6C ．7D ．8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为 ．11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B 两点，则AB =___．12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所正（主）视图 俯视图侧（左）视图示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，a =，120A ∠=︒，ABC △b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos2B 的值． 16．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A ；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B .用频率估计概率，求“乘客A ,B 乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X 表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X 的分布列与数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ．四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =．（Ⅰ）求证：AF CD ⊥；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；[]（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线//CE 平面AFM ? 若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．19．（本小题满分14分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*．（Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；（Ⅲ）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1． [北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）答案2019．3三、解答题：（本题满分80分）15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知得2221=sin 2=2cos120.S bc A b c bc ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或=4,=1.b c ⎧⎨⎩因为b c <，所以1b =．………………………………………………….8分 （Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=， 即sin 14B =．所以2213cos 2=12sin 1)1414B B -=-= ……………………………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=.故事件C 的概率为15．………………………………………………………….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，[所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25.显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~X B .所以033327(0)()5125P X C ===；1232354(1)()55125P X C ==⋅=； 2232336(2)()55125P X C ==⋅=；33328(3)()5125P X C ===. 故随机变量X 的分布列为26355EX =⨯= .……………….13分 17．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，所以AF ⊥平面ABCD ．所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ， 所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==． 设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0. x y z +=⎧⎨=⎩令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ，则sin |cos ,|BF θ=〈〉==n ．……………….9分 （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， 设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-， 所以()1,,0AM λλ=-．设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m因为()0,0,1AF =，所以000(1)0,0. x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=m ． 因为()1,2,1CE =--，由0CE ⋅=m ， 所以2(1)0λλ---=，解得2[0,1]3λ=∈，所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分18． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x-'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞． 不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x --+-++'=--==． 当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()eaf a =，无极小值．当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x有极小值e ()eaf a =，无极大值．……………………………………………….13分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意a =1b =，1c ==所以离心率ce a==，左焦点(1,0)F -．………………………………………….4分 （Ⅱ）当00y =时直线l 方程为x =x =l 与椭圆C 相切．当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得22220000(2)4440y x x x x y +-+-=，由题知，220012x y +=，即220022x y +=，所以 22220000(4)4(2)(44)x y x y ∆=-+-220016[2(1)]x y =-- =220016(22)0x y +-=．故直线l 与椭圆C 相切．………………………………………………………….8分（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=，所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．当00y ≠时，由2200(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得22220000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=，则20012202(2)1y x x x y ++=+，21222101y x x y -=+，2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++200254422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+ 1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 220025(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=．故AFB ∠为定值90． ………………………………………………………….14分20． (本小题满分13分)解：(I)9101000,1,1a a a ===．.………………………………………………………….3分 (II)反证法：假设i ∀,0.i a ≠由于21n n n a a a ++=-， 记1,2max{}M a a =.则12,a M a M ≤≤.则32101a a a M <=-≤-，43201a a a M <=-≤-,54302a a a M <=-≤-，65402a a a M <=-≤-，，依次递推，有76503a a a M <=-≤-，87603a a a M <=-≤-…， 则由数学归纳法易得21,.k a M k k *+≤-∈N 当k M >时，210,k a +<与210k a +>矛盾. 故存在i ，使=0.i a所以，数列{}n a 必在有限项后出现值为0的项．………………………………………….8分 (III)首先证明：数列{}n a 中必有“1”项．用反证法，假设数列{}n a 中没有“1”项，由(II)知，数列{}n a 中必有“0”项，设第一个“0”项是m a (3)m ≥，令1m a p -=，1,p p >∈N *，则必有2m a p -=，于是，由1233||||m m m m p a a a p a ----==-=-，则32m a p -=，因此p 是3m a -的因数， 由2344|||2|m m m m p a a a p a ----==-=-，则4m a p -=或3p ，因此p 是4m a -的因数.依次递推，可得p 是12,a a 的因数，因为1p >，所以这与12,a a 互质矛盾．所以，数列{}n a 中必- 11 - 有“1”项．其次证明数列{}n a 中必有无穷多项为“1”.假设数列{}n a 中的第一个“1”项是k a ，令1k a q -=，1,q q >∈N *， 则111k k k a a a q +-=-=-，若1k a +=11q -=，则数列中的项从k a 开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若111k a q +=->，则213212,1k k k k k k a a a q a a a +++++=-=-=-=，若221k a q +=-=，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若221k a q +=->，则从k a 开始的项依次为1,1,2,1,3,4,1q q q q ----，……，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．……13分。
2019届高考文数百强名校试题解析精编版：北京市朝阳区2019届高三上学期期中统一考试文数试题解析(解析版)
（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合}2{>=x x A ，B ＝{(1)(3)0}x x x --<，则A ∩B =( )A ．{1}x x >B ．{23}x x <<C ．{13}x x <<D ．{2x x >或1}x < 【答案】B考点：集合间的运算.2. 设平面向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 且⋅a b 1=-, 则实数x 的值是( ) A ．2- B ．1- C ．13- D ．15- 【答案】D 【解析】试题分析：(,1)a x =，(4,)b x =所以451a b x x x =+==-，解得15x =- 故答案选D考点：向量的数量积.3. 下列函数在(,0)(0,)-∞+∞上既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是 ( )A ．2y x =-B ．1y x -=C ．2log y x =D ．2x y =-【答案】C 【解析】试题分析：易判断A 、C 选项函数的偶函数，A 选项2y x =-是开口向下二次函数，其在(0,)+∞单调递减，C 选项2log ||y x =，当0x >时，2log y x =，由对数函数性质知，其在(0,)+∞单调递增故答案选C考点：函数的奇偶性和单调性. 4．已知1tan 3θ=，那么πtan ()4θ+等于 ( ) A ．2 B ．2- C ．12 D ． 12-【答案】A 【解析】试题分析：11tan tan34tan()2141tan tan 1143πθπθπθ+++===--⨯故答案选A考点：正切函数的和差公式.5. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位【答案】B考点：三角函数的图像平移.6. 下列命题准确的是 ( ) A. “1<x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件B. 若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x xC. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D. 命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x 【答案】B 【解析】试题分析：A 选项， 0232>+-x x (1)(2)02x x x ⇔-->⇒>或1x <，所以“1<x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件，故A 选项错误；B 选项，若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ，故B 选项准确；C 选项，q p ∧有假便是假，所以若q p ∧为假命题，则q p ,至少有一个是假命题，故C 选项错误；D 选项，命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 2320x x -+≠则2≠x ，故D 选项错误. 故答案选B考点：命题的真假判断.7. 在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅的值是( ) A ．5 B ．421C ．6D ．8【答案】C 【解析】试题分析：因为M 、N 分别是BC 边上的三等分点所以2133AM AB AC =+,1233AM AB AC =+ 所以222112252()()3333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅+2225()99AB AC AB AC =++⋅又BC AC AB =-所以2222222()2324BC AC AB AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅⇒=+-⨯ 得2217AC AB += 所以25174699AM AN ⋅=⨯+⨯= 故答案选C考点：1.向量的线性关系；2.向量的数量积.8. 已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存有实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：令()0g x =，即()f x b =，若要使函数()f x 与函数y b =有两个交点需22a a >， 由函数图象知当2a =或4时，22a a =所以当24a <<时，22a a > 故答案选C考点：1.函数的零点；2.数形结合.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 若集合{}1,0,a ={}1,1,-bc ，则_____,_______.a b == 【答案】1-，1 【解析】试题分析：由{,0,1}a 1{,,1}c b=- 又集合的特征，所以该集合为{1,0,1}- 所以1a =-因为10b ≠ 所以111b b=⇒=故答案为1-，1. 考点：集合的特性.10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3612a a +=，48S =，则9a 的值是 ． 【答案】15考点：等差数列的基本量运算. 11. 给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________．【答案】①④ 【解析】试题分析：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①命题准确；②平行于同一直线的两个不重合的平面不一定平行，故②命题错误；③垂直于同一平面的两个不重合的平面不一定平行，故③命题错误；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行，故④命题准确； 故真命题的是①④ 考点：点线面的位置关系.12．已知函数()2sin f x x ω=(0>ω)的最小正周期为π，则=ω ，在(0,)π内满足0)(0=x f 的0x ＝ ．【答案】2；2π【解析】试题分析：由三角函数的周期公式222||T πππωωω=⇒=⇒= 则()2sin 2f x x =令()0f x =，则2,,2kx k k Z x k Z ππ=∈⇒=∈ 因为(0,)x π∈， 所以02x π=故答案为2；2π考点：三角函数的性质.13. 若函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,)+∞ 【解析】试题分析：因为函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递增 所以()0f x '≥在区间ππ(,)64上恒成立()cos sin 0cos sin f x a x x a x x '=-≥⇒≥因为ππ(,)64x ∈，所以cos 0x > 所以sin tan cos xa x x≥=因为tan y x =在区间ππ(,)64上单调递增tan 1x << 所以1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞ 考点：恒成立问题.14.如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，若向量14AM AB mAC =+（m ∈R ），且点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．【答案】(2,6)- 【解析】试题分析：如图以A 原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C 因为D 是BC 的中点，所以(2,2)D因为向量14AM AB mAC =+，所以(1,4)M m又平面向量的平行四边形法则 所以1344m << AM BM ⋅2(1,4)(3,4)316m m m =-=-+因为1344m <<，所以223166m -<-+< 所以AM BM ⋅的取值范围是(2,6)-考点：1.平面向量的数量积；2.平行四边形法则.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 222x x x f x =+.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间. 【答案】（I ）2π；（II ）[2,2]33k k π4ππ+π+,k ∈Z . 【解析】试题分析：（I ）由三角函数的半角公式原式可化为()cos 1f x x x =++，再由三角函数和差公式得，()2sin()16f x x π=++，最后由周期公式2||T πω=，计算得)(x f 的最小正周期；考点：1.三角函数的性质；2.三角恒等变换. 16. （本小题满分13分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=已知1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（I ）21n a n =+；(Ⅱ) 22 4.n n T n +=+-【解析】试题分析：（I ）数列{}n a 是等差数列，可设其首项为1a ，公差为d ，由315S =，所以1323152a d ⨯+=，1341,,a a a 成等比数列，所以24113a a a =，即2111(3)(12)a d a a d +=+，两方程联立，即可求得首项1a ，公差d ，既得数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 由（I ）知21n a n =+，所以121n n b +=+，使用分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n T . 试题解析：（I ）依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13,2.a d =⎧⎨=⎩所以1(1),32(1)2121n n a a n d n n a n =+-=+-=+=+即. (Ⅱ)依题意，1212212+=+⨯==+n nn n a b .12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++=23122...2n n +++++4(12)12n n-=+-22 4.n n +=+-考点：1.等差数列和等比数列；2.数列求和. 17. （本小题满分14分）如图, 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,CB AC ⊥,点D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB .(Ⅲ)设12AB AA =,AC BC =,在线段11A B 上是否存有点M ，使得1BM CB ⊥?若存有,确定点M 的位置; 若不存有，说明理由.【答案】（I ）略；(Ⅱ)略； (Ⅲ)存有，M 为线段11A B 的中点，理由略.(Ⅲ) 在线段11A B 上存有点M ，使得1BM CB ⊥,且M 为线段11A B 的中点.证明如下：由已知得1AA CD ⊥.由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点，所以CD AB ⊥，可得CD ⊥平面11AA B B .连接BM .因为BM ⊂平面11AA B B ，所以CD BM ⊥，易证1BM B D ⊥，所以BM ⊥平面1B CD ，即可得1BM CB ⊥.试题解析：（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ， 所以1CC AC ⊥. 又AC BC ⊥，1BCCC C =,所以11AC BCC B ⊥平面． 而111BC BCC B ⊂平面，则1AC BC ⊥. (Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ，因为D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 所以DE ∥1AC .因为1DE CDB ⊂平面，11AC CDB ⊄平面， 所以1AC ∥1CDB 平面.(Ⅲ)在线段11A B 上存有点M ，使得1BM CB ⊥,且M 为线段11A B 的中点.E证明如下：因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ,所以1AA CD ⊥. 由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点， 所以CD AB ⊥. 又1AA AB A =，所以CD ⊥平面11AA B B .取线段11A B 的中点M ，连接BM . 因为BM ⊂平面11AA B B ，所以CD BM ⊥.由已知12AB AA =，由平面几何知识可得1BM B D ⊥. 又1CDB D D =,所以BM ⊥平面1B CD .又1B C ⊂平面1B CD ， 所以1BM CB ⊥. 考点：18. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求C A sin sin⋅的取值范围．【答案】（I；（II ）1(0,]4.EM试题解析：（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，所以2π3B =，sin B = 由正弦定理,sin sin a bA B=可得2sin A =则1sin 2A =. 又A 为锐角，则6A π=，所以6C π=. 所以1sin 2ABC S ab C ∆=11222=⨯⨯=.考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质. 19. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 在区间(1,3)上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥. 【答案】（Ⅰ）[3,)+∞；（Ⅱ）证明略. 【解析】试题分析：（I ）函数的定义域为(0,)+∞.因为(1)()()(1)a x x a f x x a x x--'=+-+=.又因为函数()f x 在(1,3)单调减，所以不等式(1)()0x x a --≤在(1,3)上恒成立.设()(1)()g x x x a =--，由二次的性质得(3)0g ≤，即93(1)0a a -++≤即可，解得3a ≥；（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，则211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==，令()0f x '=，求得函数()f x 的单调区间，即得函数()f x 的最小值，即证.试题解析：（I ）函数的定义域为(0,)+∞.因为2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=+-+==.又因为函数()f x 在(1,3)单调减，所以不等式(1)()0x x a --≤在(1,3)上成立. 设()(1)()g x x x a =--，则(3)0g ≤，即93(1)0a a -++≤即可，解得3a ≥. 所以a 的取值范围是[3,)+∞.（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==. 令()0f x '=，得1x =或1x =-（舍）. 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以1x =时,函数()f x 的最小值为1(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. 考点：1.恒成立问题；2.导函数的应用. 20. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)xf x ax bx =++(其中a ，b ∈R ),函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1b =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为0，求b 的值． 【答案】 (Ⅰ) 210x y -+= ；(Ⅱ) 2b =或2b =-.(Ⅱ)由已知得2()e (1)x f x x bx =++，所以()e (1)(1)xf x x x b '=+++，对1-，1，1b --实行分类讨论，求得函数()f x 在区间[1,1]-上的单调区间，继而求得函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值，即得b 的值.试题解析：因为2()e (1)xf x ax bx =++，所以2()e [(2)1]xf x ax a b x b '=++++． 因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b -+++=．所以1a =． (Ⅰ)当1a =时，1b =时， (0)1,(0)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-． 即210x y -+=． (Ⅱ)由已知得2()e (1)xf x x bx =++，所以2()e [(2)1]e (1)(1)xxf x x b x b x x b '=++++=+++． （1）当11b --<-，即0b >时，令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++>得，1x >-或1x b <--；令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++<得，11b x --<<-．所以函数()f x 在(1,)-+∞和(,1)b -∞--上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减． 所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=． 解得2b =．显然合题意．（2）当11b --=-时，即0b =时，2()e (1)0x f x x '=+≥恒成立，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=． 解得2b =．显然不符合题意． （3）当11b -->-时，即0b <时，令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++>得，1x <-或1x b >--； 令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++<得，11x b -<<--．所以函数()f x 在(,1)-∞-和(1,)b --+∞上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减．考点：1.导数的几何意义；2.函数的最值.。
2019朝阳数学一模理科终稿
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学 （理）2019．3 本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则AB =A ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R 2．在复平面内，复数12iiz +=对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．41()x x-的展开式中的常数项为A ．12-B ．6-C ．6D ． 124．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+12π1-1O 3π xy712π6．记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为 A ．4B ．2C ．83D ．438．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A ．5B ．6C ．7D ．8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．双曲线2214x y -=的右焦点到其一条渐近线的距离是 ．10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为 ．11．在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=相交于,A B正（主）视图 俯视图侧（左）视图12．能说明“函数()f x 的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f ⋅>，则()f x 在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是 ．13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 ．14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，a ，120A ∠=︒，ABC △b c <． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求cos 2B 的值． 16．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图：图1图2时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求“乘客A,B乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面A B C D．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且//AD BC，90BAD∠=︒，1AB AD==，3BC=．（Ⅰ）求证：AF CD⊥；（Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD上是否存在点M，使得直线//CE平面AFM?若存在，求BMBD的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数ln()()axf xx=(Ra∈且0)a≠.（Ⅰ）当1a=时，求曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）当1a=-时，求证：()1f x x≥+；（Ⅲ）讨论函数()f x的极值．EDCB A F19．（本小题满分14分）已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*． （Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项；（Ⅲ）证明：若12,a a 互质，则数列{}n a 中必有无穷多项为1．。
2019朝阳一模数学理科试题
32019 朝阳一模 数学理科试题、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项3.已知数列 {a n }的前n 项和为 S n ，且S n 2a n 1(n N )，则a 5A. 16B. 16C. 31D. 324. 已知平面 ，直线a,b,l ，且a ,b ，则“ l a 且l b ”是“l ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 有 10件不同的电子产品，其中有 2件产品运行不稳定 . 技术人员对它们进行一一测试，直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好 3 次就结束测试的方法种数是( )A. 16B. 24C. 32D. 486.已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 x R ，都有 f(x 2) f(x).当0 x 1时，f(x) x 2.若直线 y x a 与函数 y f ( x)的图象在 [0, 2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是11 1 1A. 0B. 0 或C. 或D.0 或24247. 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年 A 种产品定价为每件 70 元，年销售量为 11.8 万件 . 从第二年开始，商场对 A 种产品 征收销售额的 x%的管理费(即销售 100 元要征收 x 元)，于是该产品定价每件比第一年 增加了 70 x% 元，预计年销售量减少 x 万件，要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的1 x%管理费不少于 14 万元，则 x 的取值范围是 A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 108. 已知点集 A (x,y) x 2 y 2 4x 8y 16 0 ， B (x,y) y x m 4, m 是常数 ，点集 A 所表示的 平面区域与点集 B 所表示的平面区域的边界的交点为 M,N . 若点 D ( m,4) 在点集 A 所表示的平面区域内(不 在边界上)，则△ DMN 的面积的最大值是A. 1B. 2C. 2 2D. 4第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分. 把答案填在答题卡上 .2 x2y 2 1 ，则此双曲线的离心率为1. 复数10i1 2i A. 42iB.4 2iC.2 4iD2 4ia ,b 满足a (a + b )=3 ，且 a = 2,b = 1，则向量 a 与b 的夹角为A.B.C.D.9. 已知双曲线的方程为 ，其焦点到渐近线的距离2. 已知平面向量某次有 2018 人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定 区间[75 ，80)[80 ， 85) [85， 90) [90 ， 95) [95， 100] 人数50a350300b到极点的距离是114. 已知△ ABC 中， C 90 , AC 3,BC 4. 一个圆心为 M ，半径为 的圆在△ ABC4内，沿着△ ABC 的边滚动一周回到原位 . 在滚动过程中，圆 M 至少与△ ABC 的一边相切，则点 M 到 △ABC 顶点的最短距离是，点 M 的运动轨迹的周长是 .三、解答题：本大题共 6小题，共 80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 .把答案答在答题卡上 .15. （本小题满分 13 分）π已知函数 f (x) cos(x ).472Ⅰ)若 f ( ) 7 2 ，求 sin2 的值；10，求函数 g （x ）在区间 π,π上的最大值和最小值 .6316. （本小题满分 13 分）10. 已知某几何体的三视图如图所示， 体积为 .则该几何体的10（第 （第题图） 11题图） 11. 所示的程序框 图，若输入k 的 值是 4 ，则输出 S 的 值是 .执行如图 12. 在极坐标系中，曲线2 3sin和 cos 1相交于点 A,B ，则线段 AB 的中点1 x 3(1)x 3,13.已知函数 f(x) 2 4log 2 x,x 2,若函数 g （x ） f （x ） k 有两个不同的零点，则实数 0 x 2.k 的取值范围II )设 g(x) f x f x侧视图正视图俯视图2Ⅰ）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数 a, b 的值； II ）现在要用分层抽样的方法从这 2018 人中抽取 40 人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；85 分及其以上为优秀频率Ⅲ)在( II )中抽取的 40 名学生中，要随机选取 2 名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为 X ，求 X的分布列与数学期望 .17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中， 四边形 ABCD 为平行四边形， ABD = 90 ， EB 平面 ABCD ，EF//AB ，AB= 2 ，EB= 3,EF =1， BC= 13 ，且 M 是 BD 的中点 .(Ⅰ)求证： EM// 平面 ADF ； (Ⅱ)求二面角 D-AF-B 的大小； (Ⅲ)在线段 EB 上是否存在一点 P ， 使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ？ 若存在，求出 BP 的长度；若不 存在，请说明理由 .18. (本小题满分 13 分)axe设函数 f (x) 2 ,a R .x21(Ⅰ)当 a 1时，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； (Ⅱ)求函数 f (x) 单调区间 . 19. (本小题满分 14 分)x 2 y 2已知椭圆 C : x 2 y 2 1(a b 0) 的两个焦点分别为 F 1( 2,0) ，F 2( 2,0) . 点 M (1,0) 与椭圆短轴的两 ab个端点的连线相互垂直 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程；(Ⅱ)已知点 N 的坐标为 (3,2) ，点 P 的坐标为 (m, n)(m 3) . 过点 M 任作直线 l 与椭圆C 相交于 A ， B 两点，设直线 AN ， NP ， BN 的斜率分别为 k 1， k 2 ， k 3 ，若 k 1 k 3 2k 2 ，试求m,n 满足的关系式 .20．(本小题满分 13 分)已知各项均为非负整数的数列 A 0 : a 0, a 1, ,a n (n N )，满足 a 0 0， a 1 a n n ．若存在最小的正 整 数 k ， 使 得 a k k (k 1) ，则 可 定 义 变 换 T ， 变 换 T 将 数 列 A 0 变 为 数 列T(A 0):a 0 1, a 1 1, , a k 1 1, 0,a k 1 , , a n ．设 A i 1 T(A i ) ， i 0,1,2 ．(Ⅰ)若数列 A 0 : 0,1,1,3,0,0 ，试写出数列 A 5 ；若数列 A 4 : 4,0,0,0,0 ，试写出数列 A 0 ； (Ⅱ)证明存在唯一的数列 A 0 ，经过有限次 T 变换，可将数列 A 0 变为数列 n,0,0, ,0 ；n 个(Ⅲ) 若数列 A 0 ，经过有限次 T 变换，可变为数列 n,0,0, ,0 ．设 S m a m a m 1a n ，m 1,2, ,n ，n 个求证 a m S m [S m](m 1) ，其中 [ S m ] 表示不超过 S m 的最大整数．m 1 m 1 m 1DCAB7分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类）、填空题：（ 15 ）（本小题满分 13 分）解：(Ⅰ)因为 f ( ) cos(π) 7 2 4 10πππII )因为g(x) f x f x=cos( x ) cos(x ) 2 44(cos 2 x sin 2 x) 2 cos2x . 21 所以，当 x 0时， g （x ）的最大值为 1 ；2π1当x 时， g(x) 的最小值为 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分 34( 16 )(本小题满分 13 分)解：(Ⅰ)依题意， a 0.04 5 1000 200,b 0.02 5 1000 100. ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为 x ，则 x40即其中成绩为优秀的学生人数为 30 名 . Ⅲ）依题意， X 的取值为 0，1，2，350 300 1001000，解得：x=30，C 120 10 3 C 10C 30 P(X 0) C 120 52， P(X 1) 10 30 C 420 C 320 29 5 30 153， P(X 2) C 34200 52，所以 2(cos sin ) 7 22 10所以cos sin 7 .5平方得， 22sin 2sin cos cos 49 25所以 sin224 256分2(cosx sin x)22(cos x sin x) (cosx sin x) 210 分当x6π,π32xπ 2π3,310 分X 0 1 2P3 5 29 5213 523 5 29 33 EX 0 1 2 ，所以 X 的数学期望为52 13 52 2217）（本小题满分 14 分）证明：（Ⅰ）取 AD 的中点 N ，连接 MN,NF .在△ DAB 中， M 是 BD 的中点， N 是 AD 的中点，所以 MN//AB,MN1又因为EF//AB,EF = AB ，2 所以 MN//EF 且 MN =EF . 所以四边形 MNFE 为平行四边形， 所以EM//FN .又因为 FN 平面 ADF ， EM 平面 ADF ，又因为 EM n ( 3 ,0,- 3) (2,3, 3) = 3+ 0-3 =0，2Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面 ADF 的一个法向量是 n （2,3, 3）. 因为 EB 平面 ABD ，所以 EB BD .又因为 AB BD ，所以 BD 平面 EBAF . 故 BD （3,0,0） 是平面 EBAF 的一个法向量 .所以 cos< BD,nBD n= 1 ，又二面角D- AF - B 为锐角，BD n 2故二面角 D- AF - B 的大小为 60 . Ⅲ）假设在线段 EB 上存在一点所以 X 的分布列为13分= 1 AB ， 2FEN故 EM// 平面 ADF . ⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分解 法 二 ： 因 为 EB 平 面 ABD ， AB BD ， 故 以 B 为 原 点 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 B- xyz .⋯⋯⋯⋯⋯ 1分由已知可得 B(0,0,0), A(0,2,0), D (3,0,0),C(3,-2,0), E(0,0, 3), F (0,1, 3),M ( 3 ,0,0)23(Ⅰ) EM = ( ,0,- 3),AD= (3,-2,0) ， 2 设平面 ADF 的一个法向量是 n ( x,y,z ) .由n AD nAF 0,得0,3x- 2y= 0, -y+ 3z= 0.令 y= 3 ，则 n (2,3, 3) .. F⋯E ⋯ ⋯yA所以 EM n ，又 EM 平面 ADF ，所以 EM// 平面 ADF .4分MBAzM2分 CB3分= (0,-1, 3) xP，使得CP 与AF所成的角为30 .不妨设P（0,0,t）（0 t 3），则PC = （3,-2,- t）, AF = （0,-1, 3）.10 分9分化简得 4 3t 35 ，1)当 a 0时, 由 f (x) 0 得 x 0 ；由35解得 t 35 0.43 所以在线段 EB 上不存在点 18)(本小题满分 13 分)P ， 使得 CP 与 AF 所成的角为 30 .14 分axe解：因为 f (x) 2 ,所以 f (x)x2 1e ax (ax 2 2x a)(x 2 1)2xⅠ)当 a 1时, f (x)2ex 2 1, f (x) e x ((x x 22 21x )2 1)所以 f (0) 1, f (0) 1.所以曲线 y f (x)在点(0, f (0))处的切线方程为 x y 1 0.4分ax 2 ax Ⅱ)因为 f (x)e ax (ax 2 2x a)e ax22(x 2 1)22 2 2 (ax 2x a)， (x2 1)25分所以函数 f (x) 在区间 ( ,0) 单调递增 ,在区间 (0, )单调递减 .6分2)当 a 0时, 设 g(x) ax 2 2x a ，方程 g(x) ax 22x a 0的判别式4 4a 2 4(1 a)(1 a),7分①当 0 a 1时，此时0.由f (x) 0得x 1 1 a ,或x 1 1 a a由f (x) 0得 1 1 a x 1 1 aaa所以函数 f (x) 单调递增区间是 ( ,1 1 a)和(1 1 a2, ),单调递减区间 (1 1 a ,1 1 a ) .aa②当 a 1时，此时 0. 所以 f (x) 0 ，所以函数 f ( x)单调递增区间是 ( , ).10 分由题意得2- 3t 3 2，2 t 2 +13f (x) 0得 x 0.2- 3t所以 cos< PC,AF③当 1 a 0 时，此时 0.由f (x) 0得 1 1 a x 1 1 a ；aa由f (x) 0得x 1 1 a ,或x 1 1 a所以当 1 a 0时,函数 f (x)单调递减区间是 ( ,1 1 a )和(1 1 a , ), aa13分2 6 2 6因为 k 1 k 33 32 ，又 k 1 k3 2k 2 ，所以 k 2 1，1 32 2 13 2 2n2所以 m,n 的关系式为 n 2 1，即 m n 1 0. m3②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x 1).2 x2将 y k(x 1)代入y 2 1整理化简得，3又y 1 k(x 1 1)， y 2 k(x 2 1) .所以k k 2 y 1 2 y 2 (2 y 1)(3 x 2) (2 y 2)(3 x 1)3 x 1 3 x 2(3 x 1)(3 x 2)[2 k(x 1 1)](3 x 2) [2 k(x 2 1)](3 x 1)x 1x 2 3(x 1 x 2) 92kx 1x 2 (4k 2)(x 1 x 2) 6k 12 x 1x 2 3(x 1 x 2) 9设A(x 1, y 1) ， B(x 2,y 2)，则 x 1x26k 2 3k 21x 1x23k 2 33k 2 19分单调递增区间 (1 a1 a 2a1 1aa ).a12 分④当 a 1 时,此时0 ， f (x) 0 ，所以函数 f ( x)单调递减区间是 ( , ).19)(本小题满分 14 分)解 : (Ⅰ)依题意，所以 a b 2 c 23 .2故椭圆 C 的方程为y 234分Ⅱ)①当直线 l 的斜率不存在时，由x 1,6 x 2 2 解得 x 1,y 6 x y 2 1 33不妨设 A(1,6， B(1, 36)，7分(3k 2 1)x 2 6k 2x 3k 2 3 0.3k2 3 (4k 2) 62k 6k 123k 2 1 3k 213k 22 3 362k 2 3k 2 1 3k 2 122(12k 26) 22 12k 2 6n2所以 2k 2 2，所以 k 2 n 2 1，所以 m,n 的关系式为 m n 1 0.⋯⋯⋯13 分 2 m 3 综上所述， m, n 的关系式为 m n 1 0. ⋯⋯⋯ 14 分20）（本小题满分 13 分） 解：(Ⅰ)若 A 0 : 0,1,1,3,0,0 ，则 A 1 :1,0,1,3,0,0 ； A 2 :2,1,2,0,0,0 ；A 3 :3,0,2,0,0,0 ；A 4 : 4,1,0,0,0,0 ； A 5 :5,0,0,0,0,0 ．若 A 4 : 4,0,0,0,0 ， 则A 3 :3,1,0,0,0 ； A 2 : 2,0,2,0,0 ；A 1 :1,1,2,0,0 ；A 0 : 0,0,1,3,0 ．⋯⋯⋯ 4 分Ⅱ)先证存在性，若数列 A 0:a 0,a 1, ,a n 满足a k 0及a i 0(0 i k 1)，则定义变换 T 1，变换T 1将数列A 0 变为数列 T (A 0) ：a 0 1,a 1 1, ,a k 1 1,k,a k 1, ,a n ．易知 T 1和T 是互逆变换．⋯⋯⋯ 5分对于数列 n,0,0, ,0 连续实施变换 T 1 (一直不能再作 T 1变换为止)得T 1 T 1 T 1n,0,0, ,0 n 1,1,0, ,0 n 2,0,2,0, ,0 n 3,1,2,0, ,011T Ta 0,a 1, ,a n ，则必有 a 0 0(若 a 0 0 ，则还可作变换 T 1)．反过来对 a 0,a 1, ,a n 作有限次变换 T ，即可还原为数列n,0,0, ,0 ，因此存在数列 A 0 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当 n 1,2是显然的，假设唯一性对 n 1成立，考虑 n 的情形．假设存在两个数列 a 0,a 1, ,a n 及 b 0,b 1, ,b n 均可经过有限次 T 变换，变为 n,0, ,0，这里 a 0 b 0 0， a 1 a 2 a n b 1 b 2b n n若 0 a n n ，则由变换 T 的定义，不能变为 n,0, ,0 ；2k 12 分若a n n ，则a1 a2 a n 0 ，经过一次T 变换，有0,0, ,0, n 1,1, ,1,0 由于n 3，可知1,1, ,1,0 (至少3个1)不可能变为n,0, ,0 ．所以a n 0，同理b n 0令a0,a1, ,a n T 1,a1,a2, ,a n，b0,b1, ,b n 1,b1,b2, , b n，则a n b n 0，所以a1 a2 a n 1 n 1，b1 b2 b n 1 n 1．因为0,a1, ,a n 1 有限次T n-1,0, ,0 ，0,b1, ,b n 1n -1,0, ,0 ，故由归纳假设，有a i b i ，i 1,2, ,n 1．再由T 与T 1互逆，有a0 ,a1, ,a n 1,a1, ,a n 1,0 ，b0,b1, ,b n 1,b1, ,b n 1,0 ，所以a i b i，i 1,2, , n ，从而唯一性得证．⋯⋯⋯9分Ⅲ)显然a i i (i 1,2, , n) ，这是由于若对某个i0，a i i0 ，则由变换的定义可知，变为0．由变换T 的定义可知数列A0每经过一次变换，S k的值或者不变，或者减少k，次变换T ，变为数列n,0, ,0 时，有S m 0，m 1,2, ,n，所以S m mt m (t m为整数)，于是S m a m S m 1 a m (m 1)t m 1，0 a m m，所以a m为S m除以m 1后所得的余数，即a m S m [ S m](m 1) ．⋯⋯⋯13分m1 a i通过变换，不能i0由于数列A0 经有限。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学理试卷 含解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）2019．3第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.4.若函数则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数的图像，由此确定函数的值域.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的图像，考查分段函数的值域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将图像上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于B选项，由于，不正确；对于C选项，由于，不正确；对于D选项，由于，不正确.故本题选A.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像判断函数的解析式，利用特殊值排除法，可快速得出正确选项，属于基础题6.记不等式组所表示的平面区域为．“点”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】画出可行域和点，将旋转到点的位置，求得的值，由此求得的取值范围，进而判断出充分、必要性.【详解】画出可行域和点如下图所示，将旋转到点的位置，得，当时，；当时，.故“点”是“”的充分必要条件.故选C.【点睛】本小题主要考查线性规划可行域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.执行如图所示的程序框图，则输出的值为_____．【答案】【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，计算得输出的值.【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，判断否，输出. 【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果，属于基础题.11.在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则___．【答案】【解析】【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线方程代入圆的方程，求得的坐标，由此求得..【详解】直线即.圆两边乘以得，即，令，解得，故，所以.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的交点坐标的求法，属于基础题.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.在平面内，点是定点，动点满足，，则集合所表示的区域的面积是_______．【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积.【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，，，的面积等于，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II）利用正弦定理求得的的值，利用二倍角公式求得的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得整理得解得或因为，所以．（Ⅱ）由正弦定理，即．所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.16.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图分别计算出两个乘客等待时间小于分钟的频率，按照相互独立事件概率计算公式，计算出“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率.（II）根据二项分布概率计算公式以及数学期望计算公式，求得的分布列和数学期望.【详解】解：（Ⅰ）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．又.故事件的概率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.显然，的可能取值为且.所以；；；.故随机变量的分布列为【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布分布列和数学期望的计算，还考查了由频率分布直方图求频率的方法，属于中档题.17.如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在点，使得直线平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上存在点，使得平面，且．【解析】【分析】（I）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得.（II）以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出线面角的正弦值.（III）设,用表示出点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直列方程，解方程求得的值，由此判断存在符合题意的点.【详解】解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．因为，所以两两垂直．分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以，所以．设平面的一个法向量为，则即令，则，所以．设直线与平面所成角为，则．（Ⅲ）设，设，则，所以，所以，所以．设平面的一个法向量为，则因为，所以令，则，所以．在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且．【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查利用空间向量法求解线面所成角的正弦值，考查线面平行的向量表示，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.已知函数且.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：；(3)讨论函数的极值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式转化为成立，构造函数，利用导数求得的最大值为零，由此证得不等式成立.（III）对求导后，对分成两类，结合函数的单调区间，讨论得出函数的极值.【详解】解：（Ⅰ）当时，．所以．因为，所以曲线在处的切线方程为．（Ⅱ）当时，．函数的定义域为．不等式成立成立成立.设，则．当变化时，，变化情况如下表：所以．因为，所以，所以．（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：此时有极大值，无极小值．当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：此时有极小值，无极大值．【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究函数的极值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.19.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20.在无穷数列中，是给定的正整数，，．(1)若，写出的值；(2)证明：数列中存在值为的项；(3)证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据以及的值，由此求得的值，找出规律，求得的值.（II）利用反证法，先假设，利用递推关系找出规律，推出矛盾，由此证明原命题成立.（III）首先利用反证法证明数列中必有“1”项，其次证明数列中必有无穷多项为“1”,由此证得原命题成立.【详解】解：(I)由，以及，可知，，，从开始，规律为两个和一个，周期为，重复出现，故.(II)反证法：假设,由于，记.则.则，,，，，依次递推，有，…，则当时，与矛盾.故存在，使所以，数列必在有限项后出现值为的项．(III)首先证明：数列中必有“1”项．用反证法，假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是，令，，则必有，于是，由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数.依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾．所以，数列中必有“1”项．其次证明数列中必有无穷多项为“1”.假设数列中的第一个“1”项是，令，，则，若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若，则，若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若，则从开始的项依次为，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．【点睛】本小题主要考查递推数列，考查合情推理，考查与数列有关的证明，考查分析问题与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.。
北京市朝阳区2019届高三第一次(3月)综合练习(一模)数学理试卷 含解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）2019．3第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查集合的交集，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意可得：，据此确定复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数z对应的点为，位于第四象限.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.的展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简二项式的展开式，令的指数为零，求得常数项.【详解】二项式展开式的通项为，令，故常数项为，故选C.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式中的常数项，属于基础题.4.若函数则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数的图像，由此确定函数的值域.【详解】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的图像，考查分段函数的值域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5.如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】将图像上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于B选项，由于，不正确；对于C选项，由于，不正确；对于D选项，由于，不正确.故本题选A.【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像判断函数的解析式，利用特殊值排除法，可快速得出正确选项，属于基础题6.记不等式组所表示的平面区域为．“点”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】画出可行域和点，将旋转到点的位置，求得的值，由此求得的取值范围，进而判断出充分、必要性.【详解】画出可行域和点如下图所示，将旋转到点的位置，得，当时，；当时，.故“点”是“”的充分必要条件.故选C.【点睛】本小题主要考查线性规划可行域的画法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.本题选择D选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．8.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】将原问题转化为Venn的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当b=c=e＝0时，x的最大值为6，即三天都开车上班的职工人数至多是6.【点睛】本题主要考查Venn图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．【答案】1【解析】【分析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，结合点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.执行如图所示的程序框图，则输出的值为_____．【答案】【解析】【分析】运行程序，当时退出循环，计算得输出的值.【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，判断否，输出.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查计算程序框图输出的结果，属于基础题.11.在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则___．【答案】【解析】【分析】将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线方程代入圆的方程，求得的坐标，由此求得..【详解】直线即.圆两边乘以得，即，令，解得，故，所以.【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的交点坐标的求法，属于基础题.12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示，该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，所以，a n＝9＋（n－1）×9＝9n，所以，a27＝9×27＝243，前27项和为：＝3402.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.在平面内，点是定点，动点满足，，则集合所表示的区域的面积是_______．【答案】【解析】【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据设出两点的坐标，利用向量运算求得点的坐标，化简后可求得点的轨迹也即表示的区域，由此计算出区域的面积.【详解】以为原点建立平面直角坐标系，由于，，即,故设，即，设，由得，即，则，故表示的是原点在圆心，半径为的圆，由于，故点所表示的区域是圆心在原点，半径为的两个圆之间的扇环，故面积为.【点睛】本小题主要考查数形结合的数学思想方法，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析求解能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，，，的面积等于，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II）利用正弦定理求得的的值，利用二倍角公式求得的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得整理得解得或因为，所以．（Ⅱ）由正弦定理，即．所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.16.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．(1)在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；(2)从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图分别计算出两个乘客等待时间小于分钟的频率，按照相互独立事件概率计算公式，计算出“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率.（II）根据二项分布概率计算公式以及数学期望计算公式，求得的分布列和数学期望.【详解】解：（Ⅰ）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．又.故事件的概率为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.显然，的可能取值为且.所以；；；.故随机变量的分布列为【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布分布列和数学期望的计算，还考查了由频率分布直方图求频率的方法，属于中档题.17.如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)线段上是否存在点，使得直线平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上存在点，使得平面，且．【解析】【分析】（I）根据面面垂直的性质定理，证得平面，由此证得.（II）以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，由此计算出线面角的正弦值.（III）设,用表示出点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直列方程，解方程求得的值，由此判断存在符合题意的点.【详解】解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．因为，所以两两垂直．分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以，所以．设平面的一个法向量为，则即令，则，所以．设直线与平面所成角为，则．（Ⅲ）设，设，则，所以，所以，所以．设平面的一个法向量为，则因为，所以令，则，所以．在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且．【点睛】本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查利用空间向量法求解线面所成角的正弦值，考查线面平行的向量表示，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.已知函数且.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：；(3)讨论函数的极值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式转化为成立，构造函数，利用导数求得的最大值为零，由此证得不等式成立.（III）对求导后，对分成两类，结合函数的单调区间，讨论得出函数的极值.【详解】解：（Ⅰ）当时，．所以．因为，所以曲线在处的切线方程为．（Ⅱ）当时，．函数的定义域为．不等式成立成立成立.设，则．当变化时，，变化情况如下表：所以．因为，所以，所以．（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：此时有极大值，无极小值．当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：此时有极小值，无极大值．【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究函数的极值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.19.已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断是否为定值，并说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，，据此确定离心率即可；（2）由题意可得.分类讨论和两种情况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，结合韦达定理和平面向量的数量积运算法则计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（1）由题意，，所以离心率，左焦点．（2）由题知，，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即所以故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为．所以，即．故为定值．【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20.在无穷数列中，是给定的正整数，，．(1)若，写出的值；(2)证明：数列中存在值为的项；(3)证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）根据以及的值，由此求得的值，找出规律，求得的值.（II）利用反证法，先假设，利用递推关系找出规律，推出矛盾，由此证明原命题成立.（III）首先利用反证法证明数列中必有“1”项，其次证明数列中必有无穷多项为“1”,由此证得原命题成立.【详解】解：(I)由，以及，可知，，，从开始，规律为两个和一个，周期为，重复出现，故.(II)反证法：假设,由于，记.则.则，,，，，依次递推，有，…，则当时，与矛盾.故存在，使所以，数列必在有限项后出现值为的项．(III)首先证明：数列中必有“1”项．用反证法，假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是，令，，则必有，于是，由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数.依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾．所以，数列中必有“1”项．其次证明数列中必有无穷多项为“1”.假设数列中的第一个“1”项是，令，，则，若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若，则，若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若，则从开始的项依次为，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．【点睛】本小题主要考查递推数列，考查合情推理，考查与数列有关的证明，考查分析问题与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.。
2019届北京市朝阳区高三上学期期末考试数学(理)试卷(word版)
北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B6.设为实数，则是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内. 若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A 处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.（3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，. 则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.。
2019年北京市朝阳区高三年级一模数学(理)试题和答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数 学（理）2019.3本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A ＝{x ︳x ＞1}，集合B ＝{ x ︳x²<4}，则A∩B ＝ A. {x ︳x ＞－2}B. {x ︳1<x<2}C. {x ︳1≤x<2}D. R2. 在复平面内，复数z ＝12ii+对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 41)x x-（的展开式中的常数项为 A. －12B. －6C. 6D. 124. 若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是 A. (－∞，2)B. (－∞，2]C. [0，＋ ∞)D. (－∞，0)∪(0，2)5. 如图，函数f(x)的图像是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则f(x)的解析式可以是A. f(x)＝sin(2x ＋3π) B. f(x)＝sin(4x ＋6π) C. f(x)＝cos(2x ＋3π) D. f(x)＝cos(4x ＋6π) 6. 记不等式组，所表示的平面区域为D ，“点（－1，1）∈D”是“k”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为A. 4B. 2C.83 D. 438. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14、10、8，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是 A. 5B. 6C. 7D. 8第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 双曲线2214xy-=的右焦点到其一条渐近线的距离是10. 执行如图所示的程序框图，输出的x值为11. 在极坐标系中，直线cosθ＝1与圆cosθ交于A，B两点，则＝12.能说明“函数f(x)的图像在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若f(0)•f(2)＞0，则f(x)在（0，2）内无零点”为假命题的一个函数是13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所，天坛公园中的圜丘台共有三层（如下页本题图1所示）上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如下页本题图2所示），上层从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是14.在平面内，点A 是定点，动点B ，C 满足＝＝1，·＝0，则集合｛P ｜AP u u u r ＝＋AC u u u r，1≤≤2｝所表示的区域面积是三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，a ＝，∠A ＝120°，△ABC 的面积等于，且b<c ，（I ）求b 的值；（II ）求cos2B 的值16.（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客。
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1 北京市朝阳区2018~2019学年度第一学期高三年级期中统一检测 数学试卷 （理工类） 2018．11
（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知集合{|(2)0}Axxx，{|01}Bxx，则AB A.{|01}xx B.{|01}xx C.{|02}xx D. 2.执行如图所示的程序框图，输出s的值为 A.10 B.2 C.2 D.10
（第2题图） 3.设平面向量(1,1)a，(1,2)b，kcab.若ac，则实数k的值等于 A.23 B.32 C.0 D.32 4.已知0xy，则下列不等关系中正确的是
A.coscosxy B.33loglogxy C.1122xy D.11()()33xy
1kk 开始 结束 输出s 是 1,0ks
否 (1)kssk
4?k2
5. =6“”是1sin=2“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数()22xfx.若()()fafb (ab)，则ab的取值范围是
A.(,1) B.(,2) C.(1,) D.(2,)
7.已知函数2,0,()(2),0.xxfxfxx当1324m时，方程1()8fxxm的根的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.将正奇数数列1,3,5,7,9,依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：
(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),,称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依此类推，则
原数列中的2019位于分组序列中 A.第404组 B.第405组 C.第808组 D.第809组
第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.已知π(,0)2，3sin5，则cos= ；tan(+)= .
10.已知,xy满足0,20,20,xyxyy则2zxy的最大值为 . 11.已知函数()yfx满足下列条件： ①定义域为R； ②函数()yfx在(0,1)上单调递增；
③函数()yfx的导函数()yfx有且只有一个零点， 写出函数()fx的一个表达式 . 12.如图，在平行四边形ABCD中，,EF分别为边,ABBC的中点，连接,CEDF，交于点
G.若CGCDCB（,R），则 .
G
D C
B A
F E 3
（第12题图） 13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度y(单位：米)是时刻t(024t，单位：小时)的函数，记作()yft. 下面是该港口某日水深的数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 8.0 11.0 7.9 5.0 8.0 11.0 8.0 5.0 8.0
经长期观察，曲线()yft可以近似地看成函数sinyAtb (0,0A)的图象.根
据以上数据，函数()yft的近似表达式为 .
14.从标有数字,,,abcd(abcd，且,,,{1,2,3,,9}abcd)的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果.那么这4个小球上的不同的数字恰好有 个；试写出满足条件的所有组
,,,abcd .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.(本小题满分13分)
数列{}na（*nN）是各项均为正数的等比数列，且23a，43
18aa.
（Ⅰ）求{}na的通项公式； （Ⅱ）设3lognnnbaa，求12n
bbb.
16.(本小题满分13分) 已知函数22()23sincossincosfxxxxx.
（Ⅰ）求()fx的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若对任意[0,]2x，()fxm（m为实数）恒成立，求m的最小值. 4
17.(本小题满分13分) 在ABC△中，角,,ABC的对边分别为,,abc，3A，tan43B，8b. （Ⅰ）求a； （Ⅱ）求ABC△的面积.
18.(本小题满分13分) 已知函数32()231fxmxx (mR).
（Ⅰ）当 1m时，求()fx在区间[1,2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）求证：“1m”是 “函数()fx有唯一零点”的充分而不必要条件.
19.（本小题满分14分） 已知函数221()()ln(0)2fxxaxxxaxa. （Ⅰ）求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程； （Ⅱ）试判断函数()fx的单调性并证明； （Ⅲ）若函数()fx在1x处取得极大值，记函数()fx的极小值为()ga，试求()ga的最大值.
20.（本小题满分14分） 设,mn为正整数，一个正整数数列12,,,naaa满足121nmaaa. 对
1,2,,im，定义集合{{1,2,,}|}ijBjnai.数列12,,,mbbb中的
b
i
（1,2,,im）是集合 Bi中元素的个数.
(Ⅰ) 若数列12,,,naaa为5,3,3,2,1,1，写出数列12,,,mbbb；
(Ⅱ) 若 n=2m，3m，12,,,mbbb为公比为 12的等比数列, 求12naaa； (Ⅲ) 对1,2,,jn，定义集合{{1,2,,}|}jiCimbj，令 cj是集合 Cj中元素的个5
数. 求证：对1,2,,jn, 均有 aj=cj. 北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期高三年级期中统一检测
数学试卷（理工类）答案 2018.11
一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 B C A D A B C A
二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）
答案 45 34 3 2yx (或3yx等) 12 3sin86yt 3
1,2,2,4；
1,3,3,9；
2,4,4,8；
4,6,6,9.
三、解答题： （15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设{}na的首项为1a，公比为(0)qq，则依题意
13211
318aqaqaq，，解得1
1,3aq.
所以{}na的通项公式为13nna，*nN. ……………………. 7分 （Ⅱ）因为13log3(1)nnnnbaan， 所以123nbbbb21(1333)[012(1)]nn 13(1)132nnn
31(1).22nnn ……………….13分
（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知可得()3sin2cos2fxxx 6
312(sin2cos2)22xx 2sin(2)6x. 所以最小正周期为22T. 令222262kxk，kZ. 所以222233kxk， 所以63kxk，即单调递增区间为[,],63kkkZ. …………………….8分 （Ⅱ）因为[0,]2x，
所以52[,]666x， 则1sin(2)[,1]62x， 所以()[1,2]fx， 当262x，即3x时，max()2fx. 因为()fxm恒成立，所以2m，所以m的最小值为2. …………….13分 （17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为tan43B，即sin43cosBB，
又22sincos1BB，B为钝角，所以43sin7B. 由sinsinabAB，所以834327a，解得7a. ……………….7分
（Ⅱ）在△ABC中，由tan0B知B为钝角，所以1cos7B. 又因为sinsin()sincoscossinCABABAB，
所以3114333sin272714C.