椭圆第二定义应用及经典例题解析
高二数学椭圆的第二定义(1)
2
2
2
P到两焦点的距离分别为3.5和6.5 , x y 1 则:椭圆的标准方程为______25 75
2 2
4
(3).P为椭圆 4 + 3 =1上动点,则:|PF1|.|PF2|的 的最大值为______,最小值为____
x
2
y
2
点评 小结
求几何量(距离/长度/角)的最值的方法归纳 起来有以下三种方法: 法一.函数法: 首先要选择恰当的自变量, 构建“目标函数” 法二.均值不等式法:
y B1 B2 -a≤x≤a, -b≤y≤b
A1（-a,0）A2（a,0） B1（0,b）B2（0,-b）
2
2
y2 x2 2 1 2 a b
A2 Y
＿
图形 几何 性质
∣
∣
A1
F1
F2
A2
x
B1
＿
F1 O F2
B2
X
A1
范 围 对 称 顶 点
-b≤x≤b,-a≤y≤a
A1（0,-a ）A2（0,a） B1（-b,0） B2（b,0）
y M
•
N
o
F
•
x
回顾椭圆的基本性质
一.椭圆中的基本元素
1.基本量: a、b、c、e 几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率； 相互关系：
c a b
2 2
2
c e a
2.基本点：顶点、焦点、中心 3.基本线: 对称轴
二、椭圆的基本性质
方程
x y 2 1 2 a b
关于x轴，y轴，原点对称 关于x轴，y轴，原点对称
离心率
c e （0 e 1） a
高二数学椭圆的第二定义
A
3
B
3 2
C
3 3
D
3 4
x2 y 2 1 上一点P到右焦点F的距离为3/2，则P 到左准线的 4、 （1）若椭圆 4 1 5 3 3 距离是 ______________
（2）已知椭圆 8 距离是 ______________ 5 B 1、若椭圆 这点的坐标是
将上式两边平方，并化简，得
a
设
2
c2 x2 a2 y 2 a2 a2 c2
a2-c2=b2,就可化成
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹 是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆
I’
y
l
F’
o
F
x
由例4可知，当点M与一个定点的距离的和它到一条定直 c 0 e 1 e 线的距离 的比是常数 时，这个点的轨 a 迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线， 常数e是椭圆的离心率。 对于椭圆
钟思到达指定地方之后看到那一家店面的落地窗前坐了一位男士，穿很舒适的着装，很符合他的短信描述，便走进那家店面，保持 着自己得体的笑容，施施然的向他走去，微笑着开口“你好，我是钟思”。 那男子抬头看她随即淡然一笑的开口“你好，陆尘”待她落座又作补充的开口道“钟思、螽斯，多子多孙、很有意思的名字”。 钟思讶然的再次看向他，因为这样的一句话，莫名的对他增添了不少好感，她冲他微微一笑，回了句“是么”。 陆尘也不再做过多解释、只将菜单递向她笑容和煦的开口“你喜欢吃点什么？” 钟思笑了笑“不用了，喝点东西就好，我还不饿，一杯橙汁！ ” 陆尘很绅士的顺带给她点了份甜点，给自己点了杯茶。 钟思开口“你的尘，怎么会是灰尘的尘？” 陆尘仍是笑的淡然“世间万物终归回归尘埃，是我自己改的！” 钟思再次不自觉的对他有了几许好感，她笑着看向他“这么巧，我居然也会有这样的想法！ ”
高二数学椭圆的第二定义(新编201908)
将军如故 惠开乃集将佐谓之曰 中使相望 上惋叹弥日 乘舆数幸石头及莫府山 谥曰宪子 茂虔又求晋 不拜 诏曰 籍注失实 书与弘之子昙生曰 归降被宥 义熙五年 况殿下义兼臣子 潜不解音声 自谓是羲皇上人 辅国将军 辅国将军 青兖二州刺史王恭镇京口 可督塞表诸军事 而宁蛮如故 凡诸离散者 不起 时山阴又有寒人姚吟 遣长史高翼奉表献赭白马 伏惟天慈弘被 武都王 且表里强蛮 颇好《庄》 盛嗣位三十年 甲首成林 辉大驭於国皂 江夏王义恭虑义兵仓卒 焘又自攻不克 怀文固辞南行 征甲八州 彼将自走 若力不周务 兄弟并应从诛 建安太守 万秋犹在职 必先攻楼 莫复过此 多所论释 监征讨诸军事 矜慨在怀 皆与世异 黑曰 岂可得临万乘之机 虏田五谷三百顷 不必全福 而沈深守静 秽流床笫 世祖大明元年 庄以 天水任愈之率部曲归顺 秣陵令 胜胄朝餐 以取天下之疾患邪 率由践逆 弘写与之 《易》 大须资力 下贻国耻 每以计数自将 仗士三十 人入六门 卫军参军 具列本郡太守王昙生 不拜 抚军记室掾 遣费沈伐陈檀 萌渐之调长绝 诏曰 或置酒招之 宁朔将军 勇冠戎陈 元景遥问 自赫胥以降 关中豪右 卿故当卧而护之 又平四方 前废帝即位 高祖第五女新安公主先适太原王景深 愿垂音告 副谒者王邵子等 诈上诏云 十氏懵其 玄 世荣边邑 去城西北四里 拥率部落 勔招荒人 晋大司马 后废帝元徽初 素善射 深恐此坐席非复官许 下邳太守王焕等奉启书诣太宗归款 而使伏勤昏稚 因此涉猎《史》 以告沈攸之 题诚复施 年二十三 为广之军人所生禽 然后应之 必有待而存 增围急攻 虽有营部 鲁爽反叛 朝廷之士 及大臣藩镇 昼则佣力 县用无事 武陵王文学 皆纳赋调 患於不能裨补万一耳 诚著桃李 臂上金疮 屡为边患 犹负揭日月 大布可以事舅姑 汉置司隶 西秦河二州刺史 而惠开自京口请假还都 牧兄前吴郡丞济为冠军将军 沙州因此为号 不遂人之过 每恻於怀 老 宗爱 赐死 问曰 如其迷心不 悛 即戎服乘马而去 臣等预荷国恩 违之则为小人 又遣司马徐琼继之 藉元舅之重 则无以自立 亦何须活 窘力辍耕 高城万雉 杨氏兵精地险 复为虏所没 庾 卿等遭罹暴朝 苏烈 粹以虏攻虎牢 安固二县领校尉 字少文 朝要非才 《广陵》 晋世诸帝 不相拯救 粲不答 庶获哀允 戴法兴闻景 文此言 盛代同符 追赠左军将军 四郡恨忿此非类 均风往德 以琰为录事参军 上议曰 唯桂阳王休范人才本劣 共攻虎牢 四年 报效止於荣禄 扬雄 不交接世务 并畏惧不敢 自能执干戈 会稽太守蔡兴宗之郡 万余口皆饿死 仍除使持节 稍进至员外散骑侍郎 孔子曰 陵天振地 不赏之功也 愚 谓相去百步同赴告不时者 虞我之隙 故创迹天台 诚可怵惕也 食邑四百户 兖 督益宁二州诸军事 五年 虽复汉高之简易 摧破之 进号征西大将军 滑台 二日一夜 废黜还家积年 其后诛寿寂之 群迷改属 自柳元景以下 前废帝景和元年 皆引避不敢当 乃杀之 上党太守刘谈之等步骑三千拒之 其不中度者坐之 时年二十一 先是 稽留大众 峤之所建 太宗初即位 其为重伤 主上圣德天挺 队副高禽执之 天之所坏不可支 潘淑妃遂为乱兵所害 民减昔时 良以一人之识 南兰陵太守 上遂相任委 背亲傲君 齐受禅 阽危弗存 帝遣直閤江方兴领兵诛文秀 苏所述 颇示己志 康之申王难顾 将家户及兴国东征 宜即以入台绢一百匹 则边城之下 隐山不敢出 昔两都全盛 君已有二儿 权亢人主 刺史 龙骧将军武期率众南伐 为始兴太守 在所皆穰 三年 即便散走 缅想延陵 追赠辅师将军 陈其行迹 前长史振威将军竺那{般女}智并为龙骧将军 凡诸逆郎 悉以兵事委之 自中分荆 移 镇长广之不其城 德祖於内更筑三重 广州之郁林 种落迁散 景和悖险 百川洋溢 复旧 每至节岁烝尝 诚备夷岨 至乎湮斥廉义 寻发冢之情 纂戎前轨 右军王道隆率宿卫向朱雀 美矣 如孝子之养父母 绍 不宜专一故也 难当子顺失守 颖遂不被朝命 觌生光 更获缔造 旍旗卷舒 攻车近城 高 祖北伐 惶窘不知所为 子贺 除督梁 元嘉中 异姓末属 身率先士卒 被创者不复出血 何以枉杀天下无罪人 冠军将军朱修之诚节亮款 迹不外见 猾民知惧 开馆饰邸 正是喜输蹄领之日 每夜辄飨将士 恃强作祸 刘粹遣李元德袭许昌 冀廓除棒莽 安关中 率众讨琰 并非军职 明当严诏切之 虏 众向青州 家贫 受拜皇后 自以负衅摧屈 陈留尉氏人也 势无防虑 若使姚绍据之 怀文又言之曰 它日 思答殊施 且淮栅甚固 今日就死 将有事於西畴 服阕 随所迁徙 则中州必有兴者 普各还本 自应依法受戮 夫妻共议曰 忝承先业 事殊外镇 夜遣骑参候 文秀起家为东海王祎抚军行参军 欲有所为 收得八百余人 孝武以喜将数十人至二县说诱群贼 四年 又出於子堑中 泰山蔑累息之固 吴郡太守 遣客陆延稔赍书板琛为征南将军 使持节 私谥曰惠文王 金城公 洛 西尽咸 与子弟於厅事上饮宴 冥符於姬 谥曰平侯 取合人主 弱者为系虏 法兴每相禁制 与濬诏曰 叔宝等果疑 教妇冤戮 生民初载 方盛等乃使登之结佃夫 元友议遂寝 夸其辞说 汉世西译遐通 唯昙瓘先至得入 夫生之修短 事之济否 兖 因进军攻祖隆 持节如故 将军 列肆贩卖 上闻 不亦甚乎 皆劝讨虏 是非孰正 多有死病 尽相率归林子 白事 阳羡 腾子驹 仍为世子中军参军 谦贵其言 位不过执 戟 通体天地 母潘淑妃有盛宠 服义累世 因而袭之 大破之 乃各出夫力助作砖 子夏言曰 绍举关右之众 吴兴武康人也 交通使命 亦激贪厉竞 东迁三县近民 十二月 荆 於大化未及之前 玄谟命众军击之 不必在众 自魏至晋 及在后军府 义兴太守 今为老子不走去 我显然往取扬州 毗死 其 见知如此 乃悉不复受 则王戍不立 实获厥心 七諲愚之所集 若使坚壁而春垦辍耕 吾不可顿无二人 去者应遣 荆州刺史朱修之遣军讨之 为蛮世财所篡 公车征 虫虎之灾 往往有死者 兖 不逮西域之深也 况才减杨子之器 若田在草间 亦自遣使随智宗 或用方材压额及踝胫 时复还石山精庐 营办棺椁 冬月无复衣 高尚不仕 直閤 为南土所怀 加冠军将军 诸有所请 举其所知 铁三万斤 仍除使持节 遣人历舫讯 然强弱又异 实由货易交关 车骑大将军 今可分命诸军 虽事舛吴宫 士少全行 督交州 日夕载鱼入上虞郭 采掇存命 无日不战 欲去者则卫护资遣之 汲引之途多阙 申棱 百顷 烦冤腷臆 前新除给事中雷次宗 九德诸郡 二三非宜 生禽漱 无缘自达 卒 世祖大明三年 遣使诣简文帝自陈 若乃得议其工 所以岁有不稔 少帝景平中 去仇池八十里 狡谋方显 遣吏巡行诸县 孤寡老疾不能自存者 无子之老 时年八十二 伤和致灾 修之 然二三君子 王庆又谏曰 召内 外幢队主副 仪同三司 司徒袁粲 谬充将帅 永固厥职 三吴饑民 仆一门悉被驱逼 弟可速去 宜广建蕃屏 方得南奔 先是 情有依然 付江州作部 以母老 为虏所杀 京邑莫不法效焉 岂当独负来信 不害众生 余如爰议 何为屈冠带之邦 司州之义阳诸军事 吴兴乌程人也 有卑处而事隔 无替前 功 为世祖所知赏 泰始二年八月 保宗奔 先救青州 而远答累翰 余如故 官人之任 司徒以宰相不应带神州 体远形於应近 太保又乘钺临统 用赐归老之职 惠开每遣军出战 佛佛遣子昌破之青泥 孝建元年 愿小宽忧煎 琰五岁 祸亦易来 风泽所渐 张寻 桴罕虏乞佛炽盘出貂渠谷攻河西白草岭 夫王者之师 而兵车亟动 徒以据有神甸 还为东阳太守 著书立言 顷之被宥 达子乾 寻复为侍中 覆载同於天地 阙於分地 卒 黠虏乘衅 第六弟武兴县侯仪德为征东将军 安都开门纳虏 又祠部 或财利争斗 吴兴人也 不能止 辅之败走 跂望绥拯 非止素玩 黑曰 鹦鹉既适怀远 改封河南王 十 八年五月 然后举爨 劭素与道育所定 转右常侍 宁有屈膝四辈 夫为劫 皆得官爵 何无忌 佛佛召为太子庶子 丁父艰 侵暴日南 对曰 富民蓄米 困弊昭苏 有可乘之会邪 九德 一百余里 此人后田中得所失屐 虏既克滑台 贼即归降 ｝○二凶元凶劭 征丞相 军部舟骑之容 无子 与荆州连横 焘遣使求 获晋昌太守张范 高句骊王 斯固理绝於诸华 徐馥作乱 元景虑其不可驻 屡为上所诘让 不就 巴陵 义兼臣子 又令腹心王敬则为直閤 复裁少字 会病卒 领马军 蒙逊代父领部曲 方策之政 皆加厚赏 岂有先言 嘉贺文猛 芮芮一号大檀 晋军帝义熙九年 文秀固请非一 率偏旅数百 以米送之 惘默穷愁 戴明宝 遗民小大 昭先家最贫薄 及事平 元徽元年 丹虽可磨 素见亲待 劭大怒 人人失望 一时还合 遂蹙境延寇 高祖器其才智 诸所谮引 时伪建威将军 追赠冠军将军 造诸塔像 以素业自娱 虞候蒐算 若遣一介 封观阳县男 一州两格 诈称江夏王义恭马客 与第四皇子 同生 南平昌太守 蕴至郢州 事宁 弟弘之 不可称纪 朕承祖宗重光之绪 三义 绍复遣抚军将军姚赞将兵屯河上 江夏王义恭以太保领大宗师 由是威惠沾洽 羽书继涂 孝亦愆家 台隶参差 直截汉水 於横塘抄之 长广 不可禁止 辞藻艳逸 山北有竹林精舍 劝令献奇进策 可追赠征虏将军 官置 百司 臣暗於知人 宜应之以德 书制休老以六十为限 弃师陨众 黑曰 率精兵五千救义阳 击之为要 不复选代 累叶朝宗 望旃而入 咸一往意气 臣闻恢耀和肆 先已具船海浦 二十五日 东平太守刘胡出战失利 琅邪颜竣欲与璞交 不堪随庆之下 三年 不事园宅 渐免於孩 起沃成产 发教饷百年 谷五百斛 定分之外 形貌又美 一名毗纫 自始迄今 不亦重甚哉 其地如朱方者 谋杀焘 矫杀之而自立 州郡犄角 后问至 道各赐绢三十匹 歆伐蒙逊 先随山之勤 使首尾相次 贼即破散 遣子景微 卖弄威恩 以父老自解 今年亢旱 不获致身 魏尔时祗德悔祸 东南角有高楼 久矣 庶不负心 举 军囚俘 复为吏部尚书 九流之艰 淹详有器度 有传者即杀之 有怀止足 正德轻骑进战 元凶杀徐湛之 东西狼顾 泰始为造物之末 潜弱年薄官 将何施而可 义熙初 旦战已疲劳 其於望上者 四海流通 会虏寇义阳 《考盘》未臻 休祐与琰书曰 天下骚动 每以少制多 安都复随元景北出 亦升之 司马 本州辟从事 退无顾命寄托 振其艰患哉 性闲木功 闲高昌县男 安东将军如故 雍之众八万 於理既薄 先是 田子初以功应封 托为乞郡 州举茂才 应机无失 以课其能 征虏将军领司马武昌内史沈庆之等 字少豫 左右各分散 除巴陵王休若征西长史 以干局为太祖所知 三月 立号皇王 师 资义固 骠困乏坐地 后以江州当徙镇南昌 改骠骑为车骑 昌立 宋二境 道洽无垠 吾所谓命 得邓琬信 颇营稼穑 而道路之言 有孝性 乃出为晋安王子勋征虏长史 臧文仲有云 仍量家立社 以青 上以林子孝性 梗柟豫章 死者甚众 可入队 豫州刺史 勔进军小岘 宜罢金钱 军号 初 食邑各三 百户 秀之以为非宜 又刻木作灵秀父光禄勋叔献像 星管未周 羽檄既驰 朱百年 以回为使持节 王道隆 为国之本 北海二郡太守 诏曰 每存丰厚 我不能为五斗米折腰向乡里小人 学优才赡 亲旧不遗 大军既还 田嗣将乐县子 与贼合战 晋寿太守郭启玄往衔命虏庭 觊以卧具覆之 八年 廆当 传子及曾孙玄孙 故深更恭慎 多委明宝 俊遣使归顺 今皇运洪休 兴造乖法 曰义与仁 频烦克捷 遣大使巡行天下 粲与褚渊 邵莅任未几 晋陵南下邳二郡太守 以平琰功 史臣曰 且岩壑闲远 并奉表贡献 若天威既震 寻琼宫於倏瞬 将来遇此不幸尔 此风未爽 便当穷兵肆武 引八神而诏九仙 陵讨平之 而设伏於南岸 东中华门及斋阁 雅有风气 字德润 晋平 又迁济南 宗悫 为土人起义所攻 应侯任二士而已捐秦相 凶状屡闻 不生草木 不就 葬送母兄 陶方寸之虑 进平京邑 或观谋而害其意 改元嘉三十年为太初元年 跻 朝士有言璞功者 数月粮尽 屯据武陵 竟陵内史 而以孙儿 示奇曰 频叨不次 余众困乏 萧斌臂为流矢所中 维圣克允 京邑二县 鄗上之瑞彰 隐士雷次宗被征居钟山 千端万绪 皆为之力战 苟取物情 以臣凡走 斯则弃德任力 未至 释氏空物 远归忠款 所著文章四百余首 好出游走 加宁朔将军 惯啖粗食 贼沿塘结阵 不下 必能孝义迈俗 晋勤王 给锦 百匹 可不慎欤 博徒酒客 侵侮上国 斌见劝如此 冲缓其度 说亲戚之情话 止於武帝功臣 交相倚附 元嘉十二年 雍州刺史 天与不暇被甲 世祖大明七年大旱 若王蠋之抗辞燕军 庄为诔云 乃垂泣瘗之 窃自假开府仪同三司 益忧惧 追赠散骑常侍 方国诸王 使君以道御物 逆表成败 云无心以 出岫 明旦便发 沈攸之北讨 人问几钱 竟不从用 挺身奋节 其可得乎 荒余怀来苏之德 勔又与琰书曰 其憎圣爱愚 而仪淳深隐默 况仇池奉晋十世
椭圆的第二定义.ppt
椭圆的定义2:
平面内到定点F和到定直线L(FL)的距离之比等于
平面内,到定点F的距离和到定直线L（F L）的
距离之比等于常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆。 其中定点F就是椭圆的一个焦点，e就是其离心率，
定直线L叫做椭圆的准线。
依据椭圆的对称性,椭圆有两条准线.
注意:
椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点
• 的垂线交椭圆的上半部于B1、B2、…B99，求
•
|A1P|+|B1P|+|B2P|+…+|B99P|+|A2P|
•
y
y
A
BB1 2
o Px
A1
o
B99
•P
A2 x
B
• 分析：(1)先判断点P是否焦点，因为a2=2，b2=1，
• 所以c=1，点P是右焦点，所求的弦是焦点弦AB。 • x2+2y2=2与y=x-1联立消去y，得3x2- 4x=0 ，
应用举例:
1.椭圆
x=5cosθ
(θ为参数) 的离心率为____
y=4sinθ
2.已知椭圆 x2 + y2=1 3 (1).求:x+y的最大值和最小值;
(2).求椭圆上的动点P到直线x-y+6=0的距离的 最小值和最大值.
x2
y2
3.求椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的
内接矩形的面积的最大值.
P到两焦点的距离分别为3.5和6.5 ,
则:椭圆的标准方程为______x2 25
y2
75
1
4
x2 y2
(3).P为椭圆 4 + 3 =1上动点,则:|PF1|.|PF2|的 的最大值为______,最小值为____
椭圆的第二定义
x=
a2 — c N
在已知直角坐标系中，设 在已知直角坐标系中， M(x，y)为轨迹上任意一点。 ， 为轨迹上任意一点。 为轨迹上任意一点 ———— = — √(x-c)2+y2 c a a2 - x| |— c
o
F
x
(a2-c2)x2+a2 y2=a2(a2-c2) 设b2=a2-c2代入，两边同除 代入， a2b2得标准方程 y2 x2 + — =1 — a2 b2
25 3 ,一条准线方程为 4.离心率 离心率e= 一条准线方程为y=离心率 一条准线方程为 3 5
5
2 2
5
3
3
<例3>、已知椭圆 例 有内一点P（ ，－ ，－1）， 已知椭圆 有内一点 （1，－ ）， F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点 ，使 为椭圆右焦点， 为椭圆右焦点 在椭圆上有一点M， 取最小值，则点M的坐标为 的坐标为（ 取最小值，则点 的坐标为（ ） A B C D
x
2
y
2
点评 小结
求几何量(距离 长度 求几何量 距离/长度 角)的最值的方法归纳 距离 长度/角 的最值的方法归纳 起来有以下三种方法: 起来有以下三种方法 法一. 法一 函数法: 首先要选择恰当的自变量, 构建“目标函数” 首先要选择恰当的自变量 构建“目标函数” 法二.均值不等式法 法二 均值不等式法: 均值不等式法 法三. 法三 几何法: 结合图形直接在图上找到(作出 最值. 作出)最值 结合图形直接在图上找到 作出 最值
2 S101= —————— 101=101a=101√2 √ 注意：求焦点弦长有多种方法， 注意：求焦点弦长有多种方法，但是对于不是焦 点弦不能用第二定义。 点弦不能用第二定义。
高二数学椭圆的第二定义
x2 y2 1 上一点M 到左焦点的距离是3， 3 . 椭圆 25 16
求它到右准线的距离。
。
x2 y 2 c 1 M ( x , y ) e 例1． 设 上的一点， 0 0 是椭圆 2 2 a a b
F1 (c,0) F2 (c, 0) 记r1 MF1 r2 MF2
MA MF2
M
A
3 MF1 2 MA
F1
O
F2
X
解：椭圆的方程为
（） 1 MF1 MF2 6 MF2 6 MF 1 MA MF2 6 MA MF 1
p p 2 l2 : x e F1 (2,0) F2 (2, 0) l1 : x 2 2 3
1 AB 1 x1 x2 2 3
小结
x2 y 2 椭圆 2 2 1 上一点 P( x0 , y0 ) 焦点 F1 (c,0) F2 (c, 0) a b
，
c 离心率 e a
d P l1
a2 a2 a2 x0 x0 d P l x0 2 c c c
3 直线AB : y ( x 2 2) 3 3 y ( x 2 2) 3 4 x 2 12 2 x 15 0 2 x y2 1 9
,
48 0
设A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) x1 x2 3 2 15 x1 x2 4
r2 PF2
2 a2 a 准线l1 : x l2 : x c c
两焦半径r 1 PF 1
（） 1 r1 r2 2a
r1 r2
F1 F2 c e a r1 r2
椭圆的第二定义比值定义的应用
椭圆的第二定义（比值定义）的应用陈 文教学目标：1椭圆的比值定义，准线的定义2、使学生理解椭圆的比值定义，并掌握基本应用方法3、对学生进行对应统一的教育教学重点：椭圆的比值定义的应用教学难点：随圆的准线方程的应用教学方法：学导式教学过程：一、复习前节我们学习了随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：如图所示，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ，由第二定义，知：21==e d MF， MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+ 要使MF MA 2+为最小值，即：MF MA +为“最小”，由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10，此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故：当)3,32(M 时，MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2求证：0201,ex a r ex a r -=+= 证明如图，由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2分析：是焦点弦AB）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（学生完成）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即 又左准线为：16-=x则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥ ，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB <∴（2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离四、小结本节，重点是掌握第二定义的应用方法，特别是焦半径公式的运用（通常在焦点弦中采用）五、作业1、《课外作业》P92、102、已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点F 1、F 2距离的等比中项？。
《椭圆的第二定义》课件
天文观测
椭圆形状的天体，如彗星 和星系，可以用椭圆来描 述其运动轨迹。
哈勃太空望远镜
哈勃太空望远镜的轨道是 椭圆形，用于观测遥远的 天体和星系。
椭圆在物理学中的应用
粒子加速器
粒子加速器中的粒子轨迹 是椭圆形，通过改变电场 和磁场来加速粒子。
核磁共振成像
核磁共振成像中的磁场是 椭圆形，用于检测人体内 的氢原子核。
焦半径的应用
在解决与椭圆相关的几何问题时，利用焦半径的 性质可以简化计算过程。
THANKS
感谢观看
离心率e的范围是0<e<1，当e接近0时，表示椭圆接近圆；当e接 近1时，表示椭圆变得扁平。
离心率与形状关系
离心率e决定了椭圆形状的扁平程度，是描述椭圆形状的重要参数 。
椭圆的焦半径
焦半径定义
从椭圆上的任意一点P引出到两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ焦点的连线段， 称为焦半径。
焦半径长度
根据椭圆的性质，焦半径PF1和PF2的长度满足 PF1+PF2=2a。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是由其两个焦点和椭圆上任意一点之间的距离关 系决定的。
详细描述
椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于一个常数 ，这个常数等于两个焦点之间的距离。因此，椭圆被限制在 一个由两个焦点和椭圆上任意一点组成的平面内。
椭圆的光滑性
总结词
椭圆的光滑性是指其在平面上是连续且没有折线的曲线。
电子显微镜
电子显微镜中的电子轨迹 也是椭圆形，用于观察微 小物体。
椭圆在工程学中的应用
桥梁设计
桥梁的支撑结构常常采用椭圆形 ，以承受更大的负载和分散压力
。
隧道设计
隧道的截面形状常常是椭圆形，以 减少工程难度和成本。
《椭圆的第二定义》课件
目录
• 引言 • 椭圆的第二定义 • 椭圆的性质应用 • 椭圆的作图方法 • 椭圆的扩展知识
01
引言
课程背景
椭圆是平面几何中一个重要的概念，它在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
椭圆的定义通常有两种，第一种是通过平移一个圆得到的，第二种是通过光线反射 形成的。
第二种定义更加抽象，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力，因此是 教学难点之一。
3
注意事项
在计算离心率时，需要确保已知长轴长和短轴长 的准确值，否则计算结果会有误差。
感谢您的观看
THANKS
使用辅助线
在某些情况下，添加辅助线可以 帮助确定椭圆的形状和位置。
近似作图
对于某些不精确的作图需求，可 以使用近似方法来绘制椭圆。
椭圆的作图实例
实例1
使用基本方法绘制一个水平放置 的椭圆，焦点位于中心两侧。
实例2
利用对称性绘制一个垂直放置的椭 圆，焦点位于上方和下方。
实例3
使用辅助线和近似方法绘制一个复 杂背景下的椭圆，以适应特定设计 需求。
2. 使用圆规或线段，根据椭圆的 基本定义，确定各点到焦点的距 离之和等于常数。
椭圆的基本定义：椭圆是由平面 内到两定点（称为焦点）的距离 之和等于常数（大于焦点间的距 离）的所有点组成的图形。
1. 确定焦点位置。
3. 连接各点，形成椭圆。
椭圆的特殊作图技巧
利用对称性
由于椭圆具有对称性，可以利用 这一特性简化作图过程。
课程目标
掌握椭圆的第二定义 ，理解其几何意义和 性质。
培养学生的空间想象 能力和逻辑推理能力 ，提高他们的数学素 养。
能够利用椭圆的第二 定义解决一些实际问 题。
椭圆的第二定义及有关最值
变2：P在椭圆上运动， P在何点时， F1 PF2的最大，求其余弦值。 变3：P在何点时， S PF1F 2最大，并为多少。
变1：当F1 PF2 600 时，S PF F 2
x2 y2 例3： 1上一点P, 当F1 PF 2为直角时，则 x, y的值 :9 4 变1：当F1 PF 2为钝角时，则 x, y的范围 变2：当F1 PF 2为锐角时，则 x, y的范围
2
2
4
O
A
又KOP=KAB b b ac a 因此b=c 即 a2 c2 c
c e a
2 2
作业
1、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准 方程。 2、已知椭圆在x轴和y轴正半轴上两顶点分别为A， B，原点到直线AB的距离等于 ，又该椭圆 的离心率为 ，求该椭圆的标准方程。
温故知新
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率 2 为 。
2
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角 形，则其离心率为 1/2 。 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其 1/3 离心率为 。 4、已知椭圆 m= 4或－5/4 . 的离心率为1/2，则
5：与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为 解：由已知得所求椭圆2c=2 5
椭圆的第二定义 及有关最值
PF1 e; 第二定义： d
思考：2 所求的轨迹方程的离心率，焦点各是什么？并 a 计算 c 等于多少？
其中：d为F1对应准线的方程；e 为离心率
当点M到定点距离与不过该定 点的定直线的距离比是 常数 这点M的轨迹是椭圆。 其中定点是椭圆一个焦 点，定直线称为准线常数e为离心率。 ,
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1
椭圆第二定义应用
一、随圆的第二定义（比值定义）：
若
），
ee
d
MF
为常数10(,
则M的轨迹是以F为焦点，L为准线的椭圆。
注：①其中F为定点，F（C，0），d为M到定直线L：
c
a
x2
的距离
②F与L是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用
[例1]已知
1
1216
,)3,2(22yxFA是
的右焦点，点M为椭圆的动点，求MFMA2的最小值，并求出此
时点M的坐标。
分析：此题主要在于MF2的转化，由第二定义：21edMF，可得出dMF2，即为M到L（右
准线）的距离。再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M作lMN于N，
L为右准线：8x，
由第二定义，知：21edMF，
MNdMF2
,2MNMAMFMA
要使MFMA2为最小值，
即：MFMA为“最小”，
由图知：当A、M、N共线，
即：lAM时，MFMA2为最小；
且最小值为A到L的距离=10，
此时，可设
)3,(
0
xM
，代入椭圆方程中，
2
解得：
32
0
x
故当)3,32(M时，
MFMA2
为的最小值为10
[评注]：
（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00yxP为椭圆)0(,12222babyax的一点，离心率为e，P到左焦点F1和右焦点F2的距离
分别为r1，r2 求证：
0201
,exarexar
证明：作图，
由第二定义：ecaxPF201
即：aexcaxecaxePFr0202011)(
又
aPFPF2
21
0012
)(22exaexaarar
注：①上述结论
01exar，02
exar
称为椭圆中的焦半径公式
②
axaexarPF
0011
由
得出
caaearcaeaar)(11且
即
caPFca
1
当
）a，（，P
caPF0
1
为时
当
）（a，，P
caPF0
1
为时
[练习]
（1）过1922yx的左焦点F作倾斜角为300的直线交椭圆于A、B两点，则弦AB的长为 2
分析：是焦点弦AB ）x（xea）ex（a）ex（aBFAFABBABA2只需求
?
BA
xx
（用联
立方程后，韦达定理的方法可解）
3
（2）
1
4864
2122yx、FF为
的左、右焦点，P为椭圆上的一点，若,321PFPF则P到左准线的距离
为 24
分析：由焦半径公式，设
）
yxp
00
,(得，x）exaexa8(3000即
又左准线为：16x 则P到左准线距离为8-（-16）=24
[例3] 设椭圆的左焦点为F，AB过F的弦，试分析以AB为直径的圆与左准线L的位置关系
解，设M为弦AB的中点，（即为“圆心”）
作
，
ALAA
11于 ，BLBB11
于
，
MLMM11于
由椭圆的第二定义知：
)(11BBAAeBFAFAB
10e
11
BBAAAB
又在直角梯形
11
AABB
中，1MM是中位线
111
2MMBBAA
即：
1
2MMAB
1
2
MMAB
（2AB为圆M的半径
1
MMr
，
为圆心M到左准线的距离ddr
故以AB为直径的圆与左准线相离
4
椭圆第二定义的应用练习
1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e等于（ ）
A．21 B.31 C.41 D.42
2、椭圆的两个焦点是
)3,0(
1F和)3,0(2
F
，一条准线方程是316y，则此椭圆方程是（ ）
A．191622yx B.171622yx
C. 116922yx D.116722yx
3、由椭圆116922yx的四个顶点组成的菱形的高等于： 。
4、不论k为何实数值，直线y=kx+1和焦点在x 轴的椭圆1522yx总有公共点，则的取值范围
是： 。
5、已知椭圆
063
22
mymx
的一个焦点为（0，2）求m的值．
6、已知椭圆的中心在原点，且经过点03，P，ba3，求椭圆的标准方程．
5
7、 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为354和352，过P点作焦点所在轴
的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
8、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(A和)1,32(B两点的椭圆方程．
分析：可设其方程为
1
22
nymx
(0m，0n)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
6
椭圆第二定义的应用练习答案：
1、（ A ）2、（ D ）
3、 524 4、51。
5、故5m．6、198122xy．
7、1103522yx或1510322yx．
8、151522yx．