人教版选修21第三章空间向量的线性运算讲义-精选学习文档
高中数学人教A版选修21课件3.1.2空间向量的数乘运算(系列三)
⑤对于实数 a、b、c，若 ab＝ac，a≠0，则 b＝c；对于向 量 a、b、c，若 a·b＝a·c，a≠0，却推不出 b＝c，只能得出 a⊥(b－c)．
新知导入
1．已知两个非零向量 a、b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，
→ OB
＝
b
，
则
角
___∠__A_O_B___
叫
做
向
量
a
与
b
的夹角，记作
〈a，b〉．
通常规定 0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，a〉，
如果〈a，b〉＝____9_0_°____，则称 a 与 b 互相垂直，记作
a⊥b.
预习自测
1．下列式子中正确的是( ) A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2 C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b| [答案] D [解析] |a|·a是与a共线的向量，a2是实数，故A不对； (a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B错； (a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故C错． |a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|.
4．设 a，b 都是非零向量，〈a，b〉＝θ， ①a∥b 时，θ＝___0____或 π，θ＝___0_时，a 与 b 同向； θ＝__π___时，a π与 b 反向． ②a⊥b⇔θ＝___2___⇔a·b＝0.
③θ 为锐角时，a·b______>____0，但 a·b>0 时，θ 可能为 ______0____；θ 为钝角时，a·b_____<_____0，但 a·b<0 时，θ 可 能为____π___.
高中数学选修2-1第3章3-1空间向量及其运算课件
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展
到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
OG kOC,OH kOD. 由于四形ABCD是平行四形，所以 AC AB AD . 因此
EG OG OE kOC kOA=k AC
k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH 由向量共面的充要件知E ,F,G ,H 四共面.
（3）在正方体 ABCD - A中1B，1C1必D1有
. AC = A1C1
（4）若空间向量 m,n满,p足
，m = n,n = p
则 m . p
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
其中不正确命题的个数是（ C）
A.1 B.2 C.3 D.4
数学 选修2-1
2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ， b 的长度相同，方
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数学 选修2-1
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a， AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.
数学 选修2-1
证明加法结合律: O
a
A
C
人教A版数学选修21-空间向量与立体几何-【完整版】
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
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类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)． 设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点． 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
(3)用已知向量表示指定向量的方法． 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通 过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三 角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出 来，然后转化为已知向量的线性式．
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
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[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的所有向量
高中数学(人教版选修21)课件+课时训练+章末过关测试第三章(21份)3.1.4 空间向量的正交分解
A．a B．b
栏
C．a＋2b D．a＋2c
目 链
接
3．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，
其中a＝4i＋j，b＝j＋3k，c＝2k＋i，则点A在基底{i，j，
k}下的坐标为( )
A．(7,3,12) B．(12,7,3)
C．(2,4,6) D．(12,3,7)
解析：设 O 为坐标原点，则O→A＝a＋2b＋3c＝(4i＋
第二章 圆锥曲线与方程
3.1 空间向量及其运算 3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
栏 目 链 接
1．掌握空间向量基本定理及其推论，理解空间任
意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而
且这种表示是唯一的．
栏
目
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一
链
接
空间向量．
3．空间向量的基本定理及其推论．
解析：由O→A、O→B、O→C不能构成基底知O→A、O→B、O→C三向量共面，
所以 O、A、B、C 四点共面．故选 D.
答案：D
题型二 用基底表示向量
例 2 空间四面体 OABC 中，M 在 OA 上， OM＝3MA，N 在 BC 上，且 BN＝2NC，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，用向量 a，b，c 表 示A→N，M→N.
P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使O→P＝xO→A＋ ＋ zO→C.
基础 梳理
2．空间向量的正交分解及其坐标表示．
(1)单位正交基底：三个有公共起点O的__两__两__垂__直___
的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
栏
目
(2)空间向量的坐标表示：以e1，e2，e3的
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运
3.如图，四面体 ABCD 的每条棱长都等于 2，点 E，F 分别 为棱 AB，AD 的中点，则|A→B＋B→C|＝________，|B→C－E→F| ＝________. 解析：|A→B＋B→C|＝|A→C|＝2；
E→F＝12B→D，B→D·B→C＝2×2×cos 60°＝2，
故|B→C－E→F|2＝B→C－12B→D2＝B→C2－B→C·B→D＋14B→D2＝4－2＋14×4＝3， 故|B→C－E→F|＝ 3. 答案：2 3
探究一 空间向量的数量积的运算 [典例 1] 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求值： (1)E→F·B→A； (2)E→F·B→D； (3)A→B·C→D.
[解析] (1)E→F·B→A＝12B→D·B→A＝12|B→D||B→A|cos〈B→D，B→A〉 ＝12cos 60°＝14. (2)E→F·B→D＝12B→D·B→D＝12|B→D|2＝12. (3)A→B·C→D＝A→B·(A→D－A→C)＝A→B·A→D－A→B·A→C ＝|A→B||A→D|cos〈A→B，A→D〉－|A→B||A→C|cos〈A→B，A→C〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0.
1 A.2
B．
2 2
C．－12
D．0
解析：如图所示，∵O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B) ＝O→A·O→C－O→A·O→B ＝|O→A||O→C|·cos∠AOC－|O→A|·|O→Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ·cos∠AOB＝0，
∴O→A⊥B→C，∴〈O→A，B→C〉＝π2，cos〈O→A，B→C〉＝0. 答案：D
3．1.3 空间向量的数量积运算
考纲定位
重难突破
1.掌握空间向量夹角的概念及表示
高中数学 第三章 空间向量与立体几何本章整合课件 a选修21a高二选修21数学课件
= − , 1 1 = 1 1 − 1 1 .
又 = 1 1 , = 1 1 ,
所以 = 1 1 , 故BD∥B1D1.
同理可证A1B∥D1C.
又BD∩A1B=B,B1D1∩D1C=D1,
故平面A1BD∥平面B1CD1.
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第五页，共五十二页。
所以-9+9λ=0,解得λ=1.
所以在AB上存在点D使得AC1⊥CD,此时点D与点B重合.
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第十九页，共五十二页。
综合应用
专题
(zhuā
ntí)一
专题
专题
(zhuā
ntí)三
(zhuā
ntí)二
设 = = (−3, 4, 0), 其中0≤t≤1.
则点 E(3-3t,4t,0), 1 = (3 − 3, 4 − 4, −4), 1 = (0, −4, −4).
AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC,所以AC,BC,CC1两两垂直,以C为原点,直线
CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系.
则点C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
因为 = (−3,0,0), 1 = (0, −4,4),
2
2
由(2)知,平面 ADE 的一个法向量为 n= 1 = (0,1, −2),
∴cos<m,n>=
·
||||
1
=
-2+2
1
2+4× 5
=
∵二面角 A1-DE-A 为锐二面角,
∴二面角 A1-DE-A 的余弦值为
5
【公开课课件】选修2-1_3.1.1+3.1.2 空间向量及其线性运算
解题总结：
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x, y使得： AP x AB y AC,或对空间任意一点O有: OP OA x AB y AC
独立思考，形成结论
二个向量共线的充要条件____________ 三个向量共面的充要条件____________
四点共面的充要条件____________
结合课本86-88页探究
平面向量基本定理：
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 x，y使___a___x_e1___ye_2___.
相等向量 相反向量 单位向量
零向量
方向相同且长度相等 方向相反且长度相等 长度为 1 的向量 长度为 0 的向量
跳出平面，明确概念
跟踪：给出以下命题： ① 两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
② 若空间向量 a 和 b 满足 a b ，则 a = b ；
③ 空间中任意两个单位向量必相等； ④ 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。 其中正确命题的个数是_______.
布置作业，独立探究
书面作业： 课本第89页 第1、2、3题； 课本第97页 A组第1、2题；
练习册对应的章节
探究2
对于空间任意一点O,满足向量关系OP xOA yOB(其中x y 1) 的三点P、A、B共线。 类比猜想：设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量的线性运算课件新人教B版选修2_12
跟踪训练1 量：
(1) 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向
— → — → → → → — → → —→ ①AB与C1D1；②AC1与BD1；③AD1与C1B；④A1D与 B1Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
其中互为相反向量的有n对，则n等于 A.1
答案 解析
B.2
C.3
D.4
→ —→ → —→ 对于①AB与C1D1，③AD1与 C1B 长度相等，方向相反，互为相反向量； → → 对于②AC1与BD1长度相等，方向不相反；
→ AB
|a|或|AB|
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量 起点与终点重合的向量叫做
模为1 相反 而方向
零向量
单位向量
，
的向量称为单位向量
相等 相反向量 与向量 a长度
的向量，称为a的相
相等向量
相同 方向
相等 且模
同向 等长 的向量称为相等向量，
段表示同一向量或相等向量
共线向量 平行向量 ，则这些向量叫做
思考2
由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量 的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算 法则？ 答案
先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量 的运算法则 (三角形法则、平行四边形法则 )运算即可； 图1是三角形法则，图2是平行四边形法则.
梳理
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
解答
—→ → —→ → ―→ → → AA′－CB＝AA′－DA＝AA′＋AD＝AD′.
—→ → —→ (2)AA′＋AB＋B′C′.
解答
—→ → —→ —→ → ——→ —→ ——→ AA′＋AB＋B′C′＝(AA′＋AB)＋B′C′＝AB′＋B′C′ —→ — → —→ ＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
高中数学 第三章 空间向量与立体几何本章整合课件 b选修21b高二选修21数学课件
2
3
. 而△OED
2
3
是边长
3 3
.
2
过点 F 作 FQ⊥AD,交 AD 于点 Q,由平面 ABED⊥平面 ACFD
知,FQ 就是四棱锥 F - OBED 的高,且 FQ= 3, 所以VF - OBED=
3
2
= .
四边形 OBED
12/8/2021
综合应用
专题
(zhuā
ntí)一
专题
(zhuā
ntí)二
专题
(zhuā
ntí)三
解:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,
∵E,F 分别是 AA1,AB 的中点,
∴E(2,0,1),F(2,1,0),
∴ = (0,1, −1).
又 B(2,2,0),
∴ = (2,2,0).
取 O 为原点,直线 OC,BO,OM 为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空
间直角坐标系.
由题意得,OB=OM= 3, 各点坐标分别为C(1,0,0),M(0,0, 3),
(0, − 3, 0), (0, − 3, 2 3).
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第十六页，共二十八页。
综合应用
专题
(zhuā
ntí)一
2 15
又 = (0,0,2 3), 则d=
=
=
.
5
5
2 15
所以点 A 到平面 MBC 的距离是
.
5
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第十七页，共二十八页。
综合应用
专题
(zhuā
ntí)一
专题
(zhuā
人教A版选修21高二数学3.空间向量及其加减运算PPT课件
与向量 a 长度相等而方向相反的向量, 称为 a 的相反向量，记为 – a .
4. 相等向量（equal vetor）
方向相同且模相等的向量称为相等向 量.
人 教 A 版 选修 21高二 数学3 .空间向 量及其 加减运 算PPT 课件
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（2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）;
（3）两个向量不能比较大小，因为决定 向量的两个因素是大小和方向，其中方向不 能比较大小.
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知识要点
1. 空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做 空间向量（space vetor ）.
向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).
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（2）加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c)
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a
AB = OC = b 所以 a + b = b + a
证明加法结合律:
O
a
A
C
bBc
因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c
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第 1 页 案例（二）---精细精练 课堂 合作 探究 重点难点突破 知识点一 空间向量的概念 在学习空间向量的概念时,要对比平面向量的有关概念进行理解记忆.(1)向量:具有大小和方向的量叫做向量.(2)相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫做零向量,记为0.(4)向量的长度:表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作|a|.(5)基线:有向线段所在的直线叫做向量的基线.(6)共线向量:如果空间一些向量的基线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,如a平行于b,记作a∥b. 注意:①共线向量(或平行向量)是指向量的基线相互平行或重合,平行向量的基线可能重合,共线向量的基线可能不重合.②共线向量(或平行向量)的方向可能同向,也可能反向.如 下右图a∥b∥c∥d.
知识点二空间向量的加法、减法和数乘向量运算
我们可把平面向量的线性运算法则,推广到空间,用来定义空间向量的加法、减法和数乘向量运算.(1)平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则,对空间向量也同样成立.(2)平
面向量求和的多边形法则,对空间向量也同样成立.如上右图1AD=1AA+11BA+BB1+BC+
1CC+11DC.这也就是说,表示相加向量的有向线段依次首尾相接,构成的折线从首到尾的
向量就是这些相加向量的和为了便于记忆,常把这个和向量叫做“封口向量”(3)空间向量的加法和数乘向量运算与平面向量一样,满足如下运算律:①加法交换律:a+b=b+a；②加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)；③分配律:(λ+u)a=λa+ua；λ(a+b)=λa+λb.(4)两个结论:①有限第 2 页
个向量求和,交换相加向量的顺序其和不变;②三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量.
说明 1.对于空间任意两个非零向量a、b,当它们的基线不在任何同一个平面内(两基线异面),那么总可以通过平移,把它们移到同一平面内,这说明任意两个向量都可以通过平移,转化为平面向量. 2.向量数乘的运算除了满足分配律及结合律外,还有以下些性质: (1)若a≠0,λ1a=λ2a,则λ1=λ2； (2)若λ≠0,λa1=λa2,则a1=a2; (3)λ1a+λ2a+…+λna=(λ1+λ2+…λn)a； (4)λa1+λa2+…+λan=λ(a1+a2+…+an). 典型例题分析 题型1 空间向量的有关概念 【例1】 回答下列问题: (1)单位向量一定相等? (2)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量? (3)相等的非零向量,若起点不同,则终点一定不同,这一判断正确吗? (4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内?
解析 利用向量的有关概念进行判断. 答案 (1)不一定. 单位向量是指模为1,方向却是不确定的,所以单位向量不定相等. 两个非零向量相等必须具备两个条件:一是模相等,二是方向相同.两个条件缺一不可. (2)是. 对照向量相等必须具备的两个条件,这两个条件中,并没有对相应的有向线段的起点加任何限制因此看来,表示相等向量的有向线段的起点是很自由的,相等向量的起点位置具有任意性. (3)正确. 因为在起点不同的情形下,如果终点相同,那么这些向量就不平行,即这些向量的方向就第 3 页
不相同,这与向量相等的定义相矛盾. (4)正确. 在空间任取一点,过此点引两个与已知非零向量相等的向量,而这两个向量所在的直线相交于此点,两条相交直线确定一个平面,所以两个非零向量可以平移到同一平面内. 规律总结 本题共4个小题,解答每一小题都需对所学的知识有一个准确、全面的理解.掌握好概念及相美的基础知识,是学好数学的重要基础.
【变式训练1】 回答下列问题: （1）模为0的向量是零向量? （2）方向相反的两个单位向量互为反向量? （3）起点相同且模相等的向量终点在同一圆周上? （4）a-a=0?
答案 (1)正确;(2)正确;(3)不正确;(应该是在同一球面上)(4)不正确.(应该为a- 【例2】 如下图,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1长方体ABCD一A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中, (1)写出所有的单位向量；
(2)写出与AB相等的所有向量； (3)写出与AD相反的所有向量； (4)写出模为5的所有向量. 解析 应用单位向量、相等的向量、相反向量、向量的模的概念及长方体的性质
解.即在空间我们将向量对应线段的长度称为该向量的模;将模为1的向量称为单位向量;将模相等且方向相同的向量称为相等的向量;将模相等而方向相反的向量称为相反向量.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,因为长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1,AB1=52122.
答案 (1)单位向量共有:1AA,AA1,1BB,BB1,1CC,CC1,1DD,DD1这八个； (2)与AB相等的向量共有,DC,11CD,11BA式这三个； 第 4 页
(3)与AD相反的所有向量共有:DA,CB,11BC,11AD这四个； (4)模为5的向量共有:BA1,1BA,1AB,AB1,AC,CA,BD,DB,1CD,CD1,
1DC,DC1,11CA,11AC,11DB,11BD这十六个.
错因分析 对向量的相关概念理解不透,考虑问题不仔细、不全面,导致答案中出现漏解情况如(1)中易漏掉AA1,BB1,CC1,DD1这四个解:(3)中易漏掉DA这个解等.
【变式训练2】 如右图,在棱长为1的正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点的两点为始点和终点的向量中, (1)单位向量共有多少个?
(2)写出与AB相等的所有向量； (3)写出与AC相反的所有向量； (4)写出模为2的所有向量. 答案 (1)18个；(2)11BA；(3)CA,11AC； (4)因为AB1=2212BBAB,所以满足要求的向量共有:1AB,AB1,BA1,1BA,
1AC,AC1,CA1,1CA,1BC,BC1,CB1,1CB这十二个
题型2 空间向量的线性运算 【例3】 如右图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算结果为1BD的是( ) (1)(1111AADA)-AB； (2)(1BBBC)-11CD； (3)(ABAD)-1DD； 第 5 页
(4)(AADB111)+1DD. A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
解析 在进行减法运算时,可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量,而在进行加法运算时,首先考虑这两个向量在哪个平面内,然后与平面向量求和一样,运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解.
答案 (1)(AADA111)-AB=11DA+1AA+BA=BA+1AA+11DA=1BD；
(2) (AD-AB)-1DD=BD+DD1=BD+1DD-21DD=1BD-21DD≠1BD； 因此(1)(2)两式的运算结果为向量1BD,而(3)(4)运算的结果不为1BD, 故应选择A. 规律总结 在对向量进行加、减法运算时,一定要运用其运算法则及运算定律来简化,特别要注意的是将某些向量进行平移,将其转化到同一平面中去求解,另外,本题是一个选择题,因此,在计算出(1)(2)两式结果后,就已得到选项,故(3)(4)两式不必计算,这样可提高解题速度,体现“小题”小解或巧解的特点
【变式训练3】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,化简1BB+AB-DA等于 ( ) A.1AC B.1CA C.1BD D.1DB 答案 1BB+AB-DA=1BB+AB+AD=1CC+AC=1AC,故选择A. 【例4】如右图,已知平行六面 体ABCD-A′B′C′D′,点M是棱AA′的中点,
点G在对角线A′C上且 CG:GA′=2:1,设CD=a,CB=b,CC=c,
试用向量a,b,c表示CA,AC,CM,CG 解析 要想用a,b,c表示出所给向量,只需结合图形,充分运用空间向量加、减法的运算律及平行四边形法则或多边形法则即可. 第 6 页
(1)由平行四边形法则,得CA=CB+CD=a+b； (2)由平行四边形或三角形法则,得AC=CA+CC=(a+b)+c=a+b+c； (3）同上,得CM=CA+AM=CB+CD+21CC=a+b+21c； (4)由(2),得CG=32CA=32(a+b+c). 答案 (1)CA=a+b； (2)AC=a+b+c； (3)CM=a+b+21c； (4)CG=32(a+b+c). 规律总结 在用已知向量表示未知向量的时候,要注意寻求两者之间的关系,通常可将未知向量进行一系列的转化,将其转化到与已知向量在同一四边形(更多的是平行四边形)或三角形中,从而可以建立已知与未知之间的关系式。另外,在平行六面体中,要注意相等向量
之间的代换,例如,在第(3)小题中,利用了AA=AC,把AA转化为AC,把一个向量用其他向量来表示,其实质就是把一个向量进行分解,这也是为学习向量共面定理和向量的空间坐标表示奠定基础.
【变式训练4】 在正方体中 ABCDDCBA中,AB=a,AD=b,AA=c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q在CA′上,且CQ:QA′=4:1,试用a,b,c表示以下向量:(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ. 答案 (1)AP=21(AA+AC)21(a+b+c)； (2)AM=AD+MD=c+b+21CD=21a+b+21c； (3)AN=AD+ND=b+c+21a； (4)AQ=AA+QA=AA+51CA=AA+51(AC-AA)=c+51(a+b-c)=51a+51b+51c. 题型3 四面体与平行六面体 【例5】 证明平行六面体的体对角线