正比例函数的图像与性质 (7)
正比例函数及性质
x的正比 的正比
例函数， 例函数，则m= (-1) ）、已知一个正比例函数的比例 （5）、已知一个正比例函数的比例 ）、 系数是-5，则它的解析式为： 系数是 ，则它的解析式为：( y=-5x)
例1:画出下列正比例函数 的图 画出下列正比例函数 象（1）y=2x （2） y=-2x ） ）
画图步骤： 画图步骤： １、列表； 列表； ２、描点； 描点； ３、连线。 连线。
h=0.5n
（4）冷冻一个 ℃物体，使它每分下降 ℃， ）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃ 物体的温度T（单位： 随冷冻时间t（ 物体的温度 （单位：℃）随冷冻时间 （单 的变化而变化。 位：分）的变化而变化。
T=-2t
（1）l=2πr （2）m=7.8V ） ） （3）h=0.5n （4）T= -2t ） ） （5）y=200x （0≤x≤128） ） ） 这些函数有什么共同点？ 这些函数有什么共同点？
2.函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变 函数图象的定义：一般的，对于一个函数， 函数图象的定义 量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么 坐标平面内由这些点组成的图形， 坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图 象． 3.函数的三种表示方法： 函数的三种表示方法： 函数的三种表示方法 ①列表法 ②图象法 ③解析式法
2.图像： 正比例函数 kx (k 是常数， 图像： 正比例函数y= 是常数， 图像 k≠0) 的图象是经过原点的一条直线，我 的图象是经过原点的一条直线， 直线y= 们称它为直线 们称它为直线 kx 。 3.性质：当k>0时,直线 kx经过第三， 性质： 直线y= 经过第三 经过第三， 性质 时 直线 一象限，从左向右上升，即随着x的增大 一象限，从左向右上升，即随着 的增大 y也增大；当k<0时,直线 kx经过二 四 也增大； 时 直线y= 经过二,四 也增大 直线 经过二 象限，从左向右下降， 的增大y 象限，从左向右下降，即随着 x的增大 的增大 反而减小。 反而减小。
《正反比例函数》课件
正比例函数的 应用：用于描 述线性关系， 如速度、加速
度、电流等
反比例函数的图像和性质
反比例函数 的定义：
y=k/x，其 中k为常数
反比例函数 的图像：双 曲线，开口 向上或向下
反比例函数 的性质：当 k>0时，图 像在第一、 三象限；当 k<0时，图 像在第二、
四象限
反比例函数 的对称性： 关于原点对 称，关于y轴
正反比例函数PPT课件
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CONTENTS
1 单击添加目录项标题 2 正反比例函数的概念 3 正反比例函数的性质 4 正反比例函数的应用 5 正反比例函数的解析式
6 正反比例函数的图像和性质单击此处添加章节标题正反比例函数的概念
比例函数的定义
正反比例函数的图像
正比例函数：y=kx，k为常数，图像 是一条直线
反比例函数：y=k/x，k为常数，图像 是一条双曲线
正比例函数的图像特点：当k>0时， 图像在第一象限和第三象限，当k<0 时，图像在第二象限和第四象限
反比例函数的图像特点：当k>0时， 图像在第一象限和第三象限，当k<0 时，图像在第二象限和第四象限
反比例函数的解析式
反比例函数的一般形式：y=k/x
k为常数，x不能为0
当k>0时，函数图像在第一、 三象限
当k<0时，函数图像在第二、 四象限
正反比例函数解析式的异同点
反比例函数：y=k/x，其中 k为常数，x为自变量，y为 因变量
相同点：都是线性函数，都 有常数k，都有自变量x和 因变量y
正比例函数：y=kx，其中 k为常数，x为自变量，y为 因变量
正比例函数知识点总结
正比例函数知识点总结正比例函数是数学中一种重要的函数形式，也是高中数学中常见的函数类型之一。
它是指两个变量之间的关系是成正比的，即当一个变量增大（或减小）时，另一个变量也相应地增大（或减小）。
下面将从定义、性质、图像、应用等方面对正比例函数进行总结。
一、定义正比例函数又称为一次函数，它的数学定义为：如果两个变量x和y之间的比值恒定，即y与x的比值为常数k，则称y是x的正比例函数，记作y=kx。
其中k为比例系数，表示y与x之间的关系。
正比例函数可以看作是一条直线，其斜率为k，过原点(0,0)。
二、性质1. 常数k为正比例函数的比例系数，它决定了函数图像的斜率。
当k>0时，函数图像向上倾斜；当k<0时，函数图像向下倾斜。
2. 正比例函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。
因为无论x 取任何实数，对应的y都可以通过比例系数k计算得出。
3. 正比例函数的图像经过原点(0,0)，这是因为当x=0时，根据函数定义，y=k*0=0。
4. 当x>0时，y也大于0；当x<0时，y也小于0。
这是因为正比例函数的比例系数k为正，所以x的增大必然导致y的增大，x的减小必然导致y的减小。
三、图像正比例函数的图像为一条直线，过原点(0,0)，斜率为k。
当k>0时，图像向上倾斜；当k<0时，图像向下倾斜。
当k=0时，函数图像为一条水平直线，即y=0。
四、应用正比例函数在实际生活中有许多应用，例如：1. 速度与时间的关系：当物体的速度恒定时，速度与时间成正比。
速度为正比例函数，时间为自变量，速度为因变量。
2. 成本与产量的关系：在某些生产过程中，成本与产量呈正比例关系。
成本为正比例函数，产量为自变量，成本为因变量。
3. 周长与半径的关系：在一个圆形中，周长与半径成正比。
周长为正比例函数，半径为自变量，周长为因变量。
4. 温度与气压的关系：在恒定的体积下，温度与气压成正比。
温度为正比例函数，气压为自变量，温度为因变量。
正比例函数
练习 ：已知y = (m − 3) x 1 函数，求m.
分析：成为正比例函数 （ ）比例系数 ≠ 0 1
|m|−2
是正比例
该题中比例系数为 m − 3
（2）自变量的次数为1 自变量的次数为 m − 2 (3) y是关于x的单项式
由题意得： 解：由题意得：
m−3≠ 0 m − 2 =1
m≠3 m出下列正比例函数的图象。 例2：画出下列正比例函数的图象。 y=（1）y=2x （2）y=-2x 列表: 解:(1) 列表: x y=2x y=y=-2x … -2 -1 0 … -4 -2 0 2 0 … 4 1 2 -2 2 4 -4 … … …
画出函数y=2x与y=-2x的图象 画出函数y=2x与y=-2x的图象 y=2x
提示m = ρV m=7.8V
L=2r; h=0.5n T=T=-2t ,m=7.8V
。
这些函数有什 么共同点？ 么共同点？
这些函数都是常数与自变量的乘积的形式。 这些函数都是常数与自变量的乘积的形式。
☺一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数， 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数， y=kx(k是常数 的函数 叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 *正比例函数的解析式的结构特征： 正比例函数的解析式的结构特征： （1)k≠0 (2)自变量x的次数为1（右 (2)自变量x的次数为1 自变量 边是关于x的一次单项式） 边是关于x的一次单项式）
正比例函数的解析式的结构特征： 2、正比例函数的解析式的结构特征： （1)k≠0 (2)自变量x的次数为1（右边是 (2)自变量x的次数为1 自变量 关于x的一次单项式） 关于x的一次单项式） 正比例函数y=kx(k为常数,k≠0) y=kx(k为常数,k≠0)的图象是 3、正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是 一条经过原点的直线。我们称为直线y=kx 一条经过原点的直线。我们称为直线y=kx 画正比例函数的图象时可用两点法。 4、画正比例函数的图象时可用两点法。 通常取原点和(1,k) 通常取原点和(1,k)
19.2.1正比例函数(第2课时)
· 八年级(下)
19.2.1 正比例函数
第2课时
1.什么是正比例函数？请举几个实例。
一般地，形如 y=kx（k是常数， k≠0）的函数，叫做正比例函数 ， 其中k叫做比例系数．
2.画函数图象的一般步骤是什么？ 描点法：① 列表 ② 描点 ③ 连线
用描点法画正比例函数 y =2x 的图象 练习 在同一坐标系中用描点法画出正比例函数 1 y y = x 的图象． y=2x 3
y =k2 x y =k1 x
5. 函数y=－3x的图象过第二、四 象限,经过点
(0, 0 )与点(1,－3 ),y随x的增大而 减小 .
一、三 象限,经过点 6. 函数y= 3 x 的图象过第 2 3 (0, ０ )与点(1, 2 ),y随x的增大而 增大 .
7. 正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、 三象限， 则m的取值范围（ B ）
O
A
x
O C
练习
练习3 对于正比例函数y =kx，当x 增 大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范 围 （ C ）． A．k＜0 B．k≤0 C．k＞0 D．k≥0
练习
练习4 比较大小： （1）k1 ＜ k2；（2）k3 ＜ k4； （3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接． y y =k4 x 4 k1＜k2 ＜k3 ＜k4 y =k3 x 2 -4 -2 O -2 -4 2 4 x
观察
5 ４ ３ ２ １ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -2 -3 -4 -5
y
y=2x
1 2 3 4 5
x
y 2 x
比较上面两个函数的图象的相同点与不同点, 考虑两个函数的变化规律.
结论:两图象都是经过原点的 直线 ,函数 y 2 x
正比例函数
解：T = －2t ．
（1）w = 5 n （2） l = 2π r （3） y = 0.5 x （4）T = -2 t
这些函数有什 么共同点？
函数 常数 自变量
常数 自变量 这些函数都是______与_______的乘积的形 式
正比例函数的定义：
一般地，形如 y=kx（k是常数且 k≠0）的函数，叫做正比例函数， 其中 k 叫做比例系数.
课堂检测
3 （1）y = -5x （2）y = x-3 （3） y x x 2 （4） y （5）y 3x （6）C 2r 3
1.判断下列函数是否为正比例函数
2.画出正比例函数 y 4 x 的图象。 3.函数 y=8x 经过 象限，y 随 x 的增 大而 . 4.函数y=-5x的图象在第 象限内,经 过点(0, )与点(1,__ ),y随x的增大而 ___ .
正比例函数y kx(k 0)的性质：
(1) 当
k>0
时，直线y=kx经过第 一、三 象限，从
左向右 上升 ，y随x 增大 而 增大 。
(2) 当
k<0
时，直线y=kx经过第 二、四 象限，从
左向右 下降 ，y随x的 增大 而 减小 。
口答：看谁反应快
1.由正比例函数解析式（根据k的正、负）， 2.由函数解析式，请你说出下列 来判断其函数图像分布在哪些象限 函数的变化情况
a>4
2.如果函数 y= - kx 的图象经过一、 三象限,那么y = kx 的图象经过 第二、四 象限.
3.已知正比例函数y=(1+2m)x，若 y随x的增大而减小，则m的取值范 围是什么？
m2 ，它 4.已知正比例函数y=(m+1)x
正比例函数的图象和性质
正比例函数的图象和性质付斌教学目标•（1）知识与技能•会画正比例函数的图象，能从形状、位置、增减性、特殊点等角度理解函数的图象特征，能根据正比例函数的图象特征和表达式特点，理解正比例函数的性质。
•经历画正比例函数图象和借助函数图象归纳函数性质的过程，提高观察能力、分析能力和归纳概括能力，自主学习能力，提高创新意识。
•（2）过程与方法•通过描点法来研究正比例函数的图象，经历知识的归纳、探究过程。
•通过画正比例函数的图象归纳它的性质，体验数形结合的思想。
•体验从特殊到一般，分类讨论的数学思想。
•（3）情感态度与价值观•通过画图象，并借助图象研究性质，体验数与形内在的联系，感受函数图象的简洁美。
通过一系列的活动，渗透与人交流合作和探究精神。
•3、重点、难点•重点：正比例函数的图象与性质。
• 难点：由正比例函数的图象归纳得出它的性质以及对性质的理解。
• 复习导入• 1、什么是正比例函数？请举几个实例。
• 2、 函数关系的三种表达方式是什么?• 学习目标• 1、学会选择特殊的点，用两点法画出正比例函数的图象• 2、了解正比例函数图象的性质• 预习检测• 1.画函数图象的一般步骤是什么？• 2.正比例函数的图象是什么？• 共同探讨• 画正比例函数 y =2x 的图象• 画一画• 用两点法在同一直角坐标系内画出下列正比例函数的图象• x y x y x y x y 31,31,3,3-==-== • 小组交流• （1）左(右)图两个正比例函数的比例系数的符号有什么• 共同特征？它们的图象又有什么共同特征？（从象限、• “从左往右”看图象的变化趋势、函数y 的值与x 的变化情• 况上分析）• (2)你能从上面的分析中，得出正比例函数y=kx(k ≠0)的性质吗？（从k>0,k<0两种情况考虑）••(1) 当k>0时，正比例函数的图像经过第 象限，自变量x 逐渐增大时，y 的值也随着逐渐 。
图象从左向右 ,(2) 当k<0时，正比例函数的图像经过第 象限， 自变量x 逐渐增大时，y 的值则随着逐渐 。
正比例与反比例函数的性质
正比例与反比例函数的性质正比例函数和反比例函数是数学中常见的两种函数类型。
它们在数学和实际生活中都有着重要的应用。
本文将详细介绍正比例函数和反比例函数的性质，并探讨它们在不同领域的用途。
1. 正比例函数的性质正比例函数是指两个变量之间存在线性关系，其中一个变量的值是另一个变量的常数倍。
形式上，正比例函数可以表示为 y = kx，其中 k 是常数。
1.1 直线关系正比例函数的图像是一条直线，且经过原点。
这意味着函数中的变量之间的关系是直接的，一方增大，另一方也相应增大。
1.2 斜率正比例函数的斜率是常数 k。
斜率表示了函数的增长速率，正比例函数的斜率恒定。
1.3 比例常数比例常数 k 是正比例函数的一个重要特征。
它体现了两个变量之间的比例关系。
当 k > 1 时，随着 x 的增加，y 的增加幅度更大；当 0 < k < 1 时，随着 x 的增加，y 的增加幅度更小。
2. 反比例函数的性质反比例函数是指两个变量之间存在反比关系，其中一个变量的值是另一个变量的倒数。
形式上，反比例函数可以表示为 y = k / x，其中 k是常数。
2.1 反比例关系反比例函数的图像通常是一个超越原点的曲线。
这意味着函数中的变量之间的关系是间接的，一方增大，另一方相应减小。
2.2 渐近线反比例函数的图像具有渐近线，其中一条渐近线为横轴 (x 轴)，另一条渐近线为纵轴 (y 轴)。
这意味着当 x 趋近于正无穷大或负无穷大时，函数的值趋近于 0。
2.3 比例常数比例常数 k 是反比例函数的一个重要特征。
它体现了两个变量之间的反比关系。
当 k > 0 时，随着 x 的增加，y 的值减小；当 k < 0 时，随着 x 的增加，y 的值增大。
3. 应用领域正比例函数和反比例函数在各个领域都有广泛的应用。
3.1 正比例函数的应用正比例函数常常用于计算比例、比率和百分比。
在经济学中，正比例函数可以用于描述成本、收入和利润之间的关系。
正比例函数及性质
解决实际问题
正比例函数在解决实际问题中也 有广泛应用，例如速度、加速度 等物理量可以用正比例函数表示。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
与反比例函数的区别
反比例函数的一般形式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和反比例函数在 图像上都是直线，但它们的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而反比例函数的斜率为 $-k$。此外， 正比例函数的图像过原点，而反比例函数的图像不过原点。
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。正比例函数是特殊的一次函数，其形式为 $y = kx$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和一次函数在图像上都是直线，但正比例函数的图像过原点，而一次函数的图 像不过原点。
正比例函数和一次函数的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而一次函数的斜率为 $a$。斜率决定了函数的增减性，因此正比 例函数和一次函数的增减性也可能不同。
截距
截距定义
正比例函数的图像是一条通过原点的直线，因此没有固定 的截距。但当我们在坐标轴上标出与直线交点的数值时， 这个数值即为该正比例函数的截距。
截距的计算
对于正比例函数$y=kx$，当$x=0$时，$y=0$，因此其 截距为0。
截距的影响
正比例函数的截距不影响函数的增减性，但会影响函数与 坐标轴的交点位置。
正比例函数和二次函数的开口方向也不同。正比例函数的图 像总是向上或向下开口，而二次函数的开口方向取决于 $a$ 的值。当 $a > 0$ 时，抛物线向上开口；当 $a < 0$ 时，抛 物线向下开口。
正比例函数(第一课时)ppt
02
CHAPTER
正比例函数的性质
函数值与自变量的关系
总结词：正比关系
详细描述：正比例函数中，函数值与自变量之间存在正比关系，即当自变量x增 大时，函数值y也相应增大，反之亦然。
函数的增减性
总结词：单调性
详细描述：正比例函数是单调递增函数，随着x的增大，y的值也持续增大。
函数图像的对称性
正确应用正比例函数解决实际问题
03
正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，如速度、时间、距
离等问题。
下一步的学习计划
学习正比例函数的实际应用
通过具体实例了解正比例函数在实际问题中的应用，如速度、时 间、距离等问题。
学习一次函数的其他形式
了解一次函数的其他形式，如y=kx+b等，并掌握其图像和性质。
练习解决实际问题
若一次函数 y = ax + b 与正比例函数 y = kx (k ≠ 0) 的图象交于点 (2,4)， 求 a、b、k 的值。
05
CHAPTER
总结与回顾
本课时的重点内容回顾
正比例函数的定义
正比例函数的性质
正比例函数是一种特殊的线性函数， 其函数形式为 y=kx，其中k为比例常 数。
正比例函数具有一些基本的性质，如 当k>0时，y随x的增大而增大；当 k<0时，y随x的增大而减小。
通过练习解决实际问题，提高应用正比例函数解决实际问题的能力。
THANKS
谢谢
02
函数可以用来描述很多实际问题 ，比如速度、时间、距离之间的 关系等。
正比例函数的定义和表达式
正比例函数是一种特殊的线性函数， 它的表达式为 y = kx，其中 k 是比例 常数。
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正比例函数的图像和性质教案
一、教学目标
1．知识与技能：
（1）能画正比例函数的图像，并能根据正比例函数图象的特点快速作图；
（2）能够在画图过程中观察并发现正比例函数图像的性质；学会简单描述及应用。
2．过程与方法：
（1）初步能够从数学角度去观察事物，思考问题，体验解决问题方法策略的多样性；
（2）逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生
数形结合的思想以及由特殊到一般的数学思想；
（3）能够尝试演绎推理发现规律，体验合作学习的过程。
3．情感态度与价值观：
（1）通过小组合做讨论，鼓励学生从多角度思考、探索、交流，激发学生的好奇心和
主动学习的欲望；
（2）通过本节课的教学希望能激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事
求是的科学态度。
二、重点难点
教学重点：画正比例函数的图像，并在画图过程中观察并发现函数的性质。
教学难点：在画图过程中观察并发现函数的性质；学会简单描述及应用。
内容。
三、教学过程
（一）复习引入、温顾知新
1.正比例函数的定义
一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系
数。
2..在下列函数中，哪些是正比例函数？并指出正比例系数分别是多少.
①y=x, ②xy23 ③ y=2x , ④y=2x-4，⑤xy1 ⑥y=-x ， ⑦y=-2x．
这个过程，由老师提问学生作答，在学生回答不够完善的地方，请其他学生补充，老师
紧后给予完善。
3．引入课题：前面我们学习了函数的基本内容以及正比例函数的概念，今天我们一起
来探究正比例函数的性质。首先，你能根据画函数图像的基本步骤画出以下正比例函数的图
像吗？
4．（二）数形结合、动手画图
例： 画正比例函数 y =2x,y=-2x 的图象
解：1. 列表
x … -2 -1 0 1 2 …
Y=2x … -4 -2 0 2 4 …
Y=-2x … 4 2 0 -2 -4
…
2. 描点
3. 连线
（三）分析问题、探究规律
1、观察图像回答下列问题：
相同点：都是过原点的一条直线
不同的：函数y=2x的图像经过一三象限，从左到右呈上升趋势
函数y=-2x的图像经过二四象限，从左到右呈下降趋势
2、如何快速画正比例函数的图像？
因为正比例函数的图像是一条直线，且经过原点，而两点确定一条直线
画正比例函数的图像时，只需描两个点，其中一个是原点，然后过这两个点画一条直线
结论：正比例函数图象经过点(0,0)和点(1,k)
3、正比例函数的图像与比例系数K有什么不寻常的联系吗？
为了让大家更好、更全面地观察图形和思考问题，大家在同一坐标系内画下列正比例函
数的图像：
①xy xy31 xy3
②xy xy31 xy3
（四）观察异同、归纳总结
(1) 当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，自变量x逐渐增大时，y的值也
随着逐渐增大。
(2) 当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，自变量x逐渐增大时，y的值则
随着逐渐减小。
由小组讨论，小组长做好登记，由小组派代表起来发言，说出发现的结果或规律，老师
及时给于肯定，并强调关键之处。
O
1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
x
y 3xyxyx31yO 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x y
x31y
xy
3xy
课堂练习：
1、由正比例函数解析式（根据k的正、负），来判断其函数图像分布在哪些象限
xy32)1(
xy2)2(
xy32)3(
2、填空
(1)正比例函数 y=kx(k≠0) 的图像是一条直线 ，它一定经过点 （0，0）和（1，K）。
(2)函数 y=4x 经过 一三 象限，y 随 x 的增大而 增加
（3）如果函数 y= - ax 的图像经过一、三象限,那么y = ax 的图像经过二四象
限 . .
3、已知ab<0,则函数xaby的图像经过那些象限
4、下列图像哪个可能是函数y=-8x的图像（ ）
A B C D
（五）举例：进一步应用
例1. 如果正比例函数y=(8-2a)x的图像经过二、四象限，求a的取值范围。
解：∵该函数图像经过二、四象限
∴比例系数k=8-2a<0
∴a>4
问： 如果正比例函数y=(8-2a)x,y的值随x的值增大而减少，求a的取值范围。
a>4
（六）分享收获、课堂小结
从本节课的学习中，你获得了哪些知识：
（七）作业
作业：P113.练习；P120.复习巩固1,2
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx
经过的象限 从左向右 Y随x的增大而
k＞0 第一、三象限 上升 增大
k＜0 第二、四象限 下降 减小
八、教学反思
本课不是直接了当地进行介绍、灌输，而是通过各个活动，把学生带入主动探索的活动
中来，引导学生动手画图、观察、分析，归纳极大地激发了学生的学习兴趣，练习中通过学
生激烈的辩论使难点得到较好的解决，再结合实例，更加深了学生对定义的了解和掌握，收
到了事半功倍的效果。上过课后发现：
在建立平面直角坐标系后，点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应；不同的
坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应.把抽象的数量关系与形象直观的
图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种
重要的思想方法.