山西省忻州市第一中学2017-2018学年高二上学期摸底考试数学试题(解析版)

2017-2018忻州一中高二第一学期摸底考试数学试卷第I卷（选择题）一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为集合，则，故选D.2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，，故函数的定义域是，故选A.3.已知向量，，若向量与向量的夹角为，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，，故选C.4.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：甲 7 8 10 9 8 8 6乙 9 10 7 8 7 7 8则下列判断正确的是（）A. 甲射击的平均成绩比乙好B. 乙射击的平均成绩比甲好C. 甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数D. 甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差【答案】D 【解析】由题意得，甲射击的平均成绩为，众数为，极差为；乙射击的平均成绩为，众数为，极差为，故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故选D.5.已知函数，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】函数,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c )，如图，不妨a <b <c ，由已知条件可知：0<a <1<b <e <c <e 2，∵−ln a =ln b ，∴ab =1∵ln b =2−1nc ∴bc =e 2，∴,(1<b <e )，，故选A.点睛：对于连等问题，常规的方法有两个，一是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的变量，进而研究范围，二是数形结合，根据函数的集合特征建立变量间的关系进行运算.6.已知数列的前项和为，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，则，即，故选A.7.执行如图的程序框图，则输出的值为（）A. 33B. 215C. 343D. 1025【答案】C【解析】由题意得， ,故选C.8.若为的解集，则的解集为( )A. 或B.C. D. 或【答案】D【解析】为的解集，和是方程的两根，，不等式，即或，故该不等式的解集为或，故选D.9.已知实数满足约束条件，如果目标函数的最大值为，则实数的值为（）A. 3B.C. 3或D. 3或【答案】D【解析】先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为，目标函数的最大值只需直线的截距最大，当，(1) ,即时，最优解为，，符合题意；（2），即时，最优解为，，不符舍去；当，（3），即时，最优解为，，符合；（4），即时，最优解为，，不符舍去；，，综上：实数的值为3或，选D.10.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为函数在递增且上连续，，，所以函数的零点所在的区间是，故选B.11.已知是等比数列，,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由数列为等比数列可得：，所以，，根据等比数列的性质可得：数列为等比数列，首项为，公比为，所以。

考点：1．等比数列的性质；2．等比数列前n项和。

12.已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )A. B. C. D.【答案】A【解析】对任意恒成立，令，的对称轴为，在单调递减，当时取到最小值为，实数的取值范围是，故选A.【方法点晴】本题主要考查二次函数在闭区间上的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围.第II卷（非选择题）二、填空题13.已知函数，则__________．【答案】【解析】函数，，故答案为.【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰，本题解答分两个层次：首先求出的值，进而得到的值.14.若，满足则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，可行域如下图所示，当分别过点时取最值，即，故的取值范围是.15.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为 .如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若其中,则的取值范围是________.【答案】【解析】以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建系，可设，因此16.已知为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为______.【答案】【解析】由已知，即得，由正弦定理，三角形的周长为，，，周长的取值范围为.视频三、解答题17.当为何值时，不等式的解集是?【答案】 .【解析】试题分析：首先对的系数进行讨论，当时，原不等式化为恒成立，当时，不满足题意，当时，，接不等式组即可得结果.试题解析：由，得.当时，原不等式化为恒成立，∴当a＝1时，满足题意．当a＝－1时，原不等式化为－2x－1<0，∴，∴当a＝－1时，不满足题意，故a≠－1.当a≠±1时，由题意，得，解得.综上可知，实数a的取值范围是.18.在中，内角的对边分别是，满足．（1）求角的值；（2）若且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由由二倍角的正弦、余弦公式及两角和与差的余弦公式化简可得，，可得的值，从而求得的值；（2）由正弦定理可得，求出的范围，根据正弦函数的图象与性质可得结果.试题解析：（1）由已知得化简得,故．因为，所以，（2）由正弦定理故因为，所以，所以．19.若，解关于的不等式.【答案】当0<a<1时，原不等式的解集为，当a<0时，原不等式的解集为；当a=0时，原不等式的解集为⌀.【解析】试题分析：（1），利用，可得，分三种情况对讨论的范围：0<a<1，a<0，a=0，分别求得相应情况下的解集即可.试题解析：不等式>1可化为>0.因为a<1，所以a-1<0，故原不等式可化为<0. 故当0<a<1时，原不等式的解集为，当a<0时，原不等式的解集为，当a=0时，原不等式的解集为⌀.20. 某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示．（I）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？【答案】（I）35,0．300 （Ⅱ）第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据所给的第二组的频率，利用频率乘以样本容量，得到要求的频数，再根据所给的频数，利用频除以样本容量，得到要求的频率；（Ⅱ）因为在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生，而这三个小组共有60人，利用每一个小组在60人中所占的比例，乘以要抽取的人数，得到结果；（Ⅲ）试验发生包含的事件是从六位同学中抽两位同学有种满足条件的事件是第4组至少有一名学生被考官A面试有种结果，根据古典概型概率公式得到结果试题解析：（I）由题意知，第2组的频数为人,第3组的频率为,（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人．第4组:人．第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（Ⅲ）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:其中第4组的2位同学至有一位同学入选的有:共9种．所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为考点：1．列举法计算基本事件数及事件发生的概率；2．频率分布直方图21.已知，且（1）当时，解不等式；（2）在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，可得，即为，由对数函数的单调性，可得不不等式的解集；（2）由在上恒成立，得在上恒成立，讨论，根据的范围，由恒成立思想，可得的范围.试题解析：（1）当时，解不等式，得，即，故不等式的解集为.（2）由在恒成立，得在恒成立，①当时，有，得，②当时，有，得，故实数的取值范围.22.已知数列的前项和为，且，，在数列中，，，．（1）求证：是等比数列；（2）若，求数列的前项和；（3）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）利用递推关系可得，由等比数列的定义即可得出结论；（2）利用对数的运算性质可得，根据裂项求和方法即可得出；（3）时，时，，综上，可得，再利用错位相减法及分组求和法即可得结果.试题解析：(1) 证明：且是首项为4，公比为2的等比数列 .(2) 由(1)知，所以，则，.(3) 时,时,综上 ,，解得.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.。