高考数学冲刺一轮复习(文理)第十五章 概率

第十五章、概率第1节 随机事件的概率考纲要求考纲研读事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． (2)了解两个互斥事件的概率加 法公式.1 .概率的理解及频率与概率的区别与联系．2 .随机事件的基本概率及条件概率问题．3 .互斥事件、对立事件的联系和应用，及相互独立事件在处理概率问题的应用.1．随机事件在一次试验中，一定会发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件称为 ，可能发生也可能不发生的事件称为 ，其中 和 . 统称为确定事件． 2．概率(1)在相同条件下，大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 总接近于某个常数，且在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P(A)．由定义可知0≤P(A)≤1，显然必然事件的概率是 ，不可能事件的概率是 .(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而 是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用 来作为随机事件概率的估计值． 3．事件的关系及运算(1)包含关系：如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A( 或称事件 A 包含于事件 B) ，记作 ( 或 )．(2)相等关系：若 B ⊇A 且 ，那么称事件 A 与事件 B 相等，记作 . (3)并事件(和事件)：若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)，记作 (或 )．(4)交事件(积事件)：若某事件发生当且仅当事件 ，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)，记作 (或 )．(5)互斥事件：若 A∩B 为不可能事件，那么事件 A 与事件 B 叫做互斥事件，记作 . (6)对立事件：若 A∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么事件 A 与事件 B 叫做对立事件．其中事件 A 的对立事件记作 .(7)互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件． 4．概率的加法公式及乘法公式(1)当事件 A 与事件 B 互斥时，则 A ＋B 发生的概率满足概率加法公式 P(A ＋B)＝ ．当事件 A 与 B 对立时，则 P(A)＝1－ 或 P(A)＝1－P( )． (2)n 个互斥事件 A1，A2，…，An(即不可能同时发生)的和事件A1＋A2＋…＋An 的概率加法公式为：P(A1＋A2＋…＋An)＝ ．【理】(3)如果事件A 、B 相互独立，则AB 发生的概率满足概率乘法公式：P(AB)＝ ． 5．【理】条件概率设A ，B 两个事件，且P (A )>0，则称P (B |A )＝P (AB)P(A)为事件B 在事件A 发生的条件下的概率．其中P (B |A )叫A 发生的条件下B 的概率．条件概率有如下一些性质：①0≤P (B |A )≤1.若用Ω表示必然事件，则有P (Ω|A )＝1；②P (B |A )＝1－P (B |A )； ③如果B 和C 是两个互斥的事件，则有P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．1．下列说法中正确的是( )A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为5的概率为( )A.13B.12C.23D.343．某战士在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都不中靶 D ．只有一次中靶 4．从一堆苹果中任取了20个，并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下：分组 [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 频数123101则这堆苹果中，质量小于120克的苹果数约占苹果总数的 %.5．(福建)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 .1.(陕西)如图，A 地到火车站共有两条路径L 1 和 L 2，现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择 L 1 的人数 6 12 18 12 12 选择 L 2 的人数416164(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径 L 1 和 L 2 所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．2.(江西)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共 5 杯，其颜色完全相同，并且其中的 3 杯为 A 饮料，另外的 2 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料．若该员工 3 杯都选对，测评为优秀；若 3 杯选对 2 杯测评为良好；否则测评为合格．假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力． (1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．3.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有 1 个白球”与“都是白球”B ．“至少有 1 个白球”与“至少有 1 个红球”C ．“恰有 1 个白球”与“恰有 2 个白球”D ．“至少有 1 个白球”与“都是红球”4.【理】若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (E ∩F )的值等于( )A ．0 B.116 C.14 D.125.【理】(辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )A.18B.14C.25D.121．随机事件概率的求法，找出所有基本事件数是关键．2．相互独立事件、互斥事件、独立事件、条件概率的概念及计算要把握准确．3．在处理对立事件，互斥事件的问题时，既要分清对立事件和互斥事件的关系，又要充分利用对立事件和互斥事件解决相关问题．第2节 古典概型与几何概型考纲要求考纲研读认真听讲，做好笔记（模板）：1.古典概型 (1)理解古典概型及其概率计算公式． (2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． 2 .随机数与几何概型 (1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． (2)了解几何概型的意义.1 .古典概型的概率等于所求事件中所含的基本事件数与总的基本事件数的比值． 2 .几何概型的关键之处在于将概率问题转化为长度，面积或体积之比.1．古典概型的定义(1)试验的所有可能结果(基本事件)只有 ． (2)每一个试验结果(基本事件)出现的可能性 ．我们把具有以上这两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型． 2．古典概型的计算公式对于古典概型，若试验的所有基本事件数为 n ，随机事件 A 包含的基本事件数为 m ，那么事件 A 的概率为 P(A)＝ . 3．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 ( 或 )成比例，则这样的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型． 4．几何概型的特点(1)试验的结果是 的． (2)每个结果出现的可能性 ． 5．几何概型的概率公式P(A)＝1．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( D ) A.14 B.12 C.23 D.342.从分别写有 A ，B ，C ，D ，E 的 5 张卡片中任取 2 张，则这 2 张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是__ _.3.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为 b ，则 b>a 的概率是___ __.4．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的概率是( ) A.512B.12C.712D.565．如图14－2－1，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.23B.43C.83D.103图14－2－16．(江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 .7．(湖南)在区间[－1,2]上随即取一个数 x ，则 x ∈[0,1]的概率为_____.1.现有 7 名亚运会志愿者，其中志愿者 A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2通晓韩语，C 1，C 2通晓印度语．从中选出通晓日语、韩语和印度语的志愿者各 1 名，组成一个小组． (1)求 A 1恰被选中的概率；(2)求 B 1 和 C 1 不全被选中的概率．2.(浙江)从装有3个红球、2个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( ) A.101 B.103C.53 D.1093.在区间[0,3]上任取一个数 x ，使得不等式 x 2－3x ＋2>0 成立的概率为__________．4.已知两实数 x ，y 满足0≤x≤2,1≤y≤3. (1)若 x ，y ∈N ，求使不等式 2x －y ＋2>0 成立的概率； (2)若 x ，y ∈R ，求使不等式 2x －y ＋2>0 不成立的概率．几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的．对于古典概型问题，处理基本事件的数量是关键，而对于几何概型中的概率问题转化为长度、面积或体积之比是关键．【理】第3节 离散型随机变量及分布列认真听讲，做好笔记（模板）：考纲要求考纲研读1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．3.了解条件概率和两个事件相互独立的念. 处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量，并明确随机变量所有可能的取值．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．注意应用概率之和为 1 这一性质检验解答是否正确.1．随机变量(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η…表示． (2)所有取值可以一一列出的随机变量称为 型随机变量．(3)随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做 型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式 表示X 的分布列．3．离散型随机变量分布列的性质 (1) ．(2) .4．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布如果随机变量 X 的分布列为X1 Pp其中 0<p<1，称 X 服从 ，而称 为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则随机事件{X ＝k}发生的概率为 P(X ＝k)＝ ,k ＝0,1,2，…，m(其中 m ＝min{M ，n}，且 n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*，称随机变量 X 服从超几何分布，其分布列如下：X 0 1 … mP C 0M C n －0N －M C n N C n M C n －1N －M C n N … C m M C n －mN －M C nN(3)二项分布一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X ，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X ＝k)＝ (k ＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量 X 服从二项分布．记作 X ～B(n ， p)，并称 p 为成功概率．其分布列如下：X 0 1 … k … nP C 0n p 0(1－p )nC 1n p 1(1－p )n －1 … C k n p k (1－p )n －k … C n n p n(1－p )01．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( )A. B.C. D.2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎪⎭⎫ ⎝⎛31i ，i ＝1,2,3，则a 的值为( ) A ．1 B.913 C.1113 D.27133．袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 x ，则 x 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．254．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：ξ678910P 0.1 0.2 0.25 x 0.15此射手“射击一次命中环数≥8”的概率为 .5．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球5次，恰好投进 3 个球的概率 (用数值作答)．1.从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．(1)记性质 r ：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率； (2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望 E(ξ)．2.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛． (1)求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率；(2)设ξ为参加辩论比赛的女生人数，求ξ的分布列及数学期望．3.某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望 E(ξ)．求一随机变量的分布列，可按下面的步骤进行： (1)明确随机变量的取值范围；(2)求出每一个随机变量的取值所对应的概率； (3)制成表格．通常会用到排列组合，古典概型，概率乘法公式来解决相关问题．对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要弄清楚基本模型．【理】第4节 离散型随机变量期望与方差认真听讲，做好笔记（模板）：其他：考纲要求考纲研读1.理解 n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． 2.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.1.根据题意列出随机变量的分布列，根据公式计算其数学期望与方差． 2.根据数学期望与方差的意义来决定现实生活方案的优劣或取舍.1．离散型随机变量的均值和方差一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n则称 E(X)＝ 为随机变量 X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 称D (X )＝D (X )＝∑=ni 1[x i －E (X )]2p i ＝ 为随机变量X 的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小．方差D (X )的算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差，记作σ(X )． 2．均值和方差的性质设 a ，b 是常数，随机变量 X ，Y 满足 Y ＝aX ＋b ，则 E(Y)＝E(aX ＋b)＝ ，D(Y)＝D(aX ＋b)＝ ． 3．两点分布、二项分布及超几何分布的均值和方差(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝ ，D(X)＝ ． (2)若 X ～B(n ，p)，则 E(X)＝ ，D(X)＝ ．1．已知随机变量ξ的分布列是：ξ 123P0.4 0.2 0.4则 D(ξ)＝( )A ．0.6B ．0.8C ．1D ．1.22．已知随机变量ξ～B(n ，p)，且 E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则n,p 的值为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p ＝0.1 3．已知 X 的分布列如下表，设 Y ＝2X ＋1，则 Y 的数学期望是( )X －1 0 1P1216a A. 16- B. 23 C ．1 D. 29364．(上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表．请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案 E(ξ)＝ .X 1 2 3P(ξ＝x) ？ ！ ？5.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 E(X)＝0，D(X) ＝1，则 a ＝ ，b ＝ .1.某商店试销某种商品20 天，获得如下数据：日销售量(件) 0 1 2 3 频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商品不进货的概率；(2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望及方差．2.某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从 6道备选题中一次性随机抽取 3 题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中 2 题的便可通过．已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是32，且每题正确完成与否互不影响. 求 (1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．3.某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见下表．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简 单随机抽样)从甲、乙两个科室中共抽取 3 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数；(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有 1 名女性的概率；(3)记ξ表示抽取的 3 名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望．1．掌握离散型随机变量的数学期望和方差计算公式，特别的二项分布的数学期望和方差的规律．2．数学期望和方差的意义及在实际问题中的应用(1)对随机变量 X 的均值(数学期望)是算数平均数概念上的推广，是概率意义上的平均．E(X)是一个数，由分布列唯一确定，按照公式求 E(X)．(2)而方差 D(X)是算数平均数概念上的推广，按照公式求出 D(X)，可反映其稳定性．【理】第5节 正态分布考纲要求 考纲研读利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 1.明确正态分布密度函数的形式．2.根据正态曲线的对称性来处理相关的计算问题.1．正态分布(1)我们称 f(x)＝ (x ∈R)[其中μ，σ(σ>0)分别为参数]的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)一般地，如果对于任何实数a<b ，随机变量X 满足P(a<X≤b)＝ ，则称 X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作 N(μ，σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，记作 ．μ，σ分别表示 与 ．(3)当μ＝ ，σ＝ 时的正态分布叫做标准正态分布，记作 ．2．正态曲线的特点(1)曲线位于 轴上方，与 x 轴不相交．(2)曲线是单峰的，关于直线 对称．(3)曲线在 x ＝μ处达到峰值 (4)曲线与 x 轴之间的面积为 .(5)当σ一定时，曲线随μ的变化沿 x 轴平移．(6)当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越 ，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；σ越 ，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中．3．3σ原则(1) P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.682 6.(2) P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.954 4.(3)P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.997 4.1．正态曲线是( )A ．递增函数B ．递减函数C ．从左到右先增后减的函数D ．从左到右先减后增的函数认真听讲，做好笔记（模板）：2．标准正态分布的均值与标准差分别为( )A ．0 与 1B ．1 与 0C ．0 与 0D ．1 与 13．(2011 年湖北)已知随机变量ξ服从正态分布 N(2，a 2)，且P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<2)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.24．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布 N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为 0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为 .5．某县农民月均收入服从 N(500,202)的正态分布，则此县农民月均收入在 500 元在 520 元间人数的百分比为.1.正态总体的概率密度函数为f (x )＝18πσe 28x -(x ∈R )，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0 和 8B ．0 和 4C ．0 和 2D ．0 和 02.已知随机变量ξ服从正态分布 N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则 P(ξ≤0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.843.正态总体的概率密度函数 f(x)＝12πe 2(3)2x --x ∈R的图象关于直线______对称；f(x)的最大值为_____.1．熟悉f (x )＝()2212x e μσπσ--，x ∈(－∞，＋∞)的结构特点，以及μ，σ的实际意义．2．正态曲线的形状特征——对称性，顶点变化趋势．3．正态分布中 P(a≤x≤b)几何意义是正态密度函数图象与 x 轴及直线 x ＝a ，x ＝b 围成的图形的面积．4．在实际问题进行概率、百分比计算时，关键把正态分布的两个重要参数μ，σ求出，然后确定三个区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ， μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)，由 3σ原则进行联系求解．认真听讲，做好笔记（模板）：。