2011年考研数学《概率统计》讲义第五讲
2011-2020年高考数学真题分专题训练 专题31 概率和统计【文】(学生版)
专题31概率和统计【文】年份题号考点考查内容2011文6概率古典概型概率的计算文19频数分布表频数分布表，频率与概率2012文3变量间的相关关系变量间的相关系数的计算文18频数分布表给出样本频数表求样本均值，频率与概率，互斥事件的概率2013卷1文3概率古典概型概率的计算2013文18统计茎叶图，利用样本估计总体2013卷2文13概率古典概型概率的计算文19统计频率分布直方图及其应用2014卷1文13概率古典概型概率的计算文18频率分布直方图频率分布直方图，用样本估计总体，平均数与方差的计算卷2文13概率古典概型概率的计算文19茎叶图，频率与概率茎叶图及其应用，利用频率估计概率2015卷1文4概率古典概型概率的计算文19变量间的相关关系非线性拟合；线性回归方程卷2文3统计统计知识，柱形图文18频率分布直方图频率分布直方图，用样本估计总体，利用频率估计概率2016卷1文3概率古典概型概率的计算文19统计条形统计图及其应用卷2文8概率几何概型概率的计算文18频数分布表频数分布表，利用频率估计概率，平均数的计算卷3文4统计平均数的计算，统计图及其应用文5概率几何概型概率的计算文18变量间的相关关系线性相关与线性回归方程的求法与应用2017卷1文2统计样本特征数文4概率古典概型的概率计算文19变量间的相关关系相关系数的计算，方差均值计算卷2文11概率古典概型的概率计算文19频率分布直方图，统计案例频率分布直方图及其应用，统计案例及其应用卷3文3统计折线图统计图的应用文18频数分布表，概率频数分布表，利用频率估计概率2018卷1文3统计扇形统计图及其应用文19频率分布直方图频率分布直方图及其应用，用样本估计总体卷2文18变量间的相关关系线性回归方程及其应用卷3文5概率事件的基本关系和概率的计算文14抽样方法简单随机抽样的选择文18茎叶图和独立性检验茎叶图的应用，统计案例及其应用2019卷1文6抽样方法系统抽样的应用文17独立性检验统计案例及其应用卷2文4概率古典概型的概率计算文5推理与证明演绎推理文14概率利用统计数据进行概率的估计文19统计与概率频数分布表，平均数与标准差的估计卷3文3概率古典概型的概率计算文4统计抽样数据的统计文17频率分布直方图频率分布直方图，用样本平均数估计总体的平均数2020卷1文4概率古典概型的概率计算文5变量间的相关关系由散点图选择回归模型文17频数分布表，概率频数分布表，利用频率估计概率，根据平均值作出决策卷2理3文4概率概率的应用文18变量间的相关关系平均数的估计，相关系数的计算，抽样方法的选取卷3文18独立性检验统计案例及其应用考点出现频率2021年预测考点103随机抽样23次考3次2021年在选择题和填空题中仍会重点考查各种统计图表、古典概型或几何概型及其概率计算，在解答题中重点考查频率分布直方图及其应用(与概率相结合)，或与统计案例相结合．考点104用样本估计总体23次考11次考点105变量间的相关关系23次考12次考点106随机事件的概率、古典概型、几何概型23次考5次考点107独立性检验23次考1次考点103随机抽样1．(2019全国1文6)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2．(2015湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石3．(2015北京)某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为A．90B．100C．180D．300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43004．(2015四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是A．抽签法B．系统抽样法C．分层抽样法D．随机数法5．(2015陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数是A．93B．123C．137D．1676．(2014广东)为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A ．50B ．40C ．25D ．207．(2014广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，108．(2014湖南)对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则()A ．123p p p =<B ．231p p p =<C ．132p p p =<D ．123p p p ==9．(2013新课标1)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样10．(2018全国卷Ⅲ)某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．11．(2017江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．12．(2016年北京)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种．13．(2014天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．14．(2012江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．15．(2012浙江)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________．考点104用样本估计总体16．(2020全国Ⅲ文3)设一组样本数据12,,,n x x x 的方差为0.01，则数据1210,10,,10n x x x 的方差为()A ．0.01B ．0.1C ．1D ．1017．(2020全国Ⅲ理3)在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且∑==411i ip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====18．(2020天津4)从一批零件中抽取80个，测量其直径(单位：mm )，将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47],[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为()A ．10B ．18C ．20D ．3619．(2020新高考山东海南9)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是()A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量20．(2018全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半21．(2017新课标Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为1x，2x，…，n x，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．1x，2x，…，n x的平均数B．1x，2x，…，n x的标准差C．1x，2x，…，n x的最大值D．1x，2x，…，n x的中位数22．(2017新课标Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳23．(2017山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为A．3，5B．5，5C．3，7D．5，724．(2016年全国III卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个25．(2016年北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1．961．921．821．81．781．761．741．721．681．630秒跳绳(单位：次)63a7560637270a−1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛26．(2016年山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17．5，30]，样本数据分组为[17．5，20)，[20，22．5)，[22．5，25)，[25，27．5)，[27．5，30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是A．56B．60C．120D．140论不正确的是A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关28．(2015湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数为A．3B．4C．5D．629．(2013福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A．588B．480C．450D．12030．(2013山东)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为A ．1169B ．367C ．36D ．7731．(2012陕西)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，5332．(2020上海8)已知有四个数1,2,,a b ，这四个数的中位数为3，平均数为4，则ab =．33．(2020江苏3)已知一组数据4,2,32,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是．34．(2018江苏)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．35．(2019全国II 文19)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．y 的分组[0.20,0)-[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0．01)8.602≈．36．(2015广东)已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．37．(2015湖北)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a =．(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为．38．(2014江苏)为了了解一片经济的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm ．39．(2013辽宁)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．40．(2012山东文)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25．5℃的城市个数为＿＿＿＿．41．(2018全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：3m)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)水量频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)水量频数151310165(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．353m的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)42．(2017北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．43．(2016年全国I卷)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．(I)若n=19，求y与x的函数解析式；(II)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0．5，求n的最小值；(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？44．(2016年北京)某市民用水拟实行阶梯水价．每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(Ⅰ)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．45．(2015新课标2)某公司为了解用户对其产品的满意度，从,A B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)分分组频数2814106(Ⅰ)在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(Ⅱ)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级；满意度评分低于70分70分到80分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．46．(2015广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．(Ⅰ)求直方图中x 的值；(Ⅱ)求月平均用电量的众数和中位数；(Ⅲ)在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？考点105变量间的相关关系47．(2020全国Ⅰ文理5)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：C ︒)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()(),1,2,,20i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10C ︒至40C ︒之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是()A ．y a bx=+B ．2y a bx =+C ．e xy a b =+D ．ln y a b x=+48．(2020全国Ⅱ文理18)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()(),1,2,,20i i x y i = ，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑==20160i i x ，∑==2011200i i y ，()∑==-201280i ix x ，()∑==-20129000i iyy，()080201∑==--i i iy y x x．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；（2）求样本()(),1,2,,20i i x y i = 的相关系数(精确到0.01)；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数()()()()∑∑∑===----=ni in i ini i iy y x x yy x xr 12121，414.12≈．49．(2018全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()0.0500.0100.0013.841 6.63510.828P K k k ≥50．(2017新课标Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：2()P K k ≥0．0500．0100．001k3．8416．63510．82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++51．(2014新课标2)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t 1234567人均纯收入y2．93．33．64．44．85．25．9(Ⅰ)求y 关于t 的线性回归方程；(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121nii i ni i tty y b tt∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-52．(2014新课标1)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228(I)在下表中作出这些数据的频率分布直方图：(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(III)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？53．(2012辽宁)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(I)根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(II)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，考点106随机事件的概率、古典概型、几何概型54．(2020全国Ⅰ文4)设O 为正方形ABCD 的中心，在,,,,O A B C D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A ．15B ．25C ．12D ．4555．(2020全国Ⅱ文理4)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名56．(2020新高考山东海南5)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%)(2k P ≥χ0．050．01k3．8416．63557．(2020江苏4】将一颗质地均匀的正方体骰子先后掷2次，观向上的点数，则点数和为5的概率是．58．(2019全国II文14)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________．59．(2019全国III文4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0．5B．0．6C．0．7D．0．860．(2019江苏5)已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．61．(2020全国Ⅰ文17)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D等级A B C D频数40202020频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?62．(2019全国III文17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分。
2011届高三数学精品复习之(23)概率与统计
2011届高三数学精品复习之概率与统计1．离散型随机变量ξ取每一个值x i （i =1，2，...）的概率为()i i P x p ξ==，则P 1+P 2+ (1)=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，期望是反映随机变量“均值”的量，b aE b a E +=+ξξ)(；求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E[举例]设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；解析：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程20x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程20x bx c ++=有两个相异实数”为事件C ，则{}()126b c b c Ω==，，，，…，，Ω是的基本事件总数为36个， {}2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，，A 中的基本事件总数为17个； {}2()40126B b c bc b c =-==，，，，，…，，B 中的基本事件总数为2个； {}2()40126C b c b c b c =->=，，，，，…，，C 中的基本事件总数为17个；又因为B C ，是互斥事件，故所求概率21719()()363636P P B B C =+=+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，，，则{}17036P ξ==，{}1118P ξ==，{}17236P ξ==， 故ξ的分布列为：所以ξ的数学期望0121361836E ξ=⨯+⨯+⨯=。
[巩固]某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（07高考全国卷（Ⅰ）理18）2．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数；若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．[举例]某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．（07高考某某理19）解析：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ，（1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则321()(A A A P E P =）+)(312A A A P + )(213A A A P 0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯= 解法二：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故30.30.9E np ξ==⨯=． [巩固]一个袋中装有3个红球，7个白球，从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，连摸5次，试求摸到红球的次数ξ的分布列及期望ξE 。
考研数学三概率论与数理统计知识点
考研数学三概率论与数理统计知识点考研数学三概率论与数理统计知识点我们在进行考研数学的复习时，要了解三概率论与数理统计的知识点有哪些。
店铺为大家精心准备了数学三概率论与数理统计客观题解析，欢迎大家前来阅读。
考研数学概率论与数理统计总结一、第一章随机事件与概率重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式。
难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。
二、常考题型事件、概率与独立性是本章给出的概率论中最基本、最重要的三个概念。
事件关系及其运算是本章的重点和难点，概率计算是本章的重点。
注意事件与概率之间的关系。
本章主要考查随机事件的关系和运算，概率的性质、条件概率和五大公式，注意事件的独立性。
近几年单独考查本章的试题相对较少，但是大多数考题中将本章的内容作为基本知识点来考查。
相当一部分考生对本章中的古典概型感到困难。
大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度的题型就可以。
考生不必可以去做这方面的难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点。
三、注意事项与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。
但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。
一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多;而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理;这些因素都可能影响到概率的复习。
概率这门课如果有难点就应该是"记忆量大"。
在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆;在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点;但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处(因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题)。
2011届高三数学精品复习之(23)概率与统计
2011届高三数学精品复习之概率与统计1．离散型随机变量ξ取每一个值x i （i =1，2，...）的概率为()i i P x p ξ==，则P 1+P 2+ (1)=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，期望是反映随机变量“均值”的量，b aE b a E +=+ξξ)(；求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ[举例] 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20x bx c ++=实根的个数（重根按一个计）．（Ⅰ）求方程20x bx c ++=有实根的概率；（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望；解析：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程20x bx c ++=没有实根”为事件A ，“方程20x bx c ++=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程20x bx c ++=有两个相异实数”为事件C ，则{}()126b c b c Ω==，，，，…，，Ω是的基本事件总数为36个， {}2()40126A b c b c b c =-<=，，，，，…，，A 中的基本事件总数为17个； {}2()40126B b c bc b c =-==，，，，，…，，B 中的基本事件总数为2个； {}2()40126C b c b c b c =->=，，，，，…，，C 中的基本事件总数为17个；又因为B C ，是互斥事件，故所求概率21719()()363636P P B B C =+=+=． （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为012，，，则{}17036P ξ==，{}1118P ξ==，{}17236P ξ==， 故ξ的分布列为：所以ξ的数学期望0121361836E ξ=⨯+⨯+⨯=。
[巩固]某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（07高考全国卷（Ⅰ）理18）2．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数；若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．[举例]某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．（07高考江西理19）解析：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ，（1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则321()(A A A P E P =）+)(312A A A P + )(213A A A P 0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（2）解法一：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则()()()0.3P A P B P C ===，所以3(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===．于是，()10.44120.18930.0270.9E ξ=⨯+⨯+⨯= 解法二：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =，所以~(30.3)B ξ，，故30.30.9E np ξ==⨯=． [巩固] 一个袋中装有3个红球，7个白球，从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，连摸5次，试求摸到红球的次数ξ的分布列及期望ξE 。
2011年考研数学铁军教授课堂讲义
第一节中值定理中值定理是一元微分学的理论基础，在这个基础上，将使微分学在更广的范围内应用，这也是研究生考试的重点之一[大纲内容与要求] 理解并使用罗尔定理，拉格朗日定理及泰勒定理，了解并使用柯西定理。
[考点分析] 由于中值定理都有一个共同特点，它们都是在这样或那样的条件下，得出在指定的区间内至少存在一点，使得我们研究的函数在这点具有这样或那样的性质，因此我们的重点应放在掌握每个中值本身特点上，学会分析问题的基本方法和掌握这类问题（定理）的基本解题技巧。
一、罗尔定理（请列出罗尔定理）如果函数f（x）满足（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）=f（b）,那么在（a,b）内至少有一点，使得[考点一] 通过对罗尔定理的分析，我们可以得到这样的推广即在上有n阶导数，在n+1个点上函数值相等，，则至少存在一点使【例1·证明题】若函数f（x）在（a,b）内具有二阶导数且其中证明：在内至少有一点使得【答疑编号981030101：针对该题提问】分析：f（x）在[x1,x2], [x2,x3]上满足罗尔定理条件，因此存在f’（ξ1）=0, f’（ξ2）=0在[ξ1,ξ2]上对于f’（x）再用罗尔定理，即有f”（ξ）=0证明：f（x）在（a,b）上有二阶导数，因此f’（x）,f（x）都存在且连续，又有f （x1）= f（x2）=f（x3）因此f（x）在[x1, x2] , [x2, x3]上满足罗尔定理条件故,使f’（ξ1）=0，f’（ξ2）=0于是f’（x）在[ξ1,ξ2]上满足罗尔定理条件故使得f’’（ξ）=0【例2·证明题】（07年数学一（19）题）设函数,在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，且存在相等的最大值，证明：存在使得【答疑编号981030102：针对该题提问】分析：证明f”（ξ）= g”（ξ），即证f”（ξ）- g”（ξ）=0考虑函数φ（x）=f（x）-g（x）,也就是证明φ”（ξ）=0根据已知φ（a）= φ（b）=0,那么由推广的罗尔定理只要再找到一点η∈（a,b）, 使φ（η）=0即得结论。
2011年高考数学概率统计部分复习 新人教版
2011年概率统计部分复习概率统计是高考的重点内容之一，高考常常以一道小题和一道大题的形式出现，该部分的考查难度适中，是学生比较容易的得分点。
一、近三年广东省高考试题特点及知识分布1、试题考点、分值分布统计表2、考查的知识点的分布情况二、试题特点：1、新增内容的考查力度不断增强.试题的题量大致为一大一小且为中低档题，约占全卷的10%左右.试题的难度不大。
2、重点内容重点考查。
试题主要考查基本概念和基本公式．对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、相互独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望及抽样方法等内容都进行了考查。
3、密切联系教材．试题通常是通过对课本原题的改编，通过对基础知识重新组合、拓广，从而成为立意高、情境新、设问巧，并赋予时代气息的问题．三、近几年来主要涉及三类题型：类型1：是从生活与生产实际中概括出来的（广东理17）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495），（495,500），…，（510,515），由此得到样本的频率分布直方图，如图所示。
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。
（广东文12）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：年份2005 2006 2007 2008 2009收入x11.5 12.1 13 13.3 15支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是，家庭年平均收入与年平均支出有关系.（安徽文14）某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户，从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户。
2011高考概率统计(一))
EDCBA2011高考概率统计(一)一.选择填空1. 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（A ）110(B) 18 (C) 16 (D) 152．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
3．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点。
若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．234.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.06.甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A.12 B.35 C.23 D.347.某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率0．40．50．60．60．4小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________．KA 1 A 2二.解答题1.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份2002 2004 2006 2008 2010236 246 257 276 286需求量（万吨）=+;（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y bx a（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。
2011年数学高考分类汇编解答题(理)02——概率与统计 (NXPowerLite)
概率与统计1．（2011天津卷理）16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数错误!未找到引用源。
的分布列及数学期望错误!未找到引用源。
.【解析】16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件错误!未找到引用源。
则错误!未找到引用源。
（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则错误!未找到引用源。
，又错误!未找到引用源。
且A2，A3互斥，所以错误!未找到引用源。
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.错误!未找到引用源。
X 0 1 2P 错误!未找到引用源。
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2. （2011北京理）17．本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。
乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
（注：方差错误!未找到引用源。
，其中错误!未找到引用源。
为错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，…… 错误!未找到引用源。
的平均数）【解析】（17）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为错误!未找到引用源。
方差为错误!未找到引用源。
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。
考研数学2011大纲三
考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟.二、答题方式jkg 答题方式为k闭卷、笔试. 三、试卷;内容结构 微积分 56% 线性代数 22% 概率论与数理统计 22% 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题(包括证明题) 9小题，共94分 微积分 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性复合函数.反函数.分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念. 6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型. 9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理.介值定理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数.反函数和隐函数的微分法高阶导数 一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性.拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值 考试要求 1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程. 2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日( Lagrange)中值定理.了解泰勒定理.柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用. 6.会用洛必达法则求极限. 7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用. 8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点和渐近线. 9.会描述简单函数的图形. 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨(Newton- Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常(广义)积分定积分的应用 考试要求 1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法. 2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法. 3.会利用定积分计算平面图形的面积.旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题. 4.了解反常积分的概念，会计算反常积分. 四、多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值.最大值和最小值二重积分的概念.基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分 考试要求 1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质. 3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数. 4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题. 5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标.极坐标).了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算. 五、无穷级数 考试内容 常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径.收敛区间(指开区间)和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 考试要求 1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念. 2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法. 3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法.（题源：青年人考研网） 4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域. 5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数. 6.了解 . . . 及的麦克劳林(Maclaurin)展开式. 六、常微分方程与差分方程 考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用 考试要求 1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法. 3.会解二阶常系数齐次线性微分方程. 4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式.指数函数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程. 5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念. 6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法. 7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.线性代数 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理 考试要求 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价分块矩阵及其运算 考试要求 1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质. 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法. 5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则. 三、向量 考试内容 向量的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 1.了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则. 2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系. 5.了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法. 四、线性方程组 考试内容 线性方程组的克莱姆(Cramer)法则 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组(导出组)的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解 考试要求 1.会用克莱姆法则解线性方程组. 2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法. 3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. 4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法. 五、矩阵的特征值和特征向量 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵 考试要求 1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法. 2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. 3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 六、二次型 考试内容 二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 考试要求 1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念. 2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形. 3.理解正定二次型.正定矩阵的概念，并掌握其判别法.概率论与数理统计 一、随机事件和概率 考试内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考试要求 1.了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算. 2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等. 3.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法. 二、随机变量及其分布 考试内容 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布 考试要求 1.理解随机变量的概念，理解分布函数 的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率. 2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用. 3.掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布. 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为 5.会求随机变量函数的分布. 三、多维随机变量及其分布 考试内容 多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函数的分布 考试要求 1.理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质. 2.理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布.（题源：青年人考研网） 3.理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系. 4.掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义. 5.会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布. 四、随机变量的数字特征 考试内容 随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫(Chebyshev)不等式矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求 1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征. 2.会求随机变量函数的数学期望. 3.了解切比雪夫不等式. 五、大数定律和中心极限定理 考试内容 切比雪夫大数定律 伯努利(Bernoulli)大数定律辛钦(Khinchine)大数定律棣莫弗—拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理列维—林德伯格(Levy-Lindberg)定理 考试要求 1.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律). 2.了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列维—林德伯格中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率. 六、数理统计的基本概念 考试内容 总体 个体 简单随机样本 统计量 经验分布函数样本均值 样本方差和样本矩 分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布 考试要求 1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2.了解产生变量、变量和变量的典型模式;了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数，会查相应的数值表. 3.掌握正态总体的样本均值.样本方差.样本矩的抽样分布. 4.了解经验分布函数的概念和性质. 七、参数估计 考试内容 点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 考试要求 1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念. 2.掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法.。
2011年高考数学试题分类解析(十二)——概率与统计
2011年高考数学试题分类解析(十二)——概率与统计
孙旭东
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2011(000)008
【摘要】2011年高考对概率与统计内容的考查,充分体现了考试大纲的要求.分层抽样、样本估计总体、样本数据的数字特征、古典概型,分布列和期望,二项分布、超几何分布等重点问题构成高考试题的主体；几何概型、条件概率、正态分布、独立性检验和回归分析等新增内容有所体现.同时,将统计和概率有机结合是试题中的一大亮点,鉴于此,新一年的高考要立足大纲和教材,强化基础,关注创新,全面提升.【总页数】6页(P91-96)
【作者】孙旭东
【作者单位】江苏省南京市教学研究室
【正文语种】中文
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1.2011年高考数学试题分类解析（六）--不等式 [J], 王连笑
2.2011年高考数学试题分类解析（八）——立体几何 [J], 张健
3.2011年高考数学试题分类解析（十一）--计数原理 [J], 林宝磊;陆怡男;韩际清
4.2011年高考数学试题分类解析（十二）--概率与统计 [J], 孙旭东
5.2011年高考数学试题分类解析（二）--函数、导数与定积分 [J], 董凯;薛红霞因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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概率统计C总复习题
一、填空题
1、甲、乙、丙三人参加一个会议，事件A，B，分别表示事件甲、乙、丙会
议迟到，则事件“甲、乙、丙三人中恰好一人迟到”用事件CA，B，表示
为 C ，事件“甲、乙、丙三人中至少一人迟到”用事件A，B，
表示为 C 。
2、从1，2，…，10十个数字中任取两个数字，则取出的两个数字和为7的概率
为 。
3、甲、乙两人独立地破译一个密码，已知他们各自能译出的概率是0.4，0.5，
则密码被译出的概率为 。
00
0.401
()
0.612
12
x
xFxxx<⎧⎪≤<
⎪
=
⎨
4、设随机变量X的分布函数为≤<⎪⎪≥⎩，则X的分布律为 。
4、已知随机变量X的分布律为
X
-1 0 2
P
0.2 0.3 0.5
则随机变量X的分布函数为 。
5、若随机变量X在区间[1，5]上服从均匀分布，则−<<=)32(XP 。
6、设随机变量，其密度函数为)1,0(~XN()xϕ，则(0)ϕ= 。
7、已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则 =−)]2(3[2XE。
8、设是取自总体),,(1nXXX的样本，则样本方差 =2S。
9、设是取自总体的样本，则),,(1nXX),(~2σμNX~X 。
10、设事件相互独立，且CBA,,4.0)(=AP，3.0)(=BP，，则
2.0)(=CP
(PABC=∪∪)
。
11、设 A、B为随机事件， ，，P (A)=0.5P(B)=0.6P(BA)=0.8。则P(B)A∪＝
12、若事件A和事件B相互独立
, P()=,AαP(B)=0.3，P(AB)=0.7,∪则α=
13、若)(~λEX，则 ()EX= ，()DX= 。
14、随机变量X服从参数为λ的泊松分布()Pλ，则=)X(X)(ED 。
1
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15、X的概率分布列为3.03.04.0202XP−，则()=+5X32E 。
16、设，且)2,1(~),6.0,10(~NYNXX与Y相互独立，则(3)DXY−= 。
17、
设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且1{0}2PX==，则=λ 。
18、若X为一随机变量，且其数学期望()EX和方差分别为1和4，则
()DX()()EEX=，()()DDX= 。
二、选择题
1、如果随机变量满足YX,()YDXDYXD())(+=+，则必有 （ ）。
（A）X与独立 （B）YX与Y不相关 （C）0=DY （D）
0=DX
2、若总体2~(,)XNμσ，μ已知，未知，为来自总体的样本，则下列是统计量的是 ( ) 2σ1021,,,XXX
（A）Xμσ− （B）σ1X （C）()∑==−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Σ1012210110iiiiXXμμ （D）101iiXμσ=−∑
3、设()~0XNσ2,，且25040.)(=<
（A）0.65 （B）0.45 （C）0.95 （D）0.25
4、已知事件A，B满足)()(BAPABP=，且4.0)(=AP，则( )。
=)(BP
（A）0.4， （B）0.5， （C）0.6， （D）0.7
三、解答题
1、设一批混合麦种中一、二、三等品分别占94%、4%、2%，，三个等级的发芽
率依次为0.98，0.9，0.85，（1）求这批麦种的发芽率；
（2）若任取一粒能发芽，它是二等品的概率是多少？
2
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2、二维随机变量(,)XY联合分布律如下表所示：
Y
X
1 2 3
0 61 0
6
1
1 0 31 0
2 a 0
6
1
（1）求常数a； （2）求在1=的条件下Y的条件期望；
X
（3）求XYρ；（4）判定X与Y的相关性和独立性。
3
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2、设在5只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取1只，作不
放回抽样.以X表示取出次品的只数.求（1）X的分布律；（2）X的分布函数； （3）
X
的方差。
3、连续型随机变量X的概率密度函数为01()0aXkxxfx⎧<<=⎨⎩其它，，又
知，（1）求k和的值；（2）求)0,(>ak()0.75EX=aX的分布函数；（3）求；（4）求；（5）()XFx
(0.51.5)PX<≤()
DX
2YX1=+
，求Y的概率密度函数()Yfy。
4
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4、由随机调查问卷数据知道，科技学院学生每月生活消费支出（单位：元），（1）写出2~(700,100)XN
X
的概率密度函数；（2）计算科技学院学生每月生活消
费支出在700元到800元之间的比例；（3）解释正态分布的3σ-规则在本题的实
际意义。
5、设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，假定开、
关时间彼此独立，记随机变量X为夜晚同时开着的灯数，（1）写出X的分布；
(2)利用切贝谢夫不等式，估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率；
(3)利用拉普拉斯定理，计算夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率的
近似值。
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主要是看书和课件，而不是仅做此题
5、为确定某城市里成年人中吸烟人所占的比例p，任意抽查个成年人，结果
其中有m个人吸烟，问多大时，才能保证nnmn与的误差小于0.005的概率大于
0.99。
p
6、
设总体()~1XBp,，其中是未知参数，p12345(,,,,)XXXXX是来自总体的样
本，样本值为12345(,,,,)xxxxx，(1)求参数的矩估计量和极大似然估计量；
p
(2)验证（1）的估计结果是否为参数p的无偏估计。
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主要是看书和课件，而不是仅做此题
6、设1(,,)nXX是取自总体X的样本，若X的密度函数为
(1),01()0,xxfxθθ⎧+<=⎨⎩其他,<
，其中1θ>−为未知参数，求θ的矩估计和极大似
然估计.
7、已知幼儿的身高在正常情况下服从正态分布。现从某一幼儿园5至6岁的幼
儿中随机地抽查了9人，其高度分别为115，120，131，115，109，115，115，
105，110（单位：cm）。假设5至6岁幼儿身高总体的方差为49，在置信度为
95%的条件下，试求5至6岁幼儿平均身高的置信区间。
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主要是看书和课件，而不是仅做此题
8、设区域是由Dx轴，y轴及直线2yx2=−+所围成的三角形区域，(X,Y)服从
区域上的均匀分布。（1）写出(X,Y)的联合概率密度函数； （2）求随机变量
D
X
的边缘分布函数；（3）计算()XFx(10.5,11)PXY−<<−<<。
8、设二维随机变量(,)XY的联合密度函数为
。（1）求常数；（2）求；（3）求()02;0(,)0axyxyfxy+≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它2a()XFx
cov(,)XY；（4）求；（5）求(DXY+)(11,13)PXY−<≤<≤
。
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