2013届湖北省麻城市育才高级中学高三数学复习抽象函数题型专题(_教师版)
高三数学抽象函数习题精选精讲
高三数学抽象函数习题精选精讲含有函数记号“由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)”有关问题解法f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。
表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生x)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解：设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u例1：已知f(∴f(x)?2?x 1?x2.凑合法：在已知f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知11f(x?)?x3?3xx，求f(x)解：∵1111111f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1xxxxxx|x|∴f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3．已知解:设f(x)二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).f(x)=ax2?bx?c，则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c?2(a?c)?41313?22?a?,b?1,c?∴f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?12222?2b?2?4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:∵y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。
2013届高考数学第一轮专项复习教案39
6.7不等式的综合问题●知识梳理1.方程与不等式、函数与不等式、解析几何与不等式的综合问题.2.解决上述问题的关键是找出综合题的各部分知识点及解法，充分利用数学思想和数学方法求解.●点击双基1.（2004年湖北，5）若a1＜b1＜0，则下列不等式中，正确的不等式有①a +b ＜ab ②|a |＞|b |③a ＜b ④ab +ba ＞2A.1个B.2个C.3个D.4个解析：∵a 1＜b 1＜0，∴b ＜a ＜0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>><+.||||00a b ab b a ，，故①正确，②③错误. ∵a 、b 同号且a ≠b ，∴ab 、ba 均为正.∴ab +b a ＞2ba ab ⋅=2.故④正确.∴正确的不等式有2个. 答案：B2.（2004年福建，11）（理）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，则A.f （sin 6π）＜f （cos 6π）B.f （sin1）＞f （cos1）C.f （cos 3π2）＜f （sin 3π2）D.f （cos2）＞f （sin2）解析：由f （x ）=f （x +2），知T =2，又∵x ∈［3，5］时，f （x ）=2－|x －4|，可知当3≤x ≤4时，f （x ）=－2+x .当4＜x ≤5时，f （x ）=6－x .其图象如下图.故在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数.又由|cos2|＜|sin2|，∴f （cos2）＞f （sin2）. 答案：D（文）定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）=f （x +2），当x ∈［3，4］时，f （x ）= x －2，则A.f （sin 21）＜f （cos 21）B.f （sin 3π）＞f （cos 3π）C.f （sin1）＜f （cos1）D.f （sin 23）＞f （cos 23）解析：仿理科分析. 答案：C 3.设M =a +21a （2＜a ＜3），N =log 21（x 2+161）（x ∈R ），那么M 、N 的大小关系是A.M ＞NB.M =NC.M ＜ND.不能确定解析：由2＜a ＜3，M =a +21-a =（a －2）+21-a +2＞2+2=4（注意a ≠1，a ≠3），N =log 21（x 2+161）≤log 21161=4＜M . 答案：A4.对于0≤m ≤4的m ，不等式x 2+mx ＞4x +m －3恒成立，则x 的取值范围是____________.解析：转化为m （x －1）+x 2－4x +3＞0在0≤m ≤4时恒成立. 令f （m ）=m （x －1）+x 2－4x +3.则⎩⎨⎧>-<><⇒⎪⎩⎪⎨⎧>->+-⇒⎩⎨⎧>>.113101034040022x x x x x x x f f 或，或）（，）（ ∴x ＜－1或x ＞3. 答案：x ＞3或x ＜－1 ●典例剖析【例1】已知f （x ）=log a 11-+x x （a ＞0，a ≠1）.（1）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明； （2）当x ∈（r ，a －2）时，f （x ）的值域为（1，+∞），求a 与r 的值；（3）若f （x ）≥log a 2x ，求x 的取值范围.剖析：单调性只要用定义证明，可先比较真数的大小再证.函数值域可利用函数的单调性确定端点后再比较，化为方程组求解.对数型不等式要化成同底后分a ＞1与0＜a ＜1求解，同时要注意定义域.解：（1）任取1＜x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=log a 1122-+x x －log a 1111-+x x=log a ））（（））（（11111212+--+x x x x =log a 1121212121-+---+x x x x x x x x .又∵x 2＞x 1＞1，∴x 1－x 2＜x 2－x 1. ∴0＜x 1x 2－x 2+x 1－1＜x 1x 2－x 1+x 2－1. ∴0＜1121212121-+---+x x x x x x x x ＜1.当a ＞1时，f （x 2）－f （x 1）＜0，∴f （x ）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a ＜1时，f （x 2）－f （x 1）＞0，∴f （x ）在（1，+∞）上是增函数.（2）由11-+x x ＞0得x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞）.∵11-+x x =1+12-x ≠1，∴f （x ）≠0. 当a ＞1时，∵x ＞1⇒f （x ）＞0，x ＜－1⇒f （x ）∈（0，1）， ∴要使f （x ）的值域是（1，+∞），只有x ＞1.又∵f （x ）在（1，+∞）上是减函数，∴f －1（x ）在（1，+∞）上也是减函数.∴f （x ）＞1⇔1＜x ＜f－1（1）=11-+a a .∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=-=.1121a a a r ，∴⎪⎩⎪⎨⎧±==.321（负号不符合）a r 当0＜a ＜1时，∵x ＞1⇒f （x ）＜0，x ＜1⇔f （x ）＞0，∴要使值域是（1，+∞），只有x ＜－1.又∵f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，∴f （x ）＞1⇒－1＞x ＞f －1（1）=11-+a a .∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=，，1211a a a r 无解. 综上，得a =2+3，r =1.（3）由f （x ）≥log a 2x 得 当a ＞1时，⎩⎨⎧->+>）（1211x x x x ⇒4173-＜x ＜4173+且x ＞1.∴1＜x ＜4173+.当0＜a ＜1时，⎩⎨⎧<+>），－（，1211x x x x ∴x ＞4173+.【例2】已知抛物线y =ax 2－1上存在关于直线x +y =0成轴对称的两点，试求实数a 的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），设直线PQ 的方程为y =x +b ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组⎩⎨⎧-=+=12ax y b x y ，有两组不同的实数解，即得方程ax 2－x －（1+b ）=0.① 判别式Δ=1+4a （1+b ）＞0.②由①得x 0=221x x +=a21，y 0=x 0+b =a21+b .∵M ∈l ，∴0=x 0+y 0=a21+a21+b ，即b =－a1，代入②解得a ＞43.解法二：设同解法一，由题意得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=---=-=④③，②，①，.02211121212121222211x x y y x x yy ax y ax y将①②代入③④，并注意到a ≠0，x 1－x 2≠0，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+⑥⑤，.2112222121a ax x ax x由二元均值不等式易得2（x 12+x 22）＞（x 1+x 2）2（x 1≠x 2）. 将⑤⑥代入上式得2（－21a +a2）＞（a1）2，解得a ＞43.解法三：同解法二，由①－②，得 y 1－y 2=a （x 1+x 2）（x 1－x 2）.∵x 1－x 2≠0，∴a （x 1+x 2）=2121x x y y --=1.∴x 0=221x x +=a21.∵M （x 0，y 0）∈l ，∴y 0+x 0=0，即y 0=－x 0=－a21，从而PQ 的中点M 的坐标为（a21，－a21）.∵M 在抛物线内部，∴a （a21）2－（－a21）－1＜0.解得a ＞43.（舍去a ＜0，为什么?）思考讨论解法三中为何舍去a ＜0?这是因为a ＜0，中点M （x 0，y 0），x 0=a21＜0，y 0=－a21＞0.又∵a ＜0，y =ax 2－1＜0，矛盾.∴a ＜0舍去. ●闯关训练 夯实基础1.已知y =log a （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是A.（0，1）B.（1，2）C.（0，2）D.［2，+∞）解析：∵y =log a （2－ax ）在［0，1］上是关于x 的减函数，∴⎩⎨⎧>->.021a a ，∴1＜a ＜2.答案：B2.如果对任意实数x ，不等式|x +1|≥kx 恒成立，则实数k 的范围是____________.解析：画出y 1=|x +1|，y 2=kx 的图象，由图可看出0≤k ≤1.答案：0≤k ≤13.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小，1=□□91+. 解析：设a1+b9=1，a 、b ∈N *，则a =9-b b.∴a +b =9-b b +b +1，b ＞9时，a +b =99-b +b －9+10≥16.99-b =b －9，即b =12取等号，此时a =4.b ＜9无解.∴a =4，b =12. 答案：4124.已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足①x ＞1时，f （x ）＜0；（2）f （21）=1；（3）对任意的x 、y ∈（0，+∞），都有f （xy ）=f （x ）+f （y ），求不等式f （x ）+f （5－x ）≥－2的解集.解：需先研究y =f （x ）的单调性，任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＞x 2，则21x x ＞1.f （x 1）=f （21x x ·x 2）=f （21x x ）+f （x 2），∴f （x 1）－f （x 2）=f （21x x ）＜0.∴f （x ）在（0，+∞）上为减函数.又f （1）=f （1）+f （1），则f （1）=0.又∵f （1）=f （2）+f （21）=f （2）+1=0.∴f （2）=－1.∴f （4）=2f （2）=－2.∴原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤->->.45050）（，，x x x x解得{x |0＜x ≤1或4≤x ＜5}.5.设p =（log 2x ）2+（t －2）log 2x －t +1，若t 在区间［－2，2］上变动时，p 恒为正值，试求x 的取值范围.解：p =（log 2x －1）t +（log 2x ）2－2log 2x +1，∵t ∈［－2，2］时p 恒为正值，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-+->+-+--，）（）（，）（）（01log 2log 1log 201log 2log 1log 222222222x x x x x x解得1＜log 2x ＜3.∴2＜x ＜8. 培养能力6.（2004年江西九校联考三月）已知函数f （x ）=－a1+x2（x ＞0）.（1）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性，并证明； （2）解关于x 的不等式f （x ）＞0；（3）若f （x ）+2x ≥0在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）f （x ）在（0，+∞）上为减函数， ∵f '（x ）=－22x＜0，∴f （x ）在（0，+∞）上为减函数.（2）由f （x ）＞0得－a1+x2＞0，即axa x 2-＜0. ①当a ＞0时，不等式解集为{x |0＜x ＜2a }.②当a ＜0时，原不等式为xa x 2-＞0.解集为{x |x ＞0}.（3）若f （x ）+2x ≥0在（0，+∞）上恒成立，即－a1+x2+2x ≥0.∴a1≤x2+2x .∵x2+2x ≥4，∴a1≤4.解得a ＜0或a ≥41.7.已知二次函数f （x ）=x 2+bx +c （b 、c ∈R ），不论α、β为何实数，恒有f （sin α）≥0，f （2+cos β）≤0.（1）求证：b +c =－1； （2）求证：c ≥3；（3）若函数f （sin α）的最大值为8，求b 、c 的值.（1）证明：∵|sin α|≤1且f （sin α）≥0恒成立，可得f （1）≥0.又∵1≤2+cos β≤3且f （2+cos β）≤0恒成立，可得f （1）≤0，∴f （1）=0⇒1+b +c =0⇒b +c =－1.（2）证明：∵b +c =－1⇒b =－1－c ，∴f （x ）=x 2－（1+c ）x +c =（x －1）（x －c ）.∴x －c ≤0，即c ≥x 恒成立.∴c ≥3.（3）解：∵f （sin α）=sin 2α－（1+c ）sin α+c =（sin α－21c +）2+c －（21c +）2，∴当sin α=－1时，f （sin α）的最大值为1－b +c . 由1－b +c =8与b －c =－1联立可得b =－4，c =3.8.设f （x ）=a1x 2－bx +c ，不等式f （x ）＜0的解集是（－1，3），若f （7+|t |）＞f （1+t 2），求实数t 的取值范围.解：∵f （x ）＜0的解集是（－1，3），∴a ＞0，f （x ）的对称轴是x =1，且ab =2.∴f （x ）在［1，+∞）上单调递增.又∵7+|t |≥7，1+t 2≥1，∴由f （7+|t |）＞f （1+t 2），得7+|t |＞1+t 2. ∴|t |2－|t |－6＜0，解得－3＜t ＜3. 探究创新 9.有点难度哟！已知函数f （x ）满足2axf （x ）=2f （x ）－1，f （1）=1，设无穷数列{a n }满足a n +1=f （a n ）.（1）求函数f （x ）的表达式；（2）若a 1=3，从第几项起，数列{a n }中的项满足a n ＜a n +1； （3）若1+m1＜a 1＜1-m m（m 为常数且m ∈N ，m ≠1），求最小自然数N ，使得当n ≥N 时，总有0＜a n ＜1成立.解：（1）令x =1得2a =1，∴a =21.∴f （x ）=x -21.（2）若a 1=3，由a 2=121a -=－1，a 3=221a -=31，a 4=321a -=53， 假设当n ≥3时，0＜a n ＜1，则0＜a n +1=n a -21＜121-=1⇒2－a n ＞0.从而a n +1－a n =n a -21－a n =nn a a --212）（＞0⇒a n +1＞a n . 从第2项起，数列{a n }满足a n ＜a n +1.（3）当1+m1＜a 1＜1-m m 时，a 2=121a -，得1-m m ＜a 2＜21--m m . 同理，21--m m ＜a 3＜32--m m . 假设1121+--+--）（）（n m n m ＜a n －1＜）（）（111--+--n m n m . 由a n =121--n a 与归纳假设知）（）（12----n m n m ＜a n ＜n m n m ---）（1对n ∈N *都成立. 当n =m 时，）（）（12----n m n m ＜a m ，即a m ＞2. ∴a m +1=m a -21＜0.0＜a m +2=121+-m a ＜21＜1. 由（2）证明知若0＜a n ＜1，则0＜a n +1=n a -21＜121-=1. ∴N =m +2，使得n ≥N 时总有0＜a n ＜1成立.●思悟小结1.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程（组）解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等等有着密切的关系.2.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题.3.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.4.不等式应用的特点是：（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售、市场、信息”等，题目往往篇幅较长；（2）建立函数模型常见的有“正（反）比例函数、一次函数、二次b（a＞0，b＞0）、函数、指数函数、对数函数、三角函数，以及y=ax+xb、y=k（a+b）x·（c－ax）（d－bx）”的形式.y=ax2+x5.解答不等式的实际应用问题，一般可分三个步骤：（1）阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方向.（2）建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号.●教师下载中心教学点睛1.在解不等式时，要注意函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用.2.加强利用均值不等式及其他方法求最值的练习，在求最大（小）值时，有三个问题必须注意：第一，注意不等式成立的充分条件，即x ＞0，y ＞0（x +y ≥2xy ）；第二，注意一定要出现积为定值或和为定值；第三，要注意等号成立的条件，若等号不成立，利用均值不等式x +y ≥2xy 不能求出最大（小）值.拓展题例【例1】设f （x ）=ax 2+bx +c ，若f （1）=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式x 2+21≤f （x ）≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论.解：由f （1）=27，得a +b +c =27.令x 2+21=2x 2+2x +23x =－1.由f （x ）≤2x 2+2x +23推得f （－1）≤23， 由f （x ）≥x 2+21推得f （－1）≥23， ∴f （－1）=23.∴a －b +c =23.故a +c =25且b =1. ∴f （x ）=ax 2+x +25－a . 依题意ax 2+x +25－a ≥x 2+21对一切x ∈R 都成立， ∴a ≠1且Δ=1－4（a －1）（2－a ）≤0.由a －1＞0得a =23.∴f （x ）=23x 2+x +1. 证明如下：23x 2+x +1－2x 2－2x －23=－21x 2－x －21=－21（x +1）2≤0.∴23x 2+x +1≤2x 2+2x +23对x ∈R 都成立. ∴存在实数a =23，b =1，c =1，使得不等式x 2+21≤f （x ）≤2x 2+2x +23对一切x ∈R 都成立.【例2】已知二次函数y =ax 2+2bx +c ，其中a ＞b ＞c 且a +b +c =0.（1）求证：此函数的图象与x 轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x 轴所得线段的长为l ，求证：3＜l ＜23. 证明：（1）由a +b +c =0得b =－（a +c ）.Δ=（2b ）2－4ac =4（a +c ）2－4ac =4（a 2+ac +c 2）=4［（a +2c ）2+43c 2］＞0.故此函数图象与x 轴交于相异的两点.（2）∵a +b +c =0且a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0.由a ＞b 得a ＞－（a +c ），∴ac ＞－2. 由b ＞c 得－（a +c ）＞c ，∴a c ＜－21. ∴－2＜a c ＜－21. l =|x 1－x 2|=32142++）（a c . 由二次函数的性质知l ∈（3，23）.。
高中数学专题03含导函数的抽象函数的构造
培优点三 含导函数的抽象函数的构造1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1-+∞， C ．()1-∞-， D ．()-∞+∞，【答案】B2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()e xf x h x =例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（ ） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 【答案】D4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（ ）A ．()024f π⎛⎫> ⎪⎝⎭ B ．()03f fπ⎛⎫<2- ⎪⎝⎭ C 234f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．234f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D一、选择题对点增分集训1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（ ） A ．()()af b bf a < B ．()()bf a af b < C ．()()af a bf b < D ．()()bf b af a <【答案】C2．已知函数()()R f x x ∈满足()11f =，且()12f x '<，则()122x f x <+的解集为（ ） A ．}{11x x |-<< B ．}{1x x |<- C ．}{11x x x |<->或 D ．}{1x x |>【答案】D3．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->，则（ ） A ．()10f = B ．()0f x < C ．()0f x > D ．()()10x f x -<【答案】C4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()()4f x f x ''=-，()40f =，()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（ ） A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，【答案】B5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A ．ππ336f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ242f⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ππ3223f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 5π3π264f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（ ） A ．()()214f f < B ．()3232f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭ C ．()5042f f⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f < 【答案】A8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C9．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()()222e x f x f x --=（e 为自然对数的底数），且当1x ≠时，()()()10x f x f x -->⎡⎤⎣⎦'，则（ ） A ．()()10f f < B ．()()2e 0f f > C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <【答案】C10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（ ）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）【答案】D11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()()1f a a f b >+B ．()()()1f b a f a >-C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >【答案】C12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)ef =．则(1)f 的值为________．【答案】1e14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x>的解集为_________．【答案】0,2⎛⎫⎪⎝⎭π15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．【答案】()20,e16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的奇函数，且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．【答案】()(),10,1-∞-U。
2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖北文
2013年湖北文一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2，B=2,3,4，则B∩∁U A= A. 2B. 3,4C. 1,4,5D. 2,3,4,52. 已知0<θ<π4，则双曲线C1:x2sin2θ−y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ−x2sin2θ=1的 A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等3. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是"甲降落在指定范围"，q是"乙降落在指定范围"，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为 A. ¬p∨¬qB. p∨¬qC. ¬p∧¬qD. p∨q4. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y=2.347x−6.423；②y与x负相关且y=−3.476x+5.648；③y 与x正相关且y=5.437x+8.493；④y与x正相关且y=−4.326x−4.578，其中一定不正确的结论的序号是 A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是 A. B.C. D.6. 将函数y=3cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m>0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 A. π12B. π6C. π3D. 5π67. 已知点A−1,1，B1,2，C−2,−1，D3,4，则向量AB在CD方向上的投影为 A. 322B. 3152C. −322D. −31528. x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f x=x−x在R上为 A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 周期函数9. 某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行，A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为 A. 31200元B. 36000元C. 36800元D. 38400元10. 已知函数f x=x ln x−ax有两个极值点，则实数a的取值范围是 C. 0,1D. 0,+∞A. −∞,0B. 0,12二、填空题（共7小题；共35分）11. i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2−3i，则z2=．12. 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：（1）平均命中环数为；（2）命中环数的标准差为．13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i=．．设圆O上到直线l的距离等于1的14. 已知圆O:x2+y2=5，直线l:x cosθ+y sinθ=10<θ<π2点的个数为k，则k=．15. 在区间[−2,4]上随机地取一个数x，若x满足∣x∣≤m的概率为5，则m=．616. 我国古代数学名著《数书九章》中有＂天池盆测雨＂题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17. 在平面直角坐标系中，若点P x,y的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（1）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；（2）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=（用数值作答）．三、解答题（共5小题；共65分）18. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A−3cos B+C=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sin B sin C的值．19. 已知S n是等比数列a n的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=−18．（1）求数列a n的通项公式．（2）是否存在正整数n，使得S n≥2013 ?若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．20. 如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1，同样可得在B，C 处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1<d2<d3，过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1−A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（1）证明：中截面DEFG是梯形．（2）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为 ，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1−A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中⋅ 来估算．已知V=13d1+d2+d3S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．21. 设a>0，b>0，已知函数f x=ax+bx+1．（1）当a≠b时，讨论函数f x的单调性；（2）当x>0时，称f x为a，b关于x的加权平均数．（i）判断f1，f ba ，f ba是否成等比数列，并证明f ba≤f ba；（ii）a，b的几何平均数记为G，称2aba+b为a，b的调和平均数，记为H，若H≤f x≤G，求x 的取值范围．22. 如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n m>n，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记λ=mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2 ?并说明理由．答案第一部分1. B2. D3. A4. D5. C【解析】[答案] C[解析] 选项A，随时间的推移，小明离学校越远，不正确；选项B，先匀速，再停止，后匀速，不正确；选项C，与题意相吻合；选项D，中间没有停止，故选C．6. B 【解析】y=3cos x+sin x=2sin x+π3，向左平移m个单位后，得到的函数为y=2sin x+π3+m ，若所得到的图象关于y轴对称，则π3+m=π2+kπ,k∈Z，所以m=π6+kπ，k∈Z．当k=0时，m=π6．7. A 8. D 9. C 10. B【解析】由已知得fʹx=0有两个正实数根x1,x2x1<x2，即fʹx的图象与x轴有两个交点，从而得a 的取值范围．fʹx=ln x+1−2ax,依题意ln x+1−2ax=0有两个正实数根x1,x2x1<x2．设g x=ln x+1−2ax，函数g x=ln x+1−2ax有两个零点，显然当a≤0时不合题意，必有a>0；gʹx=1x−2a,令gʹx=0，得x=12a，于是g x在0,12a 上单调递增，在12a,+∞ 上单调递减，所以g x在x=12a处取得极大值，即fʹ12a=ln12a>0,12a>1,所以0<a<1 2 .第二部分11. −2+3i12. （1）7，（2）213. 414. 415. 316. 3【解析】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为1214+6=10寸．则盆中水的体积为13×π×962+102+6×10=588π（立方寸）．所以平地降雨量等于588ππ×14=3（寸）．17. 3，1，6，79【解析】（1）由图可知，四边形DEFG是直角梯形，高为，下底为2S=2+22×22=3,由图知，N=1，L=6．（2）取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S=4，N=1，L=8，结合△ABC、四边形DEFG，可列方程组4b+c=1,a+6b+c=3,a+8b+c=4,解得a=1,b=12,c=−1,故S=1×71+12×18−1=79．第三部分18. （1）由cos2A−3cos B+C=1，得2cos2A+3cos A−2=0,即2cos A−1cos A+2=0.解得cos A=12或cos A=−2（舍去）．因为0<A<π，所以A=π3．（2）由S=12bc sin A=12bc⋅32=3 bc=53,得bc=20．又b=5，所以c=4．由余弦定理得a2=b2+c2−2bc cos A=25+16−20=21,所以a=21．从而由正弦定理，得sin B sin C=basin A⋅casin A=bc2⋅sin2A=20×3=5 7 .19. （1）设等比数列a n的公比为q，则a1≠0，q≠0．由题意得S2−S4=S3−S2,a2+a3+a4=−18,即−a1q2−a1q3=a1q2,a1q1+q+q2=−18,解得a1=3,q=−2.故数列a n的通项公式为a n=3×−2n−1.（2）由（1）有S n=31−−2n1−−2=1−−2n.假设存在n，使得S n≥2013，则1−−2n≥2013，即−2n≤−2012.当n为偶数时，−2n>0，上式不成立；当n为奇数时，−2n=−2n≤−2012，即2n≥2012．即n≥11．综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n∣n=2k+1,k∈N,k≥5.20. （1）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3，所以四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．又点M，N分别为AB，AC的中点，则点D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE，FG分别为梯形A1A2B2B1，A1A2C2C1的中位线，因此DE=12A1A2+B1B2=12d1+d2,FG=12A1A2+C1C2=1d1+d3,而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形．（2）V估<V．证明如下：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．由MN是△ABC的中位线，可得MN=1BC=1a,即为梯形DEFG的高．因此S 中=S梯形DEFG=1d1+d2+d1+d3⋅a =a82d1+d2+d3,即V 估=S中⋅=a2d1+d2+d3.又S=12a ，所以V=1d1+d2+d3S=a6d1+d2+d3.于是V−V估=a6d1+d2+d3−a82d1+d2+d3 =ad2−d1+d3−d1.由d1<d2<d3，得d2−d1>0,d3−d1>0,故V估<V．21. （1）f x的定义域为−∞,−1∪−1,+∞，fʹx=a x+1−ax+b2=a−b2.当a>b时，fʹx>0，函数f x在−∞,−1，−1,+∞上单调递增；当a<b时，fʹx<0，函数f x在−∞,−1，−1,+∞上单调递减．（2）（i）计算得f1=a+b>0,f b=2ab>0,f b= ab>0,故f1f ba=a+b2⋅2aba+b=ab= fba2, ⋯⋯①所以f1，f ba ，f ba成等比数列．因为a+b2≥ab，即f1≥f b a,由①得f ba ≤f ba．（ii）由①知f ba=H,fba=G,故由H≤f x≤G，得f b≤f x≤fb. ⋯⋯②当a=b时，f ba =f x=f ba=a．这时，x的取值范围为0,+∞；当a>b时，0<ba <1，从而ba<ba，由f x在0,+∞上单调递增与②式，得ba≤x≤ba,即x的取值范围为ba ,ba；当a<b时，ba >1，从而ba>ba，由f x在0,+∞上单调递减与②式，得b≤x≤b,即x的取值范围为ba ,ba．22. （1）依题意，可设C1，C2的方程分别为C1:x2a2+y2m2=1,C2:x2+y2=1,其中0<n<m<a，λ=mn>1．方法一：如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x =0，则S 1=1∣BD∣⋅∣OM∣=1a∣BD∣,S 2=12∣AB∣⋅∣ON∣=12a∣AB∣,所以S 12=∣BD∣. 在C 1和C 2的方程中分别令x =0，可得y A =m ,y B =n ,y D =−m ,于是∣BD∣∣AB∣=∣y B −y D ∣∣y A −y B ∣=m +n=λ+1λ−1. 若S 1S 2=λ，则λ+1λ−1=λ，化简得λ2−2λ−1=0.由λ>1，可解得λ= 2+1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1=λS 2，则λ= 2+1． 方法二：如图，若直线l 与y 轴重合，则∣BD∣=∣OB∣+∣OD∣=m +n ,∣AB∣=∣OA∣−∣OB∣=m −n ;S 1=12∣BD∣⋅∣OM∣=12a∣BD∣,S 2=12∣AB∣⋅∣ON∣=12a∣AB∣.所以S 1S 2=∣BD∣∣AB∣=m +n m −n =λ+1λ−1. 若S1S 2=λ，则λ+1λ−1=λ，化简得λ2−2λ−1=0.由λ>1，可解得λ= 2+1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1=λS 2，则λ= 2+1．（2）方法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l:y=kx k>0，点M−a,0，N a,0到直线l的距离分别为d1，d2，则d1=∣−ak−0∣1+k2=ak1+k2d2=1+k2=1+k2所以d1=d2．又S1=12∣BD∣d1,S2=12∣AB∣d2,所以S1 2=∣BD∣=λ,即∣BD∣=λ∣AB∣．由对称性可知∣AB∣=∣CD∣，所以∣BC∣=∣BD∣−∣AB∣=λ−1∣AB∣,∣AD∣=∣BD∣+∣AB∣=λ+1∣AB∣,于是∣AD∣∣BC∣=λ+1λ−1. ⋯⋯①将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得x A=ama2k2+m2x B=a2k2+n2根据对称性可知x C=−x B，x D=−x A，于是∣AD∣=1+k2A D 1+k2∣x B−x C∣=2x A 2x B=mn a2k2+n2a2k2+m2. ⋯⋯②从而由①和②式可得a2k2+n2 222=λ+1. ⋯⋯③令t=λ+1λλ−1，则由m>n，可得t≠1，于是由③可解得k2=n2λ2t2−122.因为k≠0，所以k2>0．于是③式关于k有解，当且仅当n 2λ2t2−1a21−t2>0，等价于t2−1 t2−12<0.由λ>1，可解得1λ<t<1，即1λ<λ+1λλ−1<1.由λ>1，解得λ>1+ 2.所以当1<λ≤1+l，使得S1=λS2；当λ>1+2时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．方法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l:y=kx k>0，点M−a,0，N a,0到直线l的距离分别为d1，d2，因为d1=1+k2=1+k2d2=1+k2=1+k2所以d1=d2．又S1=12∣BD∣d1,S2=12∣AB∣d2,所以S1 2=∣BD∣=λ.因为∣BD∣∣AB∣=1+k2B D1+k2∣x A−x B∣=x A+x Bx A−x B=λ,所以x A B =λ+1.由点A x A,kx A，B x B,kx B分别在C1，C2上，可得x A 2a 2+k 2x A 2m 2=1,x B 2+k 2x B 2=1,两式相减可得x A 2−x B 2a 2+k 2 x A 2−λ2x B 2 m 2=0. ∗ 依题意得x A >x B >0，所以x A 2>x B 2．所以由 ∗ 式可得k 2=m 2 x A 2−x B 2 a 2 λ2x B 2−x A 2 . 因为k 2>0，所以由m 2 x A 2−x B 2a λx B 2−x A 2 >0，可解得 1<x A x B<λ. 从而1<λ+1λ−1<λ，解得 λ>1+ 2,所以当1<λ≤1+ 2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2； 当λ>1+ 2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2．。
【全程复习方略】2013版高中数学 2.8函数的图象课时提能训练 苏教版
【全程复习方略】2013版高中数学 2.8函数的图象课时提能训练 苏教版(45分钟100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.将指数函数f(x)的图象向右平移一个单位，得到如图的g(x)的图象，则f(x)=________.2.(2012·某某模拟)若函数y=f(2x)的图象有对称轴x=1,则函数y=f(x+1)图象的对称轴方程是_______.3.(2012·某某模拟)f(x)=()24x 5(x 1)x 4x 3x 1-≤⎧⎪⎨-+>⎪⎩的图象和g(x)=log 2x 的图象的交点个数是_______. 4.函数y=log a (x-2)+3恒过定点_______.5.(2012·某某模拟)函数y=3|log x|3的图象大致是_______.6.如图，定义在［-1，+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.7.若函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+2)=f(x)，且x ∈［-1,1)时，f(x)=|x|.则函数y=f(x)的图象与函数y=log 4|x|的图象的交点的个数为_______.8.已知函数f(x)=(12)x 的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x 对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题：①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为_______.(将你认为正确的命题的序号都填上)二、解答题(每小题15分，共45分)9.作出下列函数的大致图象.(1)y=x2-2|x|;log［3(x+2)］;(2)y=1310.设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图象是经过点(-2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(-1，1)的一段抛物线.试求函数f(x)的解析式，并作出其图象.11.(1)已知函数y=f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m+x)=f(m-x)恒成立，求证y=f(x)的图象关于直线x=m对称；(2)若函数y=log2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a的值.【探究创新】(15分)已知函数y=f(x)同时满足以下五个条件：(1)f(x+1)的定义域是［-3，1］；(2)f(x)是奇函数；(3)在［-2，0)上，f′(x)>0;(4)f(-1)=0;(5)f(x)既有最大值又有最小值.请画出函数y=f(x)的一个图象，并写出相应的函数解析式.答案解析1.【解析】易知g(x)=2x-1,将g(x)的图象向左平移一个单位即可得到f(x)=2x.答案：2x2.【解析】函数y=f(2x)的对称轴x=1,则f(x)的对称轴x=2,故y=f(x+1)的对称轴为x=1.答案：x=13.【解析】在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象如图所示，由图象知有两个交点.答案：2【误区警示】本题易由于作图没有去掉(1，0)点，而误认为有3个交点.4.【解析】当x=3时，y=3.答案：(3,3)5.【解析】∵y=3|log x|x,x 13,1,0x 1x⎧⎪=⎨<≤⎪⎩＞ ∴函数的图象为(1).答案：(1)6.【解析】当x ∈［-1,0］时设y=kx+b,由图象得k b 0k 1y x 1,x 0k 0b 1b 1-+==⎧⎧∴=+>⎨⎨⨯+==⎩⎩得，当时，设y=a(x-2)2-1,由图象得：0=a(4-2)2-1得a=1,4 ∴y=14(x-2)2-1, 综上可知f(x)=()2x 1,x 1,0.1x 21,x (0,)4+∈-⎧⎪⎨--∈+∞⎪⎩［］答案：f(x)= ()2x 1,x 1,01x 21,x (0,)4+∈-⎧⎪⎨--∈+∞⎪⎩［］ 7.【解析】∵函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x)，∴该函数的周期为2，又∵x ∈［-1,1)时，f(x)=|x|，∴可得到该函数的图象，在同一直角坐标系中，画出两函数的图象如图，可得交点有6个.答案:68.【解题指南】先求g(x),再求h(x)并化简，最后判断.【解析】g(x)=12log x,∴h(x)=12log (1-|x|),∴h(x)=()()()1212log 1x (1x0),log 1x 0x 1+-<≤⎧⎪⎨-<<⎪⎩得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为②③.答案：②③9.【解析】(1)y=()22x 2x,(x 0),x 2x,x 0⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩其图象如图(1).(2)y=13log 3+13log (x+2)=-1+13log (x+2)，其图象如图(2).(3)y=()x 1--，其图象如图(3).10.【解析】当x ≤-1时，设f(x)=x+b,则由0=-2+b,即b=2,得f(x)=x+2;当-1＜x ＜1时，设f(x)=ax 2+2,则由1=a(-1)2+2，即a=-1,得f(x)=-x 2+2;当x ≥1时，f(x)=-x+2. 故f(x)=2x 2(x 1)2x (1x 1),x 2(x 1)+ ≤-⎧⎪- -⎨⎪-+ ≥⎩＜＜作图如图所示.11．【解析】(1)设P(x 0,y 0)是y=f(x)图象上任意一点，则y 0=f(x 0).又P 点关于x=m 的对称点为P ′,则P ′的坐标为(2m-x 0,y 0).由已知f(x+m)=f(m-x),得f(2m-x 0)=f(m+(m-x 0))=f(m-(m-x 0))=f(x 0)=y 0.即P ′(2m-x 0,y 0)在y=f(x)的图象上.∴y=f(x)的图象关于直线x=m 对称.(2)对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.∴|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立，即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立.又∵a≠0,∴2a-1=0,得 a=12.【方法技巧】函数对称问题解题技巧(1)证明函数图象的对称性，只需证明其图象上的任意一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上即可.(2)①若f(a+x)=f(a-x),x∈R恒成立，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；②若f(a+x)=-f(a-x),x∈R恒成立，则y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.【探究创新】【解析】由(1)知，-3≤x≤1,-2≤x+1≤2,故f(x)的定义域是［-2，2］.由(3)知，f(x)在［-2，0)上是增函数.综合(2)和(4)知，f(x)在(0，2］上也是增函数，且f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.故函数y=f(x)的一个图象如图所示，与之相应的函数解析式是f(x)=x1,2x0 0,x0. x1,0x2+-≤<⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩。
2013年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年湖北，文1，5分】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =ð（ ）（A ）{2} （B ）{3,4} （C ）{1,4,5} （D ）{2,3,4,5} 【答案】B 【解析】U B A =ð{2,3,4}{3,4,5}{3,4}=，故选B ．（2）【2013年湖北，文2，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的（ ） （A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）离心率相等 （D ）焦距相等 【答案】D【解析】在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有222sin cos 1c θθ=+=，即焦距相等，故选D ．（3）【2013年湖北，文3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，文4，5分】四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-；② y 与x 负相关且 3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且 5.4378.493y x =+；④ y 与x 正相关且 4.326 4.578y x =--．其中一定不正确．．．的结论的序 号是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ 【答案】D【解析】在①中，y 与x 不是负相关；①一定不正确；同理④也一定不正确，故选D ． （5）【2013年湖北，文5，5分】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】C【解析】可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B ，故选C ．（6）【2013年湖北，文6，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x =+∈R 可化为2cos()6y x π=-（x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称，故选B ．（7）【2013年湖北，文7，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）（A（B（C） （D） 【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则向量AB 在向量CD方向上的射影为cos AB CDAB CDθ⋅====，故选A ． （8）【2013年湖北，文8，5分】x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）增函数 （D ）周期函数 【答案】D【解析】函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有(1)1[1][]()f x x x x x f x +=+-+=-=，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数，故选D ．（9）【2013年湖北，文9，5分】某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为（ ）（A ）31200元 （B ）36000元 （C ）36800元 （D ）38400元 【答案】C【解析】根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有2170,03660900x y y x x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨>>⎪⎪+=⎩， 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为4(7)1A ,，2(5)1B ,，6(15C ,），目标函数 （租金）为16002400k x y =+，如图所示．将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为：1600524001236800k =⨯+⨯=（元），故选C ． （10）【2013年湖北，文10，5分】已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,0)-∞ （B ）1(0,)2（C ）(0,1) （D ）(0,)+∞【答案】B【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点01（,-）作ln y x =的切线，设切点为00x y （,），则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-． 切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为10（,）．切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<，故选B ．二、填空题：共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（11）【2013年湖北，文11，5分】i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = ． 【答案】23i -+【解析】复数123i z =-在复平面内的对应点123Z -（,），它关于原点的对称点2Z 为2,3-（），所对应的复数为223i z =-+．（12）【2013年湖北，文12，5分】某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（1）平均命中环数为；（2）命中环数的标准差为 ．【答案】（1）7；（2）2【解析】（1）()178795491074710+++++++++=；（2）2s =． （13）【2013年湖北，文13，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m 的值为2，则输出的结果i = ． 【答案】4【解析】初始值2110m A B i ====，，，，第一次执行程序，得121i A B ===，，，因为A B <不成立，则第二次执行程序，得2224122i A B ==⨯==⨯=，，，还是A B <不成立，第三次执行程序，得3428236i A B ==⨯==⨯=，，，仍是A B <不成立，第四次执行程序，得48216i A ==⨯=，，424B =⨯=，有A B <成立，输出4i =．（14）【2013年湖北，文14，5分】已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）．设圆O 上 到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k =_________． 【答案】4【解析】这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 1=，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示．（15）【2013年湖北，文15，5分】在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56，则m = ． 【答案】3 【解析】因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[-m ，m ] ，其区间长度为2m ． 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间[2,4]-分为[]2m -，和[m ，4]，且两区间的长度比为5:1，所以3m =．（16）【2013年湖北，文16，5分】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水． 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸． 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【答案】3【解析】如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()22961061031963V ππ=⨯++⨯=⨯（立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为323196()3196⨯=寸（寸）（寸）． （17）【2013年湖北，文17，5分】在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点． 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形． 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ． 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =．（1）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ；（2）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数． 若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）． 【答案】（1）3, 1, 6；（2）79 【解析】（1）S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6．（2）根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 41b c += ①由（1）有63a b c ++= ② 再由格点DEF ∆中，S=2，N=0，L=6，得62b c += ③联立①②③，解得1,1, 1.2b c a ==-=所以当71N =，18L =时，171181792S =+⨯-=．三、解答题：共5题，共65分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2013年湖北，文18，12分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =． 又5b =，知4c =．由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a =．又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（19）【2013年湖北，文19，13分】已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由． 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠．由题意得243223418S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩，即23211121(1)18a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩， 解得132a q =⎧⎨=-⎩，故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-．（2）由（1）有3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----．若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤-当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥． 综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N ．（20）【2013年湖北，文20，13分】如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<． 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． （1）证明：中截面DEFG 是梯形；（2）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S ． 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算．已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明．解：（1）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2．又121A A d =， 122B B d =，123C C d =，且123d d d <<．因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形．由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE ．同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG ．又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线．因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形． （2）V V <估． 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥．而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥．由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高，因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中．又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++．于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估．由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估．（21）【2013年湖北，文21，13分】设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+． （1）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数．（i ）判断(1)f, f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G ． 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H ． 若()H f x G ≤≤，求x的取值范围．解：（1）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++． 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减．（2）（i ）(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>．故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+，即2(1)()[b f f f a =．①所以(1),()bf f f a 成等比数列．因2a b +≥，即(1)f f ≥．由①得()b f f a ≤． （ii ）由（i ）知()bf H a=，f G =．故由()H f x G ≤≤，得()()(b f f xf a ≤≤．② 当a b =时，()()b f f x f a a ===．这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤即x的取值范围为,b a ⎡⎢⎣；当a b <时，1ba>，从而b a >由()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a ≤，即x的取值范围为b a ⎤⎥⎦． （22）【2013年湖北，文22，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=． 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ．解法二：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．（2）解法一：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ②1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解 得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >． 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ> 轴不重合的直线l 使得12S S λ=．解法二：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d =12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A B x x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1， C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a mλ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22A B x x >． 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A B x x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>+所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=．。
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数
高考数学常考压轴题及答案：抽象函数1500字高考数学常考的压轴题之一是关于抽象函数的题目。
抽象函数是高中数学中一个较为复杂的概念，但是在高考中，几乎每年都会出现与抽象函数相关的题目。
掌握了抽象函数的相关知识，对于解答这类问题将起到事半功倍的效果。
抽象函数是指以未知函数为自变量的函数。
在高考中，一般会给出具体的函数表达式，然后要求对其进行分析和求解。
下面是一道常见的抽象函数问题：已知函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 满足 $f(x)=2g(x)+1$ ，且 $g(x)$ 为奇函数，则函数$f(x)$ 的一个表达式是（）A. $f(x)=x+1$B. $f(x)=2x$C. $f(x)=x-2$D. $f(x)=3x-1$解析：根据已知条件 $f(x)=2g(x)+1$ ，我们可以得到 $g(x)=\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
由于 $g(x)$ 是奇函数，即 $g(-x)=-g(x)$ ，代入 $g(x)$ 的表达式可以得到 $\\frac{f(-x)-1}{2}=-\\frac{f(x)-1}{2}$ 。
将表达式化简可得 $f(-x)=-f(x)$ ，即函数 $f(x)$ 为奇函数。
根据题目所给选项，只有选项 A 和 C 是奇函数，可以进行进一步的判断。
将选项 A 带入到原式中，得到 $f(x)=x+1$ ，不满足已知条件，所以选项 A 不是正确的答案。
将选项C 带入到原式中，得到$f(x)=x-2$ ，满足已知条件，所以选项C 是正确的答案。
答案：C另外，还有一类与抽象函数相关的常考压轴题是根据已知条件求解未知函数表达式的题目。
下面是一道例题：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(3x-2)=5-x$ ，求函数 $f(x)$ 的表达式。
解析：由已知条件得到 $f(3x-2)=5-x$ ，我们可以发现，当自变量取值为$x=\\frac{2}{3}$ 时，整个函数的表达式会发生变化。
因此，我们可以令 $3x-2=\\frac{2}{3}$ ，求解出 $x$ 的值为 $x=\\frac{8}{9}$ 。
抽象函数的模型汇总【15类题型】(原卷版)- 【重难点突破】人教A版必修第一册 重难点专题突破
抽象函数的模型归纳在解决抽象函数问题时，我们一定要熟悉最常见的一些基本初等函数的性质特征，再根据题目所给条件特征的吻合性，对照猜想符合条件的函数模型，应用所猜模型的性质去估计或验证所求结果.这种典型的目标前置于具体函数的导入，虽然不符合数学命题的初衷，有投机取巧的嫌疑，但确实会极大地简化和优化我们的解题过程，成为解决此类问题的一大利器,从应试的角度来说，这种解法是值得参考的.熟悉模型，并不是死记硬背，直接借用函数模型来解题，而是通过函数模型，理解模型中所涉及的性质与运算法则，提供解题思维突破口。
.【题型1】抽象函数的赋值求值【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)【题型3】一次函数模型（有常数）: f(x＋y)＝f(x)＋f(y)+a【题型4】指数函数模型(内加外乘型) : f(x＋y)＝f(x)f(y)【题型5】对数函数模型(内乘外加型) ：f(xy)＝f(x)＋f(y)【题型6】幂函数模型(内乘外乘型): f(xy)＝f(x)f(y)【题型7】二次函数的抽象表达式：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy－c【题型8】抽象函数奇偶性与对称性问题（看不出函数模型）【题型9】抽象函数单调性与不等式问题（看不出函数模型）【题型10】正弦或双曲正弦函数的抽象表达式【题型11】余弦或双曲余弦函数的抽象表达式【题型12】正切型函数的抽象表达式【题型13】三次函数模型【题型14】正余弦函数辅助角型【题型15】其它函数的抽象表达式【题型1】抽象函数的赋值求值赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解【例1】已知函数()f x 满足()()1,12x f f x f y f y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A ．124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()20f =C ．()41f = D ．()82f =【例2】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()21f x y f x f y xy +=++-对任意实数x ，y 都成立，则()0f = ；()()441f f -= . 【例3】已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()1154f x f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()2f 的值为（ ）A ．152B ．154C ．174D ．172【巩固练习1】（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知()f x 是定义在R 上且不恒为零的函数，对于任意实数a ，b 满足()()()f ab af b bf a =+，若()22f =，则1(1)4f f ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．【巩固练习2】（23-24高一上·吉林·期末）已知函数()f x 对任意,x y ∈R ，恒有()()()22f x y f x f y xy +=+++，且()11f =-，则（ ）A ．()01f =-B ．()26f =C ．()02f =-D ．()22f =【巩固练习3】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈-∞+∞ ⎪⎝⎭，()()()2f x f y xy f x y ++=+，则()3f 的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【巩固练习4】已知定义域为R 的函数()f x ，满足 ()()()()()22f x y f x f y f x f y +=---，且()00f ≠，()20f -=，则()2f =________.【巩固练习5】已知对所有的非负整数(),x y x y ≥均有()()()()11222f x y f x y x y f x f y ++--+-=+⎡⎤⎣⎦，若()13f =，则()5f =______．【题型2】正比例函数模型(内加外加型)：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )正比例函数的抽象表达式1、对于正比例函数()f x kx = ，与其对应的抽象函数为()()()f x y f x f y ±=± .2、有以下性质 ①()00f =②奇函数证明：令y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-= ③可能具有单调性（结合其他条件） 3、相似的模型()()()2f x y f x y f x ++-= ()()()2f x y f x y f x ++-=【例1】（多选题）（23-24高一上·浙江金华·阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．()()()f x f y f x y -=-C ．()f x 为奇函数D ．()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n【例2】（多选题）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数()f x 满足()()(),,f x y f x f y x y +=+∈R ，则（ ）A ．(0)0f =B ．()(1),f k kf k =∈ZC ．(),(0)x f x kf k k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭D ．()()0f x f x -<【例3】（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，又()12f =-．(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 在R 上的单调性，并证明你的结论；(3)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2220f kx f x ++>恒成立，求实数k 的取值范围．【巩固练习1】已知 是定义在R 上的函数，且对任意实数,x y ， ()()()22f x y f x f y +=+. (1)若()12f =-，求12f ⎛⎫⎪⎝⎭，23f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. (2)若 时恒有()0f x <，试判断函数 单调性，并说明理由.【巩固练习2】（多选）已知函数()f x 满足()()(),,f x y f x f y x y +=+∈R ，则（ ） A ．(0)0f =B ．()(1),f k kf k =∈ZC ．(),(0)x f x kf k k ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭D ．()()0f x f x -<【巩固练习3】（多选）定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，()21f =，且0x <时，()0f x <，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在(),-∞+∞单调递增C ．()114f -=-D ．不等式()22f x -≤的解集为{}6x x ≤【巩固练习4】（多选题）（23-24高一上·江苏无锡）定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在R 上单调递减B ．复合函数()sin f x 为偶函数C ．复合函数()cos f x 为偶函数D ．当[]0,2πx ∈，不等式()1sin 02f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭的解集为π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭【题型3】一次函数模型（有常数）: f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )+a一次函数的抽象表达式（1） 对于一次函数()f x kx b =+ ，与其对应的抽象函数为 ()()()f x y f x f y b ±=±. （2） 对于一次函数()()f x k x b =- ，与其对应的抽象函数为 ()()()f x y b f x f y +-=+.【例1】已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y f x f y +=+-，则（ ） A ．()00f =B ．函数()2f x -是奇函数C ．若()22f =，则()20242f =-D ．函数()f x 在 单调递减【例2】（多选）若定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-，则（ ）A ．()02f =-B ．()2f x +为奇函数C ．()f x 在R 上是减函数D ．若()12f =，则不等式()()2128f x x f x ++->的解集为{}|12x x -<<【例3】已知函数()f x 对任意x ，y ∈R ，满足条件()()()2f x f y f x y +=++，且当0x >时，()2f x >，()35f =，则不等式()2223f a a --<的解集为.【例4】已知函数()f x 对,x y ∀∈R ，都有()()()2f x y f x f y +=+-，若()()3202421xF x f x x=++在[]2024,2024-上存在最大值M 和最小值m ，则M m +=（ ）A ．8B ．4C ．2D ．0【巩固练习1】已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f =，若()()()2f x y f x f y +=++，则下列说法正确的是（ ）A ．()14f -=-B ．()f x 有最大值C ．()20244046f =D ．函数()2f x +是奇函数【巩固练习2】（多选）设函数()f x 满足：对任意实数x 、y 都有,()()()4f x y f x f y +=+-且当0x >时，()4f x >.设()()4g x f x =-.则下列命题正确的是（ ）A ．(2023)(2023)8f f -+=B ．函数()f x 有对称中心(0,4)C ．函数()g x 为奇函数D ．函数()g x 为减函数【巩固练习3】（多选）若定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-，则（ ）A ．()02f =-B ．()2f x +为奇函数C ．()f x 在R 上是减函数D ．若()12f =，则不等式()()2128f x x f x ++->的解集为{}|12x x -<<【巩固练习4】（2023-2024学年重庆一中高一阶段测）（多选）已知定义在区间[46]-，上的函数()f x 满足：对任意m n R ∈，均有()()()1f m n f n f m -++=；当1x >时，()0f x >．则下列说法正确的是（ ）A ．(1)0f =B ．()f x 在定义域上单调递减C ．()1f x +是奇函数D ．若(2)1f =，则不等式(2)()2f x f x >+的解集为(2]3，【题型4】指数函数模型(内加外乘型) : f (x ＋y )＝f (x )f (y )指数函数的抽象表达式对于指数函数 ()x f x a =，与其对应的抽象函数为()()()f x y f x f y += 或()()()f x f x y f y -=，且()0f x >.1、两个式子之间的关联：()()()()()()()()()f x f x y f x f y f x f x y f y f x y f y +=⇒=-⇒-=2、单调性判断：先得出(0)(0)(0)(0)1f f f f =⇒=，再比较2211()()()f x f x x f x =-和1（即(0)f ）的大小关系 3、模型补充：（1）()()())xa f x y f x f y m x m+=⇒=；（2）()()()()x f x f x y m f x m a f y -=⇒=⋅【例1】已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ，y 都满足()()()f x y f x f y +=，且()0f x ≠.当0x >时，()1f x >，且()29f =. (1)求()1f ，()3f 的值；(2)用函数单调性的定义证明()f x 在R 上单调递增；(3)若对任意的R x ∈，()()()2223534f x a a f x f x -+≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【例2】已知函数()f x 满足，()()()(),13f p q f p f q f +=⋅=，则()()()()()()()()()()()()()()()222221224364851013579f f f f f f f f f f f f f f f +++++++++的值为（ ）A ．15B ．30C ．60D ．75【巩固练习1】如果()()()f a b f a f b +=且()12f =，则()()()()()()246153f f f f f f ++=（ ）A ．125B ．375C ．6D ．8【巩固练习3】已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，y 均有()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，当01x <<且()()0,1f x ∈.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并证明；【题型5】对数函数模型(内乘外加型) ：f (xy )＝f (x )＋f (y )对数函数的抽象表达式对数函数()log a f x x = 或()log a f x m x =其对应的抽象函数为()()()f xy f x f y =+ 或()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,)x ∈+∞ 1、单调性判断：由()()()()()x f xy f x f y f x f f y y ⎛⎫=+⇒=+⎪⎝⎭，则有()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭记120x x <<，2211()()x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合题目给的()f x 在()0,1或()1,+∞上的正负. 2、补充：对于对数函数()log a f x x = ，其抽象函数还可以是()()n f x nf x = 3、若()()()f xy f x f y n =++，则()()log 01,,0a f x m x n a x y =->≠>且 4、若()()()x f f x f y n y=-+，则()()log 01,,0a f x m x n a x y =+>≠>且【例1】已知定义在()0,∞+上的函数()f x ，满足()()()1f xy f x f y +=+，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()112f =（ ）A ．1B ．11C ．12D ．1-【例2】设函数()f x 的定义域为{|0}x x >，且满足条件()41f =，对于任意()12,0,x x ∈+∞，有()()()1212f x x f x f x =+，且当12x x ≠时，有()()21210f x f x x x ->-.(1)求()16f 的值；(2)若(6)()2f x f x ++>，求x 的取值范围.【例3】已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且()()()f xy f x f y =+．当(0,1)x ∈时，()0f x <． (1)求(1)f ；(2)证明：函数()y f x =在(0,)+∞为增函数； (3)如果112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式1()()32f x f x -≥-．【例4】已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，对任意正实数1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x =++，且当01x <<时，()1f x >-． (1)求()1f 的值；(2)试判断()f x 的单调性，并证明；(3)若()26510f x x -+>，求x 的取值范围．【巩固练习1】已知函数()()0y f x x =≠满足()()()1f xy f x f y =+-，当1x >时，()1f x <，则（ ） A ．()f x 为奇函数 B ．若()211f x +>，则10x -<< C ．若()122f =，则()10244f =- D ．若122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1101024f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【巩固练习2】已知函数()f x 在区间()0,∞+上是严格增函数，且()()()f x y f x f y ⋅=+． (1)求证：()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)已知()31f =，且()()12f a f a >-+，求a 的取值范围．【巩固练习3】已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的,a b ∈R ，都有()()()f a f b f a b =+．当0x <时，()1f x >，且(0)0f ≠．(1)求(0)f 的值，并证明：当0x >时，0()1<<f x ； (2)判断()f x 的单调性，并证明； (3)若1(2)2f =，求不等式()215616f t t ->的解集．【巩固练习4】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数()f x 满足()()()1f xy f x f y =+-，且()0,x y ∈+∞,，则()()()1112332f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．5D ．52【题型6】幂函数模型(内乘外乘型): f (xy )＝f (x )f (y )幂函数函数的抽象表达式对于幂函数()a f x x = ，与其对应的抽象函数为()()()f xy f x f y =或()()x f x f y f y ⎛⎫=⎪⎝⎭奇偶性性判断：令1y =-单调性判断：()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111xf x f x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例1】已知对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且()()11,279f f -==，当01x ≤<时，()[)0,1f x ∈，若0a ≥且(1)f a +≤a 的取值范围 .【例2】已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，y 均有()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，当01x <<且()()0,1f x ∈.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 在()0,∞+上的单调性，并证明；【例3】已知0x ≠时，函数()f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且(1)1,(27)9f f -==，当01x ≤<时，()[0,1)f x ∈ （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并给出证明； （3）若0a ≥且(1)f a +≤a 的取值范围.【巩固练习1】已知定义在R 上的函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，且对任意的x ，y ，都有()()()f xy f x f y =，若()11f -=，则()1f x <的解集为 ．【巩固练习2】已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()(),,0,x y f xy f x f y f x ∀∈+=R 在[)0,+∞上单调递减，()11f -=，则满足()1f x <的x 的取值范围为 .【巩固练习3】某问题的题干如下：“已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意R x y ∈､，均有()()()2f xy f x f y =⋅；②当0x >时，()0f x >；③(2)16f =.”某同学提出一种解题思路，构造()0)(·b f x a x a =≠，使其满足题干所给条件.请按此同学的思路，解决以下问题.(1)求()f x 的解析式；(2)若方程2()2mx f x x =-恰有3个实数根，求实数m 的取值范围.【巩固练习4】已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，y 均有()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，当01x <<且()()0,1f x ∈.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断()f x 在 上的单调性，并证明；(3)若对任意1x ，[]21,1x ∈-，[]1,1a ∈-，总有()()212221f x f x m am -≤-+恒成立，求实数m 的取值范围.【题型7】二次函数的抽象表达式：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2axy －c二次函数的抽象表达式对于二次函数2()f x ax bx c =++ ，与其对应的抽象函数为()()()2f x y f x f y axy c +=++-()()()()()22222=++2=+++2=2f x y a x y b x y c ax bx ay by c axy ax bx c ay by c axy c f x f y axy c+=++++++++++-++-此模型，b 的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认.【例1】已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++，若()11f =，则()25f =（ ） A ．25 B ．125 C ．625 D ．15625【例2】已知函数()f x 的定义域为R ，()()()2f x y xy f x f y ++=+，()12f =，则下列说法不正确的是（ ） A ．()00f =B ．()210f -=-C ．()2y f x x =+是奇函数D ．()2y f x x =-是偶函数【例3】已知函数()f x 满足：x ∀，∈Z ，()()()21f x y f x f y xy +=+++成立，且(2)1f -=，则()()*2f n n ∈=N （ ）A ．46n +B ．81n -C ．2421n n +-D ．2825n n +-【巩固练习1】定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ,y ∈R )，f (1)＝2，则f (3)= ， f (-3)= .【巩固练习2】（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）（多选）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 恒有()()()41f x y f x f y xy +=+++，且()11f =，则（ ）A ．()01f =-B ．()f x 可能是偶函数C ．()28f =D ．()f x 可能是奇函数【巩固练习3】对于每一对实数x ，y ，函数f 满足函数方程()()()1f x f y f x y xy +=+--，如果()11f =，那么满足()()1,f m m m m =≠∈Z 的m 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数多个【巩固练习4】已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22,(1)2f x f y f x y xy f +=+-+=，则下列结论正确的是（ ） A ．(4)12f =B ．方程()f x x =有解C ．12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数【题型8】抽象函数奇偶性与对称性问题（看不出函数模型）证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到(-)f x 与()f x 的关系【例1】（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()f a f b f a ab b -=-，则（ ） A ．()00f = B ．()12f =C ．()1f x -为偶函数D ．()1f x -为奇函数【例2】（23-24高一上·重庆·期末）（多选）已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且()133f =，则下列说法正确的是（ ）A ．若对任意x ，R y ∈，总有()()()f xy yf x xf y =+，则()f x 是奇函数B ．若对任意x ，R y ∈，总有()()()f x y f x f y +=+，则()f x 是偶函数C ．若对任意x ，R y ∈；总有()()()f xy yf x xf y =+，则11327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．若对任意x ，R y ∈，总有()()()f x y f x f y +=+，则11327f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【例3】已知对任意实数x ，y ，函数()f x 满足()()()111f xy f x f y +=+++，则()f x （ ）A ．有对称中心B ．有对称轴C ．是增函数D ．是减函数【例4】已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，若()()()4f x y f x f y x y ++=，则下列结论错误的是（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是减函数【巩固练习1】（多选）已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数,x y ，都有()()()f xy yf x xf y =+，则（ ） A ．()00f = B ．()10f = C ．()()16162f f = D ．()f x 为奇函数【巩固练习2】（多选）（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数()f x 对任意,x y ∈R 恒有()()()41f x y f x f y xy +=+++，且()11f =，则（ ）A ．()01f =-B ．()f x 可能是偶函数C ．()28f =D ．()f x 可能是奇函数【巩固练习3】（23-24高一上··期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2f xy f x f y f x f y =--+，()()01f f <，且()0f x >.(1)求()1f -的值；(2)判断()f x 的奇偶性，并证明.【巩固练习4】设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f -<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-．则()55f =______．【巩固练习5】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2f xy f x f y f x f y =--+，()02f <，()()01f f ≠，且()0f x >．(1)求()0f ，()1f ，()1f -的值；(2)判断()f x 的奇偶性，并证明．【巩固练习6】（福建泉州·期末）已知定义在R 上的函数(),,R f x x y ∀∈，()()()()23f x y f x y f x f y ++-=，且()0f x ≠，则下述结论中正确的是（ ）A ．()01f =B ．若()11f =，则()20242024f =C ．()f x 是偶函数D ．()R,2x f x ∃∈=-【巩固练习7】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）（多选）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()(2)(2)f x y f x f y f x f y +=⋅---，且()()00,20f f ≠-=，则（ ）A ．()21f =B ．()f x 是偶函数C ．22[()][(2)]1f x f x ++=D ．()()()()12320241f f f f ++++=【题型9】抽象函数单调性与不等式问题（看不出函数模型）判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或.【例2】（23-24高一上·湖北鄂州阶段测）已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：对(),1,1x y ∀∈-，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．(1)判断函数()f x 的奇偶性并用定义证明；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；(3)解不等式：()1101f x f x ⎛⎫++> ⎪-⎝⎭．() =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-() =xy f ()()()112112x f xx x f x f x f -⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f【巩固练习1】（23-24高一上·山东·阶段练习）已知定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x 满足()()()()()f x f y f y f x f x y -=-，当0x >时，()0f x >，且(1)1f =．(1)求(2),(1)f f -；(2)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(3)判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并说明理由．【巩固练习2】（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为()(),00,I =-∞+∞的函数()f x 满足对任意12,x x I ∈，都有())()12121f x x x f x x f x =+ (1)求证：()f x 是奇函数； (2)设()()f x g x x=，且当1x >时，()0g x <，求不等式()()31g x g x ->-的解集．【巩固练习3】（23-24高一上·广东湛江·阶段测）已知定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x 满足()()()()f xy f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x <，且()11f =．(1)求()()2,1f f -；(2)判断()f x 的奇偶性，并说明理由；(3)判断()f x 在(),0-∞上的单调性，并用定义证明．【巩固练习4】设定义在R 上的函数()f x 对任意,R x y ∈均满足：()()2()2x yf x f y f ++=，且(0)0f =，当0x >时，()0f x >.(1)判断并证明()f x 的奇偶性；(2)()f x 在R 上的单调性 (3)若(2)1f =，解不等式(21)2(3)f m f m -≤-+.【巩固练习5】（高一上·广东广州）定义在R 上的函数()y f x =满足：①值域为(1,1)-，且当0x >时，1()0f x -<<，②对定义域内任意的,x y ，满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=+⋅，试回答下列问题：(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)判断并证明函数()y f x =的单调性；(3)对(0,),[1,2]m a ∀∈+∞∃∈-，使得不等式()22(23)f am mt f m a m --≥+恒成立，求t 的取值范围．【巩固练习6】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+．(1)判断()y f x =的奇偶性并证明；(2)若()11f =，求()2f -；(3)若()30,0x f x x ∀>+>，判断并证明()3y f x x =+的单调性．【题型10】正弦或双曲正弦函数的抽象表达式正弦型函数的抽象表达式对于正弦函数()sin f x kx = ，与其对应的抽象函数为22()()()()f x y f x y f x f y +-=- 注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：22sin sin sin()sin()αβαβαβ-=+-备注：这类函数，还有可能是双曲正弦函数型()2x xe ef x --=【例1】已知函数()f x 的定义域为()()()()22R,f x y f x y f x f y +-=-，且当0x >时，()0f x >，则（ ） A ．()01f = B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是增函数D ．()f x 是周期函数【例2】（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()()223,122f x y f x y f x f y f f x ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．()f x 为偶函数C ．(3)(3)f x f x +=--D ．(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=【巩固练习1】（多选题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()11,21f f x =+为偶函数，则（ ）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．()()22f x f x +=--D ．(1)(2)(3)(2024)0f f f f ++++=【巩固练习2】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且22()()()(),(1)2,(2)0f x y f x y f x f y f f +-=-==，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．(3)2f =-C ．(1)(5)f f -=D ．20242()2k f k ==-∑【巩固练习3】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且22()()()(),(1)1,(2)0f x y f x y f x f y f f +-=-==，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ．(3)1f =-C ．(1)(5)f f -=-D ．20231()1k f k ==∑【题型11】余弦或双曲余弦函数的抽象表达式余弦型函数的抽象表达式对于余弦型函数()cos f x kx = ，涉及2种余弦的和差化积公式 1、公式一：cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=其抽象函数模型是：()()222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、公式二：cos()cos()cos cos 2αβαβαβ++-=（2022新高考2卷T8用的就是这个模型）2其抽象函数模型是：2()()()()f x f y f x y f x y =++-3、双曲余弦函数：这类抽象表达式，还有可能是双曲余弦函数型()2x xe ef x -+=，不过较少出现特征：()()cosh 12x x e e f x x -+==≥=【例1】（多选）已知定义在R 上的连续函数()f x 满足,x y ∀∈R ，()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，当[)0,1x ∈时，()0f x >恒成立，则下列说法正确的是A ．()01f =B ．()f x 是偶函数C ．13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()f x 的图象关于2x =对称【例2】（多选）已知函数()f x 满足()()()(),R,2x y f x y f x y f x f y ∀∈++-=，且()10f =，则下列命题正确的是（ ） A ．()21f = B ．()1f x +为奇函数C ．()f x 为周期函数D ．0R x ∃∈，使得()020f x +=成立【例3】（多选）已知函数()y f x =对任意实数x ，y 都满足()()222x y x y f f f x f y +-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且()11f =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()00f =C ．()()10f x f x +-=D ．()()()()12320231f f f f +++⋅⋅⋅+=-【例4】（多选）已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则下列说法正确的是（ ）A ．()01f =B ．()f x 为偶函数C ．()()2f x f x =D ．2是函数()f x 的一个周期【巩固练习1】已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()()()11,f f x y f x yf x f y =++-=，则()8f = .【巩固练习2】（多选）函数() f x 的定义域为R ，且满足()()()() 2f x y f x y f x f y ++-=，()41f =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()00f =B ．()20f =C ．()f x 为偶函数D ．()f x 的图象关于()1,0对称【巩固练习3】（多选）函数() f x 的定义域为R ，且满足()()()() 2f x y f x y f x f y ++-=，()41f =-，则下列结论正确的有（ ）A ．()00f =B ．()20f =C ．()f x 为偶函数D ．()f x 的图象关于()1,0对称【巩固练习4】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()(),11f x f y f x y f x y f ⋅=++-=，则下列选项不正确的是（ ） A ．()02f = B ．()f x 为偶函数C ．()()6f x f x =+D ．()f x 在区间[]0,4上单调递减【巩固练习5】已知定义在 上的函数()f x 满足：()112f =，且()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则下列结论正确的是（ ） A ．()00f =B ．()f x 的周期为4C ．()21f x -关于12x =对称 D ．()f x 在()0,∞+单调递减【巩固练习6】（2022新高考2卷T8）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【题型12】正切型函数的抽象表达式正切型函数的抽象表达式对于正切型函数 ()tan f x kx =（k 根据其余条件待定系数），此抽象函数对应于正切函数和差角公式：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=与其对应的抽象函数为()()()1()()f x f y f x y f x f y ±±=【例1】（多选）已知函数()f x 的定义域为{}42,x x k k Z ≠+∈，且()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=-，()11f =，则（ ） A ．()00f = B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为周期函数，且4为()f x 的周期D ．()20231f =-【例2】（多选题）已知函数()f x 满足(1)1f =，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，则（ ）A ．()00f =B ．()()f x f x -=-C ．()f x 的定义域为RD ．()f x 的周期为4【例3】已知函数()f x ()1,1-，满足：当0x >时，()0f x >；任意的x ，()1,1y ∈-，均有()()()()()1f x y f x f y f x f y ⎡⎤+-=+⎣⎦.若()1ln 2f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（ ）（e 是自然对数的底数）A ．1e ⎛ ⎝B ．C ．)e 1e ⎛⋃ ⎝D ．)e【巩固练习1】给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =【巩固练习2】（多选题）（23-24高二上·广东茂名·阶段测）已知函数()f x 的定义域为{}42,x x k k ≠+∈Z ，且()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=-，()11f =，则（ ）A ．()00f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为周期函数，且2为()f x 的周期D ．()20231f =-【巩固练习3】（多选）已知函数()f x 的定义域为(1,1),()()1x y f x f y f xy ⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭，且当(0,1)x ∈时，()0f x >，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 为增函数C ．若实数a 满足不等式(2)(1)0f a f a +->，则a 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．111236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固练习4】已知定义在()1,1-上的函数()f x 满足：当0x >时，()0f x >，且对任意的x ，()1,1y ∈-，均有()()()()()1f x y f x f y f x f y ⎡⎤+-=+⎣⎦.若()1ln 2f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（e 是自然对数的底数）（ ）A ．B ．1e ⎛ ⎝C ．)D ．)e 1e ⎛⋃ ⎝【题型13】三次函数模型三次函数型：()()()()3，f x y f x f y axy x y +=+++则()3f x ax bx =+（其中b 可以借助其他条件待定系数）【例1】（多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，则（ ）A ．()y f x =是奇函数B ．若()11f =，则()24f -=C ．若()11f =-，则()3y f x x =+为增函数D ．若()30,0x f x x ∀>+>，则()3y f x x =+为增函数【巩固练习1】已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，证明：()y f x =是奇函数【巩固练习2】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+．(1)判断()y f x =的奇偶性并证明；(2)若()11f =，求()2f -；(3)若()30,0x f x x ∀>+>，判断并证明()3y f x x =+的单调性．【题型14】正余弦函数辅助角型正余弦函数辅助角型，形如()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅ 则()sin cos f x a x b x a b =+，， 值可以通过其他条件待定系数【例1】已知函数()f x 的定义域为()()()R,2cos f x y f x y f x y ++-=且()01f =，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭么（ ）A ．()f x 为偶函数B ．()π1f =C ．π2x =是函数的最大值点 D ．()f x 的最小值为2-【巩固练习1】已知函数()f x 的定义域为R ，且()π012f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()()2cos f x y f x y f x y ++-=⋅，则函数()f x （ ）A ．以π为周期B ．最大值是1C ．在区间ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．既不是奇函数也不是偶函数【巩固练习2】（多选题）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数x 、y 满足()()()2cos f x y f x y f x y ++-=，且()00f =，π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．其中正确的是（ ）A ．π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 为奇函数C ．()f x 为周期函数D ．()f x 在(0,π)内单调递减【题型15】其它函数的抽象表达式1、反比例函数：()()()()()f x f y f x y f x f y +=+，则(1)()f f x x=，,(),(),()0x f x f y f x y ⎡⎤⎣⎦+均不为 2、()ln f x x x =：()()()f xy xf y yf x =+3、2()ln f x x x =：()()()22f xy x f y y f x =+【例1】（江苏省G4联盟联考）（多选）定义在()0,∞+上的函数()f x 满足如下条件：①()()()22f xy x f y y f x =+；②当1x >时，()0f x >.则（ ）A ．()10f =B ．()2f x x在()0,∞+上是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()10f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭【巩固练习1】已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x ，对任意的,R x y ∈，都有()()()f xy xf y yf x =+，()22f =（1） 求()8f ；（2）证明函数()f x 是奇函数【巩固练习2】（2023新高考1卷12题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点（高一可改为单调性相关的问题）。
麻城实验高中2013届高三年级9月月考数学试卷
麻城实验高中2013届高三年级9月月考数学试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1.设集合A={x |-1<x<2},集合B=N ，则A ∩B=( A ) A.{0，1} B.{1} C.1 D.{-1，0，1，2}2.已知集合M={}23xy x ∣=-,N={12}x x +≤,全集U=R ，则图中阴影部分表示的集合为（ C )A.{}31x x ∣-≤≤B {31}x x ∣-≤≤ C. {33}x x ∣-≤<- D. {13}x x ∣≤≤3.命题“2,240x R x x∀∈-+≤”的否定是（B ）A. 2,240x R x x∀∈-+≥ B.2,240x R x x ∃∈-+>C.2,240x R x x ∀∉-+≤ D.2,240x R x x ∃∉-+>4.设1121122b a<<<⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（ C ）A.abaaa b << B. aa b ab a << C.b a a a a b << D.b a aa b a <<5.已知()f x 是R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有()()()63f x f x f +=+成立。
若f(1)=2, 则f(2013)=( D)A.2013B. 2C.1D.06.已知实数x,y 满足条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则24z x y =+-的最大值为（A ）A.21 B,20 C.19 D.18 7.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()2()3xf x x a a R =-+∈,则f(-2)=( B )A.-1B.-4C.1D.48.已知命题p:函数()sin 2f x x =的最小正周期为π；命题q:若函数()1f x +为偶函数， 则()f x 关于x=1对称。
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设函数，若，则 .【答案】【解析】若，则，所以，无解；若，则，所以，解得.故.【考点】分段函数，复合函数，容易题.2.若函数则____________.【答案】．【解析】由已知得．【考点】求分段函数的值．3.设，则满足的的值为（）A．2B．3C．2或3D．【答案】C.【解析】由题意或.【考点】分段函数.4.已知函数，则的值是 .【答案】【解析】，．【考点】分段函数求值．5.已知函数则函数的零点个数（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由得：.由得：.所以；此时，每一段都是单调递增的，且，，.由此可作出其简图如下图所示（实线部分）：由图可知，该函数有4个零点.【考点】1、分段函数；2、函数的零点.6.已知函数若存在，当时，，则的取值范围是 .【答案】【解析】作出函数的图象如图所示，由图可知：.选.【考点】1、分段函数；2、不等关系.7.设，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴.【考点】1、分段函数；2、指数、对数运算.8.已知定义在R上的函数满足，，且在区间上是减函数．若方程在区间上有四个不同的根，则这四根之和为（）A．±4B．±8C．±6D．±2【答案】B【解析】由知，为奇函数，所以.由得，所以的周期为8.又由及得：，所以的图象关于直线对称.又在区间上是减函数，由此可得在一个周期上的大致图象：向左右扩展得：由于方程在区间上有四个不同的根，由上图可知，要么是，要么是，所以四个根之和要么为－8，要么为8.选B.【考点】1、抽象函数的奇偶性和周期性单调性及图象；2、方程的根.9.若函数，则（）A．B．1C．D．3【答案】A【解析】，，选A.【考点】分段函数的求值.10.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A．[1，2]B．[0，4]C．（0，4]D．[，4]【答案】D【解析】依题意，得，即，故 .【考点】1.抽象函数的定义域；2.不等式的解法.11.已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】分段函数零点的判定，常借助于函数图像与轴的位置来确定.函数是由函数的图像上下平移得到，当，时，函数有一个零点；函数的图像是一条开口向上的抛物线，当，，即时，有两个零点；因此，满足题设的实数的取值范围是.【考点】分段函数指数函数二次函数的图像与性质函数零点的判定12.已知实数，函数，若，则的值为 .【答案】【解析】时，，解之得（舍）；时，，解之得.本题易忽略分类讨论，直接由得，从而造成错误.【考点】考查分段函数，方程的解法及分类讨论思想.13.已知实数，函数，若，则的值为 .【答案】【解析】时，，解之得（舍）；时，，解之得.本题易忽略分类讨论，直接由得，从而造成错误.【考点】考查分段函数，方程的解法及分类讨论思想.14.函数的图象与函数的图象的公共点个数是个【答案】2【解析】做出函数和的图象如图，显然有2个公共点.【考点】1.分段函数的图象；2.对数函数图象的变换.15.已知则的值等于．【答案】【解析】由题意知.【考点】分段函数16.设函数，则满足的的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，由得，解得，所以不等式在区间上的解集为；当时，由得，解得，所以不等式在区间上的解集为，综上所述，满足的的取值范围是.【考点】分段函数、对数函数17.已知函数若，则等于．【答案】或【解析】令，满足，当，满足所以等于或【考点】分段函数点评：分段函数由函数值求自变量时需在各段内分别求x的值，求出后注意验证各段的x的范围是否满足18.已知函数，（，且），若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，函数，（，且），且数列满足，且是递增数列，所以，=在（1，+∞），是增函数.由复合函数的单调性，在（，+∞）是增函数，所以，a>1，且，解得，，故选C。
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抽象函数常见题型归纳 一、定义：所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
二、中学阶段常用抽象函数()fx的“原型”（函数）： 1．()()()fxyfxfy——ykx(k为常数） 2．()()()fxyfxfy——y=xa（0a且1a） 3．()()()fxyfxfy——logayx（0a且1a） 4．()()()fxyfxfy——nyx(n为常数）
5．()()2()()22xyxyfxfyff或()()2()()fxyfxyfxfy，y=cosx(常数） 6．()()()1()()fxfyfxyfxfy——y=tanx
7. )y(f)x(f)y(f)x(f1)yx(f y=cotx
三、常见问题：定义域问题 、求值问题 、值域问题 、解析式问题、单调性问题、奇偶性问题、周期性与对称性问题、解不等式问题、综合问题等。
题型分析： （一）定义域问题 例1.若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 。
解：f(x)的定义域是2,2，意思是凡被f作用的对象都在2,2 中。 评析：已知f(x)的定义域是A，求xf的定义域问题，相当于解内函数x的不等式问题。
例2．已知函数xf3log的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。11log,13 评析： 已知函数xf的定义域是A，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数x的值域。
11x（二）求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例3.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手： ,)]1([2)()1(,1,2fnfnfynx得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,
得：f(0)=0, ∴f(1)=21,.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n 故即 例4.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1 解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1 即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1), 故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1. （三）值域问题 例5.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx,
使得)()(21xfxf，求函数f(x)的值域。 解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。
由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y均成立，因此，0)2()(2xfxf ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. （四）解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1 (0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1 (0≤u≤2) 小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例7．设对满足x≠0,x≠1的所有实数x，函数f(x)满足,xxxfxf11 ,求f(x)的解析式。 解:(1)1),x0(x x1)x1x(f)x(f且---- ,12)11()1(:x1-xxxxfxxfx得代换用
（2） :)1(x-11 得中的代换再以x .12)()x-11f(xxxf---（3）
1)x0(x x2x21xx)x(f:2)2()3()1(223且得由 小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
例8.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x). 解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例9.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n∈N; ②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*; ③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2. 又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x∈N*) (数学归纳证明 略） 小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 例10.已知)(xf是定义在R上的偶函数，且)21()23(xfxf恒成立，当3,2x时，xxf)(，则当)0,2(x时，函数)(xf的解析式为（ D ）
A．2x B．4x C．12x D． 13x 解：易知T=2，当)1,2(x时,3,24x,∴)(4)4(xfxxf; 当)0,1(x时3,22x,∴)()(2)2(xfxfxxf.故选D。 小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。 五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）
例11.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设x10,∴f(x2-x1)<0） 所以f(x)是R上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3), 令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6. 例12．已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有
1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，
（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式2(21)2fx 解： （1）设210xx，则221111()()()()xfxfxfxfxx221111()()()()xxfxffxfxx
∵210xx，∴211xx，∴21()xfx0，即21()()0fxfx，∴21()()fxfx ∴()fx在(0,)上是增函数 （2）(2)1f，∴(4)(2)(2)2fff，∵()fx是偶函数∴不等式2(21)2fx可化为2(|21|)(4)fxf，又∵函数在(0,)上是增函数，∴0≠2|21|4x，解得：10102{|}222xxx且
例13．定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1. (1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 解:(1)令x=2m,y=2n,其中m,n为实数,则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y) ,2x,2xnm,xx0:)2(n2m121且使可令设证明0nm)2(f)nm()2(f)xx(f)x(f)x(f)1(nm2121得由