极坐标（高中数学经典问题选编）（高中数学，选修4-4）
1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程ຫໍສະໝຸດ ，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
2
[答案]
3
点击进入 创新演练大冲关
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
人教高中数学选修 4-4 极坐标与参数方程 知识点
极坐标与参数方程面面观1、极坐标极坐标系（polar coordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。
在平面上取定一点O，称为极点。
从O出发引一条射线Ox，称为极轴。
再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。
这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。
阿基米德螺旋线rθ=玫瑰线2sin(4) rθ=双纽线r2=2a2cos2θ心形线极坐标中的直线一般方程a ρcos θ+b ρcos θ+c =0(θ为倾斜角)极坐标中的圆圆心在极点，半径为R ：ρ=R （θ任意）半径为R 的圆过（R,0）点：ρ=2Rcos θ.圆心(a ，α)半径为r ：r 2=ρ2+a 2−2a ρcos (α−θ)ρ^2-2R ρ(sin θ+cos θ)+R^2=0圆心在(a ，π2)处且过极点：ρ=2asin θ(θ∈[0，π]) 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep -=.（p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ）．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.2、参数方程 定义：一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数't’的函数{x=f(t)，y=g(t)}并且对于't‘的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M （x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x ，y 的变数't‘叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
（注意：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数）圆的参数方程它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径。
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
三、小
结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ） 四、课后作业 教材P14-15页5，8，9，10，11 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) (A) (10, 4) (B) (-10, - 5) (C) (10, - 2) (D)(10, 2) 3 3 3 3
5 3 (-, +)
(, 2k+)
[-, +(2k+1)]
都是同一点的 极坐标.
例3. 已知点Q(, )，分别按下列条件求出点P的坐标： (1) P是点Q关于极点O的对称点； (2) P是点Q关于直线 的对称点. 2 (3) P是点Q关于极轴的对称点。 注意点M的极坐标具有多值性.
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它 的正方向（通常取逆时针方向）. O 这样就建立了一个极坐标系.
X
2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。
情境2：请问到深大附中怎么走？ 从这向南走200米.
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从 这 向 南 走 2 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的 位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的 思想，就是极坐标的基本思想。
高中数学选修4-4解答题
选修4-4一、解答题1.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin （θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．4.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．5.已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．6.已知直线l的参数方程为 (t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=1.（1）求曲线C的直角坐标方程.（2）求直线l被曲线C截得的弦长.7.将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．9.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。
高中数学选修4-4检测：极坐标系及其极直互化(附解析)
⎪⎭⎝4A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2) D.(－2，2)2.点M 的直角坐标为⎪⎭⎫⎝⎛20π，，则点M 的极坐标可以为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πB.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛22ππ，D.⎪⎭⎫⎝⎛2-2ππ，3.下列各点与⎪⎭⎫⎝⎛32π，表示极坐标系中同一点的是( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛322π，B.(2，π)C. ⎪⎭⎫⎝⎛372π， D.(2，2π)4．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )A ．ρ＝3，θ＝4B ．ρ＝5，θ＝4C ．ρ＝5，tan θ＝43D ．ρ＝5，tan θ＝－435．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________．6.在极坐标系中，已知点P 1⎪⎭⎫ ⎝⎛46π，、P 2⎪⎭⎫⎝⎛438π，，则|P 1P 2|等于( ) A.9 B.10 C.14 D.27.下列的点在极轴上方的是( )A.(3，0)B.⎪⎭⎫⎝⎛673π，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛474π， D .⎪⎭⎫ ⎝⎛4174π，8.点M ⎪⎭⎫⎝⎛656π，到极轴所在直线的距离为________.9．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛24π，，则线段AB 的中点的极坐标为( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛422π， B.⎪⎭⎫⎝⎛42π， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛44π， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛42π，10．在极坐标系中，若A ⎪⎭⎫ ⎝⎛33π，，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛674π，，求△ABO 的面积(O 为极点)为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6⎪⎭⎝4A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2) D.(－2，2) 解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B2.点M 的直角坐标为⎪⎭⎫⎝⎛20π，，则点M 的极坐标可以为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2πB.⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛22ππ，D.⎪⎭⎫⎝⎛2-2ππ，解析 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛22ππ，.答案 C 3.下列各点与⎪⎭⎫⎝⎛32π，表示极坐标系中同一点的是( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛322π，B.(2，π)C. ⎪⎭⎫⎝⎛372π， D.(2，2π) 解析 与极坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛32π，相同的点可以表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππk 232，(k ∈Z)，只有⎪⎭⎫⎝⎛372π，适合.答案 C4．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( )A ．ρ＝3，θ＝4B ．ρ＝5，θ＝4C ．ρ＝5，tan θ＝43D ．ρ＝5，tan θ＝－43解析：由公式得ρ＝x 2＋y 2＝32＋(－4)2＝5，tan θ＝y x ＝－43，θ∈[0,2π)．答案：D5．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________．解析：直角坐标为(1，－3)的点在第四象限，tan θ＝－3，所以θ＝2k π－π3(k ∈Z)．答案：2k π－π3(k ∈Z)6.在极坐标系中，已知点P 1⎪⎭⎫ ⎝⎛46π，、P 2⎪⎭⎫⎝⎛438π，，则|P 1P 2|等于( )A.9B.10C.14D.2解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.答案 B7.下列的点在极轴上方的是( )A.(3，0)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛673π，C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛474π， D .⎪⎭⎫⎝⎛4174π，解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎪⎭⎫ ⎝⎛673π，，⎪⎭⎫⎝⎛474π，在极轴下方，点⎪⎭⎫⎝⎛4174π，在极轴上方，故选D.8.点M ⎪⎭⎫⎝⎛656π，到极轴所在直线的距离为________.解析 依题意，点M ⎪⎭⎫⎝⎛656π，到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.答案 3 9．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎪⎭⎫⎝⎛24π，，则线段AB 的中点的极坐标为( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛422π， B.⎪⎭⎫⎝⎛42π， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛44π， D.⎪⎭⎫ ⎝⎛42π，解析：由题易知点A ，B 的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB 的中点的直角坐标为(2,2)．由ρ2＝x 2＋y 2，得ρ＝2 2. 因为tan θ＝22＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝π4.故线段AB 的中点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛422π，.答案：A10．在极坐标系中，若A ⎪⎭⎫ ⎝⎛33π，，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛674π，，求△ABO 的面积(O 为极点)为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：由题意可知，在△ABO 中，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以△ABO 的面积为S ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin 5π6＝12×3×4×12＝3.答案：B。
数学：4.1.2《极坐标系(1))课件(新人教选修4-4)
M
O X
(, ) (2) 平面内点的极坐标用_____表示.
(0, ), 可为任意值. 极点的极坐标为_________________
例1. 如图，写出各点的极坐标： 2 A(4,0) 4 5 B(3, ) 4 6 D C(2, 2 ) • C • • B 5 E A D(5, ) 。 • • 6 x O E(4.5, )
F
•
G
4 3
•
5 3
F(6, 4) 3 G(7, 5 ) 3
[变式训练1 ] 在课本P6的图上描下列点：
三、小
结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向. [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个. [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。（ρ ，2kπ +θ ） 四、课后作业 教材P14-15页5，8，9，10，11 思考: 极坐标系中, 点M的坐标为(-10, ), 则下列各 3 坐标中, 不是M点的坐标的是( ) (A) (10, 4) (B) (-10, - 5) (C) (10, - 2) (D)(10, 2) 3 3 3 3
请说出点M的极坐标的其他表达式 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。 π 2kπ+ 4， 本题点M的极坐标统一表达式： 4 O
4
Байду номын сангаас
1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置 关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的 形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
解：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得 x＋y＝1； 由 ρ(sin θ－cos θ)＝1，得 y－x＝1.
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[精讲详析]
本题考查直线的极坐标方程的求法，解题的关
键是通过解直角三角形得到动点 M 的等式．然后转化为关于 ρ， θ 的等式． 如图所示，设 M(ρ，θ)为直线 l 上的任意一点．
过点 M 作 MH⊥x 轴， π ∵A(2，4)， π ∴|MH|＝2sin 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2. π ∴过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程为． ρsin θ＝ 2.
[整理版]高中数学选修4—4（坐标系与参数方程）知识点总结
![[整理版]高中数学选修4—4（坐标系与参数方程）知识点总结](https://img.taocdn.com/s3/m/73936effb9f67c1cfad6195f312b3169a451eac1.png)
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极坐标（高中数学经典问题选编）（高中数学，选修4-4）
高中数学经典问题选编----极坐标
知识点：
1. 极坐标系：点的极坐标与直角坐标的互化。
2. 一般约定，极径是非负的。
3. 极点的极径为0，极角可取任意值。
4. 极直互化：双系的前提；（点/线）的极坐标与直角坐标的互化。
5. 直线和圆的极坐标方程：设点，解三角形。
有需要的同行和小朋友自行收藏。
以下为拓展内容：
5. 圆锥曲线的极坐标方程。
6. 笛卡尔的心形线----一个凄美的爱情故事（以下来自网络，有
删改）。
1650年，斯德哥尔摩的街头，笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克
里斯汀，这一年，他52岁。
落魄的笛卡尔穿着破破烂烂的衣服，随身带着几本数学书籍，生
性清高的他默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。
一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学
问题。突然，有人拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛
卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚
动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。
她，克里斯汀，瑞典小公主，国王最宠爱的女儿。她蹲下身，拿
过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。他发现，这女孩思维敏
捷，对数学有着浓厚兴趣。
几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。
满心疑惑的笛卡尔来到皇宫。从远处传来的银铃般的笑声中，他转过
身来，看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。
在他悉心指导下，公主的数学突飞猛进，他们之间也变得亲密起
来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代
数与几何可以结合起来，这就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。
克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影
不离也使他们爱慕，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。
然而，好景不长，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒将
他放逐回国，而公主被软禁在宫中。
当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后
染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶
遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持写信，盼望着她的回音。然而，这
些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。
在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世
界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着
远方的情人。
这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。
今年上高二的一个文科班和理科班，平时收集和提炼了一些资料，
想一个章节一个章节的整理下来，发到这里，以此见证曾经走过的路
和曾经所做的努力。也希望能给同行们提供一些方便，给小朋友们提
供一些参考，当然，更希望得到大家的回应，包括点赞和收藏，批评
和建议。
一路上有你，苦一点也愿意。