数分第十八章隐函数练习题
第18章隐函数定理及其应用1-4节
暨南大学数学分析精品课程
y y0
y0
y0
+ + + + + + ++ + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +
y0
+ + + + + + ++ + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +
S
O x0
x0 x0 x
(a) 一点正,一片正
Fy ( x , y ) 0 , ( x , y ) S ,
其中 S [ x0 , x0 ] [ y0 , y0 ] D.
别对于函数 z F ( x0 , y ), 由
y y0
y0
+
＋
＋ ＋
件 F ( x0 , y0 ) 0 可知
微积分隐函数练习题
微积分隐函数练习题微积分是数学中非常重要的一个分支，它研究的是函数的变化规律。
而隐函数则是微积分中的一个重要概念，它描述的是一种依赖于多个变量的函数关系。
在学习微积分的过程中，练习隐函数问题是必不可少的。
本文将通过一些隐函数练习题，帮助读者更好地理解微积分中的隐函数概念及其应用。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设有一个函数方程：$x^2 + y^2 = 1$。
这个方程描述了一个单位圆的边界。
我们可以通过这个方程来求解关于 $y$ 的隐函数。
为了求解隐函数，我们需要将方程转化为关于 $y$ 的形式。
对于这个例子，我们可以将方程改写为 $y = \sqrt{1 - x^2}$。
这样，我们就得到了一个关于$y$ 的隐函数。
接下来，我们可以通过求导来计算这个隐函数的导数。
对于 $y = \sqrt{1 -x^2}$，我们可以使用链式法则来求导。
首先，我们令 $u = 1 - x^2$，那么 $y= \sqrt{u}$。
然后，我们对 $y$ 求导得到 $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$。
最后，我们再对 $u$ 求导得到 $\frac{du}{dx} = -2x$。
将这两个导数相乘，我们就得到了关于 $x$ 的隐函数的导数：$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$。
通过这个例子，我们可以看到隐函数的求解过程以及求导过程。
在实际应用中，隐函数常常出现在物理学、经济学等领域的问题中。
通过求解隐函数，我们可以更好地理解和描述这些问题。
接下来，我们来看一个稍微复杂一些的隐函数问题。
假设有一个函数方程：$x^3 + y^3 = 6xy$。
我们需要求解关于 $y$ 的隐函数。
为了求解隐函数，我们可以尝试将方程转化为关于$y$ 的形式。
对于这个例子，我们可以将方程改写为 $y = \sqrt[3]{6xy - x^3}$。
这样，我们就得到了一个关于 $y$ 的隐函数。
专升本隐函数练习题
专升本隐函数练习题隐函数是高等数学中的一个重要概念，经常在各种数学问题和工程问题中出现。
掌握隐函数的求导和应用方法，对于专升本考试中数学题的解答非常有帮助。
下面，我们将通过几个练习题来加深对隐函数的理解和应用。
练习题1：已知函数关系式y = f(x)的导函数为f'(x)，求函数关系式x = g(y)的导函数g'(y)。
解答：根据隐函数的定义，我们可以得到以下关系：dy/dx = 1/f'(x)我们需要求解的是g'(y)，即dy/dx的倒数。
根据链式法则，可以得到：dy/dx = 1 / dx/dy将上面两个式子联立，得到：1/f'(x) = 1 / dx/dy两边同时取倒数，得到：dx/dy = f'(x)因此，函数关系式x = g(y)的导函数g'(y)为f'(x)。
练习题2：已知函数关系式y = f(x)满足方程f(x) - f'(x) + x = 0，求f(x)的表达式。
解答：根据题目给出的方程f(x) - f'(x) + x = 0，我们可以看出这是一个隐函数方程。
为了求解f(x)，我们可以利用隐函数求导公式。
对方程两边同时求导，得到：d(y - y')/dx + 1 = 0将y替换为f(x)，y'替换为f'(x)，上式化简为：df(x)/dx - f'(x) + 1 = 0移项整理可得：df(x)/dx = f'(x) - 1我们可以将上式看作是f(x)关于x的导函数在x点处的值为f'(x) - 1。
这意味着f(x)可以看作是f'(x) - 1的原函数。
因此，我们可以积分得到f(x)的表达式。
∫f'(x) - 1 dx = ∫df(x) = x + C其中C为常数。
因此，f(x)的表达式为：f(x) = x + C练习题3：已知函数关系式x^2 + y^2 = 4，求y关于x的导数dy/dx。
第十八章 隐函数定理及其应用
同理可得
(F ,G ) (u , x ) (F ,G ) ( y, v) (F ,G ) (u , y )
2u 1 0 1 2u 1
1 0 1 2v 0 1
v
1
x u 1
1
1
4 uv 1
2u
2u 4 uv 1
F z G z
(F ,G ) F y G ( y, z) y F z G z
F (F ,G ) y G ( y, x) y
F x G x
问题2
依葫芦画瓢哦 ！
将 x 或 y 看成常数 G ( x, y, u , v) 0 F ( x, y, u , v) 0
将 yx看成常数 将 看成常数
FF G ) ) (( , ,G
FF G ) ) (( , ,G
u u y x
( y v v ) ( x, , )
v v y x
( F, G ) ) (F ,G uu v v ) (( , , )
设 F (x z
y z , xyz ) 0 确定 z z ( x , y ), F1 yz F 2
F y
F1 xz F 2 ,
z y
F1 xz F 2
F1 xy F 2
定理
(隐函数存在定理)
1
X 设 1. F ( F, u ) C (U( X 0 , u 0 )) ； 请同学们自己将上面的隐函数存在
则方程 F ( x , 且 z0
y, z) 0
在 U((
x 0 , y 0 )) 内唯一
1
高等数学第18章第1节隐函数(精品文档)
第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一 、 隐函数概念（P144）在这之前我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如 12+=x y ，).sin sin (sin zx yz xy eu xyz++=这种形式的函数称为显函数。
但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式或方程组所确定。
这种形式的函数我们称为隐函数。
☆ 本节将介绍由一个方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数求导法；☆ 下一节将介绍由方程组⎩⎨⎧==0),,,,(0),,,,(v u z y x G v u z y x F 所确定的隐函数求导法。
设R X ⊂，R Y ⊂，函数.:R Y X F →⨯注．：1）定义中的)(x f y = ,,J y I x ∈∈仅表示定义域为I,值域为J 的函数，而y 未必能 用x 的显式表示2）隐函数是表达函数的又一种方法. 是用隐形关系式表示函数关系的一种。
结论．．：若由．．0),(=y x F 确定．．的隐函数为．．．．．)(x f y = .,J y I x ∈∈则成立恒等式．．．．．．.,0))(,(I x x F x F ∈≡例： 方程 01=-+y xy ，当x 定义在),1()1,(+∞---∞ 上时，可得隐函数)(x f y =。
其显函数形式为：.11xy +=例： 圆方程122=+y x 能确定一个定义在[]1,1+-上，函数值不小于0的隐函数21x y -=；又能确定另一个定义在[]1,1+-上，函数值不大于0的隐函数21x y --=。
注．：1）隐函数必须在指出确定它的方程以及y x ,的取值范围后才有意义。
2）当然在不至于产生误解的情况下，其取值范围也可不必一一指明。
3）并不是任一方程都能确定出隐函数，如方程.022=++c y x当0>c 时，就不能确定任何函数()x f ，使得[].0)(22≡++c x f x而只有当0≤c 时，才能确定隐函数。
隐函数
隐函数问题 1. 方程 222(,)0 F x y x y a =+-= 在区间 [] , a a - 上是否只有两个隐函数22 y a x =- 与 22y a x =-- ？答 否。
例如，函数[ ] [ ] 2222 , () , a x x a a y g x a x x a a ì -- ï== í--- ï î是 上有理数 是 上无理数 与22 22 [0,) () [,0)a xx a y h x a x x a ì -Î ï == í--Î- ï î都是方和 222(,)0 F x y x y a =+-= (,)0 F x y = 在 [ ] , a a - 上的隐函数，即 [ ] [ ] ,()0,,()0.F x g x F x h x ºº 按照同样的方法还能写出一些满足方程 (,)0 F x y= 的隐函数。
不难看到，这些隐函数 (),(),, y g x y h x == LL 在 [ ] , a a -上都不连续。
我们只能说， 方程 222 (,)0 F x y x y a =+-= 在区间22 y a x =±- [ ] , a a - 上只存在两 个连续隐函数 22y a x =±- 。
一般来说 ， 在平面曲线222(,)0 F x y x y a =+-= （ 圆 ） 上任取一点 '00 (,)0 x F x y ¹ 0 () x a ¹±，总存在某个领域，在此领域内，方程 (,)0 F x y = 只存在唯一一 个连续隐函数 （ 如图 11.1 ）。
但在点 a 的左侧 [ ] , a a d - （或点 － a 的右侧[ ] , a a d --+ (0) a d << ）上，满足方程 (,)0 F x y = 的连续的隐函数不是唯一的，此外还存在不连续的隐函数，例如，函数[ ] [ ] 2222, () , a x x a a x a x x a a d j d ì +- ï = í-+- ï î是 上有理数 是 上无理数就是方程222(,)0 F x y x y a =+-= 在 [ ] , a a d - 上的非连续的隐函数，即 [ ] [ ] ,()0,,.F x x x a a w d ºÎ-问题 2. 怎样讨论隐函数的分析性质（连续性、可微性）？答 讨论方程 (,)0 F x y= 所确定的隐函数 () y f x = 的分析性质，要借助于函数 (,) F x y 的分析性质。
第18章隐函数定理及其应用4
L( x1 , x2 ,L , xn , λ 1 , λ 2 ,L , λ m )
= f ( x1 , x2 ,L , xn ) +
k =1
∑ λ kϕ k ( x1 , x2 ,L , xn ).
m
(3)
称此函数为拉格朗日函数, 称此函数为拉格朗日函数, 其中 λ 1, λ 2,L , λ m 称 拉格朗日函数 为拉格朗日乘数. 拉格朗日乘数 定理 18.6 设上述条件极值问题中的函数 f 与 ϕ k
2 z( x + y ) + x y ≥ 3
3
4V 2 , 其中 V = x yz . 消
4( x yz )2 , x > 0, y > 0, z > 0.
这里有两个条件式, 例2 解 这里有两个条件式 需要引入两个拉格朗 日常数; 而且为了方便计算, 日常数 而且为了方便计算 把目标函数改取距离
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则称 f ( P0 ) 是 f ( P ) 在约束条件 Φ 之下的极小值 (或最小值 , 称 P0 是相应的极小值点 (或最小值 或最小值) 或最小值 或最小值 或最大) 点). 类似地又可定义条件极大 (或最大 值. 或最大
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二、拉格朗日乘数法
(A) 拉格朗日乘数法探源 先从 n = 2, m =1 的最简 情形说起, 情形说起 即设目标函数与约束条件分别为
并使
Lx = −1 x 2 + λ yz = 0, L y = −1 y 2 + λ xz = 0, Lz = −1 z 2 + λ x y = 0, Lλ = x y z − a 3 = 0.
由此方程组易得 x = y = z = a , 并有 f (a , a , a ) = 3 a . 下面给出 3 a 是条件最小值的理由 是条件最小值的理由.
数学分析刘玉琏18-4
x yz V 0, V 得唯一稳定点 x y 2 z 2 3 , 4 V 3 , 长、宽 由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 4 为高的 2 倍时，所用材料最省.
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
例 某商品的生产函数为 Q 6 K L ，其中Q为产品产量，K 为资本投入量，L为劳动力投入量；又知资本投入价格为4，劳动 力投入价格为3，产品销售价格为 p = 2 . 若投入总额为60个单位时, 求此时取最大利润时的投入及最大利润. 解 由题意知：成本函数为 C(K,L) = 4K+3L，
xz 2 x 2 z z y y xz 2 1 2 xz 3 Fyy xz . xz y 3 2 y y y y
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
当 x y z 3r 时,
2 Fxx 6r Fyy , Fxy 3r , Fxx Fyy Fxy 36r 2 9r 2 27r 2 0. 由此可见，所求得的稳定点为极小值点，而且可以验证是最小值
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
引入辅助函数 L f ( x , y ) ( x , y )
则稳定点满足:
辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格朗日 函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否为极值 点，并能得出是最大值点还是最小值点.
第十八章 隐函数定理及其应用
§4 条件极值
第十八章隐函数定理及其应用§4条件极值
极值问题
无条件极值:
条件极值:
对自变量只有定义域限制
对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制
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第18章 隐函数 练习题（2021.1）一、 选择题1、设(,)z f x y =是由方程2223210x y z ++-=所确定的隐函数，则zy∂=∂（ C ） A. 23z y -B. 2x z -C. 32y z -D. 32y z2、设xy e z z=+，则∂=∂zx（ A ） A. 1+z y e B. 1-+z y e C. 1+z x e D. 1-+z x e3、设xy e z z=+，则∂=∂z y（ C ）A.1+z y e B. 1-+z y e C. 1+z x e D. 1-+z x e4、若02=-+-z xye z e，则∂=∂z x（ A ） A.2--xy z ye e B. 2--xy z ye e C. 2--xy zxe e D. 2--xyzxe e 5、若02=-+-z xye z e，则∂=∂zy（ C ） A.2--xy z ye e B. 2--xy z ye e C. 2--xy zxe e D. 2--xyzxe e 6、设),(y x F 有连续的偏导数并且0),(≠y x F x ，0),(≠y x F y ，则0),(=y x F 所确定的隐函数的导数=dxdy（ D ） A. ),(),(y x F y x F y x B. ),(),(y x F y x F y x - C. ),(),(y x F y x F x y D. ),(),(y x F y x F x y -7、设),(y x F 有连续的偏导数并且0),(≠y x F x ，0),(≠y x F y ，则0),(=y x F 所确定的隐函数的导数=dxdy（ B ） A.),(),(y x F y x F y x B. ),(),(y x F y x F y x - C. ),(),(y x F y x F x y D. ),(),(y x F y x F x y -二、 填空题1、 设02=-+-z xye z e，则∂=∂zx答案：2--xyzye e2、 设xy e z z=+，则=∂∂yz答案：1+zxe3、 设122=-x y ye xe ，则=dxdy答案： 222222--x yy xye e xe e4、 设20++-=x y z ，则∂=∂zx答案：5、 设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，则∂=∂zx答案：136、设cos(32)32++=++x y z x y z ，则∂=∂zy答案： 3-7、设xy e z z=+，则dz = 答案：1++z ydx xdy e8、设xy e z z=+，则(1,1,0)=dz =答案：()12+dx dy 9、球面14222=++z y x 在点()3,2,1处的切平面方程是 ， 法线方程是 .答案：平面方程是01432=-++z y x ，法线方程是33-22-11-z y x ==10、曲面1222=++z y x 过点)1,0,0(的切平面方程是法线方程为_______________. 答案：平面方程是1=z ，法线方程是2100-==z y x 三、 计算题1、设方程222=++xy x y 确定了隐函数)(x f y =，求y '． 解:令()2,22-++=xy x y y x F ，y x F x +=2,x y F y +=2所以xy yx F F y y x ++=-='22 2、设方程z z x y 2222=++确定了隐函数),(y x z z =，求dz ．解：设()z z x y z y x F 2,,222-++=,则x F x 2=，y F y 2=，22-=z F z所有zx F F x z z x -=-=∂∂1， z y F F y z z y -=-=∂∂1 故dz +-=dx zx 1dy z y-1.3、设方程02=++z x yz 确定了隐函数),(y x z z =，求dz ．解：令()2,,F x y z yz x z =++ 则F x ∂∂=2x ，F y∂∂=z ， F z ∂∂=1y + x z ∂∂=-F x F z∂∂∂∂=21x y -+，y z ∂∂=F y F z ∂∂∂∂=1z y -+所以 dz =21xy -+dx -1z dy y + 4、设u 和v 是x 的函数由⎩⎨⎧=--=--0022xu v y yv u x 确定， 求 x u ∂∂，x v∂∂ 解：分别在方程组两边对x 求偏导数得：⎪⎩⎪⎨⎧-------------=∂∂--∂∂----------------=∂∂-∂∂-分分4022021x u x u x v v x v y x u u解方程组 uvxy uyv x u 42---=∂∂ ， uv xy x u x v 422-+=∂∂ 5、求曲面2123222=++z y x 切平面方程使它平行于平面046=++z y x . 解：令：2123),,(222-++=z y x z y x Fx F x 6=，y F y 4=，z F z 2=设曲面上点),,(000z y x P 处的切平面平行于046=++z y x 则：124466000z y x ==，并且 2123202020=++z y x 求得)1,2,2(P 或)1,2,2(---P故所求的切平面为：0)1()2(4)2(6=-+-+-z y x 和：0)1()2(4)2(6=+++++z y x6、求曲面02=--z x e y 在点)2,1,1(处的切平面与法线. 解：令z x e y z y x F --=2),,(则z x x e z y x F --=22),,(，1),,(=z y x F y ，z x z e z y x F -=2),,(2)2,1,1(-=x F ，1)2,1,1(=y F ，1)2,1,1(=z F所求的切平面方程是：0)2()1()1(2=-+-+--z y x 即：012=+--z y x 所求的法线方程是：121121-=-=--z y x 7、求曲线：t x 2sin 2=，t t y cos sin =，t z 2cos 2=在4π=t 所对应点处的切线与法平面方程.解：t t t x cos sin 4)(='，t t t y 22sin cos )(-='，t t t z cos sin 4)(-=' 2)4(='πx ，0)4(='πy ，2)4(-='πz又 1)4(=πx ，21)4(=πy ，1)4(=πz所求的法平面方程是：0)1(2)1(2=---z x ，即：0=-z x所求的切线方程是：1102111--=-=-z y x 8、求曲线t c z t t b y t a x 22cos ,cos sin ,sin ===在4π=t 所对应点处的切线与法平面方程.解：t t a t x cos sin 2)(='，()t t b t y 22sin cos )(-='，t t c t z cos sin 2)(-=' a x =')4(π，0)4(='πy ，c z -=')4(π又 2)4(a x =π，2)4(b y =π，2)4(cz =π所求的法平面方程是：0)2()2(=---c z c a x a即：()2221c a cz ax -=-所求的切线方程是：c c z b y a a x --=-=-2022， 即：⎪⎩⎪⎨⎧==-+20b y ac az cx 9、求球面50222=++z y x 与锥面222z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与法平面方程。
解 设 50),,(222-++=z y x z y x F ，222),,(z y x z y x G -+=。
它们在)5 ,4 ,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：,6=∂∂x F ,8=∂∂y F ,10=∂∂z F,6=∂∂x G ,8=∂∂y G ,10-=∂∂zG 和160),(),(-=∂∂z y G F ， 120),(),(-=∂∂x z G F ， 0),(),(=∂∂y x G F 。
所以曲线在)5 ,4 ,3(处的切线方程为：0512041603-=-=--z y x ，即⎩⎨⎧==-+-.5,0)4(4)3(3z y x 法平面方程为 0)5(0)4(3)3(4=-+-+--z y x ，即034=-y x四、 证明题1、证明方程cos sin +=xyx y e 在原点的某邻域内可确定连续可微函数()=y f x 证明 令(,)cos sin =+-xy F x y x y e ，则有（1）(,)F x y 在原点的某邻域内连续，且(0,0)0=F（2）(,)sin =--xyx F x y x ye 和(,)cos =-xy y F x y y xe 在原点的邻域内连续，（3）(0,0)10=≠y F故方程cos sin +=xyx y e 在原点的邻域内可确定连续可微函数()=y f x .2、证明方程ln 1++=xzxy z y e 在点(0,1,1)的某邻域内可确定唯一连续函数(,)=y g x z 证明 令(,,)ln 1=++-xzF x y z xy z y e ，则有（1）(,,)F x y z 在点(0,1,1)的某邻域内连续，且(0,1,1)0=F（2）(,,)=+y zF x y z x y在点(0,1,1)的邻域内连续，且(0,1,1)10=≠y F 故方程ln 1++=xzxy z y e 在点(0,1,1)的某邻域内可确定唯一连续函数(,)=y g x z .3、证明方程ln 1++=xzxy z y e 在点(0,1,1)的某邻域内可确定唯一可微函数(,)=x f y z 证明 令(,,)ln 1=++-xzF x y z xy z y e ，则有（1）(0,1,1)0=F（2）(,,)=+xzx F x y z y ze ，(,,)=+y z F x y z x y，(,,)ln =+xz z F x y z y xe 在点(0,1,1)的邻域内连续， （3）(0,1,1)20=≠x F故方程ln 1++=xzxy z y e 在点(0,1,1)的某邻域内可确定唯一可微函数(,)=x f y z .4、 设(,,)0=F x y z 可以确定连续可微隐函数(,)=x x y z ，(,)=y y z x ，(,)=z z x y ，证明1∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂x y zy z x.证明 因为∂=-∂y x F xy F ，∂=-∂z y F y zF ，∂=-∂x z F z x F所以1⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⋅⋅=-⋅-⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x zx yz F F F x y z y z x F F F 5、 证明曲面a z y x =++ （0>a ）上任何点处的切平面在各个坐标轴上的截距之和等于a . 解：设a z y x z y x F -++=),,(),,(000z y x M 为曲面0),,(=-++=a z y x z y x F 上任意一点则该曲面在点),,(000z y x M 处的法向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→00021,21,21zy x n 切平面方程为：0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x即：a z z y y x x =++00 即：10=++az z ay yax x故在三个坐标轴上的截距之和为a az ay ax =++000五、应用题1、 求棱长之和为12，且具有最大体积的长方体的体积. 解：设长方体的三个棱长分别为z y x ,, 则有4()12++=x y z ，xyzV =令()()3,,,-++-=z y x xyz z y x f λλ则解⎪⎩⎪⎨⎧=-==-==-=000λλλxy f xz f yz f zy x 得zy x ==将其带入3=++z y x得1===z y x 由实际问题唯一的驻点（1,1,1）即为最大值点,所以当棱长为1时，长方体的最大体积为12、 求表面积为1而体积为最大的长方体的体积.解：设长方体的长，宽，高分别为,,x y z ，则(),2=1且=++V xyz xy yz zx ，令()21L xyz xy yz zx λ=+++-⎡⎤⎣⎦则()()()()202020210x y zL yz y z L xz x z L yx y x xy yz xz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++-=⎩解方程组得6x y z ===，由实际问题知一定存在最大值，故⎝⎭为最大值点，所以最大值为3636⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 3、求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积. 解：设长方体的三棱长x ，y ，z ，则问题就是在条件()0222,,2=-++=a xz yz xy z y x φ下，求函数xyz V =（0>x ，0>y ，0>z ）的最大值. 作拉格朗日函数()()2222,,a xz yz xy xyz z y x L -+++=λ，求其对x ，y ，z 的偏导数，并使之为零，得到()02=++z y yz λ，()02=++z x xz λ，()02=++x y xy λ再与()0222,,2=-++=a xz yz xy z y x φ联立求解.因x ，y ，z 都不等于零，所以有zy zx y x ++=，z x y x z y ++=可得z y x ==代入()0222,,2=-++=a xz yz xy z y x φ得 a z y x 66===，这是唯一可能的极值点.因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得.也就是说，表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积为最大，最大体积为3366a V =4、围一个面积为60平方米的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，问场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最省? 解 设矩形场地的正面长为x 米，侧面长为y 米，该题即求函数1510=+s x y 在xy =60的条件下的最小值。