2019年高考数学试题分类汇编(导数).doc
2019年导数(文科).doc
专题8:导数(文)一、考点回顾1•导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。
考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。
2•导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。
选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。
3应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小)值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大(小)值。
二、经典例题剖析考点一：求导公式。
1 3例1. f (x)是f(x) x 2x 1的导函数，贝y f(-1)的值是 _______________________________ 。
3解析：f' x" 2，所以f' -1 =1，2 =3答案：3点评：本题考查多项式的求导法则。
考点二：导数的几何意义。
1例2.已知函数y二f(x)的图象在点M (1, f (1))处的切线方程是y x 2 ,则2f(1) f (1> ______________ 。
1 」1解析：因为k =，所以f'1[=，由切线过点M(1, f(1))，可得点M的纵坐标为2 25 5-，所以f 1 二一，所以f 1 • f' 1 A32 2答案：3例3.曲线y =x3 -2x2 -4x • 2在点(1,-3)处的切线方程是________________ 。
2解析：y' = 3x「4x-4，•点(1, - 3)处切线的斜率为k=3-4-4--5，所以设切线方程为y =「5x b，将点(1,-3)带入切线方程可得b = 2，所以，过曲线上点(1, - 3)处的切线方程为：5x y -2 =0答案：5x y - 2 =0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
三年高考高考数学真题分项汇编专题导数及其应用解答题文含解析.doc
专题04导数及其应用(解答题)1.[2019年高考全国I卷文数】已知函数/' (x) =2sinx-xcosx~x, f r (x)为f (x)的导数.(1)证明：f' (x)在区间(0, Jt )存在唯一零点；(2)若xG [0, “]时，f (x) 2ax,求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2).【解析】(1)设，贝9.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.(2)由题设知，可得aWO.由(1)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当时，axWO,故.因此，a的取值范围是.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题•对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.2.【2019年高考全国II卷文数】已知函数.证明：(1)存在唯一的极值点；(2)有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)的定义域为(0, +).因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，,故存在唯一，使得.又当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，存在唯一的极值点.(2)由(1)知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.3.[2019年高考天津文数】设函数，其中.(I )若aWO,讨论的单调性；(II)若，(i)证明恰有两个零点；(ii)设为的极值点，为的零点，且，证明.【答案】(I)在内单调递增.；(II) (i)见解析；(ii)见解析.【解析】(I)解：由已知，的定义域为，且因此当aWO时，，从而，所以在内单调递增.(II)证明：(i)由(I )知.令，由，可知在内单调递减，又，且故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，贝山当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以.从而又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1,从而，在内恰有两个零点.(ii)由题意，即从而，即.因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是整理得.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.4.[2019年高考全国III卷文数】己知函数.(1)讨论的单调性；(2)当0〈a〈3时，记在区间[0, 1]的最大值为必最小值为皿，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【解析】(1).令，得尸0或.若Q0,则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减；若沪0,在单调递增；若以0,则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.(2)当时，由(1)知，在单调递减，在单调递增，所以在［0,1］的最小值为，最大值为或.于是所以当时，可知单调递减，所以的取值范围是.当时，单调递增，所以的取值范围是.综上，的取值范围是.【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少•考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.5.［2019年高考北京文数】已知函数.(I )求曲线的斜率为1的切线方程；(II)当时，求证：；(III)设，记在区间上的最大值为％ (a),当M (a)最小时，求a的值.【答案】(I )与；(II)见解析；(III).【解析】(I )由得.令，即，得或.又,，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与.(II)令.由得.令得或.的情况如下：所以的最小值为，最大值为.故，即.(III)由(II)知，当时，；当时，；当时，.综上，当最小时，.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.[2019年高考浙江】己知实数，设函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)对任意均有求的取值范围.注：e=2. 71828…为自然对数的底数.【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；(2).【解析】(1)当时，.所以，函数的单调递减区间为(0, 3),单调递增区间为(3, +).(2)由，得.当时，等价于.令，则.设，贝y.(i)当时，，贝IJ记，则所以，.因此，.(ii)当时，.令，则，故在上单调递增，所以.由(i)得,.所以，.因此.由(i) (ii)知对任意，，即对任意，均有.综上所述，所求a的取值范围是.【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.7.[2019年高考江苏】设函数、为f 3的导函数.(1)若EFb=c, f (4) =8,求a 的值；(2)若a^b, I FC,且f 3和的零点均在集合中，求f(x)的极小值；(3)若，且/• (x)的极大值为必求证:辰.【答案】(1);(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)因为，所以.因为，所以，解得.(2)因为，从而.令，得或.因为都在集合中，且,所以.此时，.令，得或.列表如下:所以的极小值为.(3)因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为. 由，得.列表如下：所以的极大值.解法一：.因此.解法二：因为，所以.令，则.令，得.列表如下:所以当时，取得极大值，且是最大值，故.所以当时，，因此.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.8.[2018年高考全国III卷文数】已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，.【答案】(1); (2)见解析.【解析】(1),.因此曲线在点处的切线方程是.(2)当时，.令，则.当时,，单调递减；当时,，单调递增；所以.因此.【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，第一问由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时，，令，求出的最小值即可证明.9.[2018年高考全国I卷文数】已知函数.(1)设是的极值点，求，并求的单调区间；(2)证明：当时，.【答案】(1)在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增；(2)见解析.【解析】(1)f (x)的定义域为，f ' (x) =ae* _ .由题设知，f ' (2) =0,所以a=.从而f (x) =, f ' (x)=.当0〈x〈2 时，f ' (x) <0；当x>2 时，f ' (x) >0.所以f 3在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增.(2)当a三时，/' (x) 5*.设g (x)=,贝l|当0〈x〈l时，g f (x) <0；当x>l时，g，(x) >0.所以是g(x)的最小值点.故当x>0 时，g (x) 2g (1) =0.因此，当时，.【名师点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.10.[2018年高考全国II卷文数】已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)证明：只有一个零点.【答案】(1)在(-8, ) , (, +8)单调递增，在(，)单调递减；(2)见解析.【解析】(1)当a=3 时，f(X)=, f (x)=.令f' (x) =0解得尸或_¥=.当xW (-8, ) u (, +8)时，f' (x) >0；当xW (,)时，f' (x)〈0.故f(X)在(-8, ) , (, +OO)单调递增，在(，)单调递减.(2)由于，所以等价于.设=,则g ' (x)=》0,仅当尸0时g ' (x) =0,所以g(Q在(-8, +OO)单调递增.故g(X)至多有一个零点，从而f(X)至多有一个零点.又 /' (3a - 1)=,f (3a+l)=,故f 5有一个零点.综上，f 3只有一个零点.【名师点睛】(1)用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数()的定义域；②求导数'();③由’（）＞0（或气）＜0）解出相应的的取值范围，当'（）＞耐，（）在相应区间上是增函数；当’（）＜勿寸，（）在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数（）有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.11.【2018年高考北京文数】设函数.（I ）若曲线在点处的切线斜率为0,求a；（II ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（I ）; （II）•【解析】（I ）因为，所以.由题设知，即，解得.（II）方法一：由（I）得.若a＞l,则当时，；当时，.所以在尸1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当沪0时，令得尸1.随x的变化情况如下表：.•.在尸1处取得极大值，不合题意.（2）当a＞0时，令得.%1当，即a=l时,,.•.在上单调递增，.•.无极值，不合题意.%1当，即0<3<1时，随X的变化情况如下表:•••在尸1处取得极大值，不合题意.%1当，即a〉l时，随x的变化情况如下表:在A=1处取得极小值，即3>1满足题意.(3)当a〈0时，令得.随x的变化情况如下表：在尸1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.【名师点睛】导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数的单调性或求单调区间问题；③ 利用导数求函数的极值、最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值、最值问题时常会涉及分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.12.【2018年高考天津文数】设函数，其中，且是公差为的等差数列.(I)若求曲线在点处的切线方程；(II)若，求的极值；(III)若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围.【答案】(I) x+尸0； (II)函数f(x)的极大值为6；函数f(x)的极小值为-6； (III) d的取值范围为.【解析】(I )解：由已知，可得f(x)=x(旷1) (x+l)=xj¥,故=3/-1,因此f(0)=0, =-1,又因为曲线尸f3在点(0, /■(()))处的切线方程为厂/<0)= (T),故所求切线方程为x+y=0.(II )解：由已知可得f(x)=(尸仍+3) (x~t2)3—9 lx~t為=X3-3hx + ^i尸&3+9 ti.故=3/-6 fo^-3122~9.令=0,解得x^tir,或A=fa+.当x变化时，，f(x)的变化如下表：所以函数的极大值为/(fo-) = (-) J-9X (-)=6；函数f(x)的极小值为Afe+) = ()3-9X ()=-6.(Ill)解：曲线y=f{x)与直线y=-(A^fe)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程^x~t2+d) (j*-t2) {x~t2 -4 +(旷紡+ 6=0有三个互异的实数解，令iFFti,可得u3+(l-d)屮6=0.设函数g(x)=f+(l-d)x+6,则曲线y=f{x)与直线尸-(旷&)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x) 有三个零点.=3/+(W).当</Wl时，M0,这时在R上单调递增，不合题意.当/〉1时，=0,解得必=,应=.易得，£(X)在(-8, Xi)上单调递增，在［xi,应］上单调递减，在(&, +8)上单调递增.g(x)的极大值g(xJ=g()=>0.g(x)的极小值gg) =&()=-.若g(Q$0,由g(x)的单调性可知函数尸g(x)至多有两个零点，不合题意.若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意.所以，的取值范围是.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.13.[2018年高考浙江】已知函数f(x)= -lnx.(I)若/'(x)在尸卫，X2(XI H X2)处导数相等，证明：f(xj+f(x2)〉8-81n2；(II )若aW3-41n2,证明：对于任意Q0,直线y=kx+a与曲线y=f{x)有唯一公共点.【答案】(I)见解析；(II)见解析.【解析】(I )函数f (力的导函数，由得，因为，所以.由基本不等式得.因为，所以.由题意得.设，则，所以所以g(x)在E256, +8)上单调递增，故，即.(II )令沪，/?=,贝Uf(77?) - km~ a>\a\+k~ k~ a^O,f (n) - kn~ a〈W〈0,所以，存在及丘 5, n~)使/"(X。
2019全国高考,导数部分汇编
2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编(2019北京理数) （19）（本小题13分） 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．(2019北京文数) （20）（本小题14分） 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．(2019江苏) 10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .(2019江苏) 11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .(2019江苏) 19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．(2019全国Ⅰ理数) 13.曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 .(2019全国Ⅰ理数) 20．（12分）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． (2019全国Ⅰ文数) 13．曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．(2019全国Ⅰ文数) 20．（12分）已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．(2019全国Ⅱ理数)20. (12分)已知函数11ln )(-+-=x x x x f 的切线。
2019年高考数学(文)真题和模拟题分项汇编 专题03 导数及其应用-含解析
2019年高考数学（文）真题和模拟题分项汇编专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+= 【答案】C【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ．2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2(1)y x a x =+-'， 当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴ ＜0且 ＞＜ ， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞ （a +1）3，则a >–1，b <0.故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．。
2019高考数学试题汇编之导数及其应用(原卷版)
专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >04．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．5．【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .7．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .8．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．9．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．10．【2019年高考天津文数】设函数()ln (1)e x f x x a x =--，其中a ∈R .（1）若a ≤0，讨论()f x 的单调性； （2）若10ea <<， （i ）证明()f x 恰有两个零点；（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->.11．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数32()22f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<a <3时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．12．【2019年高考北京文数】已知函数321()4f x x x x =-+． （1）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （2）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（3）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ），当M （a ）最小时，求a 的值．13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x 2−2lnx 的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,+∞)C ．(−∞,−1]∪(0，1]D ．[−1,0)∪(0,1]16．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=17．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e- B ．1e C ．12e-D ．12e18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭19．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f (e x )−e x >0的解集是 A ．(−∞,ln2) B ．(ln2,+∞) C ．(0,e 2)D ．(e 2,+∞)20．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a =ln √33，b =e −1，c =3ln28，则a,b,c 的大小关系为 A ．b <c <a B ．a >c >b C ．a >b >cD ．b >a >c21．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知f (x )=lnx +1−ae x ，若关于x 的不等式f (x )<0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭22．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．-2 B ．3 C ．-2或3D ．-3或223．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-24．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________.25．【河南省新乡市2019届高三下学期第二次模拟考试数学】已知函数f(x)=e x −alnx 在[1,2]上单调递增，则a 的取值范围是__________.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()xg x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx−ax，g(x)=x2，a∈R.（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx−xe x+ax(a∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若a=1，求f(x)的最大值.30．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知函数f(x)=e x(e x−ax+a)有两个极值点x1，x2.（1）求a的取值范围；（2）求证：2x1x2<x1+x2.31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=m e x−x2+3，其中m∈R．（1）当f(x)为偶函数时，求函数ℎ(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点，求m的取值范围．。
十年真题(-2019)高考数学真题分类汇编 专题04 导数及其应用 文(含解析)
专题04导数及其应用历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科05】函数f(x）在[﹣π,π]的图象大致为( ）A．B．C．D．【解答】解：∵f(x)，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）f（x），∴f（x）为［﹣π，π]上的奇函数，因此排除A;又f（),因此排除B，C；故选:D．2．【2018年新课标1文科06】设函数f（x)＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数,则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（)A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【解答】解:函数f（x)＝x3+（a﹣1）x2+ax,若f（x)为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x,可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0)处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x)在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．3．【2017年新课标1文科08】函数y的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解:函数y,可知函数是奇函数，排除选项B，当x时，f(），排除A，x＝π时,f（π）＝0，排除D．故选：C．4．【2017年新课标1文科09】已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x)，则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x)在（0，2）单调递减C．y＝f（x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x）的图象关于点（1，0）对称【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f(x）＝f(2﹣x）,即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选：C．5．【2016年新课标1文科09】函数y＝2x2﹣e｜x｜在［﹣2,2］的图象大致为( ）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x)＝y＝2x2﹣e｜x｜，∴f（﹣x）＝2(﹣x）2﹣e｜﹣x｜＝2x2﹣e｜x|，故函数为偶函数,当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0,1），故排除A，B；当x∈［0，2］时，f（x）＝y＝2x2﹣e x，∴f′（x)＝4x﹣e x＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x｜在[0，2］不是单调的，故排除C，故选：D．6．【2016年新课标1文科12】若函数f(x）＝x sin2x+a sin x在(﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是( ）A．[﹣1,1］B．[﹣1,] C．[，] D．［﹣1，］【解答】解：函数f（x）＝x sin2x+a sin x的导数为f′（x）＝1cos2x+a cos x,由题意可得f′（x)≥0恒成立，即为1cos2x+a cos x≥0，即有cos2x+a cos x≥0，设t＝cos x（﹣1≤t≤1)，即有5﹣4t2+3at≥0,当t＝0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t，由4t在（0，1］递增，可得t＝1时,取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a；当﹣1≤t＜0时,3a≤4t，由4t在［﹣1,0）递增,可得t＝﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a．综上可得a的范围是［,］．另解:设t＝cos x（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是［,]．故选：C．7．【2014年新课标1文科12】已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（)A．(1，+∞）B．（2，+∞）C．(﹣∞，﹣1) D．(﹣∞，﹣2）【解答】解：∵f（x）＝ax3﹣3x2+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x＝3x（ax﹣2）,f（0）＝1；①当a＝0时，f(x）＝﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在(﹣∞,0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f(x）＝ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f(x)＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x时,f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）3•1＞0；故a＜﹣2；综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞，﹣2）；故选：D．8．【2013年新课标1文科09】函数f（x）＝（1﹣cos x)sin x在［﹣π，π］的图象大致为( )A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：f（﹣x)＝（1﹣cos x）sin（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x)为奇函数，故可排除B，又因为当x∈(0，π）时，1﹣cos x＞0,sin x＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）＝（1﹣cos x)′sin x+（1﹣cos x）（sin x）′＝sin2x+cos x﹣cos2x＝cos x﹣cos2x，故可得f′（0）＝0,可排除D，故选:C．9．【2010年新课标1文科04】曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y＝x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝2x﹣2 D．y＝﹣2x+2【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y＝x3﹣2x+1，y′＝3x2﹣2，所以k＝y′|x﹣1＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线y＝f（x）在点（1,0）处的切线方程为：y﹣0＝1×（x﹣1),即y＝x﹣1．故选：A．10．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0,0）处的切线方程为．【解答】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y’＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点（0，0)处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．11．【2017年新课标1文科14】曲线y＝x2在点（1，2）处的切线方程为．【解答】解：曲线y＝x2，可得y′＝2x，切线的斜率为：k＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝x﹣1，即:x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．12．【2015年新课标1文科14】已知函数f(x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．【解答】解：函数f(x）＝ax3+x+1的导数为:f′（x)＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，切线方程为：y﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．故答案为：1．13．【2012年新课标1文科13】曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．【解答】解：求导函数，可得y′＝3lnx+4，当x＝1时，y′＝4，∴曲线y＝x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝4(x﹣1），即y＝4x﹣3．故答案为：y＝4x﹣3．14．【2019年新课标1文科20】已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x,f′(x）为f(x）的导数．（1）证明：f′（x)在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0,π］时，f(x）≥ax,求a的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，∴f′（x)＝2cos x﹣cos x+x sin x﹣1＝cos x+x sin x﹣1,令g（x）＝cos x+x sin x﹣1，则g′（x)＝﹣sin x+sin x+x cos x＝x cos x，当x∈(0，）时，x cos x＞0,当x时，x cos x＜0,∴当x时，极大值为g（）0，又g（0）＝0，g（π)＝﹣2，∴g（x）在（0，π）上有唯一零点，即f′（x）在（0,π）上有唯一零点；（2）由（1)知，f′（x）在（0,π）上有唯一零点x0，使得f′(x0）＝0，且f′（x）在（0，x0）为正，在(x0，π）为负，∴f（x）在[0，x0]递增，在[x0,π]递减，结合f(0）＝0，f（π）＝0，可知f（x)在[0,π］上非负，令h（x）＝ax，作出图示，∵f（x)≥h(x），a≤0，∴a的取值范围是（﹣∞，0]．15．【2018年新课标1文科21】已知函数f（x)＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间;（2）证明：当a时，f（x）≥0．【解答】解：（1)∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′(x)＝ae x，∵x＝2是f(x)的极值点，∴f′(2)＝ae20,解得a，∴f（x）e x﹣lnx﹣1，∴f′（x），当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时,f′（x）＞0,∴f（x）在(0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2）证明：当a时，f（x）lnx﹣1，设g（x）lnx﹣1，则,由0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0,当x＞1时,g′（x)＞0,∴x＝1是g（x)的最小值点,故当x＞0时,g（x)≥g(1）＝0，∴当a时，f（x）≥0．16．【2017年新课标1文科21】已知函数f（x）＝e x(e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2)若f(x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝e x(e x﹣a）﹣a2x＝e2x﹣e x a﹣a2x,∴f′（x）＝2e2x﹣ae x﹣a2＝（2e x+a）（e x﹣a)，①当a＝0时，f′（x）＞0恒成立,∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时,2e x+a＞0，令f′（x）＝0,解得x＝lna，当x＜lna时，f′（x）＜0,函数f（x)单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f(x)单调递增，③当a＜0时，e x﹣a＞0,令f′（x)＝0，解得x＝ln（)，当x＜ln（）时,f′(x）＜0,函数f（x）单调递减，当x＞ln（）时,f′(x）＞0,函数f（x)单调递增，综上所述，当a＝0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln(））上单调递减，在（ln（)，+∞）上单调递增，（2）①当a＝0时，f（x）＝e2x＞0恒成立,②当a＞0时,由（1)可得f(x）min＝f（lna）＝﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由(1）可得：f（x）min＝f(ln()）a2ln(）≥0，∴ln（），∴﹣2a＜0,综上所述a的取值范围为［﹣2，1]17．【2016年新课标1文科21】已知函数f(x）＝（x﹣2）e x+a(x﹣1）2．(Ⅰ)讨论f(x）的单调性；（Ⅱ）若f(x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ)由f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1)2，可得f′（x)＝（x﹣1）e x+2a（x﹣1）＝（x﹣1)（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1;由f′(x)＜0,可得x＜1,即有f（x）在(﹣∞,1)递减；在（1,+∞)递增（如右上图）；②当a＜0时,（如右下图）若a,则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a时,由f′（x）＞0,可得x＜1或x＞ln(﹣2a）;由f′（x）＜0,可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞,1），（ln(﹣2a），+∞）递增；在（1，ln(﹣2a）)递减；若a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′(x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f(x）在（﹣∞,ln（﹣2a))，（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a）,1)递减；（Ⅱ）①由(Ⅰ）可得当a＞0时，f(x）在（﹣∞，1)递减；在（1,+∞)递增，且f（1)＝﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞;当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f(x)有两个零点;②当a＝0时，f(x)＝（x﹣2）e x，所以f(x)只有一个零点x＝2;③当a＜0时,若a时，f（x)在（1，ln(﹣2a））递减，在（﹣∞,1)，(ln（﹣2a），+∞）递增,又当x≤1时,f（x)＜0,所以f(x）不存在两个零点；当a时，在（﹣∞,ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞)单调增，在(1n（﹣2a）,1）单调减,只有f（ln（﹣2a）)等于0才有两个零点,而当x≤1时，f(x）＜0,所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为(0,+∞)．18．【2015年新课标1文科21】设函数f（x）＝e2x﹣alnx．（Ⅰ）讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;（Ⅱ)证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．【解答】解：（Ⅰ）f(x）＝e2x﹣alnx的定义域为(0，+∞），∴f′（x)＝2e2x．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x)没有零点，当a＞0时，∵y＝e2x为单调递增，y单调递增，∴f′（x）在（0,+∞）单调递增,又f′(a)＞0,假设存在b满足0＜b＜ln时,且b，f′（b）＜0,故当a＞0时,导函数f′(x）存在唯一的零点，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′(x）在(0，+∞）上的唯一零点为x0,当x∈(0，x0)时,f′（x）＜0,当x∈（x0，+∞)时，f′（x）＞0,故f(x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所欲当x＝x0时,f（x）取得最小值，最小值为f（x0），由于0，所以f（x0）2ax0+aln2a+aln．故当a＞0时，f(x）≥2a+aln．19．【2014年新课标1文科21】设函数f（x）＝alnx x2﹣bx（a≠1），曲线y＝f（x）在点(1，f（1））处的切线斜率为0,（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0)，求a的取值范围．【解答】解:（1）f′（x）（x＞0），∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1)）处的切线斜率为0，∴f′（1）＝a+（1﹣a）×1﹣b＝0,解得b＝1．（2)函数f（x）的定义域为（0，+∞),由(1）可知：f（x)＝alnx，∴．①当a时,则，则当x＞1时，f′(x）＞0,∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增,∴存在x0≥1，使得f（x0）的充要条件是,即，解得;②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f(x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）的充要条件是，而，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1），成立．综上可得：a的取值范围是．20．【2013年新课标1文科20】已知函数f（x）＝e x（ax+b)﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点(0，f（0））处切线方程为y＝4x+4．（Ⅰ)求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x)的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝e x(ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′(x）＝e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y＝f（x)在点（0,f（0)）处切线方程为y＝4x+4∴f（0）＝4,f′（0）＝4∴b＝4,a+b＝8∴a＝4,b＝4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝4e x(x+1）﹣x2﹣4x，f′（x)＝4e x(x+2)﹣2x﹣4＝4（x+2）（e x）,令f′(x)＝0，得x＝﹣ln2或x＝﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞)时，f′（x)＞0；x∈(﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝4（1﹣e﹣2）．21．【2012年新课标1文科21】设函数f(x）＝e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x)的单调区间；(Ⅱ）若a＝1，k为整数,且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0,求k的最大值．【解答】解:（I）函数f（x）＝e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）＝e x﹣a，若a≤0，则f′（x）＝e x﹣a≥0,所以函数f（x）＝e x﹣ax﹣2在（﹣∞,+∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(﹣∞,lna）时，f′（x）＝e x﹣a＜0；当x∈(lna,+∞)时,f′（x）＝e x﹣a＞0；所以,f(x)在（﹣∞，lna）单调递减,在（lna，+∞)上单调递增．（II）由于a＝1，所以，(x﹣k）f′（x)+x+1＝（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时,（x﹣k) f′（x）+x+1＞0等价于k(x＞0)①令g（x)，则g′（x)由（I)知，当a＝1时,函数h（x)＝e x﹣x﹣2在(0，+∞）上单调递增,而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x)＝e x﹣x﹣2在（0,+∞）上存在唯一的零点,故g′（x）在(0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈(1，2）当x∈(0,α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时,g′（x）＞0；所以g（x）在(0，+∞)上的最小值为g(α）．又由g′（α）＝0，可得eα＝α+2所以g（α）＝α+1∈（2，3)由于①式等价于k＜g（α）,故整数k的最大值为2．22．【2011年新课标1文科21】已知函数f(x）,曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明:当x＞0，且x≠1时,f(x）．【解答】解:(I）．由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1）所以解得a＝1，b＝1(II)由（I）知f(x）所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）＝0,当x∈（0,1）时,h（x)＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，23．【2010年新课标1文科21】设函数f（x）＝x（e x﹣1）﹣ax2（Ⅰ）若a，求f(x）的单调区间；（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（I）a时，f(x）＝x（e x﹣1）x2，(e x﹣1）（x+1)令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0;令f′(x）＜0，可得﹣1＜x＜0;∴函数的单调增区间是（﹣∞,﹣1)，（0，+∞)；单调减区间为(﹣1，0）；(II）f（x)＝x（e x﹣1﹣ax）．令g(x）＝e x﹣1﹣ax,则g'（x）＝e x﹣a．若a≤1,则当x∈(0，+∞)时,g'（x）＞0，g（x）为增函数,而g（0)＝0,从而当x≥0时g(x）≥0，即f（x）≥0．若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x)＜0，g(x）为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0．综合得a的取值范围为(﹣∞，1］．另解:当x＝0时，f（x）＝0成立；当x＞0，可得e x﹣1﹣ax≥0，即有a的最小值,由y＝e x﹣x﹣1的导数为y′＝e x﹣1，当x＞0时，函数y递增；x＜0时，函数递减,可得函数y 取得最小值0，即e x﹣x ﹣1≥0，x ＞0时,可得1,则a ≤1．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：导数的概念及运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题,预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算，导数与函数的单调性、极值、最值，导数与函数的综合问题,为重点较佳。
2011-2019高考数学函数与导数分类汇编(文)
2011-2019 新课标文科高考《函数与导数》分类汇编一、选择题【2019 新课标 1】3．已知a log20.2,b20.2 , c 0.20.3，则（）A ．a b c B．a c b C．c a b D．b c a【答案】 B【2019 新课标 1】5．函数 f(x)= sin xx在[ —π，π]的图像大致为cos x x2A．B．C．D．【答案】 D【2019 新课标 2】6．设 f(x)为奇函数，且当x≥0时， f(x)= e x1，则当 x<0 时， f(x)=（）A ．e x1B．e x1C．e x1D．e x1【答案】 D【2019 新课标 2】10．曲线 y=2sinx+cosx 在点 ( π，–1)处的切线方程为（）A ．x y 1 0B．2x y 2 1 0C．2x y 2 1 0D．x y 1 0【答案】 C【2019新课标3】7.已知曲线y e xxlnx在点 1, ae处的切线方程为y 2 x b ，则（）aA. a e, b1B. a e,b1C. a e 1 ,b 1D. a e1, b1【答案】 D【详解】详解： y/ae x ln x1, k = y/ |x=1 = ae+ 1= 2 a = e- 1将 (1,1)代入y 2 x b 得2b1,b 1 ，故选D．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．【2019 新课标3】12.设f x 是定义域为R 的偶函数，且在0,单调递减，则（）132123A. f log5 f 2 2 f 2 3B. f log8 f 2 3 f 2 24432log5123f log51C. f 2 2f 2 3fD. f 2 3f 2 244【答案】 C【详解】fx 是 R 的偶函数，f log 3 1 f log 3 4．4323，又 f x在 (0，+∞)单调递减， f log 3 4f 23f22，log 3 4 12223 2f log 31f 2 2f2 3，故选 C ．4【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．【2018 新课标 1】6．设函数 f ( x) x 3 ( a 1)x 2 ax . 若 f ( x) 为奇函数，则曲线 yf (x) 在点 (0,0)处的切线方程为（ ）A ． y2xB ． yxC ． y 2 xD ． y x【答案】 D2 x, x ≤0,【2018 新课标】 12．设函数 f (x)则满足 f (x 1)f (2 x) 的 x 的取值范围是（ ）1, x0,A ．( ,1]B ． (0, )C ． ( 1,0)D ． ( ,0)【答案】 D【2018 新课标 2】3．函数 f (x)e x e x 的图象大致为（）x 2【答案】 B【2018 新课标 2】12．已知 f ( x) 是定义域为 (, ) 的奇函数，满足 f (1 x) f (1 x) ．若 f)1( 2 ，则（ ）A ． 50B ．0C ．2D ．50【答案】 C【2018 新课标 3】7．下列函数中，其图像与函数y ln x 的图像关于直线 x 1 对称的是（ ）A ． y ln 1 xB ． y ln 2 xC ． y ln 1xD ． y ln 2 x【答案】 B【2018 新课标 3】9．函数 yx 4 x 2 2 的图像大致为（）【答案】 D【2017 新课标 1】9．已知函数 f (x) lnx ln(2 x) ，则（C ）A ． f (x) 在（ 0,2）单调递增B ． f (x) 在（ 0,2）单调递减C ．y= f (x) 的图像关于直线 x=1 对称D ． y= f (x) 的图像关于点（ 1,0）对称【2017 新课标 2】8.函数 f ( x) ln( x 2 2x 8) 的单调递增区间是（D ）A.(- ,-2)B. (- ,-1)C.(1, +) D.(4,+)【解析】由 x 2﹣ 2x ﹣ 8＞0 得： x ∈（﹣ ∞，﹣ 2）∪（ 4， +∞），令 t=x 2﹣ 2x ﹣ 8，则 y=lnt ，∵ x ∈（﹣ ∞，﹣ 2）时， t=x 2﹣2x ﹣8 为减函数； x ∈（ 4，+∞）时， t=x 2﹣2x ﹣ 8 为增函数； y=lnt 为增函数，故函数 f （ x ）=ln （ x 2﹣ 2x ﹣8）的单调递增区间是（ 4，+∞），故选： D ． 【2017 新课标 3】7. 函数 y 1x sin 2 x的部分图像大致为（D）xB ．C ．D ．【 2017 新课标 3 】 12. 已知函数 f ( x ) x 22 x ( x 1 e x 1 )有唯一零点，则 a （ ）a eA1B1C 1D 12 3 2【解析】 f ' ( ) 2 x 2 ( x 1 e x 1 ) 0 ，得 x 1x a e即 x1 为函数的极值点，故 f (1)0 则 122a 0 ， a12【2016 新课标 1 】（ 8）若 a>b>0， 0<c<1，则（ B ）（A ） log a b c c cc （ D ） c abc<log c （B ） log a<log b （C ） a <b >c【2016 新课标 1 】（ 9）函数 y=2x 2–e |x|在 [–2,2] 的图像大致为（D ）【2016 新课标 1】（ 12）若函数 f ( x)x -1 a sin x 在,单调递增， 则 a 的取值范sin2 xC3围是（ ）（A ）1,1 （B ）1,1（C ）1,1（D ） 1,133 33【2016 新课标 2】10. 下列函数中， 其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域和值域相同的是（ D）（A ） y=x（ B ） y=lg x（ C ） y=2x（D ） y1x【解析】 y 10lg x x ，定义域与值域均为 0, ，只有 D 满足，故选 D ．【2016 新课标 2】12. 已知函数 f(x)（ x ∈ R ）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x 2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的m交点为（ x 1 ,y 1）， (x 2 2mm ），则x i = （B）,y )， ⋯，（x ,yi 1(A)0(B) m(C) 2m(D) 4 m【解析】因为 y f ( x), y | x 2 2 x 3| 都关于 x 1对称，所以它们交点也关于 x1对称，当 m为偶数时，其和为2mm ，当 m 为奇数时，其和为 2m 1 1 m ，因此选 B. 22421【2016 新课标 3】（ 7）已知 a23 , b 33 , c 25 3 ，则（A ）(A)b<a<c(B) a<b<c(C) b<c<a(D) c<a<b【 2016 新课标 3】（ 4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图 .图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃， B 点表示四月的平均最低气温约为 5℃ .下面叙述不正确的是（ D ）（A ）各月的平均最低气温都在 0℃以上（B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均最高气温高于20℃的月份有 5 个【2015 新课标 1 】（ 10）已知函数 ，且 f （a ）=-3，则 f （ 6-a ）=( A )（A ）-7（B ）-5（C ）-3（D ）-14444【2015 新课标 1 】（ 12）设函数 y=f （ x ）的图像关于直线 y=-x 对称，且 f （ -2） +f （-4）=1，则a= （ C）（A ）-1（B ）1 （C ）2 （D ）41【2015 新课标 2】12. 设函数 f ( x) = ln(1 + x ) - ，则使得 f ( x) > f (2x - 1) 成立的 x 的取 1 + x 21 B. (,1 (1,)1 11 1A. ( ,1))C. (, )D.(,)( ,333 333[解析 ]因为函数 f ( x)ln(1x ) 12 , 是偶函数， x[ 0, )时函数是增函数x1f ( x)f ( 2x 1)x 2x1, x2(2x 1)2,解得1x 1. 故选 A.3【2015 新课标 2】11. 如图，长方形的边 AB=2 ， BC=1,O 是 AB 的中点，点DP 沿着边 BC,CD, 与 DA 运动，记 ∠ BOP=x ，将动点 P 到 A,B 两点的距离之和表示为函数 f （x ），则 f(x) 的图像大致为（B ）A)P CxOBY YYY2 2 2 2O π π3 π πX O ππ3π πXOπ π3ππ X O ππ 3 ππX4 2 44 2 424 44 24CABD[解析 ]如图，当点 P 在 BC 上时， ∵DBOP= x,PB= tan x,PA=4 + tan 2 x ,PA+ PB= tan x + 4 + tan 2 x ,当 x时取得最大值 1 5 ，以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两4定点作椭圆， 显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB< 1 5 .又函数 f ( x) 不是一次函数， 故选B.【2014 新课标 1】5. 设函数 f (x), g( x) 的定义域为 R ，且 f (x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论中正确的是（C ）A. f (x)g ( x) 是偶函数B. | f ( x) | g( x) 是奇函数C. f ( x) | g( x) | 是奇函数D. | f ( x) g (x) | 是奇函数【参考答案】：设 F ( x)f ( x)g ( x) ，则 F ( x) f ( x) g( x) ， ∵ f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，∴ F ( x)f (x) g(x)F ( x) ， F ( x) 为奇函数，选 C.【解题方法】：①把四个选项逐一分析， ②利用性质 f ( x) 奇， | f ( x) | 为偶，奇奇 =偶，奇偶 =奇。
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高考数学试题分类汇编（导数）
（安徽理18）
设a ≥0，f (x)=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x>0）.
（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln 2x －2a ln x ＋1.
本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．
（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x ，，
故()()2ln 20F x xf x x x a x ，，
于是22
()10x F x x x x ，，
列表如下：
x (02)， 2 (2)
，∞()F x 0
()F x 极小值(2)
F 故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)，∞内是增函数，所以，在2x 处取得极小值(2)22ln 22F a ．
（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a ．
于是由上表知，对一切(0)x ，∞，恒有()()0F x xf x ．
从而当0x 时，恒有()0f x ，故()f x 在(0)，∞内单调增加．
所以当1x 时，()(1)0f x f ，即21ln 2ln 0x x a x ．
故当1x 时，恒有2ln 2ln 1x x a x ．
(安徽文 20)
设函数f （x ）=-cos 2x -4t sin 2x cos 2x +4t 2
+t 2-3t +4,x ∈R,其中t ≤1，将f (x )的最小值记
为g (t ).
(Ⅰ)求g (t )的表达式；。