高中数学圆锥曲线试题(含答案)

理数圆锥曲线

1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=()

A. B. C. D.

[答案] 1.A

[解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,

又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,

∴cos∠AF2F1===.故选A.

2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()

A.+=1

B.+y2=1

C.+=1

D.+=1

[答案] 2.A

[解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.

3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在

一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()

A. B. C. D.3

[答案] 3.B

[解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,

于是

∴m·n=··?m=3n.

∴a=n,b=n?c=n,∴e=,选B.

4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0

A.焦距相等

B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等

D.离心率相等

[答案] 4.A

[解析] 4.∵00,25-k>0.

∴-=1与-=1均表示双曲线,

又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,

∴它们的焦距相等,故选A.

5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最

大距离是()

A.5

B.+

C.7+

D.6

[答案] 5.D

[解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),

则|MQ|=

=

=

=≤5,

故|PQ|max=5+=6.

6.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为

-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()

A.x±y=0

B.x±y=0

C.x±2y=0

D.2x±y=0

[答案] 6.A

[解析] 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为

e1·e2=,所以=,即=,∴=.

故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.

7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()

A.-=1

B.-=1

C.-=1

D.-=1

[答案] 7.A

[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.

8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从

点发出的光线，沿平行于抛物线

的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反

射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线

反射后射向直线上的点，经直线

反射后又回到点，则等于（）

A． B． C．D．

[答案] 8. B

[解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为，

在抛物线方程中，令可得，即

从而可得，，

因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，

所以直线的方程为，

故选B．

9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（）

A. B.

C. D.

[答案] 9. D

[解析] 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.

10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.

[答案] 10.

[解析] 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,

+=1②.

①、②两式相减并整理得=-·.

把已知条件代入上式得,-=-×,

∴=,故椭圆的离心率e==.

11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=________.

[答案] 11.1+

[解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,

故C,F,

又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,

从而有即

∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0,

又>1,

∴=1+.

12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0

[答案] 12.x2+y2=1

[解析] 12.不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,00).

又∵|AF1|=3|F1B|,∴由=3得B,代入x2+=1得+=1,又

c2=1-b2,∴b2=.

故椭圆E的方程为x2+y2=1.

13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.

[答案] 13.

[解析] 13.由得A,

由得B,

则线段AB的中点为M.

由题意得PM⊥AB,∴k PM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.

14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是

___________.

[答案] 14. y=3

[解析] 14. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.

15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.

[答案] 15.查看解析

[解析] 15.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.

所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.

由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.

所以C的方程为y2=4x.(5分)

(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).

代入y2=4x得y2-4my-4=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.

故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).

又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.

将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.

设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).

故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分) 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,

即4(m2+1)2++=.

化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.

所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)

16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.

(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);

(ii)当最小时,求点T的坐标.

[答案] 16.查看解析

[解析] 16.(Ⅰ)由已知可得

解得a2=6,b2=2,

所以椭圆C的标准方程是+=1.

(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).

则直线TF的斜率k TF==-m.

当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.

当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得

消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,

其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.

所以y1+y2=,y1y2=,

x1+x2=m(y1+y2)-4=.

所以PQ的中点M的坐标为.

所以直线OM的斜率k OM=-,

又直线OT的斜率k OT=-,所以点M在直线OT上,

因此OT平分线段PQ.

(ii)由(i)可得,

|TF|=,

|PQ|=

=

==.

所以==≥=.

当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.

所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).

17. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.

[答案] 17.查看解析

[解析] 17.(1)由题意知c=,e==,

∴a=3,b2=a2-c2=4,

故椭圆C的标准方程为+=1.

(2)设两切线为l1,l2,

①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).

②当l 1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,

整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,

∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,

∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,

∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,

同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,

∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,

∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).

检验P(±3,±2)满足上式.

综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.

18. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).

(1)求双曲线C的方程;

(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.

证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.

[答案] 18.查看解析

[解析] 18.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,

直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.

又直线OA的方程为y=x,则A,k AB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,

故双曲线C的方程为-y2=1.

(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),

即y=.

因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;

直线l与直线x=的交点为N,

则===·.

因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得

=·=·=,

所求定值为==.

19. (2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C 1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.

(Ⅰ)求a,b的值;

(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.

[答案] 19.查看解析

[解析] 19.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点. 设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.

∴a=2,b=1.

(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).

易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),

代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)

设点P的坐标为(x P,y P),

∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.

由求根公式,得x P=,从而y P=,

∴点P的坐标为.

同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).

∴=(k,-4),=-k(1,k+2).

∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,

∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.

经检验,k=-符合题意,

故直线l的方程为y=-(x-1).

解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.

20.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.

(1)若点C的坐标为,且BF 2=,求椭圆的方程;

(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.

[答案] 20.查看解析

[解析] 20.设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).

(1)因为B(0,b),所以BF2==a.

又BF2=,故a=.

因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.

故所求椭圆的方程为+y2=1.

(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,

所以直线AB的方程为+=1.

解方程组得

所以点A的坐标为.

又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.

因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,

且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=. 21.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.

(Ⅰ)求C1的方程;

(Ⅱ)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.

[答案] 21.查看解析

[解析] 21.(Ⅰ)设切点坐标为(x 0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.

由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).

由题意知解得a2=1,b2=2,

故C1的方程为x2-=1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0. 由P(,)在C2上,得+=1,

解得=3,因此C2的方程为+=1.

显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由

得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,

因此

由x1=my1+,x2=my2+,得

因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).

由题意知·=0,

所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤

将①,②,③,④代入⑤式整理得

2m2-2m+4-11=0,

解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为

x-y-=0或x+y-=0.

22.(2012太原高三月考，20,12分)

已知曲线C:x2+=1.

(Ⅰ)由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,动点P满足:=3,求P点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型;

(Ⅱ)如果直线l的斜率为,且过点M(0,-2),直线l与曲线C交于A、B两点,又·=-,求曲线C的方程.

[答案] 22.(Ⅰ)设E(x0,y0),P(x,y),

则F(x0,0),∵=3,

∴(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),

∴代入曲线C中得x2+=1为所求的P点的轨迹方程.(2分)

①当λ=时,P点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径r=1的圆;(3分)

②当0<λ<时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆;(4分)

③当λ>时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆;(5分)

④当λ<0时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线.(6分)

(Ⅱ)由题设知直线l的方程为y=x-2,代入曲线C中得

(λ+2)x2-4x+4-λ=0,(7分)

令A(x1,y1),B(x2,y2),

∵以上方程有两解,∴Δ=32-4(λ+2)(4-λ)>0,且λ+2≠0,(8分)

∴λ>2或λ<0且λ≠-2,

x1+x2=,x1·x2=.

又·=x1·x2+(y1+2)(y2+2)=3x1·x2==-.(10分)

解得λ=-14,(11分)

∴曲线C的方程是x2-=1.(12分)

22.

23.(2012山西大学附中高三十月月考，21，12分）设椭圆的离

心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.

（I）求椭圆的方程；

（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线

的距离为定值，并求弦长度的最小值.

[答案] 23.（I）由题意得，∴，∴.

由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为

，

∴，

∴

∴椭圆C的方程为

（II）设，直线AB的方程为

则，

，

直线AB的方程与椭圆C的方程联立得

消去得

整理得

则是关于的方程的两个不相等的实数根，∴

，

∴，

整理得，

∴，

∴O到直线AB的距离