高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》图文解析

新数学《计数原理与概率统计》复习资料

一、选择题

1

．3

6ax ??

- ? ???

的展开式中，第三项的系数为1，则11a dx x =?（ ） A ．2ln 2 B ．ln 2 C ．2 D ．1

【答案】A 【解析】 【分析】

首先根据二项式定理求出a ，把a 的值带入1

1

a

dx x

?

即可求出结果. 【详解】

解题分析

根据二项式3

6ax ?- ??

的展开式的通项公式得2

21

213()4a T C ax x +?== ??. Q 第三项的系数为1，1,44

a

a ∴=∴=，

则4

4

111

11d d ln 2ln 2a x x x x x ===??.

故选：A 【点睛】

本题考查二项式定理及定积分. 需要记住二项式定理展开公式：1C k n k k

k n T a b -+=.属于中等

题.

2．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．

12

B ．

13

C

D

【答案】C 【解析】 【分析】

根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】

因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以

1d =

≤

，解得k ≤≤

所以相交的概率224

P ==

,故选C.

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.

3．下列等式不正确的是（ ）

A ．111

m m

n

n m C C n ++=+ B ．121

11m m m n n n A A n A +-+--=

C ．1

1m m n n A nA --= D ．1(1)k k k

n n n nC k C kC +=++

【答案】A 【解析】 【分析】

根据排列和组合公式求解即可. 【详解】

根据组合公式得1

1!1(1)!1!()!1(1)!()!1

m

m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==?=-++-+，则A 错误；

根据排列公式得

1221

11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!

m m

m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=

-=+-=?=----，则B 正

确；

根据排列公式得1

1!(1)!()!()!

m

m n n n n A n nA n m n m ---=

=?=--，则C 正确；

根据组合公式得()()1

!!

(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+?

=+-+-+????????

[]!!

()!()!!(1)!

k k

n n n n nC kC n k k n k k n k -?

=--+-=

即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；

故选:A 【点睛】

本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.

4．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ） A ．

78

B ．

34

C ．

12

D ．

14

【答案】A

【分析】

根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ，转化成线性规划问题，利用面积型几何概型求概率，即可求得概率. 【详解】

解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤， 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，

要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，

则相当于56

5.5

6.5

x y ≤≤??≤≤?，即求y x ≥的概率，

如图所示：

约束条件对应的可行域面积为：1， 则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228

-

??=， 所以对应的概率为：7

7818

=，

即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78

. 故选：A.

【点睛】

本题考查利用面积型几何概型求概率，考查运算求解能力.

5．已知()1n

x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

()

20121n

n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则

()0121n

n a a a a -+-+-L 的值为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．2

D ．2-

【解析】 【分析】

由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】

Q ()1n

x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，

∴23

n n C C =，∴5n =，

令0x =，则05

1a =，

令1x =，则()015

5212422431a a a a λ+=++=+=++L ，

∴2λ=，

令1x =-，则()0525

1112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.

6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1

表2

表3

表4

A ．成绩

B ．视力

C ．智商

D ．阅读量

【答案】D 【解析】 【分析】

根据公式()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.

【详解】

根据公式()()()()()2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得：

A.2

2

52(6221014):0.00916363220

A K ?-?=≈???;

2

2

52(4201216): 1.76916363220

B K ?-?=≈???;

2

2

52(824812): 1.316363220

C K ?-?=≈???;

2

2

52(143062):23.4816363220

D K ?-?=≈???

选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】

本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于

中档题.

7．在矩形ABCD 中，AB AD >，在CD 上任取一点P ，使ABP △的最大边是AB 的概率为

3

5

，则在折线A-D-C-B 上任取一点Q ，使ABQ △是直角三角形的概率为（ ） A ．

611

B ．

511

C ．

59

D ．

49

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意设5AB =，由几何概型概率公式结合勾股定理可得3AD =，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】

如图，矩形是对称的，设P 在线段MN 上时，ABP △的最大边为AB ， 则此时AM BN AB ==， 设5AB =，则3MN =，

所以1DN CM ==，4DM =，5AM =， 由勾股定理知3AD =，

当Q 在AD 或BC 上时，ABQ △为直角三角形， 故所求概率为6

11

AD BC p AD CD BC +==++.

故选：A.

【点睛】

本题考查了几何概型概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.

8．若52345

012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为

（） A ．－233 B ．10

C ．20

D ．233

【答案】A 【解析】 【分析】

对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】

对等式两边进行求导，得：

2×5（2x﹣3）4＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，

令x＝1，得10＝a1+2a2+3a3+4a4+5a5；

又a0＝（﹣3）5＝﹣243，

∴a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5＝﹣243+10＝﹣233．

故选A．

【点睛】

本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a1+2a2+3a3+4a4+5a5是解题的关键．

9．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是

A．2 B．3 C．10 D．15

【答案】C

【解析】

【分析】

根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.

【详解】

设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.

【点睛】

(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)1245

销售额y(万元)10263549

根据上表可得回归方程???y

bx a =+中的?b 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元

C ．56万元

D ．57万元

【答案】D 【解析】

试题分析：由表格可算出1(1245)34x =

+++=,1

(10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线???y bx a =+上,?9b

=,代入算出?3a =,所以?93y x =+,当6x =时,?57y =,故选D.

考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y .

11．某公司在2014~2018年的收入与支出情况如下表所示：

根据表中数据可得回归直线方程为$$0.7y x a

=+，依此估计如果2019年该公司收入为8亿元时的支出为（ ） A ．4.502亿元 B ．4.404亿元 C ．4.358亿元 D ．4.856亿元

【答案】D 【解析】 【分析】

先求 3.92x =，2y =，根据$0.7a

y x =-，求解$0.744a =-，将8x =代入回归直线方程为$$0.7y x a

=+，求解即可. 【详解】 2.2 2.4 3.8 5.2 6.0

3.925x ++++=

=，0.2 1.5 2.0 2.5 3.825

y ++++==

$0.720.7 3.920.744a y x =-=-?=-即$0.70.744y x =-

令8x =，则$0.780.744 4.856y =?-= 故选：D 【点睛】

本题考查回归分析，样本中心点()

,x y 满足回归直线方程，是解决本题的关键.属于中档题.

12．有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ） A ．

827

B ．

56

C ．

23

D ．

13

【答案】D 【解析】 【分析】

列举出所有的基本事件，并确定出事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】

以()1,2,3表示编号为1、2、3的盒子分别放编号为1、2、3的小球，则所有的基本事件有：()1,2,3、()1,3,2、()2,1,3、()2,3,1、()3,1,2、()3,2,1，共6种，

其中，事件“小球的编号与盒子编号全不相同”所包含的基本事件有：()2,3,1、()3,1,2，共2个，

因此，小球的编号与盒子编号全不相同的概率为2163

=. 故选：D. 【点睛】

本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，解题的关键就是列举出所有的基本事件，遵循不重不漏的原则，考查计算能力，属于中等题.

13．从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ） A ．60 B ．66 C ．72 D ．126

【答案】A 【解析】 【分析】

要使四个数的和为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个，再根据排列组合及计数原理知识，即可求解. 【详解】

从1，2，3，4，…，9这9个整数中同时取出4个不同的数，其和要为奇数，则取数时奇数的个数必须是奇数个：

所以共有1331

545460C C C C +=种取法.

故选：A 【点睛】

本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于简单题.

14．在二项式2

6

()2a x x

+

的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）

A ．

14

6

π

+

B ．

146

π

- C ．

4

π D ．

16

【答案】B 【解析】 【分析】

用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】

（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r

r r r a T C x x --+??= ???

, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为446

2a C ?? ???，可得4

46

2a C ?? ???

＝15，解得a ＝2．

曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为()1

223100

1

11

-x-x |4

42346

dx x x π

ππ??=

--=- ????． 故选：B 【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．

15．将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有 A ．6种 B ．9种

C ．12种

D ．18种

【答案】C 【解析】

由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:

当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 因此,不同的放球方法有12种. 故选：C

16．高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为

123100,,,,x x x x L ，它们的平均数为x ，方差为2s ；其中扫码支付使用的人数分别为

132x +，232x +，332x +，L ，10032x +，它们的平均数为x '，方差为2s '，则x '，

2s '分别为（ ）

A ．32x +，232s +

B ．3x ，23s

C ．32x +，29s

D ．32x +，292s +

【答案】C 【解析】 【分析】

由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案. 【详解】

由平均数的计算公式，可得数据12100,,,x x x L 的平均数为1231001

()100

x x x x x =++++L 数据1210032,32,,32x x x +++L 的平均数为：

121001210011[(32)(32)(32)][3()2100]32100100

x x x x x x x ++++++=++++?=+L L ， 数据12100,,,x x x L 的方差为2222121001

[()()()]100

s x x x x x x =

-+-++-L ， 数据1210032,32,,32x x x +++L 的方差为：

222121001

{[(32)(32)[(32(32)][(32)(32)]}100x x x x x x +-+++-++++-+L 2222121001

[9()9()9()]9100

x x x x x x s =

-+-++-=L 故选C. 【点睛】

本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

17．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一

步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 A ．24种 B ．48种 C ．96种 D ．144种

【答案】C 【解析】

由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位

置把A 排列，有1

22A =种结果，Q 程序B 和C 实施时必须相邻，∴把B 和C 看做一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有42

4248A A =，根据分

步计数原理知共有24896?=种结果，故选C.

18．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为 A ．55 B ．90 C ．425 D ．512

【答案】D 【解析】

利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有0

9C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有2

9C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有9

9C 种；故总数为

012899999992512C C C C C +++???+==.

故选D.

19．已知变量y 关于x 的回归方程为0.5?bx y

e -=，其一组数据如下表所示：

若5x =，则预测y 的值可能为（ ） A ．5e B ．

11

2e

C ．7e

D ．15

2e

【答案】D 【解析】 【分析】

将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，得到0.5z bx =-，根据题中所给的表格，列出,x z 的取值对应的表格，求得,x z ，利用回归直线过样本中心点，列出等量关系式，求得 1.6b =，得到 1.60.5z x =-，进而得到$ 1.60.5x y e -=，将5x =代入，求得结

果. 【详解】

由$0.5bx y e -=，得$ln 0.5y bx =-，令ln z y $=，则0.5z bx =-.

x

1 2 3 4 z

1

3

4

6

1234

2.54x +++=

=，1346 3.54

z +++==， ∵(,)x z 满足0.5z bx =-，∴3.5 2.50.5b =?-， 解得 1.6b =，∴ 1.60.5z x =-，∴ 1.60.5

x y e -=，

当5x =时，$15

1.650.5

2

y e e ?-==，

故选D. 【点睛】

该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点将对数型回归关系转化为线性回归关系，根据回归直线过样本中心点求参数，属于简单题目.

20．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）

A ．

110

B ．

15

C ．

25

D ．

12

【答案】C 【解析】 【分析】

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数

11221

52222()20n C C C C C =+=，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：11221

22222()8,m C C C C C =+=，由此能求出这3个数字的属性互不

相克的条件下，取到属性为土的数字的概率． 【详解】

由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水， 2，7属性为火，5，10属性为土，

从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，

包含的基本事件个数11221

52222()20n C C C C C =+=，

这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：

11221

22222()8,m C C C C C =+=，

∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率82

205

m p n ===． 故选：C ． 【点睛】

此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.