高考数学玩转压轴题专题复杂数列的通项公式求解问题

专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题

一．方法综述

数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略

类型一数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题

【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．

【答案】12

【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1??=j A j 的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j 数列组成的数列),2,1(??=i A ij ，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.

2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要

明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列.例如：34a 表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.

【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015n a =，则n =__________．

【答案】1030

类型二点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),n n A y A y A n y L L

顺次为直线11

412

y x =

上的点，点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x L L 顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈，点

1,,n n n B A B +构成以n A 为顶点的等腰三角形.则数列{}n x 的通项公式为

____________.

【答案】,(1,(n n a n x n a n -?=?+-?

为偶数）

为奇数）

【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列n A 的通项公式，求点列n B 的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.

【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列111,2A ?

???，2212,2A ?? ???

，3313,2A ??- ???，…，1,(1)2n n n A n ??- ???，…，其中n 是正整数.连接12A A 的直线与x 轴交于点()11,0B x ，连接23A A 的直线与x 轴交于点()22,0B x ，…，连接1n n A A +的直线与x 轴交于点(),0n n B x ，….则数列{}n x 的通项公式为___________.

【解析】直线1n n A A +的斜率为11

121(1)(1)3(1)222n n n n n n k ++++---=-=，所以111

(1)3(1):()22n n n n n n A A y x n +++-?--=-，2

n x n =+. 【答案】23

n x n =+

类型三函数问题中涉及到的数列通项公式问题

【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ??

???

，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足

()()()()

*11n n n f S f a f a n N =++-∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =

（） A.

B. 9

C. 18

D. 36

【答案】C

【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n 项和之间的关系以及公式()12n n n a S S n -=-≥的应用，属于难题.已知n S 求n a 的一般步骤：

（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.

【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知()112F x f x ?

- ???

是R 上的奇函数， ()()()

12101n n a f f f f f n N n n n -??????=+++++∈ ? ? ???????

L ，则数列{}n a 的通项公式为（）

． A. n a n = B. 2n a n = C. 1n a n =+ D. 2

23n a n n =-+

【解析】∵()112F x f x ??=+

- ???是奇函数，∴11022F F ????+-= ? ?????，令12x =， ()1112F f ??=- ???

，令12x =-

， ()1012F f ??

-=- ???

，∴()()012f f +=，∴()()1012a f f =+=，

令112x n =

-，∴11112F f n n ????-=- ? ?????，令112x n =-，∴11112n F f n n -????-=- ? ?????

， ∵1111022F F n n ????

-+-=

? ?????

，∴112n f f n n -????

+= ? ?????

，同理可得222n f f n n -??

??+= ? ???

，

332n f f n n -????

+= ? ?

????

，∴1221(n n a n n N n +-=+?=+∈），故选C 【答案】C

类型四由复杂递推公式求解数列通项公式问题

【例4】【重庆市第一中学2018届高三上学期第一次月考】我们把满足

的数列

叫做牛顿数

列，已知函数，且数列

为牛顿数列，设，则（）

C. D.

【答案】C

【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求

得即数列{a n }是以2为公比的等比数列，又

a 1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．

【举一反三】【辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学2018届高三第二次联考】设

数列{}n a 中， 1122

2,,11

n n n n n a a a b a a ++==

=+-， *n N ∈，则数列{}n b 的通项公式为__________．【解析】1112

21242

22211111

n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++++++=

===?=--+--+，所以2q =， 12b =，所以1

2n n b +=.

【答案】12n +

类型五两边夹问题中的数列通项公式问题

【例5】【2017届浙江省杭州地区（含周边）重点中学联考】设数列{}n a 满足12

a =

，且对任意的*n N ∈，满足22n n n a a +-≤， 452n

n n a a +-≥?,则2017a =_________

【答案】2017

【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即452n

n n a a +-=?，然后经过恰

当的变形，将求2017a 的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.

【举一反三】【福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知各项都为整数的数列{}n a 中，

12a =，且对任意的*N n ∈，满足1n n a a +-< 1

n +

， 2n n a a +- 321n >?-，则2017a =__________．【答案】2017

类型六下标为n a 形式的数列通项公式问题

【例6】【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 的公比为()

*,q n q N ∈，设{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若21n n q T S +=，则n a __________．【答案】21n a n =-

【解析】()21112

22n n n d d S na d n a n -??=+

=+- ??

?， ()

1111111n n n b q b b

T q q q q -==-?---，

因为21n n q T S +=，所以

2211111122n n n b b d d q q a q q q ?

?-?+=+- ?--?

?，这是关于n 的恒等式，所以1

11101{0212

b q

a b d q +=--=-=-，解得12{1d a ==，所以()12121n a n n =+-=-．

【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系21n n q T S +=，这是一个关于正整数n 的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前n 项用基本

量表示，并化已知等式为n

q 的恒等式，利用恒等式的知识求解1,a d ．【举一反三】【2018届安徽皖江名校联盟12月份联考改编】等差数列和等比数列

的各项均为正整数，

且

的前项和为，数列

是公比为16的等比数列，

.则}{n b 的通项公式____________.

【答案】14-=n n b

三．强化训练

1．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月）联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若,2017i j a =，则

i j +=（）

A. 64

B. 65

C. 71

D. 72 【答案】D

【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=?=，即2017为底1009个奇数.

按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有()1122

i i i ++++=

L 个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数；

第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==?+=，故选D.

2.【湖南省衡阳县2018届高三12月联考】在数列{}n a 中， ()()()112141n

n n n na n a n n +-+=+++，且

11a =，记2

i n i a T i =+=∑，则（）

A. 19T 能被41整除

B. 19T 能被43整除

C. 19T 能被51整除

D. 19T 能被57整除【答案】A

3.【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}n a 满足*

,2{ ,2

n n n n

a d N a n

qa N ++?=∈（q 为非零常数），若{}n a 为等比数列，且首项为()0a a ≠，公比为q ，则{}n a 的通项公式为（）

A. n a a =或1

n n a q -= B. ()

1n n a a -=- C. n a a =或()

1n n a a -=- D. 1n n a q -=

【答案】C

4.【浙江省湖州市2017届高三联考】对任意的n∈N *

，数列{a n }满足21cos 3n a n ≤

﹣且22

sin 3

n a n +≤，则a n 等于（） A.

22sin 3n - B. 22sin 3n - C. 21cos 3n - D. 21

cos 3

n + 【答案】A 【

解

析

】

∵

cos 3

n a n ≤

﹣且

22sin 3n a n +≤

，∴2211

cos 33

n n a cos n -≤≤+， 2222sin sin 33n n a n --≤≤-+，即2251cos cos 33n n a n -≤≤-，∴2212

cos sin 33

n a n n =-=-，故选A.

5.【2016届河北省衡水中学高三下学期猜题】已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*

n N ∈，都

有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥?成立，则2014a =（） A ．2014

1- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+

【答案】A. 【解析】

试题分析：∵12n n n a a +-≤，∴1212n n n a a +++-≤，两式相加，可得122232n n n

n n a a ++-≤+=?，

又∵232n n n a a +-≥?，∴需232n n n a a +-=?，等号成立的条件为：12n n n a a +-=， ∴2n ≥时，1

12111(21)

()()2212121

n n n n n n a a a a a a --?-=-+???+-+=+???++==--，

∴2014201421a =-，故选A.

6.【湖北省武汉市2017届高三四月调研】已知数列{}n a 满足11a =， 21

a =

，若()()

*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=?≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（）

112

n - B. 121n - C. 113n - D. 1

121

n -+ 【答案】B

7.【九江市2017年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: 1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()88

i i i i i a a a

++==-=∑∑（）

A. 0

B. 1-

C. 1

D. 2 【答案】A

【解析】由题意，得222

1322433541211,1341,2591a a a a a a a a a -=?-=-=?-=--=?-=，

465

8109

38251,,2155341a a a a a a -=?-=-???-=?-=-，所以()88

22111

0i i i i i a a a ++==-=∑∑；故选A.

6．8.【天津市第一中学2018届高三上学期第二次月考改编】已知数列{}n a 满足22,{

2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数

，

且*

12,1,2n N a a ∈==.则{}n a 的通项公式__________.

【答案】()()

{

n n n n a n ∴=为奇数为偶数

9. 【2016届西藏日喀则一中高三下学期二模改编】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且

21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足13n a n n b b +?=，且11b =.则{}n b 的通项公式__________.

【答案】()

()

122

{

n n n n b n -=为奇数为偶数

【解析】∵

，①

()212n n n S S a n -+=≥，②

①－②得：

2211n n n n a a a a +++=-，

∴()()1110n n n n a a a a +++--=， ∵

，∴10n n a a ++≠，

∴()11,2n n a a n +-=≥ 又由

得

，即22220a

a --=，∴222,1a a ==-（舍去）.

∴211a a -=，

∴{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴n a n =. 又∵13

a n n

b b +?=③

()1132n n n b b n --?=≥④

③

④

得：

又由，可求，

故是首项为1，公比为3的等比数列，是首项为3，公比为3的等比数列.

∴11

212

3,333

n n n

n n

b b

==?=.

∴

()

{

n n

为奇数

为偶数

10.【湖北省黄石市第三中学（稳派教育）2018届高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵”：

，

……

已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第i行第j列

的数为

i j

，则（1）

=_________；（2）前20行中

这个数共出现了________次．

【答案】

11.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.

如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．

【答案】

12.【2017届河南郑州一中网校高三入学测试】设数列{}n a是首项为0的递增数列，

()()[]*11

sin

,,,n n n n f x x a x a a n N n

+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________ 【答案】()12

n n n a π

数列通项公式方法大全很经典精品

【关键字】方法、关键、关系、满足 1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以122 2 a 1 1==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法公式： 1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、累加法形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1）当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-；（2）当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=，以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222 n n n n a a ++-= ，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31 ()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出 11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法的方法和习题

数列专题 1、数列的通项公式与前n 项的和的关系 11, 1,2 n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 2、等差数列的通项公式 *11(1)() n a a n d dn a d n N =+-=+-∈； 3、等差数列其前n 项和公式为 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 4、等比数列的通项公式 1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈； 5、等比数列前n 项的和公式为 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=? 或 11,11,1 n n a a q q q s na q -?≠? -=??=?. 常用数列不等式证明中的裂项形式: （1）( 1111n n =-+n(n+1)1111 ()1 k n k =-+n(n+k);

(2) 211111()1211 k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1k k k k k k k k k - =<<=-++-- (4) 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ??=- ??+++++?? ; (5) ()()11 1!!1! n n n n =- ++ (6) = < <=1(1)n n >+) 一.数列的通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①