立体几何中求角与距离

A

B

C D

A1

E

B1

C1提升成绩题型训练—立体几何中求角与距离

1. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD. （1）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角

恒大于90°

2 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=900

，AC=1，C 点到AB 1的距离为CE=

2

3

，D 为AB 的中点. （1）求证：AB 1⊥平面CED ；

（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；

（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.

3. 如图a —l —β是120°的二面角，A ，B 两点在棱上，AB=2，D 在α内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C 在β内，∆ABC 是等腰直角三角形∠ACB=.900 （I ） 求三棱锥D —ABC 的体积； （2）求二面角D —AC —B 的大小； （3）求异面直线AB 、CD

所成的角

.

5. 已知三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB=BC ， D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE ⊥AP 于E ．

（1）求证：AP ⊥平面BDE ；

（2）求证：平面BDE ⊥平面BDF ；

（3）若AE ∶EP=1∶2，求截面BEF 分三棱锥 P —ABC 所成两部分的体积比．

6. 如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a ， DC=a ，

F 、

G 分别为EB 和AB 的中点. （1）求证：FD ∥平面ABC ；

（2）求证：AF ⊥BD ；

(3) 求二面角B —FC —G 的正切值.

7. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点，且

D 1P ∶PA=DQ ∶QB=5∶12. (1) 求证PQ ∥平面CDD 1C 1； (2) 求证PQ ⊥AD ；

(3) 求线段PQ 的长.

A B C D E A 1 B 1

C 1

D 1 x

y

z 图4

8. 如图4，在长方体ABCD -

1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB

上移动。

（Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；

（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到面

1ACD 的距离；

（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为

4

π。

9. 如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长都相等，D 、E 分别为AC 1，BB 1的中点。（1）求证：DE ∥平面A 1B 1C 1；（2）求二面角A 1—DE —B 1的大小。

10．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。

（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；

（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论

11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，且

∠A D C =a r c s i n 5

5

，又PA ⊥平面ABCD ，AD ＝3AB ＝3PA ＝3a 。

（I ）求二面角P —CD —A 的正切值； （II ）求点A 到平面PBC 的距离。

A

B

C

1

A 1

B 1

C E

D

P

B

C

A D

12.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2，∠ACB=90°，E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. （Ⅰ）确定点G 的位置；

（Ⅱ）求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的大小.

13.已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，

⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，

点E 为AB 中点，点F 为PD 中点. （1）证明平面PED ⊥平面PAB ；

（2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值

14.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP .

(Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)

求点P 到平面ABD 1的距离.

· B 1

P A C D A 1 C 1

D 1

B O H

·

15.如图，在四棱锥

中，底面ABCD 是正方形，侧棱底

面ABCD ，，E 是PC 的中点，作交PB 于点F 。

(I)

证明 平面

；

(II)

证明平面EFD ；

(III)求二面角的大小。

16.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱 CD 上的动点.

（I ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；

（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1—EF —A 的大小（结果用反三角函数值表示）.

17.如图，直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是

梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD=2，DD 1=AB=1，P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点。点P 到直线 AD 1的距离为

2

2

3 ⑴求证：AC ∥平面BPQ ⑵求二面角B-PQ-D 的大小

18.已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=8，E 、F 分别为AD 和CC 1的中点，O 1为下底面正方形的中心。

（Ⅰ）证明：AF ⊥平面FD 1B 1； （Ⅱ）求异面直线EB 与O 1F 所成角的余弦值；

A B C D A B C D

P Q

11

1

1

A B D

C D 1C 1E

F

O 1