科学计数法有理数的混合运算

第3讲科学记数法、有理数的混合运算

第1部分重难点分析、知识图解

1.学习目标：理解科学记数法的实际意义，会用科学计数法表示较大的数以及科学记数法在实际

生活中的作用；掌握有理数的混合运算顺序，能准确地进行有理数的混合运算。

学习的重难点：理解与灵活运用科学记数法解决实际问题；掌握与灵活运用有理数的运算法则、运算律解决有理数的有关运算问题。

2.知识图解：

图解1：

科学意义把一个大于10的数写成a×10n(其中1≤a<10,n是正整数）

记数的形式，这种记数方法叫做科学记数法

法用途用科学记数法能比较方便地表示一个较大的数图解2：

有理数的基本方法加减运算统一为加法运算，乘除运算统一为乘法运算

混合运算运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的要先算括号里面的

第2部分教材详解

知识点一、用科学记数法表示大数

科学记数法：把一个大于10的数写成a×10n(其中1≤a<10,n是正整数）的形式，这种记数方法

叫做科学记数法。

例9.某市去年实现总产值1580亿元，这个数据用科学记数法表示为元

变式训练1 一只大象的体重可达6.0×103kg，一条鲸鱼的体重可达1.5×105kg，一条鲸鱼的体重是一只大象体重的多少倍？

91011112008611222 609 000 000A 2.260910B 2.260910C 2.260910D 2.260910-????3.截止年月日时，我国各级政府共投入四川汶川救灾资金达法表示为元，这项资金用科学记数（ ）．元 ．元．元 ．元

4.有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1毫米。 （1）对折两次后，厚度为多少毫米? （2）对折20次后，厚度为多少米?

知识点二、将科学记数法表示成a ×10n

的数还原为原数 例2 （1）写出下列用科学记数法所表示的原数。 ①预计到21世纪中期，世界人口总数达到9×109

人。

②俄罗斯陆地面积居世界第一，约为1.707×107平方千米。

（2）地球的表面积约为5.1×108

平方千米，则这个数字的原数是 平方千米。

知识点三、用科学记数法解决实际问题

【例3】 （1）据统计，我国平均每人每天大约产生1.5千克的垃圾，你可能觉得并不多，假若从我国的家庭、商店、工厂等地方产生的垃圾可压缩成棱长为0.5米的垃圾，每个这样的立方体约由100千克垃圾组成，问我国每天的垃圾将产生多少个这样的立方体？有多少千克？（按13亿人口计算）

(2)光的速度是300000000米/秒，用科学记数法表示为 ；那么光1小时所走的路程用科学记数法表示为 ；光年就是光一年（按365天计算）所走的路程，用科学记数法表示为 。 变式训练

知识点四、有理数的混合运算

有理数混合运算的运算顺序遵循三个原则： a.同级运算，按照从左到右的顺序进行运算；

b.不同级时，先计算乘方，再算乘除，最后算加减；

c.如果有括号，先计算括号里面的。

“”201710500105002.根据市委建设六新大宁德的目标，到年全市公路通车里程增加到千米，将用科学计数法表示为_______

例4 （1）计算下列各题。 -50÷2×51+3-（-12） 56×（-173）+41÷0.75-（-3）3

（41）2÷[（-4）-（-4

3）]

（2）计算下列各题。 -12008

-

361×[|-2|3-12+（-2）3] -|-3+231|+|-31|2+（-3

1）2×（-1）9×（-2）3

知识点五、有理数的混合运算中运算律的运用 例5 计算下列各题。 （34-65-83）÷（-61）+（-41） -22

×（-3.14）-3.14×（-2

1）×（-6）

知识点六、有理数的混合运算的实际应用

例6 （1）如果规定扑克牌上面的数字黑色表示正数，红色表示负数，现在给你四张扑克牌：黑桃7，梅花7，红桃3和梅花3，请你列出一个有关有理数混合运算的式子（加、减、乘、除、乘方），使最后结果为24。

（2）某股民上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日股票的涨跌情况（“+”为涨，“-

①星期三收盘时，每股多少元？

②本周内最高股价是多少元？最低股价是多少元？

③已知此股民买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时还需付成交费1.5‰和1‰的交易税，如果他在星期六收盘时把全部股票卖出，他的收益情况如何？

第3部分 技巧解读

技巧1 巧用“两看”确定科学记数法中的n 的值

所谓的“两看”是指：一看单位是否统一；二看统一单位后的整数的位数。

例1 （1）为了加快3G 网络建设，顺德市电信营业企业将根据各自发展规划，今年预计完成3G 投资2800万元，将2800万元用科学记数法表示为多少元？正确的选项是（ ）。

A.2.8×10

3

B. 2.8×106

C.2.8×107

D.2.8×108

（2）某市水质监测部门2009年全年共监测水量达到28900万吨。这个水量用科学记数法表示为（ ）吨。

A.2.89×104

B.2.89×107

C.2.89×108

D.2.89×106

技巧2 巧用运算律简化有理数的混合运算 例2 计算下列各题：

23

-49.5+10.2+0.8-4.5-（-6）2

（-21）+（-231）+243+（-87）-（-21）3-（-33

2

）

（

41）2÷（-221）+（1141+231-134

3）×24-53

（-23）3×（-53）2-2159×4319×（-121）3+（54）2×（-3

2）3

技巧3 括号的巧妙使用

在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单。

例3（1）计算：211×555+445×789+555×789+211×445

（2）在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

技巧4 用字母表示数简化运算的技巧

例4 （1）计算下列各题：

(100+2)×(100-2) 103×97×10009 3001×2999

（2）计算：

技巧5观察算式找出规律简化运算

例5 （1）某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分。

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88。（2）完成下列各题：

1+3+5+7+…+1997+1999 1+5+52+53+…+599+5100

第4部分 提高训练

一、选择题 1.若a>

1

a

，那么a 的取值范围是（ ）。 A.a>0 B.a<0 C.a>1或－11

2.在自然数中，前50个奇数的和减去前50个偶数的和的差是（ ）。 A.100 B.－100 C.50 D.－50

3.已知a 、b 、c 、d 是互不相等的整数，且abcd=9，则a+b+c+d 的值等于（ ）。 A.0 B.4 C.8 D.不能求出

4.当0

，x ，

1

x

的大小关系是（ ）。 A.x 2＜x ＜1x B.1x ＜x 2＜x C.x ＜1x ＜ x 2 D.x ＜x 2

＜1x

5.计算：8

6.66.68686.06284.3114.3?+?+?=（ ）。 A ．3140 B ．628 C ．1000 D ．1200

6.

30

28864215

144321-+???-+-+-+-???+-+-等于（ ）。

A ．41

B ．41-

C ．21

D ．2

1

-

7.为了求2008

322221++++ 的值，可令S ＝2008

322

221++++ ，

则2S ＝2009

4322

222++++ ，因此2S-S ＝12

2009

-，所以2008322221++++ ＝1

22009-

仿照以上推理计算出2009

3

2

5551++++ 的值是（ ）。

A.15

2009

-

B.15

2010

- C.41

52009-

D.4152010-

二、计算题

1991×1999-1990×2000； 4726342

+4726352

-472633×472635-472634×472636； 2000323

13131311+??????++++ 9900199

97081975615-42133011-209127-311－＋??????+++

三、解答题

1.设三个互不相等的有理数，既可表示为a b a ,,1+的形式，又可表示为b a

b

,,

0的形式，求20001999b a +的值是多少？

2.已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3，求下列式子的值：

()()()

2003

2001231ab x n m x ab n m x -++++++-

3.已知022=-+-a ab ，求

()()()()

()()2006200612211111+++???+++++++b a b a b a ab 的值

4.图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)

1232

n n n +++++=

．

图１ 图2 图3 图4

如果图1中的圆圈共有12层：

（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是

；

（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，

求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和。

第2层 第1层 …… 第n 层

第5部分 课后作业

1.用科学记数法表示下列各数：

（1）728500 （2）3600000000 （3）2009000000 （4）5800000

2.如果一辆汽车的速度为40千米/小时，那么汽车不停地沿着地球的赤道（一周大约为4×104

千米）走一圈，需要多长时间？

3.一杯饮料，第一次倒去一半，第二次倒去剩下的一半，……如此倒下去，第八次后剩下的饮料是原来的几分之几？

4.计算下列各题： -（9

2524）×50 2×（-5）+23

-3÷21 2×3×4×5×（ 21-31-41-5

1）

-49+2×（-3 ）2

+ (-6 )(－9

1) -10 +8÷( -2 )2

-（-4）×（-3）

4941911764131159431+++??? ??+-??? ??+-+ 1999

19971971751531?+???+?+?+?

5.某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分。

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85