九年级数学24.1.弧_弦_圆心角、圆周角

又因为OE
所以
、OF是AB与CD对应边上的高，
O
·
F
D
OE = OF.
C
2.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ = ⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， BC CD DE 求∠AOE的度数．
解： E D C
⌒
= ⌒ = ⌒ BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
A
O
·
AOE 180 3 35
∠ COD
1 1 ∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
3.第三种情况：
A
证明：作射线AO交⊙O于D。
O
∠ BOD 1 1 ∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
2 1 ∠BAD＝ 2
由第1种情况得 1 ∠CAD＝ ∠ COD
因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合．
⌒ AB
⌒ A1B1 AB A ' B '.
四、定理
这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等 圆心角_____， 所对的弦________； 相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的 相等 相等 圆心角______，所对的弧_________． 同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
C D B
归纳总结
圆周角定理
C
D
A
O
在同圆或等圆中，同弧(或等弧）所对 的圆周角相等；同弧(或等弧）所对的 圆周角等于圆心角的一半． 推 论
A
·
B
E
C2 C1 C3
直径（或半圆）所对的圆周角是 直角， 90°的圆周角所对的弦是 直径．
· O
B
五、例题
⌒ ⌒
例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°，
三、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现 哪些等量关系？为什么？ A′ A′ B B B′ B′
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等， OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．
AB CD （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，____________． 相 等
A E B
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？ 因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD. 又因为AO=CO，BO=DO， 所以△AOB ≌ △COD.
小结:
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相
交的角叫圆周角.
2.半圆或直径所对的圆周角等于90° 90°的圆周角所对的弦是直径 3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相 等,同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；相
等的圆周角所对的弧相等。
⌒ ⌒
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵AB=AC A
∴
AB=AC, △ABC 等腰三角形．
O
又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA. B ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
C
六、练习
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
⌒ = ⌒ AOB COD （1）如果AB=CD，那么___________，_________________． AB CD AOB COD AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________，______________． AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
O
D
C
点此继续
练习:
1、如图，在⊙O中，ABC=50°， 则∠AOC等于（ D ） A、50°； B、80°； C、90°； D、100°
A B O C
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P 在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重 合，则∠BPC等于（ ） B A、30°； B、60°； C、90°； D、45°

B

75

∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º .同时整个圆也被分成了360份.
则每一份这样的弧叫做1º 的弧. 这样,1º 的圆心角对着1º 的弧, 1º 的弧对着1º 的圆心角.
n°弧
n°
1°
1°弧
n º 的圆心角对着nº 的弧,
n º 的弧对着nº 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
A C
●
A C
●
A C B
●
O B
O
O
B
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
1.第一种情况：
∵ OA=OC ∴∠A=∠C 又 ∠BOC=∠A＋∠C ∴∠BOC=2∠A
B O
A
C
1 即∠A= 2
∠BOC
2.第二种情况：
A
证明：由第1种情况得
1 ∠BAD＝ 2
O B D C
∠ BOD
1 ∠CAD＝ 2
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那
么它们所对应的其余两个量都分别相等。
探 究
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察 得到的∠ACB有什么特征？ C
O A
.
B
顶点在圆上
两边都与圆相交

这样的角叫圆周角。
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大
小有什么关系? • 说说你的想法,并与同伴交流.
白泥中心校九年级数学
主讲人：王攀
2013.10.24
一、思考
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心.
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N

O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
小结
判断
在两个圆中，分别有 AB和CD , 若 AB 的度
数和 CD 相等，则有
（1）AB 和 CD 相等
（2）AB 所对的圆心角和 CD 所对的圆 心角相等
试一试
⌒ ⌒ ´中,AB和A B´所对的圆心 ´ 1.在半径相等的⊙O和⊙O 角都是60°. ⌒ ⌒ ´ ´ (1)AB和A B各是多少度? ⌒ ⌒ (2)AB和A B´相等吗? ´ (3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么? 2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8等分,那么 每一份弧是多少度?
C
A P
B
小结:
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所 对的圆心角相等， 所对的弦相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所 对的圆心角相等，所对的弧相等 在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组 量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等

O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N

O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
由此可以看出，点N'仍落在圆上。 N' N

O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合。
二、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O· B 如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
3.圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.求证:在同圆或 等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等.
结束
例2：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的
1 3
，圆的半径为4cm，求AB的长
O
A C
B
A
知识延伸
B
如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA. 证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA(圆心角定理)