排列组合
排列组合基本知识
排列组合基本知识排列组合是概率统计学中常用的一种数学方法，用于描述一个或多个物体之间的不同状态。
它是定义所引入的一种概念，可用于研究诸如概率，排序，决策，密码和自然语言等的问题。
排列组合的基本概念是用来描述一个或多个物体的“排列状态”。
它有助于把具有不同特性的多个物体进行组合，以协助分析物体的关联的特性。
例如，在计算机方法中，可以使用排列组合来模拟某种算法的运行效率，以及它和其他算法之间的比较；游戏玩家可以利用排列组合来做出最佳的决策；市场营销人员也可以利用排列组合来表示和分析客户偏好和行为。
排列分为几种类型：简单排列，互换排列，重复排列，标准排列。
简单排列是指把一系列数据（组成物体）按一定的顺序安排起来，没有重复次数。
例如，3个不同颜色小球正确的排列可以是红、绿、蓝，也可以是绿、蓝、红，而红、红、蓝则不是正确的排列。
重复排列也称为混排，也是在排列时每种物体可以重复参与排列，但是每种物体的次数可以相同，只要所排列的物体不重复即可，它主要用于研究物体之间的搭配关系。
例如，从3个不同颜色小球中取出任意2个，可以得到红色、绿色；绿色、蓝色；红色、蓝色，而不是红绿蓝三色全都选择。
标准排列是一种复杂的排列，它常用于研究物体和它们之间的关系。
例如，分析市场上20种商品的销售模式可以使用标准排列，以了解每种商品的销售额和销量的分布，并与其他商品进行比较，从而帮助商家正确定位消费者。
排列组合等数学方法常常用于统计分析和决策，不仅可以应用到社会科学，自然科学，技术科学，也可以用于日常生活中的决策和分析，如文字拼写检查，排序，计算路线图等。
排列组合的运算过程可以被计算机程序执行，可以更有效地解决问题。
排列组合公式排列组合公式
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 ≥
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
排列组合公式排列组合公式
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
排列组合公式排列组合公式
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次数 为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数。
。
(2x13x25x3)6
x13x2 x32
(x1x2 xr)n
项，其中
n n1 1, nn 22, ,n r为 nrn非负 n1整 n2n 数 nrx1n1x2n2 xrnr
排列组合公式排列组合公式
例题
• 数1400有多少个正因数？ • 1400=23 × 52 × 7 • (3+1)(2+1)(1+1)=24
排列组合公式排列组合公式
多边形
排列组合公式排列组合公式
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
排列组合的生成算法
2.组合的生成： 递归 由上一个组合生成下一个组合
program zuhe; const n=6;m=4; var a:array[0..m] of integer; i,j:integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=a[dep-1]+1 to n-(m-dep) do begin a[dep]:=i; if dep=m then print else try(dep+1); end end; begin a[0]:=0; try(1); end.
字典序法 按照字典序求下一个排列的算法 例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的 全排列是:123,132,213,231,312,321。 生成给定全排列的下一个排列 所谓一个全排ห้องสมุดไป่ตู้的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。 这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后 缀上。 （1）求满足关系式pj-1<pj的j的最大值，设为i，即 i=max{j| pj-1<pj} （2）求满足关系式pi-1<pk的k的最大值，设为j，即 j=max{k| pi-1<pk} （3）将pi-1与pj互换 （4）将互换后的排列，从i开始到n之间的数逆转。
下一个组合的概念 给定集合S={1,2,…,n}，如何找出S的所有k—组合？ 因为组合无顺序，所以对S的任何一个k—组合{a1a2…ak}，我们恒假定a1<a2<…<ak． 在这个假定下恒有ai≤n－k+i，并称n-k+i为ai的最大值． 设{a1a2…ak} 和{b1b2…bk}是S的两个不同的k—组合．如果(a1a2…ak)(b1b2…bk)， 并且不存在异于{a1a2…ak}和{b1b2…bk}的k—组合{c1c2…ck}，使得 (a1a2…ak) (c1c2…ck) (b1b2…bk) 则称{b1b2…bk}为{a1a2…ak} 的下一个组合． 组合生成算法： 步骤1 置{a1a2…ak}={1,2,…,k}； 步骤2 设已有一个k—组合{a1a2…ak}． 置i：=k： ① 若ai<n－k+i,则令 bi=ai+1 bj+1=bj+1，j=i, i+1, …,k-1 并置 {a1a2…ak}:={a1a2…ai-1bibi+1…bk} 返回步骤2； ② 若ai=n-k+i： 如果i>1，置i：=I－1，返回①; 如果i=1，终止． 这样，所有k—组合即可数遍．
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合的运算法则
排列组合的运算法则摘要：一、排列组合的概念二、排列组合的运算法则1.排列公式2.组合公式3.排列组合公式三、实例解析四、应用场景正文：排列组合是组合数学中的基本概念，它广泛应用于各种学科和实际问题中。
排列组合的研究对象是有限的、不同的元素，主要研究将这些元素进行有序排列或无序组合的问题。
接下来，我们将介绍排列组合的运算法则，并通过实例进行解析。
一、排列组合的概念1.排列：从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列，称为排列。
排列用符号A(n,m)表示。
2.组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑元素之间的顺序，称为组合。
组合用符号C(n,m)表示。
二、排列组合的运算法则1.排列公式排列公式为：A(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1。
2.组合公式组合公式为：C(n,m) = n! / [m! * (n-m)!]其中，n!和m!分别表示n和m的阶乘。
3.排列组合公式排列组合公式为：P(n,m) = C(n,m) * A(m,m)其中，P(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的排列组合数。
三、实例解析例如，有5个人参加一场比赛，需要分成3个小组，求不同的分组方法数量。
解：根据组合公式，C(5,3) = 5! / [3! * (5-3)!] = 10所以，有10种不同的分组方法。
四、应用场景1.密码学：在密码学中，排列组合可用于计算密码组合的数量，以评估密码的安全性。
2.组合优化：在组合优化问题中，排列组合可用于计算不同方案的数量，以便找到最优解。
3.概率论：在概率论中，排列组合可用于计算事件的组合概率。
4.生物学：在生物学中，排列组合可用于研究基因组合和生物多样性。
总之，排列组合的运算法则在许多领域具有广泛的应用价值。
排列组合全部20种方法
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 练习1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?练习、 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？七.多排问题直排策略7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？前 排练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习、１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数？十一.正难则反总体淘汰策略11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
排列组合知识点
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n nn n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注： 若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
数学排列组合几种
概率论
在概率论中，排列常用于 计算事件的概率，特别是 当事件的顺序有关时。
计算机科学
在计算机科学中，排列常 用于算法设计和数据结构 ，如排序算法、哈希表等 。
02
CATALOGUE
组合
组合的定义
组合
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
根据排列的定义，从n个不同元素中取出m个元素进行排列，可以看成是先从n 个元素中取出m个元素进行全排列，再从剩余的(n-m)个元素中取出0个元素进 行全排列，所以排列的个数为A(n,m) = n! / (n-m)!。
排列的应用场景
01
02
03
组合数学
排列是组合数学中的重要 概念之一，在组合计数、 组合优化等领域有广泛的 应用。
数学排列组合
contents
目录
• 排列 • 组合 • 排列与组合的区别与联系 • 排列组合的扩展概念 • 排列组合在实际生活中的应用
01
CATALOGUE
排列
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ 0≤m≤n），按照一定的顺序排成一 列，称为从n个不同元素中取出m个元 素的排列。
有序排列组合
在有序排列组合中，元素的顺序是有意义的。例如，在3个不 同数字中选取2个数字，并按照一定的顺序排列，可以得到不 同的结果。
无序排列组合
在无序排列组合中，元素的顺序是没有意义的。例如，在3个 相同数字中选取2个数字，不论选取的顺序如何，结果都是相 同的。
重复排列组合
重复排列组合是指在选取元素时，可以重复使用同一个元素。例如，在5个数字 中选取3个数字，其中有一个数字可以重复使用，那么选取的方式有4种。
排列组合写法
排列组合写法排列组合是数学中常用的概念，用于计算从一组元素中选择若干个元素形成不同排列或组合的方法数。
1. 排列（Permutation）：从n个元素中选择r个元素，按照一定的顺序排列，计算排列的方法数。
常用符号为P(n, r)。
排列的计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1。
2. 组合（Combination）：从n个元素中选择r个元素，不考虑顺序，计算组合的方法数。
常用符号为C(n, r)或者(n choose r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)排列和组合的计算公式可以用来解决各种组合问题，例如排列组合问题、概率计算、组合拳计数等。
以下是一些排列组合的常见写法示例：Python示例代码：1. 计算排列的方法数：```pythonimport mathn = 5r = 3permutations = math.perm(n, r)print("Permutations:", permutations)```2. 计算组合的方法数：```pythonimport mathn = 5r = 3combinations = b(n, r)print("Combinations:", combinations)```注：以上示例代码使用了Python标准库中的math模块，其中的perm()函数用于计算排列，comb()函数用于计算组合。
请确保您的Python环境已经安装了相应的库。
当然，您也可以根据需要自行编写排列组合的计算函数或者使用其他编程语言实现排列组合的计算逻辑。
排列组合总结(含答案)
1．（站队模型）4男3女站成一排：①女生相邻；5353A A ⋅②女生不相邻；4345A A ⋅③女生从高到低排；47A④甲不在排头，乙不在排尾；解析：当甲在排尾时有66A ；当甲不在排尾时有115555A A A ⋅⋅2．（组数模型）由0到9这10个数字组成没有重复数字的四位数： ①奇数；末位有112588A A A②偶数；解析：末位为0，有39A ；末位不为0，有112488A A A ⋅⋅③被5整除的数；解析：末位为0，有49A ；末位为5，有1288A A ⋅④比3257大的数； 解析：首位为4到9时有396A ；首位为3时281749A ⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩百位为到时有6十位为6到9时有4A 百位为2时十位为5时有2 ⑤被3整除的三位数．12333311123322111333332A A A C C C A C C C A ⎧⋅+⎪⎧⋅⋅⋅⎨⎪⎨⎪⋅⋅⋅⎪⎩⎩都从一个集合中选时有含0时有各选一个时有不含0时有3．（分组分配问题）6个不同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：63②放入三个不同的盒子，每盒不空；解析：4363321363132226426222:A C C C A C C C ⎧⎪⋅⋅⋅⎨⎪=++⋅⋅⎩6＝4＋1＋1：有C 6=3+2+1:有有③分三组（堆），每组至少一个；解析：41162122321631222642336222:C C A C C C C C C A ⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅⎨⎪⋅⋅⎪=++⎪⎩C 6＝4＋1＋1：有6=3+2+1:有有4．6个相同的小球：①放入三个不同的盒子；解析：相当于分名额，盒子可空：插板法：28C ②放入三个不同的盒子，每盒不空；25C ③恰有一个空盒．解析：相当于两个盒子不空：1253C C ⋅5．6名同学报名三科竞赛：①每人限报一科；63②每科限报一人；366．（选派问题）5男3女：①选2人开会；28C②选正副班长，至少1女；2285A A - ③选4人开会，至多2男；解析：即至少2女，22313535C C C C ⋅+⋅④选4人跑4×100接力，至少2女．解析：()2231435354C C C C A ⋅+⋅⋅。
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1.3 组合 第一课时
教学目标
理解组合及组合数的意义，掌握组合数与排列数的联系，掌握组合数公式及其推导并能解决一
些简单的组合问题．
教学重点与难点
1、 组合及组合数的意义，2、组合数与排列数的联系。
教学过程
一、复习引入：
1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同
的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，„„，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完
成这件事共有 12nNmmm种不同的方法
2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，
做第二步有2m种不同的方法，„„，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有
12n
Nmmm
种不同的方法
3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）
按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．
4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个
元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示
5．排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）
6阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1．
7．排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nnm
二．设置情境
问题1：有5本不同的书
（1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，有几种不同的分法？
（2）取出4本给甲，有几种不同的取法？
分析：问题（1）中，书是互不相同的，人也互不相同，所以是排列问题，而在问题（2）中，书不
相同，但甲所有的书只有数量的要求而无“顺序”的要求，因而问题（2）不是排列问题，
它就是我们这一节要研究的组合问题．
三．探索研究
1．组合
问题2: 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去分别参加上午与下午的活动，有多少种不同的选法？
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
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很明显，从3名同学中选出2名，不同的选法有3种：
甲、乙 乙、丙 丙、甲
所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和乙、甲是同一种选法．
问题3:从不在同一条直线上的三点A、B、C中，每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条
不同的直线？
根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线，并且只能作一条直线，所以过A、B两点
只能连成一条直线，因此可以得到三条直线：AB、BC、AC，直线AB与直线BA是一条
直线，这也就是说，“把两点连成直线”时，不考虑点的顺序．
四．归纳总结
1.一般地，从n个不同元素中取出m（nm）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个
元素的一个组合．
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
例1．判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种
不同的飞机票价？
（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？
（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选
法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？
（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？
问题4：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？
问题5；什么样的两个组合就叫相同的组合？
（1）排列与组合的区别：排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，
（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合
中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
2．组合数及其公式
从n个不同元素中取出m（nm）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出
m
个元素的组合数．记作mnC．
这里要注意mnC是一个数，应该把它与“组合”区别开来．例如，从3个元素a，b，c中每
次取出2个元素的所有组合是ab、bc、ac，而组合数是323C．
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排
列数mnA，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数mnA．
根据分步计数原理，得到
mmmnm
n
ACA
因此 !121mmnnnnAACmmmnmn．
—第3页●共4页—
这里m、Nn，且nm，这个公式叫做组合数公式．
上面的公式还可以写成 !!!mnmnCmn．
上面第一个公式一般用于计算，但当m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，
在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
五．例题讲解
例2．计算：（1）47C （2）710C
解：（1）3512344567444747AAC （2）12012345674567891077710710AAC
例3求证：11mnmnCmnmC．
证明：右边!1!1!111mnmnmnmCmnmmn
!!!!1!!11mnmnmnmnnmm
mnC
左边 所以原式得证．
例4．设,Nx 求321132xxxxCC的值
解：由题意可得：321132xxxx ，解得24x，
∵xN， ∴2x或3x或4x，
当2x时原式值为7；当3x时原式值为7；当4x时原式值为11．
∴所求值为4或7或11．
六．演练反馈
1．解方程：2132411xxCC．
解：原方程可化为 !1!2!124!3!3!11xxxx 整理得 050105112xx
解得10x或115x（不合题意舍去）．经检验10x是原方程的根．
2．已知55322122：：：：mnmnmnCCC，求m、n的值．
解：依题意得
221221253mnmnmnmnCC
CC
整理得12138mnnm 解得 52nm
3．教材P25面练习1、5、6。
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七．总结提炼
1、组合的定义简单地说，一是取出元素，二是并成一组，与排列是有区别的．
2、要能理解、记住并正确地运用，尤其要注意逆用公式．
八．课后作业
《习案》与《学案》