2021年高二苏教版数学选修2-2名师导学：第1章 第4课时 瞬时变化率——导数(1)
(教师用书)高中数学 1.1.2 瞬时变化率 导数同步备课课件 苏教版选修2-2
1．曲线上一点处的切线 设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，这时，直线 PQ 称
割线 ，随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ 为曲线的______ 逼近 曲线 C.当点 Q__________ 无限逼近 点 P 时， 在点 P 附近越来越______
逼近 曲线的直线 l，这条 直线 PQ 最终就成为在点 P 处最______
常数 ，则称 f(x)在 x＝x0 处______ 可导 ，并 限趋近于一个_____A 常数 为函数 f(x)在 x＝x0 处的______ 导数 ，记作 f′(x0)． 称该_____A
2．导数的几何意义 导数 f′(x0)的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))
斜率 处 的 切 线 的 _______ ， 切 线
●教学建议 新课标对“导数及其应用”内容的处理有较大的变化， 它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照“平均变 化率——曲线在某一点处的切线——瞬时速度(加速度)—— 瞬时变化率 ——导数的概念”这样的顺序来安排，用“逼 近”的方法来定义导数，这种概念建立的方式直观、形象、 生动，又易于理解，突出导数概念的形成过程． 因此，在教学中采用教师启发诱导与学生动手操作、自 主探究、合作交流相结合的教学方式，引导学生动手操作、 观察、分析、类比、抽象、概括，并借助 excel 及几何画板 演示，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ___________________________ ．
PT
的 方 程 是
求瞬时速度、瞬时加速度
已知质点 M 的运动速度与运动时间的关系为 v＝ 3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)， Δv (1)当 t＝2，Δ t＝0.01 时，求 ； Δt (2)求质点 M 在 t＝2 时的瞬时加速度． 【思路探究】
苏教版高中数学选修2-2《瞬时变化率—导数：导数》教学课件2
设切线的倾斜角为α,那 y 么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切
Q割 线
切T
线线的斜率.P Nhomakorabeao
x
即:
y x
f
(x0
x) x
f
( x0 )
x0
f
'(x0 )
k切线
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例 1．（1）求函数 y=3x2 在 x=1 处 的导数.
y f (x x) f (x) x0 y f (x)
x
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f (x)在点x0处的导数f (x0 ) 等于函数f (x)的导(函)数f (x)在点x0处的 函数值.
函数导函数
▲ 如何求函数y=f(x)的导数?
(1)求函数的增量y f (x x) f (x);
回顾
①平均变化率
函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2 平均变化率为:
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
Y=f(x)
②割线的斜率
y
k y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
f(x2)
B
f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) O
A x2-x1=△xx
（2）求函数 f(x)= x2 x 在 x 1 附
近的平均变化率，并求出在该点处
的导数．
例 2：已知函数 f (x) x ，求 f (x) 在 x 2 处的切线。
※求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求
2020-2021学年高二数学苏教版选修2-2第1章第4-6课时1.2导数的运算学案
第四课时常见函数的导数【课前预习案】 一、学习目标1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝kx ＋b ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 二、复习回顾：1.导数的定义;2.导数的几何意义三、预习问题﹕由导数的定义,试写出求函数)(x f y =在0x x =处的导数的一般步骤.【问题引导、合作互动案】 一、几个常用函数的导数问题1怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 问题2利用定义求下列常用函数的导数：(1)y ＝kx ＋b (2)y ＝c (3)y ＝x (4)y ＝x 2 (5)y ＝1x(6)y ＝x二、基本初等函数的导数公式问题3利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？ 基本初等函数的导数公式表(1)=+')(b kx _______； (2) 1)'(-=αααx x (α为常数) (3))1,0(ln )'(≠>=a a a a a xx且 (4) xxe e =)'((5) )1,0(ln 1log 1)'(log ≠>==a a a x e x x a a 且 (6)xx 1)'(ln = (7) x x cos )'(sin = (8)x x sin )'(cos -=例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3； (2)y ＝5x ； (3)y ＝1x 3； (4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x ； （6）)2sin(x y +=π.三、 导数公式的综合应用例2直线321+=x y 能作为函数x y sin =图象的切线吗?为什么?例3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【自主体验案】 一、课堂练习1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4； ②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3； ④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的序号是________．2．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8； (2)y ＝(12)x ； (3)y ＝x x ； (4)y ＝log 13x ； (5) y ＝1－2sin 2x2.3.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．二、反思与感悟1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导． 3．本节课我的收获和疑惑？巩固练习四班级___________ 姓名___________ 学号___________一、基础过关1．曲线y ＝x 2在x ＝12处的切线的倾斜角α是( )A ．0°B ．45°C ．135°D ．60°2．函数y ＝1x在点P 处的切线斜率为－4，则P 的坐标为( )A ．(12，2)B ．(2，12)C ．(12，2)或(－12，－2)D ．(2，12)或(－2，－12)3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k ＝( )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln2＋1C ．ln2－1D ．ln25．已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为( )A ．(1，－4)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(－2,4)6．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于______．7．函数f (x )＝x ，则f ′(3)＝________.8．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.9．曲线x y sin =在点)21,6(πA 的切线的斜率等于______．.10．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ； (2)y ＝1x 4；(3))2cos(x y -=π； (4)y ＝2sin x 2cos x 2.二、能力提升11．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．.12．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．13．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．第五课时 函数的和、差、积、商的导数(一)【课前预习案】 一、学习目标了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
高中数学苏教版选修2-2第1章《导数及其应用》(1.1.2(二 ))ppt课件
f′(x0)是函数 f(x)的导函数 f′(x)当 x 取 x0 时的函数值.
1.1.2(二)
1.导数：设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，
本 课 时
当 Δx 无限趋近于 0 时，比值ΔΔxy＝
fx0＋Δx－fx0
Δx
无限趋近
栏 目
于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称常数 A 为函
1.1.2(二)
1.1.2 瞬时变化率——导数(二)
【学习要求】
本 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义和极限形式的
课 时
意义，并掌握导数的几何意义.
栏 2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义.
目
开 【学法指导】
关
导数就是瞬时变化率，理解导数概念可以结合曲线切线的斜
率，结合瞬时速度，瞬时加速度；函数 f(x)在一点处的导数
目 开
线的斜率.
关
1.1.2(二)
例 1 利用定义求函数 f(x)＝－x2＋3x 在 x＝2 处的导数.
解 ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－2
本 课
＝－(Δx)2－Δx.
时
栏 目 开
∴ΔΔyx＝－Δx－1，
关
当 Δx→0 时，ΔΔyx→－1，
∴f′(2)＝－1.
目 开
处的函数值.
关 3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
(1)求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线为 y－y0＝f′(x0)(x－x0).
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高二年级-数学-《瞬时变化率(二)》
2.若曲线y＝f(x)上的某一点有切线，是否函数在这个自变量处可导？
例如f (x) 3 x, 在(0, 0)处
y 3 0 x 3 0 1 ，
x
x
(3 x )2
当x 0时，y ，不可导.
x
解题感悟 1.求曲线的切线方程，首先判断给出的点P是否是切点，明确求的 是在点P处的切线还是过点P的切线.
在不引起混淆时，导函数 f (x) 也简称为 f (x)的导数 ．
数学应用
例 1(3) 求函数f(x)=3x2-2x的导数.
解：因为 y 3(x x)2 2(x x) (3x2 2x) 6xx 3(x)2 2x，
所以 y 6xx 3(x)2 2x 6x 2 3x,
x
x
记作 f ( x0 )．
概念理解 1．函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在． 2．在导数的定义中，Δx趋近于0，Δx可正、可负，但不为0，而Δy可能为0.
y
3. x 是函数y＝f(x)对自变量 x在 x 范围内的平均变化率，它的几何意义 是过曲线y＝f(x)上点 (x0 , f (x0 )) 及点 (x0 x, f (x0 x)) 的割线斜率.
4.导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx 无关.
概念建构
二.导数 f (x0 ) 的几何意义： 曲线y=f(x)在点 P(x0, f (x0 ))处的切线的斜率，如下图
P x0
三.用导数定义求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤：
（1）求函数值的改变量 y f ( x0 x) f (x0 )
(1)求在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程的步骤：
(2)求过点 P(m, n)处的切线方程的步骤：
苏教版高中数学选修(2-2)课件1.1.2.2瞬时速度与瞬时加速度
课堂小结：
①在求瞬时速度时,先利用平均变化率求出平均速度,再令 t 0 求出瞬时速度.
②在求瞬时加速度时,先利用平均变化率求出平均加速度,再令 t 0
求出瞬时加速度. ③在上述求解过程中,仍然体现了平均变化率无限逼近瞬时变化率 的思想,为下一节课学习导数作准备。
作业：
• P122. • P1712.
（2）体现了割线斜率(平均变化率)无限逼近切线斜率(瞬时变化 率)的思想.(从数的方面)
问题情境：
问题1:在物理学中我们是怎样描述物体运动平均速度？
s 在物理学中,平均速度表示为 v t
问题2:平均速度反映了物体在某一段时间内的运动的快慢程 度，谁能用一个类似的数学概念描述它呢？ 平均变化率 问题3:平均速度能精确反映物体在某一时刻的运动的快慢程 度吗？如何刻画某一时刻物体的运动的快慢程度呢？ 瞬时变化率 （瞬时变化率的物理意义：瞬时速度与瞬时加速度）
问题情境：
情境1：跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时 刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对于水面的高度为 H(t)=-4.9t2+6.5t+10,
①该运动员在2s到2.1s的平均速度为多少？ ②该运动员在2s到（2+Δt）s的平均速度为多少？
问题情境：
当△t→0时， v 13.1 该常数-13.1可作为运动员在2s时的瞬时速度
2.如何求曲线上一点P的切线的斜率？ 求切线的斜率的步骤: 1.求出定点P的坐标； 2.设出动点Q的坐标；
3.求出割线斜率；
4.当△x无限趋近于0时（割线逼近切线），割线斜率逼近 常数，常数就是切线斜率
复习回顾：
3.讨论：上述过程中体现出什么样的数学思想方法？ （从数和形两个方面回答） （1）体现了割线无限逼近切线的思想.(从形的方面)
高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.2 瞬时变化率——导数自我小测 苏教版选修2-2(2021
选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第1章导数及其应用1.1.2 瞬时变化率——导数自我小测苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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教版选修2—21．已知f （x ）＝kx ＋5，则f (x ）在x ＝2处的导数为__________．2．已知f (x ）＝2x 2，则曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线斜率为__________． 3．曲线y ＝x 2的一条切线斜率为－6，则切点坐标为__________． 4．已知函数y ＝f （x )在x ＝x 0处的导数为11,则当Δx →0时，00f x x f x x(-∆)-()∆→__________.5．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于__________．6．曲线y ＝x 2在其上一点P 处的切线的倾斜角为π4,则点P 的坐标为__________．7．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点P ，3），则该曲线在P 点的切线方程是__________．8．已知函数y ＝f （x )的图象在点M (1,f (1）)处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′（1）＝__________。
9．已知点M （0，－1），过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行，求直线l 的方程．10．已知直线l 1为曲线f (x ）＝x 2＋x －2在点(1,0）处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2,求直线l 2的方程．参考答案1答案:k 解析:Δy ＝k （2＋Δx ）＋5－k ×2－5＝k Δx ，yx∆∆＝k , ∴当Δx →0时,yx∆∆＝k ,∴f ′(2）＝k 。
最新-2021学年高中数学选修22课件：1.1.2 瞬时变化率导数 精品
2．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位： s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.
由导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法： (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)Δx→0，得导数f′(x0)．
[再练一题] 2．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数． 【解】 ∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11 ＝Δx＋1－1＋1Δx＝Δx＋1＋ΔxΔx， ∴ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx， 当Δx→0时，1＋1＋1Δx→2 ∴函数在x＝1处的导数等于2.
1．判断正误： (1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负但不能为零．( ) (2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( )
【答案】 (1)√ (2)×
2．如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为________．
【解析】 ΔΔst＝33＋ΔtΔ2t－3×32＝18＋3Δt， 当Δt→0时，ΔΔst＝18＋3×0＝18. ∴质点A在t＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 18
[探究共研型] 导数的几何意义及其应用
探究1 若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处 的切线方程是什么？
【提示】 根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 探究2 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点． 【提示】 不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置， 在其他地方可能还有一个或多个公共点．
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第4课时瞬时变化率——导数(1)
教学过程
一、数学运用
【例1】已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见同学用书P8)
[处理建议]让同学体会割线斜率无限靠近于切线斜率,生疏求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1)求差f(x0+Δx)-f(x0);(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.
[规范板书]解==
-.
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.
[题后反思]本题应留意分子有理化,再用靠近思想处理.
变式已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.
[规范板书]解设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为k AB ==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,k AB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.
【例2】物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见同学用书P8)
[处理建议]瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.
[规范板书]解取一小段时间[3,3+Δt],位移转变量ΔS=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.
[题后反思]若求t=3s时的瞬时加速度呢?
变式设一物体在t s内所经过的路程为S m,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开头及第5s末的速度.
[规范板书]解在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻t s的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开头时的速度为2 m/s.
【例3】假如曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见同学用书P8)
[处理建议]曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.
[规范板书]解设切点坐标为(x,x3+x-10),
==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1,
由题得,3x2+1=4⇒x=1或-1.
所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.
变式已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:
(1)平行于直线y=4x-5;
(2)垂直于直线2x-6y+5=0;
(3)与x轴成135°的倾斜角.
[处理建议]利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.
[规范板书]解设P(x0,y0)是满足条件的点.
==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.
(1)由于切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4⇒x0=2,y0=4,即P(2,4).
(2)由于切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1⇒x0=-,即P.
(3)由于切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1⇒x0=-,即P -,.
*【例4】设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.
[处理建议]利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.
[规范板书]解利用导数的定义可得f'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.
变式已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.
[处理建议]利用导数的几何意义——函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率——来求解.
[规范板书]解由题意有
解得.
二、课堂练习
1.借助直尺,用割线靠近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:
(第1题)
解。