2019年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列

一、选择题
1 ．（2019年高考上海卷（理））在数列{}n a 中,21n
n a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素
,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==L L )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )
(A)18 (B)28
(C)48
(D)63
【答案】A.
2 ．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列
{}n a 满足
124
30,3
n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于
(A)()10613--- (B)()10
1139
-- (C)()10313-- (D)()1031+3-
【答案】C
3 ．（2019年高考新课标1（理））设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n =L ,
若11111,2b c b c a >+=,111,,22
n n n
n
n n n n c a b a a a b c +++++==
=,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列
C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列
D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列
【答案】B
4 ．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示,
在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得
1212()
()()==,n n
f x f x f x x x x 则n 的取值范围是
(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3
【答案】B
5 ．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知等比数列{}n a 的公比为q,
记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++
*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=•••∈则以下结论一定正确的是( ) A.数列{}n b 为等差数
列,公差为m
q B.数列{}n b 为等比数列,公比为2m
q
C.数列{}n c 为等比数列,公比为2
m q D.数列{}n c 为等比数列,公比为m
m q
【答案】C
6 ．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等比数列{}n a 的前n 项
和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a
(A)
31 (B)31- (C)91
(D)9
1
-
【答案】C
7 ．（2019年高考新课标1（理））设等差数列
{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m =
( )
【答案】C
8 ．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））下面是关于公差0d
>的等差数列()
n a 的四个命题:
{}1:n p a 数列是递增数列；
{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；
其中的真命题为
(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p
【答案】D
9 ．（2019年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于
【答案】A
二、填空题
10．（2019年高考四川卷（理））在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的
首项、公差及前n 项和.
【答案】解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得
()()()2
1111228,38a d a d a d a d +=+=++.
所以()114,30a d d d a +=-=,
解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前n 项和4n s n =或232
n n n
s -=
11．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等差数列{}n a 的前n 项
和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.
【答案】49-
12．（2019年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,
第n 个三角形数为
()2111
222
n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式: 三角形数 ()211
,322
N n n n =
+ 正方形数 ()2
,4N n n = 五边形数 ()231,522
N n n n =
- 六边形数 ()2
,62N n n n =-
可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N =___________. 选考题
【答案】1000
13．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在正项等比数
列}{n a 中,2
1
5=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n 的值为_____________.
【答案】12
14．（2019年高考湖南卷（理））设n S 为数列
{}n a 的前n 项和,1(1),,2
n n n n S a n N *
=--
∈则 (1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.
【答案】116-
;100
11
(
1)32- 15．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））当,1x R x ∈<时,有如下表达
式:21
1.......1n x x x x
+++++=
- 两边同时积分得:
111112
222220
1
1.......1n
dx xdx x dx x dx dx x
+++++=-⎰
⎰⎰⎰⎰
从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln 2.2223212
n n +⨯
+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:
122311111111()()...()_____2223212
n
n n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113
[()1]12
n n +-+
16．（2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知
{}n a 是等差数列,11a =,公差
0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8_____S =
【答案】64
17．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n
项和n =S __________.
【答案】
257
66
n n - 18．（2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））在等差数列
{}n a 中,已知3810a a +=,
则
573a a +=
_____ 【答案】20
19．（2019年高考陕西卷（理））观察下列等式:
211=
22123-=- 2221263+-=
2222124310-+-=-
照此规律, 第n 个等式可为___)1(2
)1-n 1--32-11
2
1
-n 2
2
2
+=+
++n n n （）（Λ____. 【答案】)1(2
)1-n 1--32-11
2
1
-n 2
2
2
+=+
++n n n （）（Λ 20．（2019年高考新课标1（理））若数列{n a }的前n 项和为S n =
21
33
n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______.
【答案】n a =1
(2)
n --.
21．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,互不-相同的点12,,,n A A X K K
和12,,,n B B B K K 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设
.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.
【答案】*,23N n n a n
∈-= 22．（
2019年高考北京卷（理））若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_______;前n 项和S n =___________.
【答案】2,1
2
2n +- 23．
（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2
540x x -+=的两个根,则
6S =____________.
【答案】63 三、解答题
24．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数
22222()1(,)23n
n n x x x f x x x R n N n
=-+++++∈∈K ,证明:
(Ⅰ)对每个n
n N ∈,存在唯一的2[,1]3
n x ∈,满足()0n n f x =;
(Ⅱ)对任意n
p N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n
+<-<
.
【答案】解: (Ⅰ) 224232224321)(0n
x x x x x x f n x y x n
n n ++++++-=∴=>ΛΘ是单调递增的时，当是
x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.
010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x Λ，且满足存在唯一
x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅
++-<--⋅++-=++++++-≤∈-11
4111412
2221)(,).1,0(2122242322Λ时当]1,3
2
[0)23)(2(1141)(02
∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f
综上,对每个n
n N ∈,存在唯一的2[,1]3
n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕)
(Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+n
x
x x x x x f x x n
n n n n n n n p
n n Λ
0)
()
1(4
3
2
1)(2
2
12
2
4
2
3
2
2
=++
+++
+
++
+
+
+-=+++++++++++p n x n x n
x x x x x x f p
n p
n n p
n n
p n p n p n p n p n p n p n ΛΛ上式相
减
:
2
2
1224
23
222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p
n p n n p n n p n p n p n p n p n n
n
n n n n ++++++++++=++++++++++++++ΛΛΛ）
（
）（2
2
12
2
4
42
3
32
2
2)
()
1(-4
-3
-2
--p n x n x n
x x x x x x x x x x p
n p
n n p
n n
n
n p n n
p n n
p n n
p n p n n ++
++++
++
+
=+++++++++ΛΛ n
x x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=
+. 法二:
25．（2019年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+,
数列123,,,a a a L 满足*1(),n n a f a n N +=∈.
(1)若12a c =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*
1,n n n N a a c +∈-≥,;
(3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a L L 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说明理由.
【答案】:(1)因为0c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=,
3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+
(2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立,
()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+
即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++
若0x c +≤,显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立;
若0x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立
综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*
n N ∈,1n n a a c +-≥
(3)由(2)知,若{}n a 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0n a > 此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+
故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++, 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++,
当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意; 若10a c +<,则11|4|48a c a c ++=⇒=--,
此时,230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+L 也满足题意; 综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--.
26．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分
10分.
设数列{}122,3,3,34444n a L ：
，-，-，-，-，-，-，，-1-1-1-1k k k k k 644474448
L 个
（），，（）,即当
1122
k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时,1
1k n a k -=（-）,记12n n S a a a =++L ()n N +∈,对于l N +∈,定义集合{}
l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍，，且 (1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.
【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析
解决问题能力及推理论证能力. (1)
解
:
由
数
列
{}
n a 的定义
得:11=a ,22-=a ,23-=a ,34=a ,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,410-=a ,511=a ∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S ,35=S ,66=S ,27=S ,28-=S ,69-=S ,1010-=S ,
511-=S
∴111a S •=,440a S •=,551a S •=,662a S •=,11111a S •-= ∴集合11P 中元素的个数为5
(2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上,
① 当1=i 时,3)12(13)12(-=+•-==+S S i i 故原式成立
② 假设当m i =时,等式成立,即)12()12(+•-=+m m S m m 故原式成立 则:1+=m i ,时,
2222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m
)32)(1()352(2++-=++-=m m m m
综合①②得:)12()12(+-=+i i S i i 于是
)1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i
由上可知:}12(+i i S 是)12(+i 的倍数
而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i Λ,所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是
)12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i Λ的倍数
又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数, 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i Λ
所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i Λ的倍数
故当)12(+=i i l 时,集合l P 中元素的个数为2
i 1-i 231=+++）（Λ 于是当）（1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时,集合l P 中元素的个数为j i 2
+ 又471312312000++⨯⨯=）（
故集合2000P 中元素的个数为100847312
=+
27．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在公差为d 的等差数列}{n a 中,
已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.
(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++Λ
【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:
22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)
a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+
2
2
41
12122125253404611n n d d d d d d d a n a n
==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨
=+=-⎩⎩或; (Ⅱ)由(1)知,当0d
<时,11n a n =-,
①当111n ≤≤时,
123123(1011)(21)
0||||||||22
n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++=
=g g g g g g
②当12n ≤时,
1231231112132123111230||||||||()
11(2111)(21)21220
2()()2222
n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=
g g g g g g g g g g g g g g g
所以,综上所述:1232(21)
,(111)2||||||||21220,(12)2
n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪
++++=⎨-+⎪≥⎪⎩g g g ;
28．（2019年高考湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123
125a a a =. (I)求数列{}n a 的
通项公式;
(II)是否存在正整数m ,使得
12111
1m
a a a +++≥L ?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,
所以数列{}n a 的通项或2
53n n a -=⨯
(II)若1q =-,
12111105
m a a a +++=-L 或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12111919
110310
m
m a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ,不存在这样的正整数m .
29．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ,
且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 1
2
n n n
a T λ++=(λ为常数).令2n n c
b =*()n N ∈.求数列{}n
c 的前n 项和n R .
【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,
由
424S S =,
221
n n a a =+得
11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨
+-=+-+⎩,
解得,11a =,2
d = 因此
21n a n =-*()
n N ∈
(Ⅱ)由题意知:
12n n n T λ-=-
所以2n ≥时,
11
21
22n n n n n n n b T T ----=-=-
+
故,
1
221221(1)()24n n n n n c b n ---==
=- *
()n N ∈
所以01231
11111
0()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则1231111111
0()1()2()(2)()(1)()4
44444n n
n R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯
两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n n
n R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414n n
n -=---
整理得1131(4)94n n n R -+=-
所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-
30．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记c
n nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数. (1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈) (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .
【答案】证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和 ∴d n n na S n 2
)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 2
1-+== ∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)2
3()21(2d a a d a +=+
∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 2
1= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222=
∴左边=右边∴原式成立
(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入c
n nS b n n +=2得: 11)1(d n b -+c
n nS n +=2 ∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立
∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d 由①式得:d d 2
11= ∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c
法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=
,2
2)1(a d n b n +-=. 当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =, 即:⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322
d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=. 由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=.
故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈). (2)c
n a
d n n c n nS b n n ++-=+=22
222)1(, c
n a d n c a d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( c n a d n c a d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:022)1(2=++-c
n a
d n c
,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c . 经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.
31．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2
32=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式.
【答案】
32．（2019年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ) 设*()1n n n
T S n S ∈=-
N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. 【答案】
33．（2019年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222
(1)()0n n s n n s n n -+--+= (1)求数列{a n }的通项公式a n ;
(2)令221(2)n n b n a +=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564
n T < 【答案】(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n
n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.
由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+. 于是112,2a S n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=.
综上,数列{}n a 的通项2n a n =.
(2)证明:由于2212,(2)n n n
n a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦
… 222211111151(1)162(1)(2)16264
n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦. 是等比数列.。