2016-2017学年河北省衡水中学高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2016-2017学年河北省衡水中学高二下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合2{|230}A x x x =--≤， (){|ln 2}B x y x ==-，则A B ⋂=（ ） A. ()13， B. (]13， C. [)12-， D. ()12-， 【答案】C【解析】由题意可得： {}|13A x x =-≤≤， {}|2B x x =<，结合交集的定义可得： {}|12A B x x ⋂=-≤<，表示为区间的形式即： [)1,2-. 本题选择C 选项.2．如图，已知AB a = ， AC b = ， 4BC BD = ， 3CA CE = ，则DE =（ ）A. 3143b a -B.53124a b - C. 3143a b - D. 53124b a -【答案】D【解析】由题意可得： ()3344DC BC b a ==- ， 1133CE CA b ==-， 则： ()315343124DE DC CE b a b b a =+=--=-. 本题选择D 选项.3．已知等比数列的前n 项和为，且，，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则，解得，.故选D．【考点】1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前项和公式．4．某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为（）A. 10B. 12C. 16D. 18【答案】C【解析】根据分层抽样性质，设抽取的一级教师人数为m，则120901207538m=++，解得16m=，故选择C.5．已知不等式2201x mx++>-对一切()1x∈+∞，恒成立，则实数m的取值范围是（）A. 6m>- B. 6m<- C. 8m>- D. 8m<-【答案】A【解析】不等式即：21221111m x xx x⎛⎫>--=--++⎪--⎝⎭恒成立，则max221m xx⎛⎫>--⎪-⎝⎭结合1x>可得：10x->，由均值不等式的结论有：12112161xx⎛⎫⎛⎫--++≤-=-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x=时等号成立，据此可得实数m的取值范围是6m>-.本题选择A选项.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.6．已知函数()cos2f x x x=-的图象在区间0,3a⎡⎤⎢⎥⎣⎦和42,3aπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则正数a的取值范围是（）A.5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,由222262k x k πππππ-≤-≤+,得63k x k ππππ-≤≤+，因为在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和42,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增， 533{51226a a a ππππ≤⇒≤≤≥7．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图还原几何体，，红色线表示削下去的部分，剩下的蓝色的线为三视图的几何体，，所以几何体的体积是，故选C.8．执行如图所示的程序框图，若输入的16,4a b ==，则输出的n =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】 执行该程序框图，可知第1次循环： 1161624,248,22a b n =+⨯==⨯==； 第2次循环： 1242436,2816,32a b n =+⨯==⨯==；第3次循环： 1363654,21632,42a b n =+⨯==⨯==；第4次循环： 1545481,23264,52a b n =+⨯==⨯==；第5次循环： 12438181,26412822a b =+⨯==⨯=， 此时a b ≤成立，输出结果5n =，故选B.9．已知函数()2x xe ef x --=， 1x 、2x 、3x R ∈，且120x x +>， 230x x +>，310x x +>，则()()()123f x f x f x ++的值（______）A.一定等于零．B.一定大于零．C.一定小于零．D.正负都有可能．【答案】B【解析】由已知可得()f x 为奇函数，且()f x 在R 上是增函数，由12120x x x x +>⇒>-⇒()()()122f x f x f x >-=-，同理可得()()23f x f x >-，()()()()3112f x f x f x f x >-⇒+()()()()()()()()32311230f x f x f x f x f x f x f x +>-++⇒++>.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性强，属于较难题型. 由已知可得()f x 为奇函数，且是增函数，由12120x x x x +>⇒>-()()()122f x f x f x ⇒>-=-，同理可得()()23f x f x >-， ()()31f x f x >-，三式相加化简即可得正解.10．已知点()M a b ，与点()01N -，在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论： ①3450a b -+>；②当0a >时， a b +有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是9344⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】将N 点坐标代入直线方程有： 04590++=>， 据此由M 点的坐标可得： 3450a b -+<，说法①错误； 当a>0时,结合3450a b -+<可得354a b +>，则35544a ab a ++>+>，a+b 既无最小值，也无最大值，故②错误；很明显点N 与坐标原点位于直线的同侧，设原点到直线3x−4y+5=0的距离为d,则1d ==，而点M 与坐标原点位于直线的异侧，故221a b +>,说法③正确；当a>0且a≠1时, 11b a +-表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率，如图所示： 当a=0, 54b =时,1914b a +=--,又直线3x−4y+5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围是9344⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，故④正确。

∴正确命题的个数是2个。

本题选择B 选项.11．已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0ω>）向左平移半个周期得()g x 的图像，若()g x 在[]0π，上的值域为1⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A. 116⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B. 2332⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 1736⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 5563⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】D【解析】函数()sin sin 33f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向左平移半个周期得()1sin sin 33g x x x ππωωπω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，由[]0,x π∈,可得,333x πππωωπ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,由于f(x)在[0,π]上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦.即函数的最小值为2-最大值为1,则4233πππωπ-≤…,得5563ω≤….综上,ω的取值范围是55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择D 选项.12．对任意的0x >，总有()lg 0f x a x x =--≤，则a 的取值范围是（ ） A.()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B.(]1-∞，C. ()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D.()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【答案】A【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况，即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时， ()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=， 由()'1g x =-可得： 1lg ln10x e =-=-， 则切点坐标为： ()()lg ,lg lg e e --， 切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+， 令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -，结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，.点睛：本题考查临界条件的应用，在求切线方程时，应先判断已知点Q (a ，b )是否为切点，若已知点Q (a ，b )不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．二、填空题13．已知()12a = ，，()11b = ，，则与2a b + 方向相同的单位向量e =． 【答案】3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】试题分析：因为()12a = ，，()11b = ，，所以2a b +)4,3()1,1(2)2,1(=+=，e = =++|2|2b a b a3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，.【考点】向量单位化.【方法点睛】向量是有方向有大小的量，所谓单位化就是把向量的长度化为1，与2a b +方向相同只需对2a b +数乘一个正数即可，对于本题而言，首先利用向量的坐标运算求出2a b + ），（43=，利用模长公式得到543|2|22=+=+b a，则有e = =++|2|2b a b a 3455⎛⎫⎪⎝⎭，.14．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且2AB BC AC ===，则此三棱锥外接球的表面积是____________ 【答案】8π【解析】如图PA ， PB ， PC 两两垂直，设PC h =，则PBPA ==222PA PB AB +=，∴22475h h -+-=，解得h =三棱锥P ABC -， PA ， PB ， PC 两两垂直，且1PA =， 2PB =，PC =，∴以PA ， PB ， PC 分棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心，三棱锥的外接球的半径为2R ==，所以外接球的表面积为22448S R πππ==⨯=，故答案为8π.点睛：本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用；以PA ， PB ， PC 分棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积.15．点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．【答案】【解析】试题分析：设00(,)P x y 由题意得0'0000111,21,1,2x x y x x x x ==∴-=∴==-(舍).故P 到直线的距离的最小值满足d ==【考点】导数的几何意义；点到直线的距离公式.【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；点到直线的距离公式.在切点处的导数值就是切线的斜率就是切线方程最重要的条件.首先要注意所用的点是不是切点.其次要注意切点即在曲线上也在切线上.理解导数的意义是考纲的要求,也是导数知识的重要内容.本题考点明显,知识点集中.难度中等,属于常见题型,基础题.16．{}n a 是公差不为0的等差数列， {}n b 是公比为正数的等比数列， 111a b ==，43a b =， 84a b =，则数列{}n n a b 的前n 项和等于__________．【答案】()121nn -+【解析】设等差数列公差为()0d d ≠，等比数列公比为(0)q q >，则由题有2313{17d q d q+=+=，解得： 1{1d q ==，所以n a n =， 12n n b -=，则12n n n a b n -=⋅，设数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，则01211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ① 所以()12312122232122n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+-⋅+⋅ ②；①-②得： 12112222n n n S n --=++++-⋅所以12212nn n S n --=-⋅-，整理得： ()121n n S n =-⋅-. 方法点睛：用错位相减法求和时，要注意以下几个问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.三、解答题17．已知向量)cos 1m x x =-，， 1cos 2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，，且()·f x mn = .若ABC 的三内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，且3a =， 212A f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭A 为锐角），2sin sin C B =，求A ， c ， b 的值.【答案】3A π=， b = c =【解析】试题分析：化简函数的解析式： ()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦定理可得2b c =，由余弦定理有2292cos3b c bc π=+-，结合题意求解方程组有3A π=， b =c = 试题解析：()21cos cos 2f x m n x x x =⋅=-+1cos2122x x +=-+1cos2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∵sin 212A f A π⎛⎫+==⎪⎝⎭02A π<<，∴3A π= ∵2sin sin C B =.由正弦定理得2b c =，①∵3a =，由余弦定理，得2292cos3b c bc π=+-，②解①②组成的方程组，得{c b ==.综上3A π=，b =c =.18．某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.（i ）共有多少种不同的抽取方法？（ii ）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率. 【答案】（Ⅰ）210；（Ⅱ）（ⅰ）12；（ⅱ）12． 【解析】试题分析：（Ⅰ）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于30小时的学生人数为7人，所占比例为730，因此该校900人中的“读书迷”的人数为790021030⨯=人；（Ⅱ）（ⅰ）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”为35a ， 38a ， 41a ，抽取的女“读书迷”为34b ，36b ， 38b ， 40b (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（ⅱ）根据题意可知，符合条件的基本事件为()3534,a b ， ()3536,a b ， ()3836,a b ，()()38383840,,a b a b ， ()4140,a b ，于是可以求出概率.试题解析：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有x 人，则730900x=，解得210x =. 所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为35a ， 38a ， 41a ，抽取的女“读书迷”为34b ， 36b ， 38b ， 40b (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：()3534,a b ， ()3536,a b ， ()3538,a b ， ()3540,a b ， ()3834,a b ， ()3836,a b ， ()3838,a b ， ()3840,a b ，()4134,a b ， ()4136,a b ， ()4138,a b ， ()4140,a b ，所以共有12种不同的抽取方法．（ⅱ）设A 表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”， 则事件A 包含()3534,a b ， ()3536,a b ， ()3836,a b ， ()3838,a b ， ()3840,a b ， ()4140,a b 6个基本事件，所以所求概率()61122P A ==． 19．已知数列{}n a 是首项等于116且公比不为1的等比数列， n S 是它的前n 项和，满足325416S S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设log (0n a n b a a =>且1)a ≠，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最值．【答案】（1）52n n a -=;（2）见解析.【解析】试题分析：（1）先建立方程求得公比q ，再代入通项公式即可求得正解；（2）由（1）得()2log 2n a b n =- ，然后对a 进行分类讨论. 试题解析：（1）325416S S =-， 1q ≠， ()()321111541116a q a q qq --∴=⨯---.整理得2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍去）.1512n n n a a q --∴=⨯=.（2）()log 5log 2n a n a b a n ==-.1）当1a >时，有log 20,a > 数列{}n b 是以log 2a 为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.由0n b ≤，得5n ≤.所以()45min 10log 2n a T T T ===-.n T 的没有最大值. 2）当01a <<时，有log 20a <，数列{}n b 是以log 2a 为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.0n b ≥，得5n ≤， ()45max 10log 2n a T T T ===-.n T 的没有最小值.20．已知函数()()2f x x x m =-在2x =处有极大值. （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的方程()f x a =有三个不同的实根，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）6m =；（2）032a <<. 【解析】试题分析：（1）求导，结合在2x =处有极大值，即可求m 的值； （2）令()321236g x x x x a =-+-，根据单调性确定a 的取值范围即可.试题解析：（1）()2234f x x mx m =-+'，由已知()221280f m m =-+='，∴2,6m =，当2m =时， ()()()2384322f x x x x x =-+=--'，∴()f x 在2,23x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减，在()2,x ∈+∞上单调递增，∴()f x 在2x =处有极小值，舍. ∴6m =.（2）由（1）知()321236f x x x x a =-+=，令()321236g x x x x a =-+-，则()()()232436326g x x x x x =-+=--'，∴()g x 在(),2x ∈-∞上单调递增，在()2,6x ∈上单调递减，在()6x ∈+∞，上单调递增，要使方程()f x a =有三个不同的实根，则()()32322212?236?20{6612?636?60g a g a =-+->=-+-<，解得032a <<.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.21．如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形， ABC ∆是边长为2的正三角形， 60DBA ∠=︒， CD =．（1）证明： DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离．【答案】（1）见解析（2 【解析】试题分析：（1）取AB 的中点O ，连,OC OD ，得到AB OC ⊥，进而得出AB OD ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面DOC ，即得到AB CD ⊥； （2）取OD 的中点H ，连结CH ，由（1）证得CH ⊥平面ABD ，所以点H 是D 在平面ABD 内的正投影，设点H 到平面BCD 的距离为d ，在BCD ∆中，求解面积BCD S ∆，在OCD ∆中，得OCD S ∆，利用O BCD B OCD V V --=，即可得到结论.试题解析：（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连,OC OD因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以,AB OC OC ⊥又四边形ABDE 是菱形， 60DBA ∠=，所以DAB ∆是正三角形所以,AB OD OD ⊥=而OD OC O ⋂=，所以AB ⊥平面DOC 所以AB CD ⊥（2）取OD 的中点H ，连结CH 由（1）知OC CD =，所以AB OD ⊥AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD而平面DOC ⊥平面ABD ，平面DOC 与平面ABD 的交线为OD ， 所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是D 在平面ABD 内的正投影 设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 距离为2d因为在BCD ∆中， 2,BC BD CD ===11222BCDS ∆==124==在OCD ∆中，OC OD CD ===1602OCD S sin ∆==所以由O BCD B OCD V V --=得1133BCD OCD S d S OB ∆∆⋅=⋅即11133d =解得d =，所以H 到平面BCD22．已知函数()22ln f x x ax a x =++， 0a ≤.（1）当2a =-时，求()f x 的单调区间； （2）若()()1212f x e a >+，求a 的取值范围. 【答案】(1)单调减区间是(01，，单调增区间是()1+∞.(2) 22021e e ⎛⎤- ⎥+⎝⎦，. 【解析】试题分析：(1)当2a =-时， ()242ln f x x x x =--， ()(211x x f x x--+'=，结合导函数与原函数之间的关系可得()f x的单调减区间是(01，，单调增区间是()1+∞. (2)分类讨论：①当0a =时，符合题意；②当0a <时， ()222x ax af x x ++'=，由题意可得存在()00x ∈+∞，，使得200220x ax a ++=，即()00f x '=，据此可得a 22021e e ⎛⎫∈-⎪+⎝⎭，.据此可得，实数a 的取值范围22021e e ⎛⎤- ⎥+⎝⎦，试题解析：(1)由题意得()0x ∈+∞，，当2a =-时，()242ln f x x x x =--， ()(2211242x x x x f x x x-----=='∴当(01x ∈，时， ()0f x '<，当()1x ∈+∞时， ()0f x '>， ∴()f x的单调减区间是(01，，单调增区间是()1++∞. （2）①当0a =时， ()20f x x =>，显然符合题意；②当0a <时， ()222x ax a f x x++'=，令2220x ax a ++=， 2480a a ∆=->恒成立.∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在()00x ∈+∞，，使得200220x ax a ++=，即()00f x '=，∴当00x x <<时， ()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，∴()()220000000000min 2ln ln ln 222a a a f x f x x ax a x x ax ax a x ax a x ⎛⎫==++=+++-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵()()1212f x e a >+，∴00212ln 21x x e -+<+，即00ln 1x x e +<+， 由于()ln g x x x =+在()0+∞，上是增函数，∴00x e <<. 由于20220x ax a ++=得200221x a x =-+，设()2221x h x x =-+，则()()2244021x xh x x -+'+=<.∴函数()2221x h x x =-+在()0e ，上单调递减，∴22002202121x e x e ⎛⎫-∈- ⎪++⎝⎭，. 综上所述，实数a 的取值范围22021e e ⎛⎤- ⎥+⎝⎦，点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。