(完整版)三角函数与三角恒等变换复习
三角恒等变换复习课件
本课件将全面介绍三角恒等变换的概念、性质、分类以及应用。通过丰富的 文字和图像，帮助您全面理解和掌握三角恒等变换。
恒等变换概述
什么是恒等变换？
恒等变换是指将一个数或表达式变换为等价的 数或表达式的过程。
恒等变换的性质有哪些？
恒等变换具有传递性、反射性、对称性、合并 性等性质。
恒等变换的作用是什么？
恒等变换的作用是简化复杂的三角函数表达式， 从而更方便地进行计算和推导。
恒等变换的分类有哪些？
恒等变换可以分为角度变换、比值变换、和差 变换、倍角变换等分类。
三角函数
1 什么是三角函数？
2 三角函数的定义式是 3 三角函数的周期、奇
三角函数是描述角度与其 对应的三角比值之间关系
什么？
常见的三角函数包括正弦
三角恒等变换的种类有哪些？
三角恒等变换包括倒数公式、和差公式、平方公式、 倍角公式等多种形式的恒等变换。
三角恒等变换的证明方法和技巧是什么？
证明三角恒等变换通常使用代数证明、几何证明、 辅助角证明等方法，还可以应用恒等变换之间的转
三角恒等变换的应用有哪些？
三角恒等变换在解三角方程、简化三角函数表达式、 证明三角恒等式等方面具有重要的应用价值。
偶性、单调性、图像 和函数值的变化规律 是什么？
的数学函数。
函数、余弦函数、正切函
数等，它们分别由三角比
三角函数的周期、奇偶性、
值的定义式给出。
单调性、图像以及函数值
的变化规律取决于不同的
函数和角度。
三角恒等变换
什么是三角恒等变换？
三角恒等变换是一类关于三角函数的恒等式，它们 在三角学中具有重要的作用。
三角恒等变换的练习
专题09 三角函数与三角恒等变换经典必刷小题100题(原卷版)
专题09 三角函数与三角恒等变换经典必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-40题一、单选题1．为了得到函数sin(2)5y x π=+的图象．只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动5π个单位长度 B ．向右平行移动5π个单位长度C ．向左平行移动10π个单位长度D ．向右平行移动10π个单位长度2．已知1sin cos 5αα+=-，()0,απ∈，则tan 2α=（ ）A ．12 B ．13C ．2D ．33．设函数()()2sin cos cos 2f x x x x =+-，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 1B ．()f x 的一个零点为π8x =C ．()f x 的最小正周期为πD ．()y f x =的图象关于直线3π8x =对称4．把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．将函数3sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移(0)ϕϕπ<<个单位长度后得到()f x 的图象.若()f x 在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ） A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．已知函数()y f x =，[]2,2x ππ∈-的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）A ．()cos sin f x x x =-B ．()sin cos f x x x =-C ．()cos sin f x x x =+D ．()cos2cos f x x x =-7．化简2222tan 7.51tan 7.57sin 7.5cos 7.5︒+=︒-︒+︒（ ）A B C D ．28cos αα=+，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13- C ．23D ．23-9．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ）A ．[]1,2-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]1,0-10．函数1sin 2y x =-的图像沿x 轴向右平移a 个单位(0a >)，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值为（ ） A ．πB ．34πC ．2π D ．4π11．将函数()sin cos sin 1222f x x x x ωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=（0>ω）在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围为（ ） A ．02ω<≤ B ．322ω<≤C ．31528ω≤≤ D ．1528ω<≤12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan βαtan βα，β的大小关系是（ ）A ．α<4π<βB ．β<4π<αC ．4π<α<βD ．4π<β<α13．函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，要得到()y f x =的图象，只需将2cos y x ω=的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度14．已0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos θθ-=则22cos 1cos 4θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．23B ．43C ．34D ．3215．将函数()g x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()22sin cos f x x x x =+的图像，则函数()g x 的图象的一个对称中心是（ ）A ．(),0πB ．(πC ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6π⎛- ⎝16．函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像最近两对称轴之间的距离为2π，若该函数图像关于点()0m ,成中心对称，当0,2m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时m 的值为（ ）A ．6π B ．4πC ．3π D ．512π17．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点1,5M t ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin 2α等于（ ）A B ．C D ．18．已知cos cos 13παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B C D ．19．已知4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．3520．已知tan 2θ=，则3sin cos sin cos 22ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．45-B ．35 C ．35D ．45二、多选题21．已知向量()()222cos ,sin a x x f x =--，11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若a 与b 共线，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴D ．将()f x 的图像向左平移4π个单位得到函数sin 2y x =的图象22．将函数()()()sin 2f x x ϕπϕπ=+-<<的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．3πϕ=-B ．函数()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．函数()f x 的最小正周期为πD ．函数()f x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦23．已知sin 3cos 3cos sin αααα+=-5，下列计算结果正确的是（ ）A ．1tan 2α=B ．tan α=2C ．213cos sin225αα+=D ．26sin cos25αα-=24．已知()0,πθ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（ ） A ．π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=25．已知函数()()()sin f x x x =+-θθ为偶函数，[,]θππ∈- ，则常数θ的可能值为（ ） A ．56π- B ．6π-C ．6πD ．56π26．已知函数()cos cos 44ππf x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()f x 是周期为π的周期函数B ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 在[0]2π，上单调递增D ．将()f x 的图像向左平移4π个单位长度后，可得到一个奇函数的图像27．若将函数π()cos(2)12f x x =+的图象向右平移π8个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 在[]ππ,66-上的最大值为1 C ．π12x =是函数()g x 图象的对称轴 D ．()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减28．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，若将函数()f x 的图像纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列命题正确的是（ ）A ．函数()f x 的解析式为1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．函数()g x 的解析式为()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像的一条对称轴是直线3x π=-D ．函数()g x 在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增29．已知函数()sin()3f x x πω=+，ω>0．若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的可能值是（ ）A ．12 B ．1C ．56D ．8730．下列结论正确的是（ ） A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角第II 卷（非选择题）三、填空题31．已知3sin 125πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.32．已知()0,απ∈，若sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.33．已知函数()()sin f x x ωϕ=+(0>ω，02πϕ<<)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4π，且3x π=-是一个极小值点.若把函数()f x 的图象向左平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于直线4x π=对称，则实数t 的最小值为___________.34．已知：()3sin sin 2βαβ=+，则tan β的最大值是___________.35．已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．36．已知3sin 2cos()sin 2παπαα⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则2sin sin cos ααα+=__________.37．函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示，则ϕ=________.38．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.39．若0,x ，则满足2sin 2x的x 的取值范围为______________；40．已知0αβπ<<<，且12cos cos ,sin sin 55αβαβ==，则()tan βα-的值为__________．任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．已知函数21()2cos (0)122f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在[0,]π上恰有7个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．4115,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．4923,124⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4115,124⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．4923,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知函数1()(sin cos )cos 2f x a x x x =+-的图象的一条对称轴为6x π=,则下列结论中正确的是（ ） A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 B ．()f x 是最小正周期为π的奇函数 C ．()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．先将函数2sin 2y x =图象上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象再向左平移6π个单位长度，即可得到函数()f x 的图象3．若函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调，且,08P π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，则ω的值可以是（ ） A ．6 B ．10-C ．9D ．4-4．若tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2α的值为（ ）A ．49B ．49-C ．89D ．89-5．已知函数())0,||2f x x π⎛⎫=ω+ϕω>ϕ< ⎪⎝⎭，当()()123f x f x =时，12min x x π-=，()302f =，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2π.B ．函数()f x 的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象的一条对称轴方程为3x π=D ．函数()f x 的图象可以由函数y x ω=的图象向右平移12π个单位长度得到6．设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++（0>ω，||2πϕ≤）的最小正周期为π，且过点(，则下列正确的为（ ） ①()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.②()f x 的一条对称轴为2x π=.③()f x 的周期为2π.④把函数()f x 的图像向左平移6π个长度单位得到函数()g x 的解析式为()26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④7．若sin α＋sin ββ－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于（ ） A ．－23π B ．－3π C ．3π D ．23π8．已知函数2()cos 1(0,0,0f x A (x )A πωϕωϕ=++>><<）2的最大值为3， ()f x 的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)(3)+(2020)f +f +f +f 的值为（ ）A ．2468B ．4035C ．4036D ．40409．已知函数()sin cos 6f x a x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（其中0a >，0>ω）在区间[]0,π上不是单调函数，且其值域为⎣，则a ω的取值范围是（ ） A ．24,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若1cos 36πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，且263ππα<<，则5sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A B C D ．11．将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度，向下平移78个单位长度后，得到()h x 的图象，若对于任意的实数,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()h x ω都单调递增，则正数ω的最大值为A ．3B ．52C ．73D ．7612．已知函数11()cos cos sin sin ()22f x x x ωϕωϕω=+∈N 的图象如下，那么ω的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．513．若将函数4sin 66y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，若()y f x a =+在,62x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,2- B ．[]22-, C ．[]2,4 D ．(]4,2--14．若(),0,αβπ∈，12cos 213βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4sin 25αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2αβ+=（ ） A ．3365B ．3365-C ．6365D ．6365-15．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()1cos21sin sin 2cos αβαβ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．2a πβ+=B ．22βπα+=C ．22παβ-=D ．2παβ-=16．若3tan tan 7απ=，则5sin 14cos 7παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于 A ．2 B ．12C ．12-D ．-217．函数()sin sin 3cos cos3x xf x x x+=+的最小正周期是（ ）A ．2π B ．23π C ．π D ．2π18．已知2cos 237sin ππ6αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则os 3πc α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．12-B ．14C ．27D ．2519．已知πsin 5sin 6αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()πtan 12πtan12α+=（ ）．A ．32B ．32-C ．23D ．23-20．已知(),0,παβ∈，πcos 25αβ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭()tan π7β-=，则tan α=（ ）A ．3-B ．139-C ．3D ．139二、多选题21．关于函数()sin cos ()f x x x x =+∈R ，则下列说法中正确的是（ ） A ．()f xB ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 在2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增22．已知函数()()2sin cos f x x x =+，将()f x 的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若170,12x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，总20,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()()122f x g x +=，则ϕ可以为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π23．设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（ ）A B ．12C ．12-D ．24．已知函数()sin cos f x x x =，则以下叙述正确的是（ ） A ．若()()12f x f x =，则12πx x k =+（Z k ∈） B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的图象关于πx k =（Z k ∈）对称25．已知函数()sin f x x x =，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期是2π C ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2D ．()f x 图象的对称轴是直线()2k x k Z π=∈26．设函数()()sin 2cos2,f x a x b x a b =+∈R ，则下列说法正确的有（ ） A ．当1a =，0b =时，()f x 为奇函数B ．当1a =，1b =-时，()f x 的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭C ．若关于x 的方程sin2cos2a x b x m +=的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为πD ．当1a =，b =2x f ⎛⎫⎪⎝⎭在区间()2,2ππ-上恰有4个零点27．在ABC 中，满足22cos cos 1A B +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2A B π+=B ．cos tan cos BA A=C ．若,A B 为不同象限角，则()2tan tan tan A B A B+++的最大值为2-D ．sin 2sin 2sin 24sin cos cos A B CC A B++=28．已知函数()()ππsin sin π4242x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有（ ）A ．()π6f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭B ．ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的对称中心D ．方程()2πlog f x x =有三个实根29．已知函数2()sin cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．若()035f x =，0,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0cos 2xC ．函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为1和2-D ．若函数()()2sin 2g x f x m x =--在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，则实数m 的取值范围为1144m m ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭30．已知函数()(cos sin )(cos |sin |)f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．直线2x π=为()f x 图象的一条对称轴C ．1()2f x ≥在,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的解集为51923,,261212ππππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．函数()f x 在(0,2)π上的图象与直线12y =的交点的横坐标之和为3π第II 卷（非选择题）三、填空题 31．已知1sin 3α=，1cos()65πβ+=，5,(0,)4παβ∈，则cos()3παβ-+=________.32．已知cos()4πα+=，02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________.33．若1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin cos 2633x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.34．设为α，β为锐角，且π22αβ-=，tan cos 1sin x αββ=+，则x =________．35．已知ABC 中，则2222sin sin 2sin A B C +=则111tan tan tan A B C++最小值是___36．计算：2211tan 20sin 701tan 20⎛+︒⋅= -︒⎝⎭︒___________.37．设α为锐角，若4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin(2)12πα+的值为____________.38．在ABC 中，满足22cos cos 1A B +=，则sin 2sin 2sin 2sin cos cos A B CC A B++=___________．39．函数3sin 4cos cos ()()||f x x x x =-⋅的最大值为__________.40．设函数()sin()sin()(0)63f x a x x a ππ=+->，若x R ∀∈，|()||(0)|f x f ，则12b a-的最小值为___________.任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1．已知函数f (x x +4cos x )+2sin x ，则f (x )的最大值为（ ）A ．B ．172C ．6D ．2．设函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，1()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又函数()|sin |g x x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．63．设函数()2sin 1(0)f x x ωω=->，在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则ω的取值范围是（ ）A ．2610,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2658,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3458,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．26103458,,9399⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭4．已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．在ABC 中，已知()2sin sin sin sin A B C C θλ-=，其中1tan 3θ=（其中π02θ<<），若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ的值是（ ）A B C D6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()0f x f x -+=，当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()sin F x f x x π=-在区间[2,]m -上有2021个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．2015,10082⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20171008,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2017,10092⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．20191009,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．设函数242,0()sin ,60x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-≤<⎩，对于非负实数t ，函数()y f x t =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ．若1234x x x x <<<，则1234x x x x ++的取值范围中的整数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知3π2πcos 263m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π2πcos 263m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则()cos αβ+=（ ）A ．BC ．12-D ．1210．22sin 42cos 123cos361︒︒︒+＝ （ ）A ．18B ．16C ．14D ．12二、多选题 11．已知sin 21()sin cos 2x f x x x +=++，则（ ）A ．()f x 的图像关于直线4x π=对称B ．()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增C ．()f x 的值域是[0,2+D ．若方程8()3f x =在450,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有实根按从小到大的顺序分别记为12,,,n x x x ，则1231222115n n x x x x x π-+++++=12．已知函数()|||cos |f x x x +，下列说法正确的有（ ）A ．函数()f x 在27[,]36ππ上单调递减B ．函数()f x 是最小正周期为2π的周期函数C ．若12m <<，则方程()=f x m 在区间[0,]π内，最多有4个不同的根D ．函数()f x 在区间[10,10]-内，共有6个零点13．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若(0)02f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有三个极值点，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为3πB ．()f x 在区间,()31839k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值等于12-D ．将()sin 2g x x =的图象向右平移12π个单位可得到3x y f ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象14．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中正确的有（ ） A ．3cos34cos 3cos x x x =-B ．存在1x ≤时，使得3431x x ->C ．给定正整数n ，若1i x ≤，()1,2,,i n =，且310n i i x ==∑，则13ni i nx =∑≤D ．设方程38610x x --=的三个实数根为1x ，2x ，3x ，并且123x x x <<，则()2232312x x x x -=-15．已知函数()3sin 24cos 2f x x x =+，()()|()|g x f x f x =+.若存在0x R ∈，使得对任意x ∈R ，()0()f x f x ≥，则（ ）A ．任意()()00,x R f x x f x x ∈+=-B ．任意0,()2x R f x f x π⎛⎫∈≤+ ⎪⎝⎭C ．存在0θ>，使得()g x 在()00,x x θ+上有且仅有2个零点D ．存在512πθ>-，使得()g x 在005,12x x πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减第II 卷（非选择题）三、填空题 16．111sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin90++⋯+=︒︒︒︒︒︒___________.17．设()sin 2cos2f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则对于以下四个结论： ①11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭； ②7105f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④()f x 的单调递增区间是()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．正确的是_______________（写出所有正确结论的编号）．18．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.19．已知,a b ∈R ，若函数()|sin cos 1||sin cos |f x a x b x b x a x =+-+-的最大值为5，则22a b +=________.20．在锐角三角形ABC 中，已知22222cos cos sin 4cos cos B A B A B +=，则2sin 2sin 24cos 2sin 2sin 2A BC A B+的取值范围是________.。
三角恒等变换---最全的总结_-学生版
三角恒等变换---完整版三角函数 —— 三角恒等变换公式:升幂公式- 21+cos = 2 cos —21-cos =2 sin 221 ± sin =( sin—22cos — )22 21=sin + cossin =2 sincos22降幂公式.21 cos 2cos 21 cos 2sin 22+ cos=1sin221 .sin cos = —sin 22考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。
“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。
互余两角的正余弦相等。
”（2） 二倍角公式的灵活应用，特别是降幕、和升幕公式的两角和与差的三角函数关系sin( 1 )=sin cos cos sincos()=cos cos sin sin■丄 .、 tantantan( )’1 tan tan倍角公式sin2 =2sin cos 22cos2 =cos-sin=2cos 2 -1=1-2sin 2tan 22ta n 1 tan 2sin — 2 i1 cos1 cos\ 2 ，c °s2 ： 2tan — 21 cos _ 1 cos sin \ 1 cos sin 1 cos:cosGi HJ"I"UffTI!! I I ! I ■— —«■应用。
（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值一求二（7）辅助角公式逆向应用 （4）角的整体代换（5）弦切互化 （6 ）知半角公式平方关系2 2sin + cos =1 ,商数关糸sin -------- =ta n（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。
互余两 角的正余弦相等。
”快速进行逻辑判断。
注意构造两角和差因子9、（构造两角和差因子 +两边平方）【2015高考四川，理12】sin15 10、(逆向套用公式)tan 23 ° + tan 37 °+ ■. 3tan 23 °an 37。
【精编版】2020年高考数学(理)总复习：三角函数图象与性质三角恒等变换(解析版)
2020年高考数学（理）总复习：三角函数图象与性质三角恒等变换题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式与图象 【题型要点解析】解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【例1】函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图，则S ＝f (1)＋…＋f (2017)等于( )A ．0 B.4 0312C.4 0352D.4 0392【解析】 由题设中提供的图象信息可知⎩⎨⎧A ＋b ＝32，－A ＋b ＝12，解得A ＝12，b ＝1，T ＝4⇒ω＝2π4＝π2，所以f (x )＝12sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπx 2＋1，又f (0)＝12sin ⎪⎭⎫⎝⎛+⨯ϕπ02＋1＝12sin φ＋1＝1⇒sin φ＝0，可得φ＝k π，所以f (x )＝12sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ππk x 2＋1，由于周期T ＝4，2017＝504×4＋1，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4， 所以S ＝f (1)＋…＋f (2016)＋f (2017)＝2016＋f (2017) ＝2016＋f (1)＝2016＋32＝4 0352，故选C.【答案】 C【例2】．已知函数f (x )＝sin 2ωx －12(ω>0)的周期为π2，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位(a >1)，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为( )A.π4B.3π4C.π2D.π8【解析】 ⇒f (x )＝1－cos 2ωx 2－12＝－12cos 2ωx ，2π2ω＝π2，解得ω＝2，从而f (x )＝－12cos4x .函数f (x )向右平移a 个单位后，得到新函数为g (x )＝－12cos(4x －4a )．⇒cos 4a ＝0,4a ＝π2＋k π，k ⇒Z ，当k ＝0时，a 的最小值为π8.选D.【答案】 D题组训练一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式与图象1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f (α)＝1，α⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα等于( )A.13 B ．±223C.223D ．－223【解析】由题图可知A ＝3，易知ω＝2，φ＝5π6，即f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πx . 因为f (α)＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα＝1，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα＝13，因为α⇒⎪⎭⎫⎝⎛3,0π，所以2α＋5π6⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα， 所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα＝－223，故选D. 【答案】 D2．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+322πx ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】因为C 1，C 2函数名不同，所以将C 2利用诱导公式转化成与C 1相同的函数名，则C 2：y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+322πx ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2322ππx ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ，则由C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为y ＝cos 2x ，再将曲线向左平移π12个单位得到C 2，故选D.【答案】 D3．设函数y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx (ω>0)的单调递增区间是( )A.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24767,24767ππππB.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24737,24737ππππ C.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12737,12737ππππ D.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++242167,24767ππππ 【解析】 方法一 由已知图象知，y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是2×7π12＝7π6，所以2πω＝7π6，解得ω＝127，所以y ＝sin 127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24767,24767ππππ 方法二 因为T ＝2πω，所以将y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移14T 后，所对应的解析式为y ＝sin ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωπ2x . 由图象知，ω⎪⎭⎫⎝⎛+ωππ2127＝3π2，所以ω＝127， 所以y ＝sin 127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24767,24767ππππ(k ⇒Z )． 【答案】 A题型二 三角函数的性质 【题型要点】(1)奇偶性的三个规律：⇒函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇒φ＝k π(k ⇒Z )，是偶函数⇒φ＝k π＋π2(k ⇒Z )； ⇒函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒φ＝k π＋π2(k ⇒Z )，是偶函数⇒φ＝k π(k ⇒Z )；⇒函数y ＝A tan(ωx ＋φ)是奇函数⇒φ＝k π(k ⇒Z )．(2)对称性的三个规律⇒函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ⇒Z )解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ⇒Z )解得；⇒函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ⇒Z )解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ⇒Z )解得；⇒函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π2(k ⇒Z )解得．(3)三角函数单调性：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一段思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(4)三角函数周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π|ω|.【例3】设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)在[0,2π]上的单调递减区间．【解】 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin2ωx －3(1＋cos 2ωx )2＋32＝12sin2ωx －32cos2ωx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πωx ， 设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⇒22⎪⎭⎫⎝⎛T ＋[2f (x )max ]2＝π2＋4，⇒f (x )max ＝1， ⇒22⎪⎭⎫⎝⎛T ＋4＝π2＋4，整理得T ＝2π. 又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，⇒ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-3πx ，⇒f (x ＋φ)＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+3πϕx . ⇒y ＝f (x ＋φ)是奇函数，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛-3πϕ＝0， 又0<φ<π2，⇒φ＝π3，⇒g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx . 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ⇒Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ⇒Z ，⇒单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k k ⇒Z . 又⇒x ⇒[0,2π]，⇒当k ＝0时，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ； 当k ＝1时，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,67ππ ⇒函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,67ππ. 【例4】．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期为4π，则( )A ．函数f (x )的图象关于原点对称B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f (x )图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增【解析】2πω＝4π⇒ω＝12，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 不是奇函数，图象不关于原点对称；x＝π3时f (x )＝32不是最值，图象不关于直线x ＝π3对称； 所有点向右平移π3个单位长度后得y ＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6)3(21ππx ＝sin 12x 为奇函数，图象关于原点对称；因为x ⇒(0，π)⇒12x ＋π6⇒⎪⎭⎫⎝⎛32,6ππ，所以函数f (x )在区间(0，π)上有增有减，综上选C. 【答案】 C【例5】．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,12ππ的图象如图所示，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)等于( )A ．1 B.2 C. 3D ．2【解析】 根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ⇒[－π12，2π3]的图象知，3T 4＝2π3－⎪⎭⎫ ⎝⎛-12π＝3π4，⇒T ＝π，⇒ω＝2πT＝2；又x ＝－π12时，2×⎪⎭⎫⎝⎛-12π＋φ＝0，解得φ＝π12， ⇒f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ； 又f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，不妨令x 1＝0，则x 2＝π3，⇒x 1＋x 2＝π3，⇒f (x 1＋x 2)＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+⨯632ππ＝1.故选A.【答案】 A题组训练二 三角函数的性质1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛≤>>2,0,0πϕωA 图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ⇒R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解析】 观察图象知，A ＝1，T ＝2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)；将点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π代入得⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπ32sin ＝0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx .故选A. 【答案】 A2．已知函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －12(ω＞0)，x ⇒R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎝⎛125,0π B.⎥⎦⎤ ⎝⎛125,0π⇒⎪⎭⎫⎢⎣⎡1211,65 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0π D.⎥⎦⎤ ⎝⎛125,0π⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,65 【解析】 函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －12＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx ，可得T ＝2πω≥π，0＜ω≤2，f (x )在区间(π，2π)内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：⎩⎨⎧ωπ＋π6≥02ωπ＋π6≤π或⎩⎨⎧πω＋π6≥π2ωπ＋π6≤2π，解得ω⇒⎥⎦⎤ ⎝⎛125,0π⇒⎪⎭⎫⎢⎣⎡1211,65.故选B. 【答案】 B题型三 三角恒等变换 【题型要点解析】三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．【例6】如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-135,1312，⇒AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________．【解析】由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而⇒OBC 为等边三角形，所以sin⇒AOB ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3＝513， 又因为3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝513.【答案】513【例7】．已知sin ⎪⎭⎫⎝⎛-8πα＝45，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+83πα等于( ) A ．－45B.45 C ．－35D.35【解析】 ⇒sin ⎪⎭⎫⎝⎛-8πα＝45，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+83πα＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+82παπ＝－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8πα＝－45，故选A.【答案】 A【例8】．已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0<β<α<π2，那么β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3【解析】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，由已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，0<β<α<π2，可知sin α＝45，sin(α－β)＝210 ，代入上式得cos β＝35×7210＋45×210＝25250＝22，所以β＝π4，故选C.题组训练三 三角恒等变换1．若sin α＋3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ2＝0，则cos 2α的值为( ) A ．－35B.35 C ．－45D.45【解析】 由sin α＋3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ2＝0， 则sin α＋3cos α＝0，可得：tan α＝sin αcos α＝－3；则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－91＋9＝－45.故选C. 【答案】 C2．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＝13，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-352πx ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 3π的值为( ) A ．－19B.19C.53D ．－53【解析】 cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-352πx ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 3π ＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＝1－2cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＋1－cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx＝2－3cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＝53.3．已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6·cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝－14，α⇒⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ.则sin 2α＝________. 【解析】 cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6·cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3 ＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6＝12sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα＝－14，即sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πα＝－12. ⇒α⇒⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ，⇒2α＋π3⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛34,ππ， ⇒cos ⎪⎭⎫⎝⎛+32πα＝－32， ⇒sin 2α＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+332ππα ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32παcos π3－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32παsin π3＝12. 【答案】 12题型四 三角函数性质的综合应用 【题型要点】研究三角函数的性质的两个步骤第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【例9】设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx ＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πωx ，其中0<ω<3.已知f ⎪⎭⎫⎝⎛6π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ上的最小值． 【解析】 (1)因为f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛-2πωx ， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ωωcos 23sin 21 ＝3⎪⎭⎫⎝⎛-3sin πωx 由题设知f ⎪⎭⎫⎝⎛6π＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ⇒Z . 故ω＝6k ＋2，k ⇒Z ，又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx 所以g (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+34ππx ＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx 因为x ⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ，所以x －π12⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππ， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【答案】 －32题组训练四 三角函数性质的综合应用已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ⇒R )．(1)求f ⎪⎭⎫⎝⎛32π的值． (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎪⎭⎫ ⎝⎛32π＝223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛－221⎪⎭⎫ ⎝⎛-－23×32×⎪⎭⎫ ⎝⎛-21得f ⎪⎭⎫⎝⎛32π＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2si ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 所以f (x )的最小正周期是π由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ⇒Z .解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ⇒Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k πk ⇒Z .【专题训练】一、选择题1．已知α满足sin α＝13，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4＝( )A.718 B.2518 C ．－718D ．－2518【解析】 cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4＝22()cos α－sin α·22()cos α＋sin α＝12()cos 2α－sin 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-9121＝718，选A.【答案】 A2．若函数f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+42πωx ＋cos2ωx －1(ω>0)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，则ω的取值范围是( )A ．[0,1)B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43C ．[1，＋∞)D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,0【解析】 由题意，因为f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+42πωx ＋cos2ωx －1＝ 4sin ωx ·1－cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π22＋cos2ωx －1＝2sin ωx (1＋sin ωx )＋cos2ωx －1＝2sin ωx 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωπωπ2,2表示函数含原点的递增区间，又因为函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ⇒⎣⎡⎦⎤－π2ω，π2ω，即⎩⎨⎧－π2ω≤－π2π2ω≥2π3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ω≤1ω≤34，又ω>0，所以0<ω≤34，故选D.【答案】 D3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω>0)在x ＝1和x ＝－1处分别取得最大值和最小值，且对于⇒x 1，x 2⇒[－1,1](x 1≠x 2)都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则函数f (x ＋1)一定是( )A ．周期为2的偶函数B ．周期为2的奇函数C ．周期为4的奇函数D ．周期为4的偶函数【解析】 由题意可得，[－1,1]是f (x )的一个增区间，函数f (x )的周期为2×2＝4，⇒2πω＝4，ω＝π2， ⇒f (x )＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2x .再根据f (1)＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2＝A ，可得sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ2＝cos φ＝1，故φ＝2k π，k ⇒Z ，⇒f (x ＋1)＝A sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππk x 2)1(2 ＝A sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2x ＝A cos π2x ，⇒f (x ＋1)是周期为4的偶函数，故选D. 【答案】D4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,6π对称 D ．关于直线x ＝π6对称【解析】 由于函数最小正周期为π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．向左平移π3得到sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛++ϕπ322x 为奇函数，故2π3＋φ＝π，φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+322πx .f ⎪⎭⎫ ⎝⎛12π＝sin π2＝1，故x ＝π12为函数的对称轴，选B.【答案】 B5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图，f ⎪⎭⎫⎝⎛-2413π＝( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1【解析】 根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象知，A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，⇒T ＝2πω＝π，解得ω＝2；⇒f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由五点法画图知，ω×π3＋φ＝2π3＋φ＝π，解得φ＝π3，⇒f (x )＝ 2 sin(2x ＋π3)，⇒f ⎪⎭⎫⎝⎛-2413π＝2sin(－13π12＋π3)＝2sin(－3π4)＝－1，故选D.【答案】 D6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,120πϕω，若f (0)＝－3，且函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，则以下结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为π3B ．函数f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,97π对称 C ．函数f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛2411,4ππ上是增函数 D ．由y ＝2cos 2x 的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f (x )的图象【解析】 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,120πϕω，⇒f (0)＝－3，即2sin φ＝－3，⇒－π2<φ<π2，⇒φ＝－π3又⇒函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，⇒－ω×π12－π3＝π2＋k π，k ⇒Z .可得ω＝12k －10，⇒0＜ω＜12.⇒ω＝2.⇒f (x )的解析式为：f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx . 最小正周期T ＝2π2＝π，⇒A 不对．当x ＝7π9时，可得y ≠0，⇒B 不对．令－π2≤2x －π3≤π2，可得－π12≤x ≤5π12，⇒C 不对．函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移5π12个单位，可得2cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-125πx ＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-652πx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2652ππx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx . ⇒D 项正确．故选D. 【答案】 D 二、填空题7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<><2,0,0πϕωA 的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)，则f (x )＝________.【解析】 由题意可得A ＝2，T 2＝2π，T ＝4π，⇒ω＝2πT ＝2π4π＝12，⇒f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕ2x ，⇒f (0)＝2sin φ＝1.由|φ|<π2，⇒φ＝π6，⇒f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx .【答案】 2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ⇒R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．【解析】 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πωx ， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ⇒Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ⇒Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，则ω2＝π4，所以ω＝π2.【答案】π29．已知sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6＝________.【解析】 ⇒sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3＝13， ⇒cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)3(2αππ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3＝13；又0<α<π2，⇒π6<π6＋α<2π3，⇒sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6＝223. 【答案】22310．已知π2<β<α<34π，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin2α＝__________A.5665 B ．－5665C.6556D ．－6556【解析】由题意得π2<β<α<3π4，则0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，由cos(α－β)＝1213⇒sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－35⇒cos(α＋β)＝－45，则sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×(－45)＋1213×(－35)＝－5665，故选B.【答案】 B 三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ωx cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω＞0)图象的两条相邻对称轴为π2. (1)求函数y ＝f (x )的对称轴方程；(2)若函数y ＝f (x )－13在(0，π)上的零点为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【解析】 (1)函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32.化简可得f (x )＝12sin 2ωx －32cos 2ωx＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πωx ，由题意可得周期T ＝π，⇒π＝2π2ω ⇒w ＝1⇒f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 故函数y ＝f (x )的对称轴方程为2x －π3＝k π＋π2(k ⇒Z )，即x ＝k π2＋5π12(k ⇒Z ) (2)由函数y ＝f (x )－13在(0，π)上的零点为x 1，x 2， 可知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321πx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx ＝13>0， 且0<x 1<5π12<x 2<2π3. 易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于x ＝5π12对称， 则x 1＋x 2＝5π6， ⇒cos(x 1－x 2)＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--1165x x π ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6521πx ＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321ππx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321πx ＝13. 12．已知函数f (x )＝23sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,125π (1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期；(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎪⎭⎫ ⎝⎛2α＝536，求cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πα的值． 【解】 (1)f (x )＝23sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx cos ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx ＝32sin2ωx ＋32cos2ωx ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πωx ＋32， 因为函数y ＝f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,125π， 所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+665πωπ＝0，⇒5π6ω＋π6＝k π， ⇒ω＝6k －15(k ⇒Z )，因为0＜ω＜2，⇒ω＝1， 所以f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋32.⇒T ＝2π2＝π (2)g (x )＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πx ＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx ＋32， ⇒g ⎪⎭⎫ ⎝⎛2α＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋32＝536， 所以sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝13， 所以cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πα＝1－2sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝79.。
学业水平考试复习《第三章 三角函数与三角恒等变换》
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★要点解读
3.等差、等比数列的概念及基本运算
例3.已知某等差数列共有10项，其奇数项 之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( C ) A.5 B.4 C.3 D.2
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★要点解读
4.等差、等比数列的性质及其运用 例4 在递增等比数列{an}中， 且an＞0 (n∈N*)， a6 a4 20, a3 a7 64,
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★要点解读 1.不等式的性质 例1 下列结论成立的是 ( B )
A. a b c d a c且b d 2 2 B. ac bc a b c b C. 且c d a b a d D. a b a b
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，
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★要点解读
5．诱导公式. (导引P51 表格)
sin( ) sin(
例1. 化简
2
) tan( )
sin( ) cos(
2
)
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★要点解读
6．三角函数的图象与性质.
先记住函数图像，性质由图可得！
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例2.已知数列的前n项的和 Sn＝3n2 －2n，
求an.
变式：
已知数列的前n项的和Sn＝2n2 ＋2n＋1,求an.
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★要点解读
3.等差、等比数列的概念及基本运算
例3.已知某等差数列共有10项，其奇数项 之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2
三角恒等变换复习
第三章 三角恒等变换复习（一）教学目标：1. 通过对本章的知识的复习、总结，使学生对本章形成一个知识框架网络.2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.教学重点：运用公式求值、证明恒等式.教学难点：证明恒等式教学过程一、基础知识复习（略）二、作业讲评《习案》作业三十五中的第5、6题.三、已知三角函数值求三角函数值.)cos(31sin sin 21cos cos .1的值求，，已知βαβαβα-=+=+.2cos 2sin 2353cos )1(.22的值求，，已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<-=θθπθπθ .sin 512cos 2sin )2(的值求，已知ααα=- .2sin 95cos sin )3(44的值求，已知θθθ=+ .cos sin 932cos )4(44的值求，已知θθθ+=.tan tan 53)cos(51)cos(.3的值，求，已知βαβαβα⋅=-=+.tan 1sin 22sin 471217534cos .42的值，求，已知x x x x x -+<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ.40tan 20tan 120tan 40tan 20tan .5oo oo o 的值求⋅++ 四、证明恒等式.cos 832cos 44cos .14ααα=++证明：.21tan 212sin cos 22sin 1.22+=++αααα证明： .2cos 2cos 4sin cos sin sin 2cos sin .3222βαβθθαθθ==⋅=+求证：，，已知五、课堂小结1. 给值求角时，先要求所求角的某一三角函数值，需结合角的范围确定角的符号；2. 证明三角恒等式时，要灵活地运用公式.六、课后作业教材P .146第8题第(3)、(4)问； P .146第1、2、3题； P .146第4题第(1)、(2)、(3)问； P .147第3题；第三章 三角恒等变换复习（二）教学目标：1. 综合运用知识解决相关问题.2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.教学重点：运用知识解决实际问题教学难点：建立函数关系解决实际问题.教学过程一、作业讲评《习案》作业P .196的第5、6题.二、例题分析，求证：，已知31)sin(21)sin(.1=-=+βαβα ；βαβαsin cos 5cos sin )1(= .tan 5tan )2(βα=.tan ).,0(51cos sin .2的值求，已知βπβββ∈=+.32tan 2tan 322.3说明理由的度数；若不存在，请、求出同时成立？若存在，，使，、是否存在锐角βαβαπβαβα-==+4. 已知直线l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一定点，并且A 点到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2 . B 是直线l 2上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ，求△ABC 面积的最小值.5. 如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边AB ，DA 上的点.当△ABC 的周长为2时， 求∠PCQ 的大小.三、课堂小结本节主要讲运用公式解决有关问题：最值问题、存在性问题.四、课后作业《习案》作业三十六.第三章 三角恒等变换复习（三）教学目标：1. 综合运用知识解决相关问题.2. 培养学生分析问题，运用知识解决问题的能力.教学重点：运用知识解决实际问题教学难点：建立函数关系解决实际问题.教学过程一、作业讲评《习案》P .192的第3题.cos ,02,534sin )3sin(.1=<<--=++ααπαπα则且《习案》P .194的第6题已知函数.2.1cos )6sin()6sin()(的最大值为a x x x x f ++-++=ππ.0)()2(;)1(的取值集合成立的求使的值求常数x x f a ≥《习案》P .196的第5题 .)(,6,4,2)(},,2|{,cos sin )(.3想的取值范围作出一个猜取一般值时进而对时的取值情况在利用三角变换估计设αααααf x x f N k k n n x f x x =∈=∈+=+二、例题分析1. 已知直线l 1∥l 2，A 是l 1，l 2之间的一定点，并且A 点到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2 . B 是直线l 2上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线l 1交于点C ，求△ABC 面积的最小值.2. 如图，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为边AB ，DA 上的点.当△ABC 的周长为2时，求∠PCQ 的大小..tan 4cos 2cos 434cos 2cos 43)2(;sin sin )2cos(2sin )2sin()1(.34A A A A A =+++-=+-+αββααβα证明：三、课后作业《学案》第三章单元检测卷.。
三角恒等变换复习
1 3
=sin 50° ·
1
50° ·
=
2sin50° · cos50° sin100° cos10° = = =1. cos10° cos10° cos10°
关闭
解析
答案
-19考点1 考点2 考点3
; .
2α.
������ 2
(3)1+cos α=2cos2 ; 1-cos α=2sin22;
������ ������ 2 1+sin α= sin 2 + cos 2 ; ������ ������ 2 1-sin α= sin 2 -cos 2 .
-3知识梳理 双基自测
1
2
2.辅助角公式
asin x+bcos x= ������2 + ������2 sin(x+φ), 其中 sin φ=
三角恒等变换
-2知识梳理 双基自测
1
2
1.公式的常见变形 (1)tan α+tan β= tan(α+β)(1-tan αtan β) tan(α-β)(1+tan αtan β) tan α-tan β=
1-cos2������ 2 (2)sin α= ; 2 1+cos2������ 2 cos α= 2 ; 1 sin αcos α=2sin ������
1-cos������ . 2
(
)
(3)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. ( ) (4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得 来的. ( ) (5)公式asin x+bcos x= ������2 + ������2 sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无 关. ( )
三角恒等变换专题复习(教师版)
(2)设 中， ， ，则此三角形是____三角形（答：等边）
题型4：三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂公式： ， )。
例4：(1)若 ，化简 为_____（答： ）；
；
（2）函数 的单调递增区间为___________（答： ）
题型5：式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。
三角恒等变换专题复习
一．要点精讲
1．两角和与差的三角函数
；
； 。
2．二倍角公式
；
；
￥
。
3．半角公式
（ ）
4.（1）降幂公式
； ； 。
（ ）
（2）辅助角公式
…
，
。
5．三角函数式的化简、求值、证明
（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；一、选择题
1、 的值为 （ ）
—
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
2、已知 ， ，则 等于 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、 的值为 ( )
4、若 ，则 为 （）
5、已知锐角 满足 ，则 等于 （）
}
二、填空题
6.已知cos = ,且 ,则cos( )=＿＿＿＿.
7. 的值是.
8 设 ， ， ，
则 大小关系
\
9 已知 那么 的值为, 的值为
三、解答题
10. 已知 ， 为锐角， ， ，求 .
11 已知 ，
（1）求 的值；
（2）求函数 的最大值．
、
}
,
12.已知函数 （其中 ），求：
专题4.3 三角函数--简单的三角恒等变换(有详细答案)
专题4.3 三角函数---简单的三角恒等变换【考点定位】2020考纲解读和近几年考点分布 一、简单的三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．（二）二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．（三）辅助角公式1、尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα 2、辅助角公式对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角形式？sin cos ))a b αααααβ+==+其中辅助角β由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。