圆单元复习与巩固

圆单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征．● 了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．● 了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．● 了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积．● 结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力．重点难点：● 重点：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论；切线的判定定理、性质定理、切线长定理． ● 难点：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论；反证法，切线的判定定理和性质定理．学习策略：● 圆是日常生活中常见的图形之一，也是平面几何中的基本图形，在复习过程中，首先要理解圆及其有关概念性质、圆中有关的角，再去探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆、圆与正多边形之间的位置、数量关系．复习中要依照学习目标，把握重点、难点，注意联系实际．二、学习与应用知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。

“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识点一：圆的定义（一）线段OA绕着它的一个端点O，另一个端点A所形成的，叫做圆．（二）圆是到的距离等于的点的集合．知识点二：判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为r，OP=d，则有d r>⇔点P在⊙O；d r=⇔点P在⊙O；d r<⇔点P在⊙O．知识点三：判定几个点12nA A A、、在同一个圆上的方法当12nAO A O A O====时，12nA A A、、在⊙O上．知识点四：与圆有关的角（一）圆心角：顶点在的角叫圆心角．知识要点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。

圆心角的性质：圆心角的度数它所对的弧的度数．（二）圆周角：顶点在，两边都和圆的角叫做圆周角．圆周角的性质：（1）圆周角它所对的弧所对的圆心角的．（2）同弧或等弧所对的圆周角；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧．（3）90°的圆周角所对的弦为；半圆或直径所对的圆周角为角．（4）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是三角形．（5）圆内接四边形的对角；外角等于它的．知识点五：圆的性质（一）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别．（二）轴对称：圆是轴对称图形，经过的任一直线都是它的对称轴．（三）垂径定理及推论：（1）垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的．（2）平分弦（不是）的直径于弦，并且弦所对的两条弧．（3）弦的垂直平分线过，且弦对的两条弧．（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过，且平分此弦．（5）平行弦夹的弧．知识点六：三角形的内心、外心、重心、垂心（一）三角形的内心：是三角形的交点，它是三角形圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的相等，通常用“I”表示．（二）三角形的外心：是三角形 的交点，它是三角形 圆的圆心，锐角三角形外心在三角形 部，直角三角形的外心是 ，钝角三角形外心在三角形 部，三角形外心到三角形三个顶点的距离 ，通常用O 表示．（四）三角形重心：是三角形 的交点，在三角形 部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 倍，通常用G 表示． （五）垂心：是三角形 的交点．知识点七：切线的判定、性质（一）切线的判定：（1）经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线． （2）到圆心的距离d 圆的半径的直线是圆的切线． （二）切线的性质：（1）圆的切线 于过 的半径． （2）经过圆心作圆的切线的垂线经过 点． （3）经过切点作切线的垂线经过 ．（三）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的 叫做切线长．（四）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角．知识点八：圆内接四边形和外切四边形（一）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角 ，外角等于 ．（二）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和 ．知识点九：直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ．（一）直线l 和⊙O 公共点⇔直线和圆相离.....................d R ⇔．（二）直线l 和⊙O 有 公共点⇔直线l 和⊙O 相切.....................d R ⇔． （三）直线l 和⊙O 有 公共点⇔直线l 和⊙O 相交.....................d R ⇔．知识点十：圆和圆的位置关系设12O O 、的半径为()R r R r >、，圆心距12O O d =． （一）1O 和2O 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部12O O ⇔ 、外离..................d R r ⇔+．（二）1O 和2O 没有公共点，且2O 的每一个点都在1O 内部12O O ⇔ 、内含...................d R r ⇔-（三）1O 和2O 有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部12O O ⇔ 、外切...................d R r ⇔+．（四）1O 和2O 有唯一公共点，除这个点外，2O 的每个点都在1O 内部12O O ⇔ 、内切........................d R r ⇔-．（五）1O 和2O 有两个公共点12O O ⇔ 、相交......................................R r d R r ⇔-+． 知识点十一：两圆的性质（一）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆 线．（二）相交两圆的连心线 公共弦，相切两圆的连心线经过 点．知识点十二：圆中有关计算圆的面积公式：S = ，周长C = ． 圆心角为°n 、半径为R 的弧长l = ．圆心角为°n ，半径为R ，弧长为l 的扇形的面积= ． 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R ，母线长为l 的圆柱的体积为 ，侧面积为 ，全面积为 ．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R ，母线长为l ，高为h 的圆锥的侧面积为 ，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 ．类型一：垂径定理及其应用在圆这一章中，涉及垂径定理的有关知识点很多，如弓形中的有关计算、切线的性质、判定定理等，也是在各地中考中经常出现的一个考点．应用垂径定理可以进行线段的垂直、平分以及弓形面积的计算等．例1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB =16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．思路点拨：本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识． 解：总结升华： ． 举一反三：【变式1】“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE =1寸，AB =10寸，则直径CD 的长为（ ）经典例题——自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

更多精彩请参看网校资源ID ：#jdlt0#296375A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸解析：类型二：圆周角及其应用圆周角与圆心角是本章中最常用的角，在中考中经常出现，一般单独考查它的题目不多，都是隐含在其他题目中．例2．如图所示，△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，∠BAD等于（）A．30°B．60°C．75°D．90°解析：举一反三：【变式1】如图所示，⊙O的内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中与∠1相等的角有．解析：【变式2】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，BC=4cm．（1）说明AC⊥OD；（2）求OD的长．解：类型三：切线的性质及判定涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别方法、切线的特征以及对切线的应用能力，所以应认真理解有关切线的内容，并能用来解答实际问题．例3．如图所示，直线MN是⊙O的切线，A为切点，过A的作弦交⊙O于B、C，连接BC，证明∠NAC=∠B．思路点拨：如图所示，过A作⊙O的直径AD，连接DC，利用角的关系，可证明∠NAC 与∠B相等．证明：总结升华：．举一反三：【变式1】如图所示，DB切⊙O于点A，∠AOM=66°，则∠DAM= ．解析：【变式2】如图所示，AB是⊙O的直径，l是⊙O的切线，C是切点，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为E、F，证明EC=CF．思路点拨：已知l是⊙O的切线，连接过切点C的半径OC，易得AE∥OC∥BF，因为O是直径的中点，因此，EC=CF．解：总结升华：．【变式3】如图所示，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件是（只填一个即可）．答案：例4．如图所示，EB、BC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是．解析：举一反三：【变式1】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．求证：DE∥OC；证明：类型四：两圆位置的判定在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般多以选择题、填空题为主，在解答题、探究题中也经常作为主要考查目标，这部分内容不仅考查基础知识，而且考查综合运用能力．例5．填空题（1）已知圆的直径为13cm，圆心到直线l的距离为6cm，那么直线l和这个圆的公共点的个数是．（2）两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是．让更多的孩子得到更好的教育10思路点拨：（1）直线与圆的位置关系：相离、相切、相交．判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线l的距离与圆的半径的大小．（2）两圆有三种位置关系：相交、相切（外切、内切）和相离（外离、内含）．答案：举一反三：【变式1】两圆半径分别为1和7，若它们的两条公切线互相垂直，则它们的圆心距为．答案：【变式2】已知两圆的圆心距12O O为3，1O的半径为1．2O的半径为2，则1O与2O的位置关系为．答案：【变式3】在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是（3，0）和（0，-4），半径分别是32和72，则这两个圆的公切线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条解析：类型五：弧长的计算及其应用例6．如图所示，在正方形铁皮下剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之问的关系为（）A．2R r=B．94R r=C．3R r=D．4R r=思路点拨：由扇形与圆恰好围成圆锥的条件是圆的周长与扇形的弧长相等．答案：类型六：图形面积的计算及其应用与圆有关的图形面积计算问题有圆的面积、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积．考查题型以选择题、填空题、解答题为主，考查重点是对有关公式的灵活运用．其中是不规则图形面积的计算，应首先将其转化为规则图形，然后再进行．例7．沈阳市某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．236cm πB ．722cm πC ．362cmD ．722cm解析：总结升华： ．举一反三：【变式1】设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD 中，AB =2BC ，且AB =8cm ，以A 为圆心、AD 的长为半径作半圆，则商标图案（阴影部分）的面积等于（ ）A ．(4π+8)cm 2B ．(4π+16)cm 2C ．(3π+8)cm 2D ．(3π+16)cm 2解析：类型七：圆与其他知识的综合运用例8．如图所示，已知灯塔A 的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔船在B 处测得灯塔A 在北偏东60°的方向，向正东航行8海里到达C 处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，渔船如果不改变方向，继续向东航行，有没有触的礁危险？思路点拨：若渔船在向东航行的过程中的每一位置到A点的距离都大于7海里，则不会进入危险区域，所以只要计算航线上到A点最近的点与A点的距离．解：总结升华：．例9．小明要在半径为1m、圆心角为60°的扇形铁皮中剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮，小明在扇形铁皮上设计如图1和图2所示的甲、乙两种剪取方案，请你帮小明计算一下，按甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并估算哪个正方形的面积较大．（估算时取1.73，结果保留两个有效数字）．思路点拨：要比较甲、乙两方案剪取的正方形的面积大小，关键在于求出边长．解：总结升华：．例10．已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点（不与O、B重合），直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E．（1）如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形．（2）观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律．（3）点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．思路点拨：如图所示，连接OD，因为DE是⊙O的切线，故∠ODE=90°，又OA=OD，故∠A=∠ODA，∠OAP+∠OPD=90°，∠ODA+∠ADC=90°，故∠OPD=∠ADC=∠EDP，△DEP是等腰三角形．解：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。