24.4相似三角形的判定(2)
24.4(3)相似三角形的判定3
24.4（3）三角形一边的判定一、教学目标1.掌握相似三角形的判定定理2. 培养学生在复杂图形中抓住基本图形、熟悉基本图形的能力.二、教学重、难点重点：相似三角形的判定定理及应用难点：定理的应用三、课前预习1.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边 ，那么这两个三角形相似，简述为 ，两三角形相似。
2.已知：如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点 求证：△DEF ∽△ABC四、新授.已知：在△ABC 与111C B A ∆中，如果111111C A AC C B BC B A AB =，求证：△ABC ∽111C B A ∆。
教师板演证明过程得相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简单的说成:三边对应成比例的两个三角形相似.第2题图B符号表达式:新课探索四思考根据下列条件,请说一说分别根据哪条判定定理可说明两个三角形相似.(1)如图(1),若∠ADE=∠ACB,则△ADE∽△ACB.(2)如图(2),若OA=1,OB=1.5,OC=3,OD=2,则△AOD∽△BOC.(3)如图(3),D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC,CA,AB 的中点,则△DEF ∽△ABC.例题2 如图，已知BCDE AC AE AB AD ==,求证：△ABD ∽△ACE四、课内练习五、本课小结1.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简单的说成:三边对应成比例的两个三角形相似.符号表达式:B2.边的转化，得到的相似三角形也不同。
2441相似三角形的判定 ppt课件
A A2 , B B2, C C2
×可得： △ABC∽△A B C A B A 1B 1A C A 1 C 1B C B 1 C 1
A 1B 1 A 2B 2 A 1 C 1 A 2C 2 2 B 21 C 12 B 2C 2
10
相似三角形具有传递性（判定方法）
如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么 这两个三角形也相似．
截取图A形D=A1B1 ，过D作DE∥BC交AC于E.
线
，
△ADE∽△ABC
B1
才 能
C1
2020/△12/A15DE≌△A1B1C1
△ABC≌△A1B1C1构 造
17
在ABC与 A1B1C1 中，A A1 ，B B1
A
求证：ABC∽ A1B1C1
证明：在AB截取AD=A1B1 ，过D作DE∥BC
ADE∽ ABC（相似三角形的预备定理）
A
E
D
A
D
E
2020/12/B15
C B
15
C
适时小结：
掌握了证明三角形相似的两种方法：
一是定义法；
二是预备定理． 还有其他的 证明方法吗？
能类比全等三角形的判定定理得到相
似三角形的判定定理吗？
2020/12/15
16
思考：在 ABC与 A1B1C1 中，A A1
交AC于E.
D
∵DE∥BC，
在 ADE 和 A1 B 1 C 1中
A
A B A D D B E 1 .B E B 1. ADA
AB A1B1
AC A1C1
BC B1C1
A1B1 A1C1 B1C1
A2B2 A2C2 B2C2
新思路辅导与训练数学九年级全册-2019版答案
参考答案第二十四章 相似三角形 24.1放缩与相似形1.形状相同的两个2.长度成比例相等3.不一定4.略5.有一组角对应相等6.207.C8.B9.B 10.2(102)210(05)S x x x x x =-=-+<< 11.（1）不相似.A B = 30，28A B ''=BC = 20，18B C ''=而28183020≠ （2）由题意，得3022023020x --=. 解方程，得x = 1.5，或30220x-. 解方程，得x = 9 12.不一定相似。
因为多边形相似不仅要对应边成比例，还要对应角相等。
梯形可能，但是如果按照题中的顺序则不可能24.2（1）比例的性质22173511.2. 7.53.4.135. 3 i.636.27.8.9.15146x a b y a b +=--1310.15 11.12:1312.±厘米14.D 15.1207厘米 16.11 17.（1）5:4:1(2)17 18. 891719三、四 20 x = 2，24.2（2）面积比与线段比的相互转化、黄金分割1.0.52. 22333.24.215.12.36厘米69-7.3:21008.C 9.B 10.C 1.D12.∵AD∥B∥CF ,,,DMEWDDHFCHDQE FBE CHBS SSSS S S∆∆===∴,2FHE DEFBEFS SS∆=∴=13. 1111,,,,222AB AC x BD ED AD x ====∴=+在Rt △ABD 中，由勾股定理，得2222211111,1,12244x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+∴++=+∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221(1),x x AC AB BC∴=⋅-∴=⋅AC BCAB AC=，即点C 是线段AB 的一个黄金分割点。
在21x x =-中，整理，得2110,2x x x -±+-=∴=AC 为线段长，只能取正，AC 10.618,0.6182ACx AB-+=≈∴≈黄金比约为0.618 24.3（1）三角形一边的平行线（性质定理）1.32.53.4米∴..25.2厘米 6.5:17.A 8.0.5，解略9.∴EF ∥DC →AEBC =AF :DF ,DE ∥BC →AD :BD = AE :BC ，∴AF :FD = AD :DB 10.提示：PQ PR PS PI ==PBPD 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∴AO :OC = OD :O B.又CE ∥AB ，则BO :OEAO :OC ，∴BO :OE = AO :CC = OD :OB ，即OD :OB = BO :O .又OB = 6，OD = 4，即4：6 = 6：OE ，解得OE = 9.又OD = 4，∴DE24.3（2）三角形一边的平行线（性质定理的推论、重心性质） 1.重心 2.这个顶点对边中点距离 3.404.45.4.56(1)1411（2）207.88.3:59.1:210.211.①③④12.C 13.B 14.（1）∵AD ∥BC ，∴DE FDBC FC=FD = 2，112,. 6.624(2)//,33ED DE FEFC DC AD BC BC FC BC FB=∴=∴=∴=-=∴=AE EGBC GB∴=E 是AD 中点，∴AE = DE FE EGFB GB=EF ·GB = C ·BF 15.EF mnm n=+16.略17.（1）延长BE 交AD 的延长线于点M ,AD ∥BC ，,DE DM AF AMEC BC FC BC∴==∵点E 为边DC 的中点，DM = B C.∵BC = 2AD ，∴DM =2AD，∴AM=AD +DM=3AD333(2)///,, 1.222AF AD FM AM EM DE BMAD BC FC AD BF BC BE EC BF∴==∴====∴=5251,,,2144BM BE EF BE BF BF =∴=∴= 24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论 1.平行AD AEBD CE= 2.1:43.5:34.不一定平行5.2:36.67.A 8.B 9.略10.略11.略12.（1）∵AB ⊥AC ,EE ⊥AC ,PD ⊥AB ，∴PE ∥AB ,PD ∥AC ，ENBN∴=,.,,//(2)EP EM EC EN EMPE EC DB DP NM BC PNM BD PM DPBN PM===∴=∴∠=PMM ，∴PN = PM = 213.（1）如图（a ），延长AC 至点E ，使CE = CA ，连接BE .∵C 为OB 中点，∴△BCE ≌△OC A.∴E = OA ，∠E = ∠OA C.∴B ∥OAAP ADEP EB∴=又D 为OA 中点，OA =OB 12AP AD EP AO ∴==1.222AP AP APEP PC AP PC∴==∴=+（2）如图（b ）延长AC 至点H ，使CH = CA ，连接BH .∵∴C 为OB 中点，∴△BCH ≌△CCA ，∠CBH = ∠O = 90°，BH = OA AD AO =14，设AD = t ,OD = 3t ，则BH = OA = OB = 4t .在Rt △BOD中，5BD t=4//,4BP BH tOA BH DP AD t∴===1.:1:15PD BP AD DP ∴=∴=(3) :BC BP n =24.3（4）平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理 1.48112.真3.5:34.51020335. (1) 83(2)1636.D7.A8.B9.（1）AB = 4，BC = 10（2）BE = 910.（1）略（2）∵AD ∥BC ，DG ADBG BE∴=四边形ACED 是平行四边形，CF ∥DE ,AD = CE DF CE DG DFBD BE BG BD∴=⋅∴=11.过A 作FK ∥BC 交CE ,BD 的延长线于点F ,K ，,DA AK EA AFCD BC EB BC∴==两式相加，得到AD AE FK CD BE BC +=，再证KF = 2MN = ,1AD AEBC CD BE +=12.（1）略(2) 233(04)4y x x x =-<<阶段训练11.10:111:102.478620553. 4.235. 1) 26. 8137. 23a 8. 8 9. 110.211.6:112.D 13.B 14.A 15.B 16.略17.略18.略19.（1）证明略(2)221155510210(2)1022222PEFSEF DH t t t t t ⎛⎫=⋅=-⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当t = 2秒时，PEFS存在最大值，最大值为10，此时BP = 3 = 6厘米（3）存在理由如下：①若点E 为直角顶点，如图（a ）所示，此时FE ∥AD ,PE = DH = 2，BP = 3.…∴FE ∥AD PF BP AD BD ∴=2385t t=此比例式不成立，故此种情形不存在②若点F 为直角顶点，如图（b ）所示，此时PE ∥AD ,PF = DH = 2t ,BP = 3，CP 10-3t .∵FF ∥AD PF CP AD CD ∴=210385t t-=③若点P 为直角顶点，如图（c ）所示。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期2相似三角形的判定课件
课堂练习：
1、如图：E是平行四边形ABCD的边BA 延长线上的一点，CE交AD于点F．图中 有那几对类似三角形？
E
E
E
A
F
D
A
F
F
A
D
B
C
B
C
C
∵AD∥BC
∵AB∥CD
∴△AFE∽△BCE
∴△AFE∽△DFC
由类似传递性可得：△DFC∽△BCE
课堂练习：
2、如图： △ABC∽△AED,AG=3,AD=6,AF=2,EF=6, 则△AFG与△ABC类似吗？ 为什么？
∵ DE∥BC
ADE ∽ ABC
布置作业：练习册24.4(1)
A1B1 A1C1 B1C1
A1B1 A1C1 B1C1
A2 B2 A2C2 B2C2
A A1, B B1, C C1
类似三角形的定义
A1 A2 , B1 B2 , C1 C2
等量代换得
AB AC BC A2 B2 A2C2 B2C2
A A2 , B B2 , C C2
×可得： △ABC∽△A B C AB A1B1 AC A1C1 BC B1C1
A1B1 A2B2 A1C1 A2C22 B21C1 2 B2C2
类似三角形具有传递性（判定方法）
如果两个三角形分别与同一个三角形类似， 那么这两个三角形也类似． 符号语言：
∵ ABC ∽ A1B1C1 , A1B1C1 ∽ A2 B2C2 ∴ ABC ∽ A2B2C2 (类似三角形的传递性)
探究3 如图，点D、E分别在直线AB和AC 上，且DE∥BC ，那么△ADE 与
课堂小结： 本节课主要学习了什么，有何收获？
1、类似三角形的定义． 2、类似三角形的性质.
相似三角形的判定(AA)PPT课件
AC ADCD BC CD BC AC ADCD AB AC BC BCBD AC AB BC CD
例：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，E是AC的中点，
过E作MN交AD于M，交BC于N，⑴求证：AM=CN；⑵若
∠CEN=90°，EN:AB=2:3，EC=3，求BC的长。
？
HL
-
3
观察你与老师的直角三角尺 (30O 与60,O会) 相似吗？
这两个三角形的三个内角的大小 有什么关系？
相
三个内角对应相等。
似
三个内角对应相等的两个三角形 一定相似吗？
已知:如图△ABC和△A’B’C’中 ,∠A=∠A’ ，∠B＝∠B’ .
求证:△ABC∽△A’B’C’.
证明:在△ABC的边AB上截取AD=A’B’ 过点D作DE∥BC交AC于点E.
思 考: 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它
们是否一定相似？
-
6
相似三角形的判定
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B (两个角分别对应相等的两个三角形相似)
A
A'
C B' C'
例题欣赏
例1 如图所示，在两个直角三角形 A △ ABC 和 △ A′B′C′ 中 ， ∠ B＝∠B′＝ 90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形 A' 是否相似．
A C D C B D , B C B D C D ; C B D A B C , B C C D B D ,
A CC DA D
A BA CB C
A C D A B C , A C C D A D .
24.4(1)相似三角形的判定
1、什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上 有何特征？ 2．两个全等三角形的对应也和对应角有什么关 系？
A 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及 基本图形） A1
B
C
B1
C1
相似三角形的定义，相似比的概念
相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应 边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比K，叫 做相似比（或相似系数）．
相似三角形具有传递性（性质）
如果两个三角形分别与同一个三角形 相似，那么这两个三角形也相似.
• 思考问题： • （l）所有等腰三角形都相似吗？所有等边 三角形呢？为什么？ （2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰 直角三角形呢？为什么？
练习一：选择题 下列四组图形，必是相似形的（ ） Ａ、有一个角为的两个等腰三角形 Ｂ、有一个角为的两个等腰梯形 Ｃ、邻边之比都为2:3的两个平行四边 形 Ｄ、有一个角为的两个等腰三角形
注：①两个相似三角形的相似比具有顺序 ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形 是相似三角形的特殊情形．
• 在证两个三角形相似时，通常把表示对应 顶点的字母写在对应位置上． • 类似地，如果两个边数相等的多边形的对 应角相等、对应边成比例，那么这两个多 边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边 的比，叫做相似比.
3、已知:如图,Rt△ABC中, ABC=90°,BD AC ⊥于D. (1)图中有几个直角三角形?它们相似吗?为什么? (2)用语言叙述第(1)题的结论:直角三角形被斜边上 的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. (3)写出相似三角形对应边成比例的表达式.
课堂小结 1、相似三角形的定义，相似比的概念 2、三角形相似与全等的判定方法的类比. 3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且 只需两个独立条件. 4、常用的找对应角的方法：①已知角相等;②已知 角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤ 同角的余(补)角相等.
24.4(3)相似三角形的判定定理3
B
A1 D A
E
C
△ADE∽△ABC △ADE≌△A1B1C1 △ABC∽△A1B1C1
B1 C1ห้องสมุดไป่ตู้
辅助线写法
• 相似三角形判定定理3: • 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成 比例,那么这两个三角形相似.(简称:三边对应成比例,两三 角形相似) • 数学语言表达:
AB BC CA A1 B1 B1C1 C1 A1 ABC ~ A1 B1C1
• 例题:已知:如图,D、E、F分别是△ABC的边BC、 A CA、AB的中点. • 求证： △DEF∽ △ABC E
F C B D
AB BC AC 如图已知 ， AD DE AE
试说明∠BAD=∠CAE.
B
A E
D
C
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，写出证明过程， 并求出相似比；如果不相似，请说明理由。
24.4(3)相似三角形的判定定理3
复习相似三角形的判定定理
定理1:两角对应相等,两三角形相似 定理2:两边对应成比例且夹角相等,两 三角形相似
A B C
A’
B’
C’
AB BC CA 问题 : 在ABC与A1B1C1中, 如果 , A1B1 B1C1 C1 A1 那么ABC与A1B1C1相似吗 ? 为什么?
要作两个形状相同的三角 形框架,其中一个三角形 的三边的长分别为4、5、 6,另一个三角形框架的一 边长为2,怎样选料可使这 两个三角形相似?
A A1
B1 B C
C1
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否相似， 并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
《相似三角形的判定》说课稿(附教学设计)
《相似三角形的判定》说课稿尊敬的各位评委老师，大家好！今天我说课的内容是人教版初中数学九年级下册《相似三角形的判定》第二课时的内容。
我将从教材分析、教法分析、学法指导、教学程序四个方面来对本课进行说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用在这之前，学生学习了全等三角形的相关知识，相似三角形是全等三角形的拓广和发展，而相似三角形的判定是相似三角形的主要内容之一，相似三角形的判定是进一步对相似三角形的本质和定义进行的的全面研究，也是学习《锐角三角函数》和《投影与视图》的重要工具，可见这部分内容在教材中具有承上启下的地位。
2、教学目标知识与技能：掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定定理，并会运用它们解决相关问题数学思考：经历探索两个三角形相似条件的过程，体验画图操作、观察猜想、分析归纳的过程；在定理论证中，体会转化思想的应用解决问题：会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的方法进行简单推理情感目标：通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，培养学生获得数学猜想的经验，激发他们探索知识的兴趣，体验数学探索与创造的快乐二、说教学重、难点重点：掌握判定定理并学会应用定理判定两个三角形相似难点：探究三角形相似的条件和运用判定定理解决问题三、说教学方法针对初三学生的年龄特点和心理特征，以及他们的知识水平，根据教学目标，本节课采用探究发现式教学法和参与式教学法为主，利用多媒体引导学生始终参与到学习活动的全过程中，处于主动学习的状态。
四、说学法这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程。
在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想。
五、说教学过程本课我遵循“教学、学习、探究”同步协调的原则，教学过程将按如下流程展开：一、复习引入1、复习提问：我们已掌握的判定三角形相似的方法有哪些？2、回顾三角形全等的判定方法，然后教师拿出两个大小不等的，但其中一个三角形各边与另一个三角形各边的比相等的三角板，让学生来观察并提问，用前面两种方法能否判定这两个三角形相似呢？学生讨论，教师点评后指出，根据定义所涉及的条件多，根据预备定理要求图形特殊，因此，我们能否探求出条件更简单的判定方法呢？引入课题。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·BC ，AC=CD·BC 。
22二相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：BC（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)B(3)(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A共A角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）A4DCDEADE1E（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”DEB(D)B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
24.4(1)相似三角形的判定
1 上海市大团中学数学教研组教案格式（ 九 年级 上 册） 课题：第 24 章 第 节 24.4（1）相似三角形的判定 课型 第 1 课时 教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 教学重点 了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l.
教学难点 教学资源 教学过程 一、导入： 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形）
C1B
1
A1
CB
A
本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、过程： 新授1： 相似三角形的定义，相似比的概念 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．为加深学生对相似三角形概念的本质的认识，教学时可预先准备几对相似三角形，让学生观察或测量对应元素的关系，然后直观地得出：两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例．
相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相
似多边形的对应边的比，叫做相似比.如图，111,ABCABC是相似三角形，则111,ABCABC相似可记作ABC∽C1B