第五章级数

第五章 级数 §5.2 数项级数敛散性的判定

例1.讨论下列级数敛散性. (1).3223111221sin421nnnnnnnn;

(2).321cos131113nnnnnarctannnn. 证明:(1).因为322211lim1lim11nnnnnenn,故32111nnn发散. 又由于223321221221sin421421nnnnnnnnnnn,故231122sin421nnnnnn收敛. 故3223111221sin421nnnnnnnn发散. (2).因为3cos333nnnnn,且1limlim1333nnnnnnn,于是31cos33nnnn收敛. 又2112arctannn,故211arctannn 单调有界,111nnn收敛,于是阿贝尔判别法 2

11111nnarctannnn



收敛. 故321cos131113nnnnnarctannnn收敛.

例2.若1nna是收敛的正项级数,且21nnb收敛,证明:当12时 2142121nnnabsinnn







绝对收敛. 证明:(1).因为 2110()2nnaann;

2222

2111841424242222111112nnnnbsinbbbnnnn







,

故当12时,2142121nnnabsinnn绝对收敛.

例3.设221sinlim1knnnnna,证明:当43k时,1nna收敛. 证明：由已知条件221sinlim1nnknnan,1nna是正项级数. 又 22

22

22

1sin1sin11sin110nnknnnnkknnn





,

且221sinlim11nnn,故对104,存在0N,当nN时,221sin1114nn,即当

nN时,221sin35144nn.

于是,当nN时 22

22

22

1sin13sin11sin43411110nnknnnnkkkknnnnn





.

故当43k时,221sin1knnnn收敛,于是当43k时,1nna收敛. 例4.判定下列级数是条件收敛还是绝对收敛? (1).1311ln1nnnnnn;

(2).735221111nnnnnen. 解:(1).因为 31211lnln1111nnnunnnnnn





1211nnn

;

而323212211limlim1111nnnnnnnnnn, 故11211nnnn收敛.于是1311ln1nnnnnn绝对收敛. (2).因为 7632

54

2222

1111nnnnnnneenn



2222

664466

44

2466266

111111111ln122662622nn

nn

nonnnnononnnnnnnnneeeeee







,

故73516221lim11nnnnneen,于是735221111nnnnnen绝对收敛.

例5.判定21142424131nnnn是条件收敛还是绝对收敛. 解:(1).当1时,21142424131nnnn发散. (2).当1时,2211142424424113131nunnnn单减趋于0.故 21

142424131nnnn



收敛.

(3).因为 2221114114142444111431nnnn; 2221111424111431nnnn, 故 当,20,时,211424241(31)nnnn绝对收敛;

当2,11,0时,211424241(31)nnnn条件收敛.

例6.证明:当1p时, 21tan1lnpnnn收敛. 解:因为 2tan1lnnpnnun



2

tan1lnpnnn;

而

2tan1lnlimlim11lnlnpnnnppnnannnnn

2limtan1nnnn



222

tan11lim121nnnnnnnn

;

且  1 1

11lnlnlnppdxdxxxx,

故1p时,原级数收敛.

例7.证明:12p时,1121pnnnknknk绝对收敛. 解:令121pnunnknknk,则因 121nknknk

11nknknknk

1111nknknknk

1111nknknknknknk



21111nknknknknknk

32

21111111111kkkkkknnnnnnn



;

而 32

21111111111npukkkkkknnnnnnn



,

于是 32

||1lim14nnpu

n

,

故当312p时,即12p时,1nnu绝对收敛. 例8.证明:1p时,231121......npppnpppp收敛. 证明:令 234511123421...nnnpppppnpnSppppppp,

则 234211234211...nnnpppppnpnpSpppppp.

故 23421111111111...nnnnpnpSpppppp



,

311112111nnnpnSppppp









.

于是,1p时,22221lim1nnppSpp,故1p时,

231121......npppnpppp

收敛. 例9.证明:1p时,23sinsin2sin3...sin...nppppn收敛. 证明:令 23sinsin2sin3...sinnnSppppn,

则 23422cossin2cossin22cossin3npcosSppp

1...2cossinnpn

2npcosS234sin2sin3sinsin4sin2ppp

1...sinsin2sin1sin1nnpnnpnn

21sinsinsin1nnnnSppSpnpn

于是 212sinsinsin112cosnnnppnpnSpp

,

故 2sinlim12cosnnpSpp

.

因此,1p时,23sinsin2sin3...sin...nppppn收敛.

例10.设fx在0x处三阶可导,且00f,0lim0xfxx,证明: 111,nafbfabRnn











收敛. 证明:由0lim0xfxx,得00f,故