三角函数1
《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
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1．sin(－315°)的值是( )
专题7 三角函数(一)
精锐教育学科教师辅导讲义二、命题分析1．从近几年高考来看，对于本单元的考查，一般是以1～3个客观题和1个解答题形式出现，以中、低档题为主．考查的内容主要有：三角函数的图像和性质、三角函数的基本公式、三角函数的恒等变形及解三角形等基本知识．解答题常与平面向量、不等式、函数的最值等进行简单的综合，但难度不大．2．预计在今后的高考中，与三角函数有关的问题将继续作为高考的重点进行考查．其中，角的概念多结合三角函数的基础知识进行考查．三角函数的图像和性质主要考查三角函数的概念、周期性、单调性、⑤弧长公式：，扇形面积公式：S 扇形＝12l ²r ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r >0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x，它们都是以角为，以比值为 的函数．3．设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ，即 ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T (T ′)，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT (或AT ′)叫做α的 ． （三）基础自测1．与610°角终边相同的角可表示为( )A ．k ²360°＋230°，k ∈ZB ．k ²360°＋250°，k ∈ZC ．k ²360°＋70°，k ∈ZD ．k ²360°＋270°，k ∈Z [答案] B[解析] 由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角的终边相同． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6 C.5π6D.3π4[答案] B[解析] ∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.3．若－π>θ>－3π2，则点(tan θ，sin θ)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] 易知θ在第二象限，则tan θ<0，sin θ>0.4．若α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33[答案] C[解析] P (2sin30°，－2cos30°)即P (1，－3)，∴r ＝2，故sin α＝－32，故选C. 5．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α＝________.[答案] 0[解析] 设α终边上任一点P (k ，－3k )，则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋－3k 2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ，∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α²R 2＝12α²C 2(2＋α)2＝C 22³α²1α2＋4α＋4＝C22²1α＋4α＋4≤C216， ∴当α＝4α即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C 216.解法2：由已知2R ＋l ＝C ，∴R ＝C －l2(l <C )，∴S ＝12Rl ＝12²C －l 2²l ＝14(Cl －l 2)＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫l －C 22＋C 216，∴当l ＝C 2时，S max ＝C 216，此时α＝l R＝C2C －C22＝2，∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值C 216.[点评] 此类问题是将三角函数问题与不等式问题进行综合考查的，扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，在应用时应注意，不要把角度制与弧度制混用，造成度量单位不一致．跟踪练习2(1)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？[解析] (1)设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ，所以扇形的周长是（2r ＋r ）θ.依题意， 得（2r ＋r ）θ＝πr ，∴θ＝π－2＝(π－2)³(180°π)≈1.142³57.30°≈65.44°≈65°26′，∴扇形的面积为S ＝12r 2θ＝12(π－2)r 2.(2)设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l ＋2r ＝20， 即l ＝20－2r (0<r <10)①扇形的面积S ＝12lr ，将①代入，得S ＝12(20－2r )r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25，所以当且仅当r ＝5时S 有最大值25.此时l ＝20－2³5＝10，α＝lr＝2.所以当α＝2 rad 时，扇形的面积取最大值.3.命题方向：三角函数的定义应用已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．[分析] 根据任意角三角函数的定义，应首先求出点P 到原点的距离r ，由于含有参数a ，要注意分类讨论．[解析] r ＝－4a2＋a2＝5|a |.若a >0，r ＝5a ，α角在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35， cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，r ＝－5a ，a 角在第四象限， sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.跟踪练习3：已知角α的终边上一点的坐标为(sin π3，cos π3)，则角α在[0,2π)内的值为( )A.5π6或π6 B.2π3或53π C.π3D.π6[答案] D[解析] ∴sin π3>0，cos π3<0，∴点(sin π3，cos π3)落在第一象限，又∵tan α＝cosπ3sinπ3＝33，∴α＝π6，故选D.4.命题方向：单位圆的应用已知：α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α.[分析] 构造单位圆，利用单位圆中的三角函数线及三角形和扇形的面积来证明．[证明] 设角α与单位圆交于P ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α，如图所示， PB 的长l ＝α.连接AP .△POA 的面积＝12OA ²MP ＝12sin α.扇形OAP 的面积＝12l ²OA ＝12α.6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [答案] 13[解析] ∵π6＋α＝π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13. 7．已知α为第四象限角，且cos α＝12，求1＋tan 2α＋1tan 2α的值． [解析] ∵α为第四象限角，且cos α＝12，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32，tan α＝sin αcos α＝－3，∴1＋tan 2α＋1tan 2α＝1＋(－3)2＋1－32＝1＋3＋13＝133. （四）典型例题1.命题方向：同角三角函数的关系[例1] α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15 C.513D ．－513[解析] 解法1：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1sin αcos α＝－512，解得sin α＝±513.又∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－513.故选D.解法2：设tan α1＝512，α1为锐角，如图在Rt △ABC 中，由tan α1＝512，设AC ＝5，BC ＝12，则AB ＝13， ∴sin α1＝513，∵α为第四象限角，∴sin α<0，从而sin α＝－513.解法3：∵α是第四象限角，∴sin α<0，排除A 、C ，＝cos α＝－12，由勾股数组A.1－k2．－1－k2C.1－k2．－1－k2[解析] sin80°＝1－cos 280°＝1－cos 2－80＝1－k 2，⇒125＝(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ⇒2sin x cos x ＝－2425⇒(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， 由－π2<x <0知，sin x <0，cos x >0.∴sin x －cos x <0，从而可得sin x －cos x ＝－75.(2)由(1)得，3sin 2x 2－2sin x 2cos x2＋cos 2x2tan x ＋1tan x ＝2sin 2x2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos xsin x＝sin x cos x (2－cos x －sin x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225³⎝ ⎛⎭⎪⎫2－15＝－108125.[点评] (1)在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α(或cos α－sin α)中的一个，可利用方程的思想求出另外两个的值；(2)注意整体代入的思想方法． 跟踪练习2：已知sin α，cos α是关于x 的二次方程2x 2＋(2＋1)x ＋m ＝0的两根，求2tan α²cos α－sin α1－tan 2α的值． [分析] 先将所给三角函数式化简，由方程的判别式Δ≥0，结合韦达定理求解．[解析] 2tan α²cos α－sin α1－tan 2α＝2sin αcos α²cos α－sin α1－sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos α＋sin α由根与系数关系可得sin α＋cos α＝－2＋12且m2＝sin α²cos α＝α＋cos α2－12＝⎝⎛⎭⎪⎫－2＋122－12＝22－18，所以m ＝22－14.故原式＝22－14－2＋12＝32－52. 3.命题方向：利用诱导公式进行化简与求值[例3] 已知f (α)＝π－απ－α－α＋π－－α－π－π－α；(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． [分析] 显然应用到诱导公式，可以直接从六组诱导公式中合理选用．[解析] (1)f (α)＝sin α²cos α－tan αtan αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－125＝－256，∴f (α)＝256.[点评] 熟练应用诱导公式是解答本题的关键．诱导公式应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．(能求值的要求出值)[例4] 化简：π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－α－π－π－α[分析] 化简上式，要认真观察“角”，显然需利用诱导公式，注意诱导公式的合理选用．[解析] 解法1：原式＝－tan α＋(π－α)]²sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2－α(π＋α)－(π＋α)＝－tan α－－α²⎣⎢⎡⎦⎥⎤－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－cos αα＝－tan α²cos α－cos α－cos α²sin α＝－tan α²cos αsin α＝－sin αcos α²cos αsin α＝－1.解法2：原式＝－tan α－α⎝⎛⎭⎪⎫－α－π2(π－α)(π－α)＝tan α²cos α²sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α²sin α＝sin αcos α²cos α－sin α＝－1.[点评] 解决此类问题需合理运用诱导公式，用公式时需特别注意化简后函数的名称与符号，一定要细心计算，以免出错．跟踪练习3：化简：－α－α⎝⎛⎭⎫3π2－α＋－α⎝⎛⎭⎫α－7π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＋α[分析] 要认真观察“角”，运用诱导公式时特别注意函数名称与符号．[解析] 原式＝－αsin α－cos α＋－α⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2－cos α²cos α＝tan αsin α²cos α＋－sin α－sin α－cos α²cos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 4.命题方向：三角函数公式在解三角形中的应用[例5] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角． [分析] 由诱导公式可化简得到sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，进而由sin 2A ＋cos 2A ＝1可求出A ，进一步。
高中数学三角函数公式大全1
041 三角函数(1) - 副本
专题5 三角函数图象与性质 【2016年高考考纲解读】三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求； 试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1．记六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆，奇变偶不变，符号看象限．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象单调性⎣⎢⎡－π2＋2k π，⎦⎥⎤π2＋2k π为增；⎣⎢⎡π2＋2k π，⎦⎥⎤3π2＋2k π为减 [－π＋2k π， ]2k π为增；[]2k π，π＋2k π为减⎝⎛－π2＋k π，⎭⎪⎫π2＋k π为增 对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴x ＝k π＋π2x ＝k π无3.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法，设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π来求相应的x 值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x 而言．(4)把函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A ，ω的符号及复合函数的单调性规律：同增异减．4．三角函数中常用的转化思想及方法技巧(1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二． (2)“1”的替换：sin 2α＋cos 2α＝1. (3)切弦互化：弦的齐次式可化为切. 【题型示例】考点1、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 【例1】【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【感悟提升】在单位圆中定义的三角函数，当角的顶点在坐标原点，角的始边在x 轴正半轴上时，角的终边与单位圆交点的纵坐标为该角的正弦值、横坐标为该角的余弦值．如果不是在单位圆中定义的三角函数，那么只要把角的终边上点的横、纵坐标分别除以该点到坐标原点的距离就可转化为单位圆上的三角函数定义．【举一反三】(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.答案 C【变式探究】(1)(2014·辽宁五校联考)已知cos π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34(2)(2014·安徽)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【命题意图】(1)本题主要考查三角函数的诱导公式及同角基本关系式的应用． (2)本题是函数与三角运算问题，主要考查函数三要素及三角运算． 【答案】(1)B (2)A【解析】(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，∴sin α＝－35，显然α在第三象限，∴cos α＝－45，故tan α＝34.故选B.(2)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.【感悟提升】1．结合诱导公式与同角基本关系式化简求值的策略(1)切弦互换法．利用tan α＝sin αcos α进行转化．(2)和积转化法．利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α进行变形、转化． (3)常值代换法．其中之一就是把1代换为sin 2α＋cos 2α.同角三角函数关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α联合使用，可以根据角α的一个三角函数值求出另外两个三角函数值．根据tan α＝sin αcos α可以把含有sin α，cos α的齐次式化为tan α的关系式．2．化简求值时的“三个”防范措施 (1)函数名称和符号．利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数与锐角的三角函数，其步骤是：去负—脱周—化锐—求值．特别注意解题过程中函数名称和符号的确定． (2)开方．在利用同角三角函数的平方关系时若需开方，特别注意要根据条件进行讨论取舍． (3)结果整式化．解题时注意求值与化简的最后结果一般要尽可能化为整式．【变式探究】(1)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.(2)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 【解析】(1)由题意得cos α＝x5＋x2＝24x ，解得x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. (2)因为sin α＋cos α＝33，所以1＋2sin αcos α＝13，所以2sin αcos α＝－23<0，又因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝153，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53. 【答案】(1)－64 (2)－53【规律方法】在利用诱导公式和同角三角函数关系时，一定要特别注意符号，在诱导公式中是“奇变偶不变，符号看象限”，在同角三角函数的平方关系中，开方后的符号也是根据角所在的象限确定的．题型2、三角函数的图象【例2】(2016·高考全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【举一反三】 (2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．答案 B【变式探究】(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 D【举一反三】(1)(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP 的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在0，π]的图象大致为( )(2)(2014·四川)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【命题意图】(1)本题主要考查函数的解析式及三角函数的图象，意在考查考生识图、用图的能力．(2)本题主要考查三角函数的图象，意在考查考生的函数图象的变换能力以及三角函数的运算能力．【答案】(1)B (2)A【感悟提升】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定(1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2.(2)ω由周期确定．(3)φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先依据图象的升降分清零点的类型．2．作三角函数图象左、右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sinωx (ω>0)的图象得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．题型三 三角函数的性质及其应用例3．【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 【举一反三】(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.答案 A【变式探究】(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析 ∵T ＝2π2＝π，∴B 正确． 答案 B【举一反三】已知函数f (x )＝cos x sin 2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数解析 对于A 选项，因为f (2π－x )＋f (x )＝cos(2π－x )·sin 2(2π－x )＋cos x sin 2x ＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故y ＝f (x )的图象关于(π，0)中心对称，A 正确；对于B 选项，因为f (π－x )＝cos(π－x )sin 2(π－x )＝cos x sin 2x ＝f (x )，故y ＝f (x )的图象关于x ＝π2对称，故B 正确；对于C 选项，f (x )＝cos x sin 2x ＝2sin x cos 2x ＝2sin x (1－sin 2x )＝2sin x －2sin 3x ，令t ＝sin x ∈－1，1]，则h (t )＝2t －2t 3，t ∈－1，1]，则h ′(t )＝2－6t 2，令h ′(t )＞0解得－33＜t ＜33，故h (t )＝2t －2t 3，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－33与⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1上递减，又h (－1)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝439，故函数的最大值为439，故C 错误；对于D 选项，因为f (－x )＋f (x )＝－cos x sin 2x ＋cos x sin 2x ＝0，故是奇函数，又f (x ＋2π)＝cos(2π＋x )·sin 2(2π＋x )＝cos x sin 2x ，故2π是函数的周期，所以函数既是奇函数，又是周期函数，故D 正确．综上知，错误的结论只有C ，故选C. 答案 C题型四 求三角函数的解析式例4．(2015·陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 C【变式探究】(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z解析 由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确． 答案 D【举一反三】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1.于是sin⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．题型五 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的综合应用例5．【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B 【解析】21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而不影响周期．故选B ． 【举一反三】(2015·安徽，10)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析 由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－11π6，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4， 又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2，其中f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4，f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.答案 A【变式探究】(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．【举一反三】(2015·天津，15)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.。
三角函数的图象1
2.五点法作y=Asin(ωx+φ)的图象。 令Z= ωx+φ,转化为y=sinZ,作图用五点法,通 过列表,描点作出图象.
Z= ωx+φ
x=(z-φ)/ω
0
0
2
π
0
3 2
2π
0
y 3.例题
A
－Ａ
4.y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系
1.复习函数图象的初等变换. 2. y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系
三角函数的图象
ห้องสมุดไป่ตู้
三角函数的图象
命题分析与目标 y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象 五点法作图 y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系
由y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式
习题 小结 课后探讨
命题分析
分析近几年的高考试题，有 关三角函数内容每年有25分，约 占17%.试题主要有两方面，一是 考察三角函数性质和图象变换， 二是图象的恒等变换。且随着新 教材的使用，逐渐降低了三角变 换的要求，而加强了对三角函数 图象和性质的考察.因此，我们 复习时要注重基础，抓住三角函 数图象，充分利用数形结合思想， 由图象研究性质.
A.向右 C.向右
4
平移个单位 平移个单位
B.向左 D.向左
4
平移个单位 平移个单位
12
12
例题讲析
例3. 已知函数y=Asin(ω x+φ ) 的图象上最高点和最低点坐标为 (5π /12,3),(11π /12,-3),求该 函数解析式.
(5π /12,3)
三角函数和为1的公式
三角函数和为1的公式在咱们学习数学的旅程中，三角函数可是个让人又爱又恨的“家伙”。
今儿咱们就来聊聊三角函数和为 1 的公式，这可是个很有趣的知识点哟！还记得我当年读高中的时候，有一次数学课上，老师在黑板上写下了一堆三角函数的式子，然后问我们：“同学们，你们知道三角函数和为 1 的公式吗？”当时大家都一脸懵，我也不例外。
我盯着那些密密麻麻的符号，脑袋里一片浆糊。
老师看我们都一脸迷茫，笑了笑说：“别着急，咱们慢慢来看。
”他开始一步一步地推导，边写边讲解。
那时候，我特别紧张，心里想着一定要搞懂这个公式。
咱们先来说说三角函数中最常见的正弦函数（sin）和余弦函数（cos）。
对于一个角α，有sin²α + cos²α = 1 。
这个公式就像是一把神奇的钥匙，可以帮我们解决很多问题。
比如说，在一个直角三角形中，如果知道一个角的正弦值是 0.6，那么我们可以通过这个公式算出它的余弦值。
因为0.6² + cos²α = 1 ，所以cos²α = 1 - 0.36 = 0.64 ，那么余弦值就是 ±0.8 。
这里要注意哦，因为角度的范围不同，余弦值可能是正的也可能是负的。
再比如，当我们遇到一些复杂的几何问题，需要用到三角函数来求解边长或者角度的时候，这个公式就能派上大用场。
想象一下，有一个三角形，已知两条边和一个夹角，我们就可以通过这个公式和其他的三角函数公式来求出剩下的边和角。
在实际应用中，这个公式还经常和其他的数学知识结合在一起。
比如和勾股定理结合，让我们能更深入地理解三角形的性质。
而且呀，这个公式在物理中也有应用呢！比如在研究简谐振动的时候，就会用到三角函数，而sin²α + cos²α = 1 这个公式就能帮助我们更好地理解和分析振动的规律。
学习这个公式，不能只是死记硬背，要多做练习，多去实际运用。
就像我当年，一开始也是懵懵懂懂，但是通过不断地做练习题，不断地思考和总结，终于把这个公式给掌握了。
三角函数1
三角函数一1. 已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．2.(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=- ，(0)ω>， 函数()f x a b =⋅ ，且函数()f x 的最小正周期为π. （I ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.3.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，满足222.a c b ac +=+（1）求角B 的大小；（2）若[)π,0∈x ，求函数x B x x f sin )sin()(+-=的值域。
4.已知函数21()sin 2(cos sin )122f x x x x 2=--- （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且()0c f C ==， 若向量(1,sin )m A = 与向量(3,sin )n B = 共线，求,a b 的值。
5. 已知函数2sin 2)sin(3)(2xx x f ωω-=（0>ω）的最小正周期为π3，（Ⅰ）当 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈43,2ππx 时，求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）在ABC ∆，若1)(=C f ,且)cos(cos sin 22C A B B -+=,求A sin 的值。
（附加）在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a ，b ，c ，已知.cos cos cos 2C b B c A a +=（1）求A cos 的值；（2）若23cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值.。
三角函数诱导公式1
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么：
y
（1）正弦sinα＝ y
P(x,y)
（2）余弦cosα＝ x
（3）正切tanα＝ y
O
1x
x
思考：已知角α，则它的终边与单
位圆的交点坐标可以表示为？
P(cos , sin )
诱导公式一：终边相同的角的同名三角函数的值相等.
sin( 2k ) _s_i_n__,cos( 2k ) _c_o_s__, tan( 2k ) _t_an___（. k z）
思考：它的作用是什么？
利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化
为 00 到360（0 0到2）内的角的三角函数值. （大化小）
求下列三角函数值：
（1）sin 420 sin(360 60) sin 60 3
cos120 cos(180 60) cos 60 1 2
公式一： 大化小
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
公式二： 大化小
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
等于 的同名三角函数值前面加上把 看作
锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限”
四.巩固应用
例1.求下列三角函数值
(1) cos225
（2） （3）
(4) cos(2040)
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数一般可按下面步骤进行
任意负角 的三角函数
用公式一 或公式三
1、从特殊到一般的推理方法：
2、数形结合的思想：
三角函数(1、2)
三角函数1.1任意角和弧度制1.任意角的概念（1）角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）正角：按逆时针方向旋转形成的角。
（3）负角：按顺时针方向旋转形成的角。
（4）零角：一条射线没有作任何旋转，我们称它为零角。
（5）注意：①角度的范围不再限于0°～360°。
②角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转方向，得到正角、负角和零角，由此我们应当意识到角的终边位置的重要性。
③当角的始边相同，角相等则终边相同；终边相同，而角不一定相等。
④为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记为“α”。
⑤我们把角的概念推广到了任意角中，包括正角、负角和零角。
⑥要正确理解正角、负角和零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动。
（6）①判定与任意角有关命题的真假的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向。
②确定任意角的度数要抓住旋转方向及旋转圈数。
③引入正、负角的概念以后，角的加减运算类似于实数的加减运算。
2.象限角与轴线角（1）使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边落在第几象限，则称角α为第几象限的角；终边落在坐标轴上的角α被称为轴线角。
（2）象限角的集合第一象限角的集合为{x|k²360°＜x＜k²360°+90°，k∈Z}；第二象限角的集合为{x|k²360°+90°＜x＜k²360°+180°，k∈Z}；第三象限角的集合为{x|k²360°+180°＜x＜k²360°+270°，k∈Z}；第四象限角的集合为{x|k²360°+270°＜x＜k²360°+360°，k∈Z}。
三角函数公式大全[1]
三角函数公式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义城为整个实数城。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷敖列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
公式分类锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式sin2A=2sinA•cosAcos2A=cosA;方-sinA方;A=1-2sin²A=2cos²A-1tan2A=（2tanA）÷（1-tan^2A）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α)= sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(c osα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtan BtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)[编辑本段]内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
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第一章 三角函数 4-1.1.1任意角（1）
3．正角、负角、零角概念 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？ 生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。 师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.
4.象限角 师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。 （1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100. 答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角. 5.终边相同的角的表示法 师：观察下列角你有什么发现? 390330 30 14701770 生:终边重合. 师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？ 生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。 师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有： 3×3600+300 -3×3600+300 4×3600+300 -4×3600+300 „„， „„， 由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。 师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？ 生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 2用集合表示：
（1）各象限的角组成的集合． （2）终边落在轴右侧的角的集合． 解：(1) 第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝ 第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝ 第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝ 第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o ,k∈Z｝ （2）在～中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”后，得，，故轴右侧角的集合为． 说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠． 例3 （1）如图，终边落在位置时的角的集合是__{α|α＝k360o+120o ,k∈Z }；终边落在位置，且在内的角的集合是_{－45o,225o}_；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合 是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o ,k∈Z}． 练习： （1）请用集合表示下列各角．
①～间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于角．
解答（1）①； ②； ③； ④ （2）分别写出： ①终边落在轴负半轴上的角的集合； ②终边落在轴上的角的集合； ③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合； ④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
解答（2）①； ②； ③； ④． 说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据课本约定它包括，但不包含． 例4在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角 （1）；（2）； 解：（1）∵ ∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角； （2）∵ ∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；
总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以，按通常除去进行；负的角度除以，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值． 练习：
（1）一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__． （2）集合M＝{α=ko90，k∈Z}中，各角的终边都在（C ） A．轴正半轴上， B．轴正半轴上， C．轴或轴上， D．轴正半轴或轴正半轴上 （3）设， C＝{α|α= k180o+45o,k∈Z}，
则相等的角集合为_B＝D，C＝E__． 三.本课小结 本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。
判断一个角是第几象限角，只要把改写成，，那么
在第几象限，就是第几象限角，若角与角适合关系：，，则、终边相同；若角与适合关系：，，则、终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为：
，这种模式（），然后只要考查的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法． 四.作业:
4-1.1.2弧度制（1）
教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念。 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2rad 1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2． 角的弧度数的绝对值 rl（l为弧长，r为半径） 3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。 三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180= rad
∴ 1=radrad01745.0180
'185730.571801rad 例一 把'3067化成弧度 解：
2167'3067 ∴ radrad832167180'3067
例二 把rad53化成度 解：1081805353rad
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3radsin表示rad角的正弦
o r C 2rad 1rad r l=2r o A A B 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R 四、练习（P11 练习1 2） 例三 用弧度制表示：1终边在x轴上的角的集合 2终边在y轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合
解：1终边在x轴上的角的集合 ZkkS,|1
2终边在y轴上的角的集合 ZkkS,2|2
3终边在坐标轴上的角的集合 ZkkS,2|3 五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 六、作业：
4-1.1.2弧度制（1） 教学过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。
二、由公式：rlrl 比相应的公式180rnl简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 利用弧度制证明扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：22
1R
弧长为l的扇形圆心角为radRl
∴lRRRlS21212
比较这与扇形面积公式 3602RnS扇 要简单
正角 零角 负角
正实数 零 负实数
o R S l 例二 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34 ⑵ 165 解：cmr10 ⑴： )(340103
4cmrl
⑵：radrad1211)(165180165 ∴)(655101211cml 例三 如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形 的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有
22162lrrllr
∴ 扇形的面积2)(221cmrlS
例四 计算4sin5.1tan 解：∵ 454
∴ 2245sin4sin
'578595.855.130.571.5rad ∴12.14'5785tan5.1tan 例五 将下列各角化成0到2的角加上)(2Zkk的形式 ⑴ 319 ⑵ 315 解：63319
2436045315
例六 求图中公路弯道处弧AB的长l（精确到1m） 图中长度单位为：m
解：∵ 360
∴ )(471514.3453mRl 三、练习：
o A B R=45 60