人教版数学高一必修2学案 -4 平面与平面之间的位置关系
人教A版高中数学必修2《2.1.4 平面与平面之间的位置关系》_2
平面与平面的位置关系（一）一、课前准备： 【自主梳理】1．空间两个平面的位置关系有 、2．如果两个平面 那么就说这两个平面互相平行．3.两个平面平行的判定定理． 4两个平面平行的性质定理． 【自我检测】1．在长方体的表面中，互相平行的面共有 对．2．已知面//α面β，直线a α⊂面，则直线a 和面β的位置关系是 ．3．若平面//α平面β，．平面α平面γ=a ，平面β平面γ=b ，则直线a 与直线b 的位置关系是 ．4．若两个平行平面间的距离等于10，夹在这两个平行平面间的线段AB 长为20，则AB 与这两个平行平面所成的角为 ．5．下列四个命题中，正确命题的序号为 ．（1）如果平面α内有两相交直线与平面β内的两条相交直线对应平行，则βα//； （2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）如果平面α内有无数条直线都与平面β平行，则βα//； （4）如果平面α内任意一条直线都与平面β平行，则βα//．二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）设m ，n 是平面α内的两条不同直线；1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，有下列四个命题： ①m ∥β且1l ∥α； ②m ∥1l 且n ∥2l ；③m ∥β且n ∥β； ④m ∥β且n ∥2l ．其中是α∥β成立的充分而不必要条件的命题的序号是 ． （2）过平面外一点可做 平面与已知平面平行．（3）若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为 ．【例2】求证：夹在两平行平面间的平行线段相等如图：已知//αβ面面，A C α∈，，//B D AB CD β∈，， 求证：AB CD =．【例3】如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，PA=AD ，,E F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ．三、课后作业1．若平面//α平面β，直线a α⊂，直线b β⊂，则直线a ，b 的位置关系为 ． 2．已知直线a ⊥平面α，直线a ⊥平面β，则平面α和平面β的位置关系是 ． 3．已知夹在两平行平面αβ，间的线段AB =AB 与面α所成角为4π，则 αβ，间的距离为 ．4．两个平面平行的条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面． （填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”） 5．已知题：为平面，有下列四个命，，为直线，、γβαb a①b a b a //////，则，αα； ②//αβαγβγ⊥⊥，，则； ③βαβα//////，则，a a ； ④αα////a b b a ，则，⊂． 其中正确命题的个数是．GPABCDFE6．已知1α，2α，3α是三个相互平行的平面．平面1α，2α之间的距离为1d ，平面2α，3α之间的距离为2d ．直线l 与1α，2α，3α分别相交于1P ，2P ，3P ，那么“1223PP P P =”是“12d d =”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）7．如图，在四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BE BC =，AE BE ⊥，M 为CE 上一点，且BM ⊥平面ACE ．（１）求证：AE BC ⊥；（２）如果点N 为线段AB 的中点，求证：MN ∥平面ADE ．8．如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，G 为DF 的中点．（1）求证：EF ⊥平面11B BDD ； （2）求证：EG ∥平面11AA D D ．NNABCDEMABCDA 1B 1C 1D 1EGF平面与平面的位置关系（二）一、课前准备： 【自主梳理】1． 平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做 ．一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ，这条直线 叫做二面角的 ，每个半平面叫做二面角的 ．2．一般的，以二面角的 上任意一点为端点，在两个半平面内分别作 于交线 的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的 ．二面角的范围是 ．3．平面角是直角的二面角叫 ．一般的，如果两个平面所成的二面角是 ，那么就说这两个平面 ．4. 平面与平面垂直的判定定理． 5．平面与平面垂直的性质定理． 【自我检测】1．若直线a 与平面α不垂直，则经过直线a 且垂直于平面α的平面个数为 . 2． 如图正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B DD C --的大小为 ．3．如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点垂直于第二个平面的直线必在 .4．判断下列命题的正误：① 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ （ ） ②αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥ （ ） ③若1//αα，1//ββ，αβ⊥，则11//αβ （ ）5．设γβα,,为两两不重合的平面，l ,m,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ① 若α⊥β，n ⊂α,则n ⊥β； ② 若α⊥β，n ⊥β，n ⊄α,则n ∥α； ③若βα//，α⊂l ，则β//l ； ④若γαγγββα//,,,l n m l === ，则n m // .其中真命题的个数为个 . 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1） 如图长方体1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是边长为2的正方 形，1AA =4，则二面角1A BD A --的正切值为 .（2）已知平面,,αβγ,直线,l m 满足：,,,αγγαγβ⊥==⊥m l l m ,那么①m β⊥；②l α⊥；③βγ⊥；④αβ⊥，由上述条件可推出的结论有 ．(请将你认BCDA 1 AB 1C 1D 1（第2题）B 1D 1D为正确的结论的序号都填上.)（3）如图，ABCD 是正方形，PA ⊥面ABCD ，连接PB PC PD AC BD ，，，，,问图中 有 对互相垂直的平面.【例2】如图已知在三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AC =BC ，M 、N 、P 、Q 分别是AA 1、BB 1、AB 、B 1C 1的中点．求证：面PCC 1⊥面MNQ .【例3】如图，平面PAC ⊥平面ABC ,AC ⊥BC ,PE ∥CB ,,M N 分别是,AE PA 的中点.（1）求证：MN ∥平面ABC ； （2）求证：平面CMN ⊥平面PAC .三、课后作业1．垂直于同一平面的两平面的位置关系为.D EABCMN PA 1ABCP MNQ B 1C 12．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，,90PD DC BCD =∠=︒，则二面角P BC A --的大小为.3．如果两个相交平面垂直于同一平面，那么垂直于该平面．4．若面αβ⊥面，直线a β⊥面，则直线a 和面α的位置关系是.5．如上图，在正方体1111ABCD A B C D -中，给出以下四个结论：①111//D C A ABB 平面；②A 1D 1与平面BCD 1相交；③AD ⊥平面D 1DB ；④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1，其中所有正确结论的序号为．（请将你认为正确的结论的序号都填上．）6．已知BCD ∆中，090BCD ∠=°，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，060ADB ∠=，E ，F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01)AE AFAC ADλλ==<<，则当λ=时，平面BEF ⊥平面ACD ．7．在四棱锥P ABCD -中，PA PB =．底面ABCD 是菱形，DABCPEM （第7题）DCBA PFEDBACBC D A 1A B 1 C 1D 1 （第5题）且060ABC ∠=．E 在棱PD 上，满足2PE DE =，M 是AB 的中点． （1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ．8．如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点.（1）求证：//GH 平面CDE ； （2）求证：BD ⊥平面CDE .。
人教A版高中数学必修2《二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系》教案_23
二、构建标准性平台。
关键项：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。
向度1：文字语言
向度2：图形语言
向度3：符号语言
……
三、做练习，抢答。
1
2
3
24
10
一、3、感受学习内容在身边，并上升强化次数(线线平行、线面平行、线在面内、异面直线等若干次）
二、空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。
重点：认识并能判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；难点：点、线、面的位置关系的逻辑推理和求异面直线所成角的问题。
检测
内容提要
T
方法&策略
反思/评价
前测
检测学生对空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的认识。
一、1、开门见山似进入主题，并呈现学习目标；
2、复习引入（检测2~3个同学）；
后测
根据空间点、线、面的位置关系问题的强化次数，是否布置课后作业。
注释或总评：5s：高中生计算数学速度：每选择或填空题3~6分钟，写：每分钟40字，讲：每分钟160字。
1、出示关键项：空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
2、6-8人小组选择至少1个向度，在大卡上呈现线、面间位置关系。（小组+大卡+防空）
3-交互。2~3组汇报。
4-大动浏览。（上升强化次数）
5-教师点评精讲。
三、激发学生能动性。由5s计算7题选择题确定10min
中测
检测学生对空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的掌握。
基本概况
课题：2.1.2&2.1.3&2.1.4空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
人教A版高中数学必修2《2.1.4 平面与平面之间的位置关系》_93
1、教材第64页习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？
教学后记：
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
3、情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
批注
教学重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
教学难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
→分析思路→学生试板演
例2在正方体ABCD-A’B’C’D’中，E为DD’中点，试判断BD’与面AEC的位置关系，并说明理由.
→分析思路→师生共同完成→小结方法
→变式训练：还可证哪些线面平行
练习：
Ⅰ、判断对错
直线a与平面α不平行，即a与平面α相交．（）
直线a∥b，直、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
教学过程：
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1.教学线面平行的判定定理：
课题：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系第课时总序第个教案
课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日
教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）了解空间中平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
直线a∥平面α，直线b 平面α，则直线a∥b．（）
高一数学人教版A版必修二课件：2.1.3~2.1.4 平面与平面之间的位置关系
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
解析答案
跟踪训练2 两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任
何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.其中正确命题的个数是( B )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些
是异面；
②正确；
③中直线a与β内的无数条直线垂直；
④根据定义a与β无公共点，正确.
解析答案
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达标检测
1 23 45
1.已知直线a在平面α外，则( D ) A.a∥α B.直线a与平面α至少有一个公共点 C.a∩α＝A D.直线a与平面α至多有一个公共点 解析 因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相 交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相 交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D.
第二章 § 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间的位
置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
学习目标
1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系； 2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系； 3.掌握空间中平面与平面的位置关系.
人教A版高中数学必修2《2.1.4 平面与平面之间的位置关系》_64
平面与平面垂直（必修2 §2.3.2）一、教学目标1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比平面内角的概念，归纳导出“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会数学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点重点：1、二面角的概念；2、平面与平面垂直的概念和判定；难点：二面角的平面角的作法。
三、学法与教学用具。
1、学法：实例观察思考，类比归纳总结，数学语言表达。
2、教学用具：多媒体演示四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？（归结到平面角的问题去认识处理）以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，如书本所列举的修水坝、发射人造卫星等，除此以外，你还能举出这个问题的一些例子吗？并且这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知1、二面角的有关概念出示幻灯片（校园内的平面与平面所成角的实例），从平面中角的概念引出二面角及其相关的概念（半平面，棱）2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“这个坡好陡”“南方和北方民居的屋脊存在很明显的区别”“将躺椅放平”等等，都是指二面角大小问题，那我们应如何衡量二两角的大小呢？想弄明白这个问题，必须得清楚为什么我们会产生这些大小的感觉，从什么角度去看这些角，大小最明显呢？（截面，视线顺着棱的方向）二面角大小的度量方法——二面角的平面角的相关概念的提出。
人教A版高中数学必修2《1章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系》优质课教案_11
2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学目标：1.知识与技能：（1）了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系. ；（2）会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系.；（3）培养空间想象能力.2.过程与方法：经历位置关系判断的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。
使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足点、直线、平面以及它们之间的关系，培养学生分析问题、解决问题的能力3.情感态度价值观：（1）空间教学的核心问题是让学生了解平面的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想重点难点1.教学重点：了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系；2.教学难点：会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面与平面之间的位置关系教学策略与方法1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体教学过程：一、新课导入：1．观察飞机航线所在直线与地面的关系；2.观察飞机双翅所在平面与地面的位置关系。
二、新授思考：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？空间中直线与平面的位置关系有哪些？靠什么来划分呢？（一）、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有且只有三种：（按照公共点的个数分类）①直线在平面内——有无数个公共点；②直线与平面相交——有且只有一个公共点；③直线与平面平行——没有公共点.直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.判断直线与平面的位置关系关键在于——判断直线与平面的交点个数.正确画法：例1 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l ∥α.②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.（A）0 （B）1 （C）2 （D）3解析：可以借助长方体模型来看上述问题是否正确.问题①不正确，相交时也符合.问题②不正确，如下图中，A'B与平面DCC'D'平行，但它与CD不平行；问题③不正确.另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC'D'平行，但直线CD 平面DCC'D'，问题④正确，所以选B.变式练习：1.已知a∥a，b∥a，则直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有（）（A）2个（B）3（C）4个（D）5个2.如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定（）（A）平行（B）相交（C）平行或相交（D）AB Ìa思考：围成长方体的六个面,两两之间的位置关系有几种?（二）、平面与平面之间的位置关系1.两个平面平行——没有公共点；2.两个平面相交——有一条公共直线.例2. 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论。
人教A版高中数学必修2《2.1.4 平面与平面之间的位置关系》_75
空间中平面与平面之间的位置关系
（一）教学目标
（1）了解空间中平面与平面的位置关系；
（2）培养学生的空间想象能力.
（3）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（二）教学重点、难点
重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.
（三）教学过程
（一）创设情景、导入课题
问题1：空间中直线和直线有几种位置关系？
答：平行、相交、异面
问题2：一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？
答：有三种位置关系：
（1）直线在平面内
（2）直线与平面相交
（3）直线与平面平行
（板书，点出主题）
（二）新课讲解
思考
下面请同学们思考以下两个问题
（1）问题1：拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？
（2）问题2：如图所示，围成长方体ABCD –A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？
它们有什么特点？
（2）平面与平面的位置关系
平面与平面平行——没有公共点.
平面与平面相交——有且只有一条公共直线.
平面与平面平行的符号语言是α∥β.图形语言是：
（三）巩固练习
例
已知平面α∥β，直线aα
⊂，求证a∥β.
证明：假设a ∥β，则a在β内或a与β相交.
∴a与β有公共点.
又aα
⊂.
∴a与β有公共点，与面α∥面β矛盾. ∴α∥β.
（四）归纳整理、整体认识
空间中平面与平面的位置关系
（五）作业
习题2.1。
人教A版高中数学必修2《2.1.4 平面与平面之间的位置关系》_18
空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点。
空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系。
并且在平面与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，应用较多，本课通过学习平面与平面平行的判定定理，为判定平面与平面平行的位置关系提供了理论依据；通过对平面与平面平行的判定定理的学习让学生进一步体会等价转化思想在立体几何的应用；教学中应强调两个平面平行的判定定理中的最关键词：相交；将平面与平面的问题转化为线面平行、两直线平行的问题。
使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
教学目标一、知识与技能： 1、理解并掌握两平面平行、两平面相交的定义。
2、会画平行或相交平面的空间图形，并用字母或符号表示，进一步培养学生的空间想象能力。
3、掌握两个平面平行的判定定理，并能运用其解决一些具体问题。
二、过程与方法： 1、通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生学会与别人共同学习。
2、通过直观感知、探究空间两个平面的位置关系及平面与平面平行的定义，明确数学概念的严谨性和科学性，培养学生分析问题的能力。
3、通过探究、思考、反思，进一步培养学生空间想象能力。
三、情感、态度与价值观：通过结合生活实际来直观感知平面与平面平行判定是实际生产需要，使学生认识到数学来源于生活，并应用于生活，激发学生学习数学的热情。
教学重点1、了解空间两个平面的位置关系。
2、两个平面平行判定定理
教学难点掌握两个平面平行的判定定理。
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2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系目标定位 1.掌握直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.掌握平面与平面之间的两种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.自主预习1.直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线与平面平行没有公共点a∥α2.两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝l 有一条公共直线1.判断题(1)若直线a在平面α外，则直线a∥α.(×)(2)若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β.(×)(3)若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β.(√)(4)与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面.(×) 提示(1)直线a在平面α外，则直线a∥α或a与α相交.(2)α与β可能平行，也可能相交.(4)若α∩β＝b，且a∥b，则有a∥α且a∥β，或a⊂α，或a⊂β.2.若直线l与平面α不平行，则()A.l与α相交B.l⊂αC.l与α相交或l⊂αD.以上结论都不对解析若l与α不平行，则l与α相交或l⊂α.答案 C3.若两个平面互相平行，则其中一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是()A.线面平行B.线面相交C.线在面内D.无法确定解析两面平行时，两个平面没有公共点，在一个平面的直线与另一个平面也没有公共点，所以它们平行.答案 A4.两条直线不相交，则两条直线可能平行或者异面；如果两个平面不相交，则两个平面________.解析两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行或相交.答案平行类型一直线与平面的位置关系(互动探究)【例1】以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3[思路探究]探究点一空间中直线与平面的位置关系有哪几种？提示空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.探究点二判断直线与平面的位置关系的策略是什么？提示判断直线与平面的位置关系时可借助几何模型判断，通过特例排除错误命题.对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断.要注意多种可能情形.解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.答案 A规律方法 1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.【训练1】下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α②若直线a在平面α外，则a∥α③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α④若直线a∥b，直线b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线其中假命题的序号是________.解析对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命题；对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题；对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题.答案①②③类型二平面与平面的位置关系【例2】给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合.A.0B.1C.3D.4解析如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，与A1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的；对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的；对于④，两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错.规律方法(1)判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断.(2)反证法也用于相关问题的证明.【训练2】如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定解析如图所示，由图可知C正确.答案 C[课堂小结]1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式(1)按公共点的个数分类⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面平行（直线与平面没有公共点）直线与平面不平行⎩⎨⎧直线与平面相交（直线与平面有唯一公共点）直线在平面内（直线与平面有无数公共点）(2)按是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎨⎧直线与平面相交直线与平面平行2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线.答案 B3.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.答案①②4.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行.∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.基础过关1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行解析如图所示，选D.答案 D2.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.AB⊂α解析结合图形可知选项C正确.答案 C3.α、β是两个不重合的平面，下面说法正确的是()A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β解析A、B都不能保证α、β无公共点，如图①；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②；只有D说明α、β一定无公共点，故选D.答案 D4.若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个.解析当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个.答案 15.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条.解析以打开的书页或长方体为模型，观察可得结论.答案1或36.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.解(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.7.已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.解已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求证：b⊂α.证明如图，∵a∥α，A∈α，∴A∉a，∴由A和a可确定一个平面β，则A∈β，∴α与β相交于过点A的直线，设α∩β＝c，由a∥α知，a与α无公共点，而c⊂α，∴a与c无公共点.∵a⊂β，c⊂β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c，∴b与c重合.∴b⊂α.能力提升8.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.答案 D9.在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.答案 B10.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线②必相交于一点③必相交于一条直线④必相交于三条平行线解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.答案①11.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.探究创新12.试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？解三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分.。