数学：第三章《全等三角形》复习教案1(湘教版八年级上)

第三讲：直角三角形和作三角形月日姓名班级一，学习目标和要求：1，理解和掌握直角三角形的性质和判定定理和方法；2，能灵活运用直角三角形的性质和定理解决相关的问题，非常熟悉直角三角形的性质和相关知识；3，能用3种方法判定直角三角形，判定直角三角形的全等，灵活运用勾股定理；4，能根据题目条件作出相应的三角形，提高一定的作图能力，不要求写出做法，但作图可能出现在期末考试中；二，学习方法指导：1，重点掌握直角三角形的性质和定理，以及其逆定理；每一个定理都要跟相关的图形练习起来，由图来联想定理，由定理联系图形，也就是数学上常说的数形结合；2，因为几何题就是图形认识和操作，所以不管怎么样的几何题，在开始学习几何的时候，尽最大可能的画出图形，并学会自己从图形中找规律，那样学习就会快点；同时一定要注意培养自己的联系能力，由一个图形要能联想到很多相类似的图形，并慢慢地学会做辅助线；3，多动手练习，多做题，多作图。

三，主要内容和知识点：1，本讲主要内容有两个：直角三角形的性质和定理，以及逆定理；三角形的作法；重点在直角三角形的性质和定理上，在中考中经常会出现，并且直角三角形的性质和定理是经常用到的知识，与很多知识都有联系，常常出现在综合性的问题当中，是每个人都必须掌握好的知识，请注意重视它；2，直角三角形的性质及判定定理：①直角三角形的两锐角互余。

反过来讲就是直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形就是直角三角形；②直角三角形的性质定理1：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；反过来讲也是直角三角形的一个判定定理：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；③直角三角形的性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；反过来讲也是直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°；④勾股定理（这是直角三角形中最重要也是最常用的一个性质定理）：直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的平方，a²+b²=c²；（这个定理反应了直角三角形三边的关系，它不仅可以用来判定ABCDO是不是直角三角形，还可以根据其中的两边的大小来求出第三边的大小）反过来讲就是直角三角形的判定定理了：如果三角形的三边a,b,c 有下面的关系：a ²+b ²=c ²，那么这个三角形就是直角三角形；3，辅助定理：①角平分线定理：角平分线上任意一点到角两边的距离相等；反过来讲也是个定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上； ②线段的垂直平分线定理：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等； 反过来讲也是定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； ③三角形内角和等于360°；④等腰三角形底边上三线合一（高、中线、顶角角平分线）；⑤常见的一些勾股数：勾3股4弦5 ； 勾5股12弦13 ；勾7股24弦25，等等，只要满足条件就可以。

4，作三角形：主要依据就是三角形全等的判定定理，也就是利用题目中的条件做一个三角形和题目要求的全等。

四，典型例题讲解和分析：例题一：如图1，在△A ＢＣ中，∠ＢＡC ＝90°,ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ⊥ＤＥ，Ｅ⊥ＤＥ，且ＤＥ过点Ａ．求证：ＤＥ＝ＢＤ＋ＣＥ．分析：我们要证明ＤＥ＝ＢＤ＋ＣＥ，实际上可以看做是DE=EA+AD 证明EA=DB ，AD=CE ，从而转变为证明⊿CEA ≌⊿ADB 就可以了。

那么如何证明这两个三角形全等呢？由题意可以知道⊿ABC 是个等腰直角三角形，也就有了一条边相等了，又因为它们都是直角三角形，有了一个角相等，所以只要再找一个角（或边）就可以了。

证明：（大家自己来完成吧）思考题：已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADDB ACDC BA例题二：.已知：如图，∠A ＝∠D ＝90°，BD 与AC 相交于点O ，且BD＝AC 。

求证：AB=DC分析：本题是个直角三角形全等的证明题，直角三角形全等证明有个专门的定理： “斜边、直角边定理”，不是很难，只要找到一条直角边和斜边对应相等就可以了， 大家试着自己来证明吧。

证明：例题三：如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C 偏离了想要达到的B 点140米，（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求该河AB 处的宽度． 分析：这是个勾股定理的应用题，由图可以直接看出⊿ABC 是个直角三角形，那么它的三边就满足两直角边的平方和等于斜边的平方，所以可以直接求解。

解：由图可知⊿ABC 是个直角三角形，∴ AB ²+BC ²=AC ² 又∵ AC=500 BC=140 ∴ AB ²=BC ²+AC ² AB=480米答：河AB 的宽度为480米。

例题四：如图，已知在四边形ABCD 中，AB =2 cm ，BC =5 cm,CD =5 cm ，DA =4 cm ，∠B =90°，求四边形的面积．分析：四边形可以看做是两个三角形拼成，如果拼成这个四边形的两个三角形都是直角三角形就能很快计算出四边形的面积（等于两个直角三角形的面积和），所以首先连接AC ，并根据AB,BC 的大小可以 求出AC 的大小，在⊿ACD 中，知道了三边的大小，可以判定为直角三角形。

思路清楚了， 请大家自己来求解。

解：课时训练：1，如图，某人在B 处通过平面镜看见在B 正上方2米处的A 物体，已知物体A 到平面镜的距离为3米，问B 点到物体A 的像A ′的距离是多少？2，如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？3，如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？课后训练：1．如图所示，已知，ABC ∆是等腰三角形，AB=AC ，AD 是高． 求证：（1）BD=DC ；（2）CAD BAD ∠=∠．AB 小河东北牧童 小屋ABC D2．如图所示，在ABC ∆中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ，DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F ．求证：EB=FC ．3．判断下列命题（1）在ABC Rt ∆中，两锐角互余．（2）有两个锐角不互余的三角形不是直角三角形． （3）一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（4）有两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等．以上正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．不能判定两个直角三角形全等的方法是（ ）A ．两个直角边对应相等．B ．斜边和一锐角对应相等C ．斜边和一条直角边对应相等D ．面积相等5．三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三形6．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高分别相等．那么这两个三角形第三边所对的角的关系是（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余D ．互补或相等7．在ABC ∆中，∠A：∠B ：∠C=1：2：3，则∠B= ，这个三角形为 ．8．已知ABC Rt ∆≌C B A Rt '''∆，∠C '=∠C=90º，AB=5，BC=4，AC=3，则C B A '''∆的周长= ，面积= ，斜边上的高为 ．9.如图所示，在ABC ∆和C B A '''∆中，CD 、D C ''分别是高，并且AC=C A ''，CD=D C ''，'B C A ACB ''∠=∠．求证：ABC ∆≌C B A '''∆．AB CEFDABCDA 'B 'C 'D '10. 如图所示，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE=BF ，AC=BD ． 求证：ACF ∆≌BDE ∆．11．如图所示，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ．求证：AE=CF12．如图所示，已知B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，垂足分别为F 、E ，AB=DC ，BE=CF ，求证：AB ∥CD ．13．如图所示，已知AB ⊥AC ，AC ⊥CD ，AD=BC.求证：（1）AB=CD ；（2）AD ∥BC ．DABCEFABCDFEA BCDL第15题图14．已知如图，ABC 的高BD 、CE 相交于O ，且OD=OE ．求证：AB=AC ． 思考题：15. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？16. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。