嘉兴市海宁市2020年中考数学一模试题有答案精析

2020年浙江省嘉兴市海宁市中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各数是负数的是（）A．0 B．﹣1 C． D．2.52．初步测算，2020年海宁市全年实现地区生产总值700.23亿元，比上年增长6.7%．其中700.23亿用科学记数法表示为（）A．700.23×108B．70.023×109C．7.0023×1010D．7.0023×1093．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．若分式的值为0，则x的值为（）A．1或2 B．2 C．1 D．05．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、O为格点，则tan∠AOB=（）A． B． C． D．6．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（）A．调查方式是全面调查B．样本容量是360C．该校只有360个家长持反对态度D．该校约有90%的家长持反对态度7．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC9．如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3，…是x轴正半轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…，分别过点A1、A2、A3，…作y轴的平行线，交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1、B2、B3，…，则△A n B n B n的面积等于（）+1A． B． C． D．10．在平面直角坐标系式xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．若点P在函数y=﹣x2+2x+3的图象上，则其“可控变点”Q 的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．因式分解：1﹣x2=．12．已知方程组，则x+y=．13．在一个不透明的纸箱内放有除颜色外无其他差别的2个红球，8个黄球和10个白球，从中随机摸出一个球为黄球的概率是．14．设n为整数，且n＜＜n+1，则n=．15．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，且AB=4，∠BAC=50°，则AD的长度为cm （结果保留π）．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（1，0），D（1，2），点P是坐标系内一点，给出定义：若存在过点P的直线l与线段AB，CD都有公共点，则称点P是线段AB，CD的“联络点”．现有点P（x，y）在直线y=x上，且它是线段AB，CD的“联络点”，则x的取值范围是．三、简答题（共8小题，满分80分）17．计算： +cos60°×（）﹣2（2）计算： +．18．（8分）已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，AD=BD，DE=DC．（1）求证：∠1=∠C．（2）当BD=3，DC=1时，求AC的长．19．（8分）某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25（1）这组数据的众数为，中位数为；（2）计算这10个班次乘车人数的平均数；（3）如果16路车在高峰时段从总站共出车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少？20．（8分）如图所示，已知AD∥EF∥BC，FG∥CH，且DF=2CF．（1）求AE：BE的值．（2）当CH=6时，求FG的长．21．（10分）如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？22．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BAC=40°时，∠ADE的度数．（3）过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，当AO=EF=2时，求图中阴影部分的面积．23．（12分）某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知两种笔记本的进价之和为10元，每个笔记本的利润均为1元，小王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了43元．（1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？（2）该文具店购入这两种笔记本共1000本，花费不超过5200元，则购入甲种笔记本最多多少本？（3）店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本300本和乙种笔记本150本．如果两种笔记本的售价各提高1元，则每天将少售出50本甲种笔记本和40本乙种笔记本．为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的价格都提高x元，在不考虑其他因素的条件下，当x定为多少时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大？24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．2020年浙江省嘉兴市海宁市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各数是负数的是（）A．0 B．﹣1 C． D．2.5【考点】正数和负数．【分析】【分析】根据负数的定义即小于0的数是负数即可得出答案．【解答】【解答】解：A：0不是负数，也不是正数，故选项错误；B：﹣1是负数，故选项正确；C：是正数，故选项错误；D：2.5是正数，故选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了负数的定义，是基础题，比较简单，注意0既不是正数，也不是负数．2．初步测算，2020年海宁市全年实现地区生产总值700.23亿元，比上年增长6.7%．其中700.23亿用科学记数法表示为（）A．700.23×108B．70.023×109C．7.0023×1010D．7.0023×109【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：700.23亿=7.0023×1010，故选C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4．若分式的值为0，则x的值为（）A．1或2 B．2 C．1 D．0【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1=0，解得：x=1．故选：C．【点评】此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、O为格点，则tan∠AOB=（）A． B． C． D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】直接利用锐角三角函数关系，结合正切的定义得出答案．【解答】解：如图所示：tan∠AOB==．故选：A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．6．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（）A．调查方式是全面调查B．样本容量是360C．该校只有360个家长持反对态度D．该校约有90%的家长持反对态度【考点】总体、个体、样本、样本容量；全面调查与抽样调查．【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：A、调查方式是抽样调查，故A错误；B、样本容量是400，故B错误；C、该校只有2250个家长持反对态度，故C错误；D、该校约有90%的家长持反对态度，故D正确；故选：D．【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．7．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的交集，就是该不等式组的解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示．【解答】解：不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，其数轴表示为：故选B【点评】不等式组的解集：不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解，然后再找它们的相交的公共部分（最好先在数轴上画出它们的解），找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住：同小取小，同大取大；比大的小，比小的大，取中间；比大的大，比小的小，无解．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD=BD；CD为直角三角形ABC 斜边上的中线，得出CD=BD；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC=AD，无法得出EC=ED，则∠ECD=∠EDC不成立；由此选择答案即可．【解答】解：∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3，…是x轴正半轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…，分别过点A1、A2、A3，…作y轴的平行线，交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1、B2、B3，…，则△A n B n B n的面积等于（）+1A． B． C． D．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】设设OA1=A1A2=A2A3=…a，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出A n B n的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设OA1=A1A2=A2A3=…a，则A1B1=，A2B2=，A3B3=，A4B4=，…，∴A n B n=，∴=A n B n•B n B n+1=．故选A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是求出A n B n的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据边长的变化找出变化规律是关键．10．在平面直角坐标系式xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．若点P在函数y=﹣x2+2x+3的图象上，则其“可控变点”Q 的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是（）A． B． C． D．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】画出函数y=﹣x2+2x+3的图象，根据“可控变点”的定义找出y′关于x的函数图象，由此即可得出结论．【解答】解：画出函数y=﹣x2+2x+3的图象，如图所示．将y轴右侧的图象关于x轴颠倒过来，即可得出y′关于x的函数图象．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解“可控变点”的定义．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象的变换找出图形是关键．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．因式分解：1﹣x2=（1﹣x）（1+x）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．【解答】解：∵1﹣x2=（1﹣x）（1+x），故答案为：（1﹣x）（1+x）．【点评】本题考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．12．已知方程组，则x+y=5．【考点】解二元一次方程组．【分析】方程组两方程相加即可求出x+y的值．【解答】解：，①+②得：3（x+y）=15，则x+y=5，故答案为：5【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．在一个不透明的纸箱内放有除颜色外无其他差别的2个红球，8个黄球和10个白球，从中随机摸出一个球为黄球的概率是．【考点】概率公式．【分析】让黄球的个数除以球的总数即为摸到黄球的概率．【解答】解：袋子里装有2个红球，8个黄球，10个白球共20个球，从中摸出一个球是黄球的概率是，故答案为：【点评】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．设n为整数，且n＜＜n+1，则n=4．【考点】估算无理数的大小．【分析】依据被开方数越大，对应的算术平方根越大进行估算即可．【解答】解：∵16＜20＜25，∴4＜＜5，∴n=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键．15．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，且AB=4，∠BAC=50°，则AD的长度为πcm（结果保留π）．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；圆周角定理；弧长的计算．【分析】如图，连接AD，OD．（O为圆心）．求出圆心角∠AOD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】解：如图，连接AD，OD．（O为圆心）．∵=，∴∠CAD=∠DAB=∠CAB=25°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=25°，∴∠AOD=180°﹣50°=130°，∴的长==π．【点评】本题考查圆周角定理、弧长公式等知识，解题的关键是记住弧长公式，求出圆心角是关键，属于中考常考题型．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（1，0），D（1，2），点P是坐标系内一点，给出定义：若存在过点P的直线l与线段AB，CD都有公共点，则称点P是线段AB，CD的“联络点”．现有点P（x，y）在直线y=x上，且它是线段AB，CD的“联络点”，则x的取值范围是x≤﹣或x≥0．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】作直线BD、BC、AD以及y=x，根据点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD 的解析式，分x≥0与x＜0两种情况考虑，根据直线y=x在其他直线中间时，即可得出x的取值范围．【解答】解：作直线BD、BC、AD以及y=x，如图所示．设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A（﹣1，0）、D（1，2）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线AD的解析式为y=x+1．观察图形可知：当x≥0时，直线y=x在x轴（包括x轴上）于直线AD之间，此时直线y=x上的点均为“联络点”；当x＜0时，联立直线y=x与直线AD成方程组，得：，解得：，直线y=在x≤﹣中时，图象在直线AD（包括直线AD上的点）、BC之间，∴当x≤﹣时，直线y=x上的点均为“联络点”．故x的取值范围为：x≤﹣或x≥0．故答案为：x≤﹣或x≥0．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用数形结合解决问题是关键．三、简答题（共8小题，满分80分）17．（1）计算： +cos60°×（）﹣2（2）计算： +．【考点】分式的加减法；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）根据开方运算、特殊角三角函数值、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案；（2）根据同分母分式的加减，可得答案．【解答】解：（1）原式=3+×4=5；（2）===2．【点评】本题考查了分式的加减，同分母分式的加减，分母不变分子相加减是解题关键．18．已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，AD=BD，DE=DC．（1）求证：∠1=∠C．（2）当BD=3，DC=1时，求AC的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）欲证明∠1=∠C，只要证明△BDE≌△ADC即可．（2）求出AD、DC，根据AC=计算即可．【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90°，在△BDE和△ADC中，，∴△BDE≌△ADC，∴∠1=∠C．（2）∵AD=BD=3，DC=1，∠ADC=90°，∴AC===．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．19．某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25（1）这组数据的众数为23，中位数为24；（2）计算这10个班次乘车人数的平均数；（3）如果16路车在高峰时段从总站共出车60个班次，根据上面的计算结果，估计在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有多少？【考点】众数；用样本估计总体；算术平均数；中位数．【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解；（2）根据平均数的概念求解；（3）用平均数乘以发车班次就是乘客的总人数．【解答】解：（1）这组数据按从小到大的顺序排列为：14，16，23，23，23，25，25，26，27，28，则众数为：23，中位数为：=24；（2）平均数=（14+16+23+23+23+25+25+26+27+28=23（人）答：这10个班次乘车人数的平均数是23人．（2）60×23=1380（人）答：在高峰时段从总站乘该路车出行的乘客共有1380人．故答案为：23，24．【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．20．如图所示，已知AD∥EF∥BC，FG∥CH，且DF=2CF．（1）求AE：BE的值．（2）当CH=6时，求FG的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得出AE：BE=DF：CF=2：1即可；（2）由平行线得出△DFG∽△DCH，得出对应边成比例，即可求出FG的长．【解答】解：（1）∵AD∥EF∥BC，DF=2CF．∴AE：BE=DF：CF=2：1；（2）∵DF=2CF，∴DF：DC=2：3，∵FG∥CH，∴△DFG∽△DCH，∴=，即，解得：FG=4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键．21．（10分）（2020•海宁市一模）如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？【考点】勾股定理的应用．【分析】（1）由图可知：地毯的总长度是（AB+BC）的长，已知了楼道的宽度，可由矩形的面积公式求出地毯的总面积；（2）关键是求出AN、NE、DF、FC的长，可设AN=x，然后用x表示出EN、DF、CF的长，由于△CDF是等腰直角三角形，则DF=CF，根据这个等量关系，可求出x的值，进而可求出AN、NE、DF、CF的长，然后再根据两段地毯的单价求出铺满楼梯所花费的总价钱．【解答】解：（1）地毯的长度=AB+BC=7+6+3=13+3（米）；（2）设EN=DM=BF=x，则BM=DF=CF=7﹣x，∵EN⊥AB，∠EAB=30°，∴AN=EN=x，∵AB=AN+MN+MB，∴x+2+（7﹣x）=6+3，解得：x=3，即平台的高度为3m，所需费用为100×3×（AN+EN）+120×3×（ED+DF+CF）=100×3×（3+3）+120×3×（2+4+4）=900+4500（元）；答：用地毯铺满整个楼梯共需要花费（900+4500）元钱．【点评】本题考查了勾股定理的应用、解直角三角形中特殊角三角函数的应用，能够正确的求出AN的长是解答此题的关键．22．（12分）（2020•海宁市一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BAC=40°时，∠ADE的度数．（3）过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，当AO=EF=2时，求图中阴影部分的面积．【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，底边上的高也是底边上的中线；（2）先求出∠BAE，再利用圆内接四边形的对角互补即可得出结论，（3）先利用切线得出∠OEF=90°，从而得出等腰直角三角形，再用面积之差求出阴影部分面积．【解答】解：（1）如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）由（1）知，∠BAE=∠BAC=20°，∵四边形ABED是圆内接四边形∴∠ABE=90°﹣∠BAE=70°，∴∠ADE=180°﹣∠ABE=110°，（3）连接OE，∵EF且⊙O于E，∴OE⊥EF，∵AO=EF=OE=2，∴∠BOE=45°，∴S=S△CEF﹣S扇形OBE=×2×2﹣=2﹣【点评】此题是切的性质，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，解本题的关键是利用圆内接四边形求出∠ABE．23．（12分）（2020•海宁市一模）某文具店经销甲、乙两种不同的笔记本，已知两种笔记本的进价之和为10元，每个笔记本的利润均为1元，小王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了43元．（1）甲、乙两种笔记本的进价分别是多少元？（2）该文具店购入这两种笔记本共1000本，花费不超过5200元，则购入甲种笔记本最多多少本？（3）店主经统计发现平均每天可售出甲种笔记本300本和乙种笔记本150本．如果两种笔记本的售价各提高1元，则每天将少售出50本甲种笔记本和40本乙种笔记本．为使每天获取的利润更多，店主决定把两种笔记本的价格都提高x元，在不考虑其他因素的条件下，当x定为多少时，才能使该文具店每天销售甲、乙笔记本获取的利润最大？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设甲种笔记本的进价是m元，乙种笔记本的进价是（10﹣m）元．根据王同学买4本甲种笔记本和3本乙种笔记本共用了43元，列出方程即可解决问题．（2）设购入甲种笔记本n本，根据购入这两种笔记本共1000本，花费不超过5200元，列出不等式即可解决问题．（3）设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为W元．构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．【解答】解：（1）设甲种笔记本的进价是m元，乙种笔记本的进价是（10﹣m）元．由题意4（m+1）+3（01﹣﹣m+1）=43，解得m=6，答：甲种笔记本的进价是6元，乙种笔记本的进价是4元．（2）设购入甲种笔记本n本，则6n+4（1000﹣n）≤5200，解得n≤600，答：购入甲种笔记本最多600本．（3）设把两种笔记本的价格都提高x元的总利润为W元．则W=（1+x）（300﹣50x）+（1+x）（150﹣40x）=﹣90（x﹣2）2+810，∵a＜0，∴抛物线开口向下，=810，∴x=2时，W最大∴x=2时，最大利润为810元．【点评】本题考查二次函数的性质、一元一次方程、一元一次不等式等知识，解题的关键是学会设未知数关键方程或不等式或二次函数解决问题，属于中考常考题型．24．（14分）（2020•海宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，其中点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），点D为对角线OB上一个动点（不包括端点），∠BCD的平分线交OB于点E．（1）求线段OB所在直线的函数表达式，并写出CD的取值范围．（2）当∠BCD的平分线经过点A时，求点D的坐标．（3）点P是线段BC上的一个动点，求CD十DP的最小值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，把B（4，2）代入求出k即可解决问题．（2）如图1中，延长CD交OA于点F，设AF=CF=m，则OF=4﹣m，由OF2+OC2=CF2，列出方程求出m，求出直线CF的解析式，解方程组即可解决问题．（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短，求出点F坐标即可解决问题．【解答】解：（1）设线段OB所在直线的函数表达式为y=kx，把B（4，2）代入，得2=4k，解得k=，∴线段OB所在直线的函数表达式为y=x．CD的范围：≤CD＜4．（2）如图1中，延长CD交OA于点F，∵∠ACF=∠ACB=∠CAF，∴AF=CF，设AF=CF=m，则OF=4﹣m，∵OF2+OC2=CF2，∴（4﹣m）2+22=m2，解得m=，∴直线CF的解析式为y=﹣x+2，由解得，∴点D坐标（，）．（3）如图2中，作点C关于直线OB的对称点F，作FP⊥BC，交OB于D，垂足为P，则点P、D就是所求的点，此时DC+DP=DF+PD=FP最短（垂线段最短）．设直线CF的解析式为y=﹣2x+b，把C（0，2）代入得b=2，∴直线CF解析式为y=﹣2x+2，设直线CF交OB于点E，由解得，∴点E坐标（，），∵C、F关于点E对称，∴点F坐标（，﹣），∴CD+PD最小值=PF=2+=。