浅谈反例函数的教学

浅谈反比例函数的教学
函数是数学中重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互
依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，是以后进一步
学习的基础。而反比例函数又是最基础的函数之一，它的教学应以掌握反比例函
数的图象和性质，求反比例函数的解析式以及应用函数知识解决相关的实际问题
为重点。我们应抓住反比例函数教学的重难点，让学生轻松掌握本节知识，通过
我多年的教学尝试，搞好反比例函数教学我认为可以从以下几方面着手。
一、从实例出发，加深对反比例函数概念的理解
教学中让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、
讨论、归纳，再得出反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x、y之间的关
系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。课
堂上要让学生弄清解析式中各字母的意义，知道k是常量，x是自变量，y是因
变量，y是x的函数。还要让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思
想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。
因为y=kx是一个分式，所以自变量x的取值范围是x≠0。而y=kx可以通
过变形写成xy=k或y=k・x-1两种形式。
二、利用数形结合探讨反比例函数的图象与性质
画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤：列
表――描点――连线，其中列表取值很关键。反比例函数y=kx（k≠0）自变量
的取值范围x≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，最好互为相
反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确，连线时要用平滑的曲线连接，不
能用折线。教学时，老师要带着学生一起画，加强指导，及时纠错。由于x≠0，
k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
通过作图可知，反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它
有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。y=kx的渐近线：x轴与y轴。
k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。|k|越大，反比
例函数的图象离坐标轴的距离越远。
反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的，在学生活
动中归纳出：当k>0时，函数在x<0上为减函数，在x>0上也为减函数；当k<0
时，函数在x<0上为增函数，在x>0上也为增函数；反之，从双曲线的位置和函
数性质也能推出k的符号，注意让学生体会数形结合的解题方法。
教学时还应探索k的意义及应用。在反比例函数y=kx（k≠0）图象上取一
点P（x，y），过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N，则矩形PMON
的面积S=|x |×|y| =|xy|=|k|，这是反比例函数中比例系数k的一个很重要的
几何意义。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴
所围成的矩形面积为常数。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例
函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
三、灵活掌握用待定系数法求解析式
学习函数知识的一个重要方面，就是根据题目条件，求出函数的解析式。分
析反比例函数的解析式可知，只需要求出k的值，便可以求出该函数的关系式，
而k=xy，所以只要有一点在反比例函数的图象上，就可以求出该函数的解析式。
教学中，要让学生明确下面几个步骤：
（1）根据已知条件设出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的一对值或图象上的一个点的坐标代入上述函数关系式中得到
一个以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出系数k的值；
（4）将求出的待定系数k代回所设的函数关系式中得出所求函数的解析
式。
实际上，求反比例函数的解析式常见的不外乎两种呈现方式：一种完全以代
数的形式呈现，另一种则是与图象结合，设置此类题目是为了加深学生对函数图
象的理解，加强数形结合思想的渗透。
四、加强反比例函数与正比例函数的对比
在探究反比例函数的性质时，应结合正比例函数y=kx（k≠0）的图象和性
质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，使学生更好地理解和掌握反比例
函数的知识：
1.两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个x，都有一个常数k，且
k≠0；不同点是自变量x在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式y=kx的
右边是一个整式，常数k（k≠0）是自变量x的系数，而反比例函数的解析式y=kx
的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，常数k（k≠0）处在分子的位置。
2.两种函数的图象都分布在两个象限内，这是相同之处；不同点在于正比例
函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。正比例函数的图象经过
原点，而反比例函数的图象不经过原点。
3.在常数k>0的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y值增
大（减小），而反比例函数的y值减小（增大）；在常数k<0的情况下，当自变量
x增大（减小）时，正比例函数的y减小（增大），而反比例函数的y值增大（减
小）。
4.当常数k的符号改变时，两类函数图象所处的象限都会随之改变。当k>0
时，两类函数的图象都分布在一、三象限；当k<0时，两类函数的图象都分布在
二、四象限。
5.当k1、k2异号或k1×k2<0时正比例函数和反比例函数的图象没有交点；
当k1、k2同号或k1×k2>0时，正比例函数和反比例函数的图象有交点，且交点
坐标的特点为：即设A（m，n），则B（-m，-n），A、B两点的坐标关于坐标原点
成中心对称。
对于这些问题，不要急于给出答案，应该注意鼓励学生积极探究，在活动探
究过程中，学生的数学思维和兴趣会被激发起来，对所学内容的掌握也就更牢
固。
五、学以致用，提高学生运用知识解决实际问题的能力
“利用反比例函数解决实际问题”是学习反比例函数的最终目的。它体现了
从“具体到抽象再到具体”的认知规律，蕴含了从实际问题中抽象出数学问题，
建立数学模型，再用数学知识去解决实际问题的认知过程。
六、抓易错点，作针对性训练
课本中练习的题目设计较少，建议在教学中多作针对反比例函数的定义、与
反比例函数图象知识相关的题目的训练，让学生达到举一反三，熟能生巧的目
的。
问题：已知反比例函数y=（m-1）xm2-3的图象在第二、四象限，求m值，
并指出在每个象限内y随x的变化情况？
分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y=kx-1（k≠0）
自变量x的指数是-1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，
k<0，则m-1<0，不要忽视这个条件。在教学中，让学生在深刻理解函数概念基
础上，要抓住反比例函数概念（k≠0）的本质，自变量x的次数为-1。以后将要
学习的二次函数也有系数不等于零的条件，一定要引起学生的注意！
问题：如图函数y=-ax+a与y=-ax（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
分析：对于此类题目，学生不知道a的具体数据，往往无从下笔，教师要引
导学生运用分类的思想进行解题，当a<0时，则-a>0，一次函数过第一、三、四
象限，反比例函数过第一、三象限，所以ABCD均不正确，按同样的方法让学生
独立地探索出当a>0时正确答案为B。
问题：已知A（-2，y1），B（-1，y2），C（2，y3）是反比例函数y=-a2/x
（a≠0）的图象上的点，比较y1，y2，y3的大小关系是 。
分析：多数学生会这样解答：因为-a2<0，即k<0，所以y随x的增大而增
大。又因为-2<-1<2，所以y1求解过程：因为-m2<0，即k<0，所以双曲线在第二，四象限，在各象限内，
y随x的增大而增大。由于-2<-1<0，所以A（-2，y1），B（-1，y2）在第二象限
内，故y2>y1>0；又2>0，所以C（2，y3）在第四象限，故y3<0。所以y3结论
函数知识，是学生初中阶段的一个教学重点，更是学生学习的难点，需要我
们在教学中充分调动学生的主动性、积极性，注重数形结合，努力提高学生利用
函数图象解题的意识，将抽象的函数具体化，使函数不再是令学生头疼的难题，
不断提高学生学好数学的热情，进而让学生对学好函数知识充满信心。