拉格朗日中值定理教学设计

教学设计

第六章微分中值定理及其应用

§ 1拉格朗日定理和函数的单调性

题目：罗尔定理与拉格朗日定理

一、教学目的：

1. 知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推

论。

2. 能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定

理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，

培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。

3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，

以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。

二、教学重点与难点：

1. 重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的

2. 难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。

三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法

四、教学手段：板书与课件相结合

五、教学基本流程：

_____ 升华、理解新知____________ 课堂小结作业

六、教学情境设计(1学时)：

1、知识回顾

费马定理：设函数f(x)在X。的某领域内有定义，且在X。可导。若X。为f 的极值点，则必有f(x。) 0。它的几何意义在于：若函数 f (x)在X X。可导，那么在该点的切线平行于X轴。

2、引出定理，探究案例

微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理 ----------------- 罗尔定理。

定理6.1 (罗尔(Rolle)中值定理)若函数f满足如下条件：

(i) f在闭区间a,b上连续；

(ii) f在开区间a,b内可导；

(iii) f a f b，

则在a,b内至少存在一点，使得

f 0 . 1

罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1).

证因为f在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况来讨论：

(1)若m M，贝U, f在a,b上必为常数，从而结论显然成立.

(2)若m M，则因fa f b，使得最大值M与最小值m至少有一个在a,b内

某点处取得，从而是f的极值点•由条件(ii) ，f在点处可导，故由费马定理推知

f 0 .

注定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)

例1设f为R上可导函数，证明：若方程f x 0没有实根，则方程

f x 0至多有一个实根.

证这可反证如下：倘若 f X 0有两个实根X i和X2(设X i X2)，贝U函数f在

X i , X2上满足罗尔定理三个条件，从而存在X i, X2 ，使f 0，这与f X 0的

假设相矛盾，命题得证.

3、类比学习，理解定理

定理6.2 (拉格朗日(Lagrange )中值定理)若函数满足如下条件:

i f在闭区间a,b上连续；

ii f在开区间a,b内可导，

则在a,b内至少存在一点，使得

f f b fa

b a

显然，特别当fa f b时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1).这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.

证作辅助函数

F X f X f a ◎ Hxa .

b a

显然，Fa f b 0，且F在a,b上满足罗尔定理的另两个条件.故存在(a,b),使

F() f() 0

b a

移项后即得到所要证明的(2)式。

拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线y f (X)上至少存在一点

P( ,f())，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB (如图6—3所示)

定理的结论称为 拉格朗日公式。

4、升华、理解新知 •注解

Note 1.定理的几何意义：在y f(x)上至少存在一点P(

线平行于曲线两端点的连线 AB

的应用.

值得注意的是，拉格朗日公式无论对于a b ，还是a b 都成立，而 间的某一定数，而(4)、(5)两式的特点，在于把中值点 表示成了 a

(b a)，使得

不论a,b 为何值， 总可为小于1的某一正数。

,f())，该曲线在该点出的切

Note 2.定理只论证了

的存在性,

(a,b)， 不知道

的准确数值，但并不妨碍它

Note 3.拉格朗日公式还有下面几种

等价表示形式:

f(b) f(a)

f ( )(b a), a

b ；

(3) f(b) f(a) f (a

(b a))(b a),o

1； (4) f(a h) f(a) f (a

h)h,0

1；

(5)

则是介于a 与b 之

曲6—3

•例题讲解

例2 证明对一切h 1,h 0成立不等式

h1ln(1 h)h 。

1h

证设 f (x) ln(1x)，则

ln(1 h) ln(1h) ln1 ,0 1

1 h

当h>0时，由0<<1可推知

1< 1 h 1 h, h.

1 h 1 h

当一1

h h ,

1> 1 h 1 h 0, h.

1 h 1 h

从而得到所要证明的结论。

•推论

推论1若函数f在区间I上可导，且f (x) 0,x I，则f为I上一个常量

函数.

证任取两点x1, x2I (设x1 x2)，在区间［捲必］上应用拉格朗日定理，存在(X1,X2) I，使得

f(X2) f(xj f ( )(X2 xj 0-

这就证得f在区间I上任何两点之值相等.

由推论1又可进一步得到如下结论：

推论2若函数f和g均在区间I上可导，且f (X) g (x), , x I，则在区间I上f (x)与g(x)只相差某一常数，即

f (x) g(x) c(c 为某一常数).