清华大学信号与系统课件第五章S域分析、极点与零点
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《信号与系统》讲义教案第5章 连续时间信号与系统的复频域分析
第5章连续时间信号与系统的复频域分析5.0引言通过前两章的学习我们已经看到，在信号与系统的研究中，傅里叶变换是一个强有力的分析工具，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。
eω和n j eω,基于这一原理，傅里叶变换的理论基础是将信号分解为正弦指数信号，即j t也可以将一个信号分解为复指数信号st e和n z，从而得到拉普拉斯变换和Z变换。
将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。
通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Z变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的许多方面,这主要表现在系统函数及其零极点的应用方面。
本章将介绍拉氏变换的基本内容，从下面的分析可以看出，拉氏变换分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它的特例。
5.1 双边拉普拉斯变换5.1.1 双边拉普拉斯变换的定义复指数信号st e是一切LTI系统的特征函数。
如果LTI系统的单位冲激响应为h(t)，则系统对st e产生的响应是：其中当ωj s =时，就是傅里叶变换。
下面给出拉普拉斯变换的定义：(5.1)称为)(t x 的双边拉氏变换 ，其中s j σω=+。
若ωσj s ==,0，则dt e t x j X t j ⎰∞∞--=ωω)()(就是)(t x 的傅里叶变换。
表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在0=σ或是在ωj 轴上的特例。
由于()()t j t X s x t e e dt σω∞---∞=⎰(5.2)所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，)(t x 的拉氏变换就是tet x σ-)(的傅里叶变换。
只要有合适的σ存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入teσ-后满足该条件。
即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。
这说明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。
连续时间系统的s域分析讲解
1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
1Ω
1F + V1(s) I1(s)
信号与系统连续系统的s域分析
h (t , s )
t h ( t , s ) 对t积分
h (t , s )
st
ln [ h ( t , s )] s t
h (t , s ) e
F (s)
0
f (t )e
st
dt
26
单边拉氏变换已考虑了初始条件
L
f (t ) F ( s )
d f (t ) L S F ( s ) f (0 ) dt
• 对有始信号而言
s t F s L f t f t e dt b 0 σ j 1 1 F f t L Fb s σ j 2 π j
se d s
s t
21
二、单边拉氏变换
st
dt
1 s
e
st
0
1 s
2.e
α t
e
st
dt
e
α s t
3.单位冲激信号
L t
α s
0
1 α s
σ
α
0
t e
st
dt 1
0 σ σ 0 的信号成为指数阶信号
；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在
3 . lim t e
t n t
0
0
4 . lim e
t
t
2
t
e
t
0
α
长快，找不到收敛坐标 ，
5.e
等信号比指数函数增
零极点分析ppt课件
p1 p2 1
极点：
p3
2
j
j
p4
2
j
s1 0
-j
零点：
s2 s3
1 1
j j
s4
只要知道H(s)在s平面中零极点分布
h(t)波形的特性
17
H(s)在s平面中零极点分布特点： 1. 若系统为实系统，则H(s)的零极点为复数零极点必然成
对地出现。 2. H(s)的零点数和极点数必然相等。
53零极点分布与系统的频率响应特性的关系51系统函数与冲激响应52零极点分布与时域响应特性54典型系统的频响特性55全通系统与最小相位系统56模拟滤波器的基本概念与设计方法57系统模拟及信号流图58系统的稳定性51系统函数与冲激响应511系统函数的定义设系统的n阶微分方程为
第5章 连续时间系统的s域分析
H (s)
p3
j
p1
X (s)
K1,2
Eme j
j2 Z ( j01)
p4 p2
Z(
j01)
Z (s) s j01
R
j
(01L
1 01C
)
Z ( j01) e j
K3,4
Em 01
L
j
2
d
(
2 01
2 d
j d 2
j2 d )
34
(4) 求各响应分量
H (s)
I (s) K1 K2 K3 K4
28
5.2.3 自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应
Y(s) H(s)X (s)
m
设：
(s zj )
u
(s zl )
H (s)
j 1 n
,
第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
第五章 连续系统的S域分析
5.3 拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分。
比较困难
• 通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质（3） 部分分式展开-----结合 • 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解 为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
• 下面主要讨论有理真分式的情形。 • 部分分式展开法 • 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可
x1(t) x2 (t) X1(s) X 2 (s) ROC: 包括R1 I R2
复卷积定理
若L[ f1(t)] F1(s), L[ f2 (t)] F2 (s)
则L[
f1 (t )
f2 (t)]
1
2j
[F1(s)
F2 (s)]
8、 S域微分:（Differentiation in the s-Domain）
故i(t) L1[I (s)] 0.75 (t) 4.25e 2t (t)
6、时域积分特性（积分定理）
• 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则
f
(n) (t)
(
t )n
f
(x)dx
1 sn
n
F(s)
m1
1 s nm1
f
(m) (0 )
7. 卷积性质: 若 x1(t) X1(s), ROC : R1 x2 (t) X 2 (s), ROC : R2 则
x(t)es0t X (s s0), ROC : R Re[s0 ]
表明 X (s s0)的ROC是将X (s)的ROC平移了
一个Re[s0 ] 。
例3、求L[et sin t]
第5章 系统函数与零、极点分析改
电子与信息工程学院
解 研究表明，该系统的微分方程为 即 从而得系统函数
由上式可得该系统的模拟框图，如图 (b)所示。
电子与信息工程学院
k b
电子与信息工程学院
§5.2 系统函数的零、极点
5.2.1零、极点的概念
零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，p1，p2， pn
H (s) I2 (s) 转移电流比 I1(s)
H (s) U2 (s) 转移阻抗 I1(s)
H (s) I2 (s) 转移导纳 U1(s)
双口传递函数 （转移函数）
电子与信息工程学院
H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
锁相环是一个相位负反馈控制系统，应用很广。当 输入相位与输出相位的瞬时相位差恒定时，称为系 统锁定。
电子与信息工程学院
例 锁相环及其阶跃响应：
三阶琐相环系统
电子与信息工程学院
该系统函数
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定，且阶跃响应
电子与信息工程学院
复习
一、系统函数的一般概念
即有如下关系：
电子与信息工程学院
H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统 的特征根（固有频率）；
H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
电子与信息工程学院
解 研究表明，该系统的微分方程为 即 从而得系统函数
由上式可得该系统的模拟框图，如图 (b)所示。
电子与信息工程学院
k b
电子与信息工程学院
§5.2 系统函数的零、极点
5.2.1零、极点的概念
零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，p1，p2， pn
H (s) I2 (s) 转移电流比 I1(s)
H (s) U2 (s) 转移阻抗 I1(s)
H (s) I2 (s) 转移导纳 U1(s)
双口传递函数 （转移函数）
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
锁相环是一个相位负反馈控制系统，应用很广。当 输入相位与输出相位的瞬时相位差恒定时，称为系 统锁定。
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例 锁相环及其阶跃响应：
三阶琐相环系统
电子与信息工程学院
该系统函数
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定，且阶跃响应
电子与信息工程学院
复习
一、系统函数的一般概念
即有如下关系：
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统 的特征根（固有频率）；
H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
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信号与系统第5章
s a n 1 s
n 1
... a 1 s a 0
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分 解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
F (s) P (s)
第5-9页
■
B0 (s) A(s)
©南京信息工程大学滨江学院
信号与系统
F (s) s 8 s 25 s 31 s 15
5.3
拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。 通常的方法 （1）查表:直接利用拉普拉斯逆变换表 （2）利用性质 （3） 部分分式展开 -----结合 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
F (s) bm s
n m
b m 1 s
m 1
.... b1 s b 0
F (s) 1 e
sT
sT
e
2 sT
e
3 sT
＋)
特例：T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
第5-5页
■
©南京信息工程大学滨江学院
信号与系统
5.2
拉普拉斯变换性质
四、复频移（s域平移）特性
若f(t) ←→F(s) , Re[s]>0 , 且有复常数sa=a+ja, 则f(t)esat ←→ F(s-sa) , Re[s]>0+a 例1:已知因果信号f(t) 的象函数F(s)=
第5-1页
■
©南京信息工程大学滨江学院
信号与系统
5.1
拉普拉斯变换
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
’(t) ←→s，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0 3、指数函数e-s0t ←→
信号与系统第五章
d. 对于给定的系统，信号流图的形式不是唯一的。
信号流图的前两条性质a和b实质上表征了信号流图的线性 性质。描述LTI系统的微分（或差分）方程，经拉氏变换 （或Z变换）后是线性代数方程，而信号流图所描述的正是 这类线性代数方程或方程组。
例题
已知某一阶系统的微分方程为
dyt
dt
a0 y t
b0xt
P289
例11-13若一阶系统的微分方程改为
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
则按照上述原则，可将原微分方程调整为
dy t
dt
b1
dx t
dt
b0
x
t
a0
y
t
两边积分，可得
yt b1xt b0xt a0 y t dt
可见 y t 是加法器的输出信号，而加法器的输入信号是 b1xt
1.信号流图
信号流图是用一些点和有向线段作图来描述系统各变量间 的因果关系，如图所示的简单方框图，画成信号流图形式就
是用一条有始有终的线段表示；起始点标为 X s ，终点标 为Y s，这种点称为结点（节点）。
方框图 X(s)
H(s)
Y(s)
流图
X(s)
Y(s)
H(s)
X(s)
Y(s)
H(s)
➢ 每个结点都对应于一个变量或信号，结点可起求和与分配 的作用；
(3)用矢量和矩阵来表示系统的数学模型，特别适用于多输 入－多输出的系统；
(4)此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等 各类系统。
5.2 LTI系统的信号流图 P286
系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描述 更直观的描述方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示 更简洁明了，且对系统函数的计算明显简化。
信号流图的前两条性质a和b实质上表征了信号流图的线性 性质。描述LTI系统的微分（或差分）方程，经拉氏变换 （或Z变换）后是线性代数方程，而信号流图所描述的正是 这类线性代数方程或方程组。
例题
已知某一阶系统的微分方程为
dyt
dt
a0 y t
b0xt
P289
例11-13若一阶系统的微分方程改为
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
则按照上述原则，可将原微分方程调整为
dy t
dt
b1
dx t
dt
b0
x
t
a0
y
t
两边积分，可得
yt b1xt b0xt a0 y t dt
可见 y t 是加法器的输出信号，而加法器的输入信号是 b1xt
1.信号流图
信号流图是用一些点和有向线段作图来描述系统各变量间 的因果关系，如图所示的简单方框图，画成信号流图形式就
是用一条有始有终的线段表示；起始点标为 X s ，终点标 为Y s，这种点称为结点（节点）。
方框图 X(s)
H(s)
Y(s)
流图
X(s)
Y(s)
H(s)
X(s)
Y(s)
H(s)
➢ 每个结点都对应于一个变量或信号，结点可起求和与分配 的作用；
(3)用矢量和矩阵来表示系统的数学模型，特别适用于多输 入－多输出的系统；
(4)此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等 各类系统。
5.2 LTI系统的信号流图 P286
系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描述 更直观的描述方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示 更简洁明了，且对系统函数的计算明显简化。