乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性检测理科数学(含解析)
高三年级第二次诊断性测验(理科)
乌鲁木齐地区2017年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准选择题答案：DDCA DABA CCBB1．选D.【解析】∵{}1,2M =，()2,2N =-，∴M N =I {}1．故选D ． 2．选D.【解析】()()()()122432255i i z i i i -+==--+，在复平面上对应的点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54，故选D ．3．选C.【解析】∵()42=f ，即2,42±==a a ，又∵a 是底数，∴2-=a 舍去，∴2=a ，∴()38log 22==-f ，故选C ．4．选A.【解析】执行程序框图，第一次循环2,4==k S ，第二次循环3,11==k S ，第三次循环4,26==k S ，结束循环，所以判断框内应填?3>k ，故选A ．5．选D.【解析】根据线面，面面平行垂直的性质，只有D 正确，故选D ．6．选A.【解析】由()()b a b a -⊥+23得()()023=-⋅+b a b a ，即8530+⋅-=a b ，∴1⋅=-a b ，∴1cos ,2⋅==-a b a b a b ，所以a 与b 的夹角为32π．故选A ． 7．选B ．【解析】由题意可知，该几何体由底面边长为2，高为2的正三棱柱，和底面边长为1，高为1的两个正三棱柱组成，12322V =⨯⨯⨯+1393112⨯⨯⨯=，故选B ． 8．选A ．【解析】把函数()ϕ+=x y sin 的图像上各点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到()ϕ+=x y 2sin ，再向右平移3π个单位，得到2sin 23y x πφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以Z k k ∈+=+-,232ππϕπ，ϕ可以取6π，故选A ． 9．选C ．【解析】在ABC ∆中C B A <<⇔c b a <<⇔C B A sin sin sin << ⇔C B A 222sin sin sin <<⇔C B A 222212121sin sin sin ->->- ⇔C B A 222cos cos cos >>，故选C ．10．选C ．【解析】∵10cos A =-∴310sin A =，()5sin sin C A B =+=，由,1sin sin AB BC BC C A ==，得2AB =，∴11sin 26ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=，设BC 边上的高为h ，1126ABC S BC h ∆=⋅=，∴13h =，故选C ．11．选B ．【解析】不妨取右焦点，根据题意P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2c c ，代入双曲线方程得12322222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛b c a c ，即4322222=--a c c a c ，得3242±=e ，又1e >，∴13+=e ，故选B ．12．选B ．【解析】由已知()x f y =的图象关于点()0,0中心对称，即()x f 是奇函数， ∴()()()()2222222202222f s s f b bf ss f b b s s b b -+-≤⇔-≤-⇔-≥-11s b ⇔-≥-，又20≤≤s ，∴012s s b s ≤≤⎧⎨≤≤-⎩或122s s b s ≤≤⎧⎨-≤≤⎩，建立sOb 坐标系如图，设s b z -=，则b s z =-，可知直线b s z =-过点()0,2时，z 取得最大值2，在过点()0,2时，z 取得最小值2-，22z -≤≤，故选B ．13．填2．【解析】()r rr rrrr x a C x ax C T 27217773711---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，常数项x 的次数为0，即6,02721==-r r ，所以676714C a-=，∴2a =.14．填2．【解析】∵y x y x y x 222422424+=⨯≥+=∴224x y+≤，即22x y +≤，所以2x y +的最大值是2.15．填512．【解析】如图，延长AB 交抛物线的准线于G ，过B ,A 两点作准线的垂线，垂足为,C E ，准线交x 轴于D .根据题意GB GAEB CA=，即523GB GB +=，得10=GB ，又DFGF EBGB =，即DF 12210=，得512=DF ，∴512=p ． 16．填e -1.【解析】由题意得()ln 11x x b a ≥+--，对一切1x >-都成立.令()()11ln --+=ax x x f ，则()a x x f -+='11，当0≤a 时，()0>'x f ，()x f 在()+∞-,1上单调递增，不成立.当0>a 时，()()，，时，时，0110111<'->>'-<<-x f ax x f a x ∴()2ln 1111ln 11max --=-⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a a a a f x f ， 故0>a 时，2ln --≥a a b ，a a a a 2ln 1b --≥，令()a a a a h 2ln 1--=，则(),ln 12aa a h +=' 当()(),010,01<'<<>'>a h ea a h e a 时，当时，∴()e e e e e h a h -=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛='121ln 11min ，∴b a的最小值是e -1.三、解答题17.（12分）（Ⅰ）由已知：()1212112-=-+=-n n a a n ， 1122323--⨯=⨯=n n n a a ∴ 47732329335212691512963-=⨯-⨯-⨯=--=+-+-a a a a a a a a …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知0>n a ，∴{}n a 单调递增，132********-+=+++++++=-nn n n n a a a a a a S ΛΛ7641366212=-+=S ；777131213=+=a S S ；22351377214=-+=S则当13≤n 时，2017<n S ，14≥n 时，2017>n S ，∴n 的最小值为14 …12分 18．（12分）（Ⅰ）取AD 的中点N ,连结,NM NE ,则,AD NM AD NE ⊥⊥，∴AD ⊥平面NME ，∴AD ME ⊥，过E 点，作EO NM ⊥于O ，根据题意得，1,3,2NO OM NE ===，∴3,23OE EM ==，∴ENM ∆是直角三角形，∴NE ME ⊥ ∴ADE ME 面⊥ …6分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系O xyz -，根据题意得，()()()()()2,1,0,2,3,0,2,1,0,0,0,3,0,3,0A B D E M ---设平面BAE 的法向量为()1,,x y z =n ，由()()0,4,0,2,1,3AB AE ==-u u u r u u u r40230y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取2z =，得()130,2=，n 由（Ⅰ）知()0,3,3ME =-u u u r为平面ADE 的法向量∴1117cos ,ME ME ME⋅==⋅u u u ru u u r u u u r n n n ∴二面角B AE D --的余弦值为7． …12分 19．（12分）（Ⅰ）若进货量定为13（件），则“进货量不超过市场需求量”是指“销售量不小于13（件）”相应有13138438+++=（周），“进货量不超过市场需求量”的概率为:380.552>； 同理，若进货量为14（件），则“进货量不超过市场需求量”的概率为:250.552<；∴“进货量不超过市场需求量”的概率大于50.，进货量的最大值是13 …4分 （Ⅱ）进货量定为14（件），设“平均来说今年每周的利润”为Y若售出10件：则利润()2614310=-⨯+⨯=y ； 售出11件：则利润()3013311=-⨯+⨯=y 售出12件：则利润()3412312=-⨯+⨯=y售出13件：则利润()3811313=-⨯+⨯=y 售出14件：则利润42314=⨯=y 售出15件：则利润4421314=⨯+⨯=y 售出16件：则利润4622314=⨯+⨯=y()5220205244684413421338834430226=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E …8分 （Ⅲ）依照经验可知，只有进货量和市场需求越接近的时候，利润的期望值才越大，根据市场需求量的概率分布，我们只需考虑进货量为1413,这两种情况，当进货量为13时，利润为Y ',类似（Ⅱ），可得出Y'的分布列为：()2723143583913411343845420225252E Y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯'==由于()()E Y E Y '>，∴今年的周进货量定为13件比较合适． …12分 20．（12分）(Ⅰ)设M 点坐标为()00y ,x 根据题意得()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+=+22220200022220334331c b a y c x c x y b y a x ；解得2322==b ,a ，所以椭圆方程为12322=+y x ； …5分 （Ⅱ）依题意直线l 不垂直于x 轴，由对称性，不妨设l 的方程为()()10y k x k =+>，则直线AB 的方程为m x ky +-=1， 联立221132y x m k x y ⎧⎪⎪⎨=-++=⎪⎪⎩，得063632222=-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+m x k m x k 易知0>∆，得()222236343220m m k k ⎛⎫-⨯+-> ⎪⎝⎭，即03222<--k m …①， 设AB 的中点为C ，则1223223c x x mkx k +==+，221223c c k m y x m k k =-+=+ 点C 在直线l 上，∴⎪⎭⎫⎝⎛++=+1323322222k km k k m k ，得32m k k =-- …②， 此时2222362440m k k k --=++>与①式矛盾，故0k >不成立 当直线l 的斜率0=k 时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，02AB y =，点O 到AB 的距离为0x ， ∴0000221y x x y S AOB =⨯⨯=∆， 又00202020203623223y x y x y x =⨯≥+，∴00361y x ≥，∴2600≤y x ，当且仅当21232020==y x 取等号，∴AOB S ∆的最大值为26 …12分21．（12分）(Ⅰ)()()()11x ax a e a f x =++-+'， ∴ ()00='f ，又∵()00=f ，∴()x f y =在()()0,0f 处的切线方程为0=y . …4分 (Ⅱ)（1）当0≥a 时，∵0>x ，∴1>xe ，10ax a ++>∴()()()()()01111≥=+-++>+-++='ax a a ax a e a ax x f x，∴()x f 在()+∞,0上单调递增，∴()()00=>f x f ，符合题意（2）当21-≤a 时，()()21xf x ax a e ''=++， ∵21-≤a ，∴012≤+a ， 而0>x ，∴0<ax ， ∴012<++a ax ，∴()012<++xe a ax ，∴()0<''xf ，则()x f '在()+∞∈,0x 时单调递减，∴()()00='<'f x f ，∴()x f 在()+∞∈,0x 时单调递减，此时()()00=<f x f ，不符合题意. （3）当021<<-a 时，取01>->ax ，此时，有01<+ax ， ∵()01>+>x x e x，∴()()()111++<+x ax e ax x…① 而()()()()1111112++<+++=++x a x a ax x ax …②由①②得()()111++<+x a e ax x， 即()()()0111<-+-+=x a e ax x f x，此时不符合题意.综上，若0>x 时，()0>x f ，a 的取值范围是[)+∞,0. …12分请考生在第22、23题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑．如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分． 22.（10分）（Ⅰ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得圆C 的极坐标方程为212cos 02ρρθ-+= …5分 （Ⅱ）点M 的直角坐标为()2cos ,2sin θθ，∴直线l的参数方程为2cos 22sin 2x tx θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与圆C 交于,A B 两点，把直线参数方程代入圆C 方程得)292cos 2sin 4c s 21o 0t t θθθ+-+-=，()2922cos 2sin 144cos 02θθθ⎛⎫∆=+---> ⎪⎝⎭，解得：04πθ<<，5342ππθ<<根据直线参数方程的几何意义得1294cos 2MA MB t t θ⋅=⋅=-， ∴MA MB ⋅的取值范围是19992222⎛⎛-+ ⎝⎝U ，，. …10分 23．（10分）（Ⅰ）()()f x g x <222421450x x x x ⇔-<+⇔+->，∴不等式()()f x g x <的解集为()(),51,-∞-+∞U …5分（Ⅱ）令()()()47,4124219,421472,2x x x x x x x H x f x g x ⎧⎪->⎪⎪-++=-≤=+=≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩,()G x ax =，在同一坐标系下作出()(),H x G x 的图象，根据题意()()2f x g x ax +>对一切实数均成立，即()H x 的图象恒在()G x 图象的上方，∴944a -≤<. …10分 以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分。
2013年乌鲁木齐地区高三第一次诊断性测验参考答案及评分标准理科数学试题参考答案及评分标准
2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1.选D.【解析】11x x >⇔>或1x <-，由A B R ，得1m >．.【解析】122+=-ii i，其共轭复数为2+i ，即2+=+a bi i ，所以2,1==a b . 3.选A.【解析】0a >⇒20a a +≥；反之20a a +≥⇒0,1a a ≥≤-或，不能推出0a >． 4.选A.【解析】()()f x g x -的定义域为()1,1-记()F x =()()f x g x -21log 1xx+=-，则 ()F x -=21log 1x x -+121log 1x x -+⎛⎫= ⎪-⎝⎭21log 1x x +=--()F x =-，故()()f x g x -是奇函数. 5.选D.【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根，作出 (),(),0xx x h x f x x e x x ≤⎧=+=⎨+>⎩的图象，观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤时，或1m >时有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点.6.选A.【解析】由11a =，35a =，解得2d =，再由：221k k k k S S a a +++-=+12(21)4436a k d k =++=+=，解得8k =.7.选B.【解析】5,4A B AB y y =-=，所以3A B x x -=，即32T =，所以26T πω==， 3πω=由()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭过点()2,2-，即22sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，0ϕπ≤≤， 解得56πϕ=，函数为()52sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由5222362k x k ππππππ-≤+≤+，解得 6461k x k -≤≤-，故函数单调递增区间为[]()64,61k k k --∈Z . 8.选B.【解析】依题意21122221+=++++=-n n S ，有121127+-=n ，故6=n .9.选C.【解析】（略）.10.选B.【解析】双曲线的渐近线为12y x =±，抛物线的准线为2x =，设z x y =+，当直线过点()0,0O 时，min 0=z .11.选D.【解析】易知直线22B A 的方程为0bx ay ab +-=，直线12B F 的方程为0bx cy bc --=，联立可得()2,b a c ac P a c a c -⎛⎫⎪++⎝⎭，又()()21,0,0,A a B b -，∴122,ac ab PB a c a c --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，()()2,a a c b a c PA a c a c ---⎛⎫=⎪++⎝⎭， ∵12B PA ∠为钝角∴210PA PB ⋅<，即()()()()2222220a c a c ab a c a c a c ---+<++，化简得2b ac <，22a c ac -<，故210c c a a⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即210e e +->，e >或e <，而01e <<1<<e . 12.选B.【解析】设ABC ∆中， ,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠所对的边，由()235CA CB AB AB +⋅=得235CA AB CB AB AB ⋅+⋅=即()23cos cos 5bc A ac B c π-+=，∴3cos cos 5a Bb Ac -= ∴2222223225a c b b c a a b c ac bc +-+-⋅-⋅=，即22235a b c -=， ∴22222222222222223tan sin cos 2543tan sin cos 52a c b c c A A B a a c bac b c a B B A b b c a c c bc+-++-=⋅=⋅===+-+--+.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13.填68．【解析】设遮住部分的数据为m ，10+20+30+40+50305=x =，由ˆ0.67+54.9y=x 过()x,y 得0.6730+54.9=75⨯y = ∴62++75+81+89=755m ，故68=m .16．【解析】平面11A BC ∥平面1ACD ，∴P 到平面1ACD 的距离等于平面11A BC 与平面1ACD 间的距离，等于1133B D =，而1111sin 6022ACD S AD CD ∆=⋅︒=，∴三棱锥1P ACD-的体积为1136=. sin 63y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解析】03xOA π∠=，点A 每秒旋转2126ππ=，所以t 秒旋转6t π，06A OA t π∠=，63xOA t ππ∠=+，则sin y xOA =∠sin 63t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.2222a b b a -．【解析】设直线OA 的方程为y kx =，则直线OB 的方程为1y x k=-，则点()11,A x y 满足22221y kx x y ab =⎧⎪⎨-=⎪⎩故222222211222222,a b a b k x y b a k b a k ==--， ∴()222222112221k a b OA x y b a k +=+=-，同理()22222221k a b OBk b a +=-，故()()2222222222222211k a b k a bOA OBb a kk b a++⋅=⋅--()()44222222221a b ka b a bk =-++⋅+∵()22222111412k kk k=≤+++（当且仅当1k =±时，取等号）∴()44222224a b OA OB ba⋅≥-，又0b a >>，故12AOBS OA OB ∆=⋅的最小值为2222a b b a -.三、解答题：共6小题，共70分.17.（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，{}n b 的公差为d ，依题意()2422226d qd q +=⨯⎧⎪⎨+⋅=⎪⎩解得212d q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或538d q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍） ∴212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2n b n =； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得22212n n b n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2210.0010.0012n n b a -⎛⎫<⇔< ⎪⎝⎭2221000n -⇔>，所以2210n -≥，即6n ≥，∴最小的n 值为6. …12分18.（Ⅰ）依据条件，ξ服从超几何分布：其中15,5,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()35103150,1,2,3k kC C P k k C ξ-⋅===.…6分（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==， 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1~360,3B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴13601203E η=⨯=（天） 所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. …12分19．设正方形ABCD 的中心为O ，N 为AB 的中点，R 为BC 的中点，分别以ON ，OR ，OV 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，在Rt VOB ∆中，可得30OV =， 则()0,0,30,V ()3,3,0,A-()3,3,0B，()3,3,0,C -()3,3,0,D --3,3,0,3M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭3330,,,222P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3330,,222Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 于是()33330,,,0,23,0,222AP AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭23,23,0,3AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭33330,,222CQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）∵3333033330,,,,0222222AP CQ ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴CQ AP ⊥，即CQ ⊥AP ； …6分（Ⅱ）设平面BAP 的法向量为()1,,a b c =n ，由00AP AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n 得31000a b c b ⎧--=⎪⎨=⎪⎩故()110,0,1=n ，同理可得平面APM 的法向量为()23,1,0=n ，设二面角B AP M --的平面角为θ，则311cos 11θ⋅==1212n n n n ． …12分20．（Ⅰ）⊙F 的半径为2241143+=+，⊙F 的方程为()2211x y -+=，由题意动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，分以下情况：（1）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，但切点不是原点的情况：作MH ⊥y 轴于H ，则1MF MH -=，即1MF MH =+，则MF MN =（N 是过M 作直线1x =-的垂线的垂足），则点M 的轨迹是以F 为焦点，1x =-为准线的抛物线． ∴点M 的轨迹C 的方程为()240y x x =≠；（2）动圆M 与⊙F 及y 轴都相切且仅切于原点的情况：此时点M 的轨迹C 的方程为0(0,1)y x =≠； …6分（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：当l 不与x 轴垂直时，直线l 的方程为()1y k x =-，由()214y k x y x=-⎧⎪⎨=⎪⎩得 ()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k++== ∴121111sin sin 11AF BF x x αβ+=+=+++1212121212221111x x x x x x x x x x ++++===++++++， 当l 与x 轴垂直时，也可得sin sin 1αβ+=，对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线l ，交C 于一个点或无数个点，而非两个交点）. 综上，有sin sin 1αβ+=． …12分 21．（Ⅰ）∵()11f x ax'=-， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为()111k f a'==-， 依题意110a -=，故1a =，∴()ln f x x x =-，()11f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞； …6分 （Ⅱ）若0a <，因为此时对一切()0,1x ∈，都有ln 0x a >，10x -<，所以ln 1xx a>-，与题意矛盾，又0a ≠，故0a >，由()11f x ax '=-，令()0f x '=，得1x a=.当10x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当1x a>时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以()f x 在1x a =处取得最大值111ln a a a -，故对x +∀∈R ，()1f x ≤-恒成立，当且仅当对a +∀∈R ，111ln 1a a a-≤-恒成立．令1t a=，()ln g t t t t =-，0t >. 则()ln g t t '=，当01t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当1t >时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；所以()g t 在1t =处取得最小值1-，因此，当且仅当11a =，即1a =时，111ln 1a a a-≤-成立．故a 的取值集合为{}1． …12分22．（Ⅰ）连接BC ，∵AB 是O 的直径，∴90∠=︒ACB .∴90∠+∠=︒B CAB∵⊥AD CE ，∴90∠+∠=︒ACD DAC ， ∵AC 是弦，且直线CE 和O 切于点C ，∴∠=∠ACD B∴∠=∠DAC CAB ，即AC 平分∠BAD ； …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知∆∆ABCACD ，∴=AC ADAB AC，由此得2=⋅AC AB AD . ∵4=AB AD ，∴22442=⋅⇒=AC AD AD =AD AC AD ，于是60∠=︒DAC ， 故∠BAD 的大小为120︒． …10分23．（Ⅰ）设曲线C 上任一点为(),x y ，则(),2x y 在圆224x y +=上，于是()2224x y +=即2214x y +=.直线3280x y --=的极坐标方程为3cos 2sin 80ρθρθ--=，将其记作0l ， 设直线l 上任一点为(),ρθ，则点(),90ρθ-︒在0l 上，于是()()3cos 902sin 9080ρθρθ-︒--︒-=，即：3sin 2cos 80ρθρθ+-= 故直线l 的方程为2380x y +-= …5分（Ⅱ）设曲线C 上任一点为()2cos ,sin M ϕϕ，它到直线l 的距离为d ==，其中0ϕ满足：0043cos ,sin 55ϕϕ==.∴当0ϕϕπ-=时，max d = …10分 24．（Ⅰ）()12(1)(2)1f x x x x x =-+-≥---=． …5分222==≥，2成立，需且只需122x x -+-≥，即1122x x x <⎧⎨-+-≥⎩，或12122x x x ≤<⎧⎨-+-≥⎩，或2122x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩，解得12x ≤，或52x ≥故x的取值范围是15,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. …10分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．。
2024届新疆乌鲁木齐高三第一次质量监测数学试题 答案解析
乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测数学（答案）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1~4ACDC 5~8ABBD二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.ABC 10.BCD 11.ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.413.0.114或5四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（13分）（Ⅰ）由题设得2443045a a S ì+=ïí=ïî，故24133015a a a a ì+=ïí+=ïî，因为数列{}n a 为等比数列，所以数列123q a ì=ïïíï=ïî，所以132n n a -=´；…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1111111111843232184n n n n n n n b a a ---+ç====´çç，所以111118421211112742754414nn n n T -÷ç÷ç÷ç-÷÷çç÷ç÷ç÷÷ç÷ç==-=-÷ç÷ç÷-.…13分16.（15分）（Ⅰ）不能据此判断；…4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为7%13%20%24%64%+++=，因此第85百分位数一定位于[]90,100内，由85643590109095.8100646-+´=+»-，可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8；…9分（Ⅲ）设A =“该地区近视学生”，B =“该地区优秀学生”，由题设得()|0.48P B A =，()0.54P A =，()0.36P B =，所以()()()()()()|0.480.54|0.720.36P AB P B A P A P A B P B P B ´====.…15分17.（15分）（Ⅰ）以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，()1,0,1E ，()2,1,0F ，()2,1,0AF=，()2,0,2BP =-，()0,2,0BC=，设平面PBC 的法向量(),,x y z =n ，则00BP BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22020x z y -+=⎧⎨=⎩，可取()1,0,1=n，因为cos AF AF AF⋅==⋅n n,n ，所以AF 与平面PBC所成角的正弦值为5；…7分（Ⅱ）假设截面AEF 内存在点G 满足条件，设AF AE AFλμ=+，001，，λμλμ≥≥+≤，所以()2,2,DG DA AG λμμλ=+=+-,()1,0,1AE =,()2,1,0AF=,因为DG AEF 平面⊥，所以00DG AE DG AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,所以2202520λμλμ+=⎧⎨+-=⎩，解得2323λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，这与假设矛盾矛盾，所以不存在点G ，使DG ^平面AEF .…15分18.（17分）（Ⅰ）由题设得22223b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得212a =，所以C 的方程为221124x y +=；…4分（Ⅱ）由题意可设:AB l ()2y kx m m =+≠，设()11,A x y ,()22,B x y ，由221124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2221363120k xkmx m +++-=，()()()2222223641331212124k m k m k m ∆=-+-=-+由韦达定理得212231213m x x k -=+，122613mkx x k-+=+，由4PA PB AB k k k +=得1212224y y k x x --+=，即1212224kx m kx m k x x +-+-+=，整理得()()22224mk m mk -=-，因为0k ≠，得220mm --=，解得2m =或1m =-，2m =时，直线AB 过定点()0,2P 舍去；1m =-时,满足()236410k ∆=+>，所以直线AB 过定点()0,1-. (10)分（Ⅲ）由（Ⅱ）得直线:AB l 1y kx =-，所以()11x y k=+，由()22111124x y k x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得22221213120y y k k k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，213640k ⎛⎫∆=+> ⎪⎝⎭，由题意得121212122112F AF BS F F y y y y k =-=-=+因为2AF k =，所以218k >，所以2108k <<，令t =，(2,t ∈，所以121F AF B S t==-，在(2,t ∈上单调递减，所以12F AF B S的范围是24611⎛⎝.…17分19.（17分）（Ⅰ）由题设得1()21(0)f x ax x x'=+->，所以(1)1212f a a '=+-=，又因为(1)112f a a a =-++=，所以切点为(1,2)a ，斜率2k a =，所以切线方程为22(1)y a a x -=-，即2y ax =，恒过原点.…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得221()(0)ax x f x x x-+'=>①0a =时，1()x f x x-+'=，当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,1上单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减；②0a >时，18a ∆=-，18a ≥时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞上单调递增，108a <<时，0∆>，()f x 在1180,4a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在118118,44a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在118,4a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；③0a <时，0∆>，()f x在10,4a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,4a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；…10分（Ⅲ）当1x =时，()1f e ≤，即2e a ≤，下面证明当2e a ≤时，()xf x e ≤，()0,x ∈+∞，即证2ln 1x x ax x a e +-++≤，令()()21ln 1x g a x a x x e =++--+，因为210x +>，所以()2e g a g ⎛⎫≤⎪⎝⎭，只需证02e g ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即证2ln 1022x e e x x x e +--++≤，令()2ln 122x e eh x x x x e =+--++，()10h =，()11x h x ex e x '=-+-，令()11x m x ex e x =-+-，()21x m x e e x '=--，令()21x p x e e x =--，()32x p x e x '=-+，xy e =-与32y x=在()0,+∞上单调递减，所以()32xp x e x '=-+在()0,+∞上单调递减，11602p ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()120p e '=-<，所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00p x '=，即0302x e x =，所以()00,x x ∈，()00p x '>，()0,x x ∈+∞，()00p x '<，所以()p x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以()0,x ∈+∞，()()0p x p x ≤，()0300232300002121x ex x p x e e e x x x x --=--=--=，令()32x ex x ϕ=--，()231x ex ϕ'=-，1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时()0x ϕ'>，所以()x ϕ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()130x e ϕϕ<=-<，所以()0,x ∈+∞，()0p x <，所以()m x 在()0,+∞上单调递减，()10m =，()0,1x ∈，()0m x >，()1,x ∈+∞，()0m x <，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10h x h ≤=，综上所述2e a ≤.…17分以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．。
2017年乌鲁木齐市高考理科数学三诊试卷(附答案和解释)
2017年乌鲁木齐市高考理科数学三诊试卷（附答案和解释）2017年x疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=BB．A⊇B．A⊆BD．A∩B=∅2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数等于（）A．﹣1B．．D．13．等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a=10，则a7等于（）A．B．6．8D．104．“lg2a＞lg2b”是“ ”的（）A．充分不必要条B．必要不充分条．充要条D．既不充分也不必要条．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．3B．4．18D．2636．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．=sin22x﹣s22x．=sin2x+s2xD．=sin2xs2x7．已知实数x，满足，则z=﹣3x﹣的最大值为（）A．﹣19B．﹣7．﹣D．﹣48．已知x，∈R，x2+2+x=31，则x2+2﹣x的最小值是（）A．3B．10．140D．2109．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3π．10+2πD．10+3π10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2．D．11．球与棱长为2的正方体ABD﹣A1B11D1的各个面都相切，点为棱DD1的中点，则平面A截球所得截面的面积为（）A．B．π．D．12．已知对任意实数＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0B．﹣1．﹣2D．﹣3二、填空题（每题分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．14．学校拟安排六位老师至月1日至月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值月2日，李老师不能值月3日的班，则满足此要求的概率为．1．若P是抛物线2=8x上的动点，点Q在以点（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|P|的最小值为．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n，则f（a）+f（a6）=．三、解答题（本大题共小题，共70分解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）17．△AB中，角A，B，的对边分别是a，b，，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2sin．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求△AB周长的最大值．18．如图，在直三棱柱AB﹣A1B11中，△AB是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AE1⊥平面AA11；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角﹣AE﹣1的平面角的余弦值．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①=bx+a，②=edx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（）60708090100110体重（g）681014118041001121﹣019041﹣036007012169﹣034﹣112（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1g的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，1），（x2，2），…（xn，n），其回归直线=bx+a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．20．在平面直角坐标系x中，，N是x轴上的动点，且||2+|N|2=8，过点，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，和B，D，且AB∥D，求证直线AB的斜率为定值．21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为ρ=2sθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆相交所得弦长．[选修4-：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求=f（x）图象与直线=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．2017年x疆乌鲁木齐市高考数学三诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|1＜x＜3}，则（）A．A=BB．A⊇B．A⊆BD．A∩B=∅【考点】1：集合的表示法．【分析】化简集合A，即可得出集合A，B的关系．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|1＜x＜3}，∴A⊆B．故选：．2．若复数为纯虚数（i为虚数单位），则实数等于（）A．﹣1B．．D．1【考点】A：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求得值．【解答】解：∵为纯虚数，∴，得=1．故选：D．3．等差数列{an}中，已知a1=2，a3+a=10，则a7等于（）A．B．6．8D．10【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据题意和等差数列的性质得到：a1+a7=a3+a，代入数据求出a7的值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a=10，∴由等差数列的性质得，a1+a7=a3+a=10，解得a7=8，故选：．4．“lg2a＞lg2b”是“ ”的（）A．充分不必要条B．必要不充分条．充要条D．既不充分也不必要条【考点】2L：必要条、充分条与充要条的判断．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵．反之不成立，可能0＞a＞b．故选：A．．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（）A．3B．4．18D．263【考点】EF：程序框图．【分析】【方法一】根据正整数n被3除余2，被除余3，被7除余4，求出n的最小值．【方法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知n的初值，代入循环结构求得n的值．【解答】解：【方法一】正整数n被3除余2，得n=3+2，∈N；被除余3，得n=l+3，l∈N；被7除余4，得n=7+4，∈N；求得n的最小值是3．【方法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n=263﹣10﹣10=3，即输出n值为3．故选：A．6．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）A．B．=sin22x﹣s22x．=sin2x+s2xD．=sin2xs2x【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、周期性，得出结论．【解答】解：∵s（2x+ ）=﹣sin2x，是奇函数，故排除A；∵=sin22x﹣s22x=﹣s4x，是偶函数，且，故B满足条；∵=sin2x+s2x= sin（2x+ ）是非奇非偶函数，故排除；∵=sin2xs2x= sin4x是奇函数，故排除D，故选：B．7．已知实数x，满足，则z=﹣3x﹣的最大值为（）A．﹣19B．﹣7．﹣D．﹣4【考点】7：简单线性规划．【分析】由约束条作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条作出可行域如图所示，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z=﹣3x﹣为=﹣3x﹣z，由图可知，当直线z=﹣3x﹣过点A（2，﹣1）时，z=﹣3x﹣有最大值，最大值为﹣．故选：．8．已知x，∈R，x2+2+x=31，则x2+2﹣x的最小值是（）A．3B．10．140D．210【考点】7F：基本不等式．【分析】x，∈R，x2+2+x=31，可得x2+2=31﹣x≥2x，因此x≤10．即可得出．【解答】解：∵x，∈R，x2+2+x=31，∴x2+2=31﹣x，31﹣x≥2x，当且仅当x==±时取等号．∴x≤10．∴x2+2﹣x=31﹣2x≥31﹣210=10．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8+2πB．8+3π．10+2πD．10+3π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，即可求出表面积．【解答】解：根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，所以表面积．故选D．10．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（）A．B．2．D．【考点】：双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r=﹣a，结合条和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得S = |AF2|•|F1F2|= r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2=|AF1|2，解得r= ，，则离心率e= = ，故选A．11．球与棱长为2的正方体ABD﹣A1B11D1的各个面都相切，点为棱DD1的中点，则平面A截球所得截面的面积为（）A．B．π．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出圆心到截面距离，利用d2+r2=1求出截面半径，即可求出截面的面积．【解答】解：设圆心到截面距离为d，截面半径为r，由V﹣A=V﹣A，即，∴，又d2+r2=1，∴，所以截面的面积为．故选D．12．已知对任意实数＞1，关于x的不等式在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（）A．0B．﹣1．﹣2D．﹣3【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，得到函数的单调区间，画出函数的大致图象，结合图象求出a的范围，从而确定a的最大整数值即可．【解答】解：令，依题意，对任意＞1，当x＞0时，=f（x）图象在直线=（x﹣a）下方，，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增递减=f（x）的大致图象：则当a=0时，∵f’（0）=2，∴当1＜＜2时不成立；当a=﹣1时，设=0（x+1）与=f（x）相切于点（x0，f（x0））．则，解得．∴，故成立，∴当a∈Z时，aax=﹣1．故选：B．二、填空题（每题分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若单位向量满足，则向量的夹角的余弦值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设向量，的夹角为θ，根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵，∴，∵为单位向量，即，∴4﹣4sθ+1=2，∴．故答案为：．14．学校拟安排六位老师至月1日至月3日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值月2日，李老师不能值月3日的班，则满足此要求的概率为．【考点】B：古典概型及其概率计算公式．【分析】六位老师值班每天两人的排法有种，求出满足要求的排法有42种，即可求出概率．【解答】解：六位老师值班每天两人的排法有种，满足要求的排法有：第一种情况，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在月1号，有种；第二种情况，王老师和李老师不在同一天值班，有种，故共有42种．因此满足此要求的概率．故答案为．1．若P是抛物线2=8x上的动点，点Q在以点（2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|P|的最小值为3．【考点】8：抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q 的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：由于点为抛物线的焦点，则|P|等于点P到抛物线准线x=﹣2的距离d．又圆心到抛物线准线的距离为4，则|PQ|+|P|=|PQ|+d≥3．当点P为原点，Q为（1，0）时取等号．故|PQ|+|P|得最小值为3．故答案为：3．16．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n，则f（a）+f（a6）=3．【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a、a6的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵，∴．∴．∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{an}满足a1=﹣1，且Sn=2an+n，∴当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1，则an=2an﹣2an﹣1+1，即an=2an﹣1﹣1，∴an﹣1=2（an﹣1﹣1）（n≥2），则，∴．上式对n=1也成立．∴a=﹣31，a6=﹣63．∴f（a）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f （﹣2）=3．故答案为：3．三、解答题（本大题共小题，共70分解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）17．△AB中，角A，B，的对边分别是a，b，，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2sin．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求△AB周长的最大值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得到a2+b2﹣2=﹣ab，由此利用余弦定理能求出．（Ⅱ）由正弦定理求出a=2sinA，b=2sinB．由此利用正弦加法定理求出周长l= ，由此能求出△AB周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵△AB中，角A，B，的对边分别是a，b，，（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2sin．∴由已知，得，即a2+b2﹣2=﹣ab，∴，由0＜＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴a=2sinA，b=2sinB．设周长为l，则=∵，∴2 ＜2sin（A+ ）+ ≤2+ ，∴△AB周长的最大值为．18．如图，在直三棱柱AB﹣A1B11中，△AB是正三角形，E是棱BB1的中点．（Ⅰ）求证平面AE1⊥平面AA11；（Ⅱ）若AA1=AB，求二面角﹣AE﹣1的平面角的余弦值．【考点】T：二面角的平面角及求法；L：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）分别取A，A1的中点，F，推导出四边形BEF是平行四边形，从而B∥EF．推导出B⊥面A1A1，从而EF⊥平面A1A1，由此能证明平面AE1⊥平面AA11．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角﹣AE﹣1的平面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）分别取A，A1的中点，F，连结B，F，EF，则F BE，∴四边形BEF是平行四边形，∴B∥EF．∵AB﹣A1B11是直三棱柱，AB是正三角形，是A的中点，∴B⊥面A1A1，∴EF⊥平面A1A1，∴平面AE1⊥平面AA11．（Ⅱ）建立如图﹣xz空间直角坐标系，设AA1=AB=2，则，设平面AE的法向量为，平面AE1的法向量为，则有，，得，设二面角﹣AE﹣1的平面角为θ，则．∴二面角﹣AE﹣1的平面角的余弦值为．19．对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①=bx+a，②=edx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（）60708090100110体重（g）681014118041001121﹣019041﹣036007012169﹣034﹣112（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1g的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，1），（x2，2），…（xn，n），其回归直线=bx+a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．【考点】B：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得10﹣1039=﹣039，即可求表中空格内的值；（Ⅱ）求出残差的绝对值和，即可得出结论；（Ⅲ）确定残差大于1g的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程．【解答】解：（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得10﹣1039=﹣039．所以表中空格内的值为﹣039．（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为041+001+039+121+019+041=262，模型②残差的绝对值和为036+007+012+169+034+112=37262＜37，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．（Ⅲ）残差大于1g的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：，．得回归方程为=024x﹣876．20．在平面直角坐标系x中，，N是x轴上的动点，且||2+|N|2=8，过点，N分别作斜率为的两条直线交于点P，设点P的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）过点Q（1，1）的两条直线分别交曲线E于点A，和B，D，且AB∥D，求证直线AB的斜率为定值．【考点】3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）求出，N的坐标，利用||2+|N|2=8求曲线E的方程；（Ⅱ）利用点差法，求出D的斜率，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：设P（，n），直线，令=0，得，直线，令=0，得．∴．∴曲线E的方程是；（Ⅱ）证明：∵AB∥D，设，A（xA，A），B（xB，B），（x，），D （xD，D），则（1﹣xA，1﹣A）=λ（x﹣1，﹣1），即xA=1+λ﹣λx，A=1+λ﹣λ①，同理xB=1+λ﹣λxD，B=1+λ﹣λD②将A（xA，A），B（xB，B），代入椭圆方程得，化简得3（xA+xB）（xA﹣xB）=﹣4（A+B）（A﹣B）③把①②代入③，得3（2+2λ）（x﹣xD）﹣3λ（x+xD）（x﹣xD）=﹣4（2+2λ）（﹣D）+4λ（2+2λ）（+D）（﹣D）将（x，），D（xD，D），代入椭圆方程，同理得3（x+xD）（x﹣xD）=﹣4（+D）（﹣D）代入上式得3（x﹣xD）=﹣4（﹣D）．即，∴直线AB的斜率为定值21．设函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜﹣2时，讨论f（x）的零点个数．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出f（e﹣a），由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点，取，则，根据函数的零点存在定理讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）f’（x）=2（x﹣1）（lnx+a）（x＞0）．①当a=0时，f’（x）=2（x﹣1）lnx，当0＜x＜1时，f’（x）＞0，当x＞1时，f’（x）＞0．当x=1时，f’（x）=0．∴f（x）在（0，+∞）递增；②当a＞0时，令f’（x）=0，得，此时e﹣a＜1．易知f（x）在（0，e﹣a）递增，（e﹣a，1）递减，（1，+∞）递增；③当a＜0时，e﹣a＞1．易知f（x）在（0，1）递增，（1，e﹣a）递减，（e﹣a，+∞）递增．（Ⅱ）当a＜﹣2时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）上递增，（1，e ﹣a）上递减，（e﹣a，+∞）上递增，且，将x=e﹣a代入f（x），得，∵a＜﹣2，∴f（e﹣a）＜0．下面证明当x∈（0，1）时存在x0，使f（x0）＜0．首先，由不等式lnx＜x﹣1，∴，∴，∴．考虑到x2﹣2x=x（x﹣2）＜0，∴．再令，可解出一个根为，∵a＜﹣2，∴，∴，就取．则有f（x0）＜0．由零点存在定理及函数f（x）在（0，1）上的单调性，可知f（x）在（0，1）上有唯一的一个零点．由f（1）＞0，f（e﹣a）＜0，及f（x）的单调性，可知f（x）在（1，e﹣a）上有唯一零点．下面证明在x∈（e﹣a，+∞）上，存在x1，使f（x1）＞0，就取，则，∴，由不等式ex＞x+1，则e﹣a+a＞（﹣a+1）+a＞0，即f（x1）＞0．根据零点存在定理及函数单调性知f（x）在（e﹣a，+∞）上有一个零点．综上可知，f（x）当a＜﹣2时，共有3个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为ρ=2sθ．（Ⅰ）讨论直线l与圆的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆相交所得弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆的方程为（x﹣1）2+2=1，即可讨论直线l与圆的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，联立得，即可求点P的轨迹与圆相交所得弦长．【解答】解：（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在内的一条直线，圆的方程为（x﹣1）2+2=1，∴当时，直线l与圆有1个公共点；当时，直线l与圆有2个公共点（Ⅱ）依题意，点P在以A为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为．联立得．∴点P的轨迹与圆相交所得弦长是．[选修4-：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=1时，求=f（x）图象与直线=3围成区域的面积；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【考点】B：分段函数的应用；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）当a=1时可写出f（x）的解析式，进而可从图象上看出围成的区域即为三角形，计算即得结论；（Ⅱ）分与两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+|x+1|= ，其图象如图所示，易知=f（x）图象与直线=3交点坐标，所以围成区域的面积为[1﹣（﹣1）]×（3﹣）= ．（Ⅱ）当，即时，．所以，所以﹣a﹣1=1，解得a=﹣，满足题意；当，即时，，所以f（x）in=f（）=| +a|= +a=1，解得a= ，满足题意；综上所述，或．2017年月22日。
【数学】新疆乌鲁木齐市2017届高三下学期第三次诊断性测验(三模)试题(理)(解析版)
新疆乌鲁木齐市2017 届高三下学期第三次诊断性测验（三模）数学（理）试题一、选择题：本大题共12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A x x23x20 ，B x 1 x 3 ，则（）A．A B B．A B C．A B D．A B2.若复数m i为纯虚数 ( i为虚数单位 )，则实数 m 等于（）1iA ．1B ．1C．1D ．1223.等差数列a n中， a12,a3a510，则 a7（）A ． 4B ． 6C． 8D．10a1b4.“ log2 a log 2 b ”是“1”的（）33A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.明朝数学家程大位将“孙子定理”(也称“中国剩余定理”) 编成易于上口的《孙子歌诀》:三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知.已知正整数n 被 3除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 4，求 n 的最小值 .按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（）A ．53B．54C．158D．2636.下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）2A ． y cos 2xB ． y sin 2 2 x cos2 2x2C． y sin 2x cos2x D ． y sin 2xcos2 x2 x y50,7.已知实数x, y满足 2 x y30, ，则 z3x y 的最大值为（）y x,A． 19 B ． 7C． 5D．48.已知 x, y R， x2y2xy315 ，则 x2y2xy 的最小值是（）A．35 B ．105C． 140 D ．2109.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．8 2B．8 3C．10 2D．103x2y21 a 0,b 0的左，右焦点分别为F1 , F2，点A在双曲线上，且10.已知双曲线b2a2AF2 x 轴，若AF1F2的内切圆半价为3 1 a ，则其离心率为（）A ． 3B ．2C． 3+1D．2 311.球 O 与棱长为 2 的正方体 ABCD A1 B1 C1 D1的各个面都相切，点M 为棱DD1的中点，则平面 ACM 截球 O 所得截面的面积为（）A ．4B．C．2D．33312.已知对任意实数k 1，关于 x 的不等式 k x a 2xx在 0,上恒成立，则 a 的最大整e数值为（）A ． 0B．1C．2D．3二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）r r r r r r13.若单位向量 a,b 满足 2a b2 ，则向量 a, b 的夹角的余弦值为．14.学校拟安排六位老师至 5 月 1 日至 5 月 3 日值班，要求每人值班一天，每天安排两人，若六位老师中王老师不能值 5 月 2 日，李老师不能值 5 月 3 日的班，则满足此要求的概率为．15.若P是抛物线 y28 x 上的动点，点 Q 在以点 C 2,0为圆心，半径长等于 1 的圆上运动．则PQ PC 的最小值为．16.已知定义在 R 上的奇函数f x3f x , f 2 3 ，S n为数列a n的前 n 满足 f x2项和，且 S n2a n n ，则 f a5f a6．三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC 中，角A,B,C的对边分别是a,b,c ，已知2a b sin A2b a sin B2csin C .（Ⅰ）求 C 的大小；（Ⅱ）若 c 3 ，求ABC 周长的最大值.18. 如图，在直三棱柱ABC A1 B1C1中，ABC 是正三角形， E 是棱BB1的中点.（Ⅰ）求证平面AEC1平面AA1C1C；（Ⅱ）若AA1AB ，求二面角 C AE C1的平面角的余弦值.19. 对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y bx a ，② y ce dx拟合，$1$ 20.022x，作残差分析，如表：得到回归方程分别为 y0.24x 8.81 ，y 1.70e身高 x cm60708090100110体重 y kg6810141518$ 10.410.01 1.21－ 0.190.41 e$ 2－ 0.360.070.12 1.69－ 0.34－1.12 e（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg 的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对(Ⅱ)所选择的模型重新建立回归方程 .（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据x1 , y1 ,x2 , y2,L x n , y n，其回归直线 y bx a 的斜率和截距的最小二n$x i x y i y$乘法估计分别为i 1$b n， a y bx .x i x2i 12220. 在平面直角坐标系 xOy 中，M ,N是 x 轴上的动点，且 OMON8，过点M,N分别作斜率为3,3 的两条直线交于点P，设点 P 的轨迹为曲线 E .22（Ⅰ）求曲线 E的方程；（Ⅱ）过点 Q 1,1 的两条直线分别交曲线 E 于点 A,C 和 B,D ，且AB / /CD，求证直线 AB 的斜率为定值 .21. 设函数 f x x2 2 x ln x a1x2 2 1 a x a .2（Ⅰ）讨论 f x 的单调性；（Ⅱ）当 a2时，讨论 f x的零点个数 .请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程x t cos），以坐标原点为极点，x 轴已知直线 l 的参数方程为（ t 为参数，y 1 t sin2正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 =2cos .（Ⅰ）讨论直线 l 与圆 C 的公共点个数；（Ⅱ）过极点作直线l 的垂线，垂足为 P ，求点 P 的轨迹与圆 C 相交所得弦长 .23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f x2 x 1x a .（Ⅰ）当 a 1时，求 yf x 图象与直线 y3 围成区域的面积；(Ⅱ )若 f x 的最小值为 1，求 a 的值 .参考答案一、选择题1.C【解析】∵集合2∴ AA x x 3x 2 0 1,2 ,.C.B 故选2. D【解析】∵ mi m i1i m1m1 i为纯虚数 ,∴ m 1 .故选 D. 1i1i1i23. C【解析】∵ a1a7a3a5，又 a12,a3a510 ，所以 a78 .故选 C.4.Aa b【解析】∵ log 2 a log 2 b a b0113.故选 A.35.A【解析】按程序框图知n 的初值为263，代入循环结构得n 的输出值为 53，故选 A.6. B【解析】∵ y22 x22 x cos4 x ，是偶函数，且T，故选 B.sin cos27.C【解析】可行域如图所示，当直线z 3 x y 过点 A 2,1 时， z3x y 有最大值，最大值为 5 .故选 C.8.B【解析】∵ x, y R ， x2y2xy 315 ，∴ x2y2315 xy ， 315 xy 2 xy ，∴ xy 105 .∴ x2y2xy315 2 xy315210 105 .故选 B.9.D【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱结合所成，所以表面积S表面积 =1 1 2+1 2 4+12 +21=10+3 .故选 D.10.A【解析】∵由AF1AF22a ，∴ Rt AF1 F2内切圆半径为AF2F1F2AF12c2ac a3 1 a c3a ，∴离心率 e3，故选 A.2211.D【解析】设圆心到截面距离为 d ，截面半径为r，连结OA, OC, OM，由 V O ACM VM AOC，即1S ACM d2S AOC ,∴ d6，又 d 2r 2 1 ，∴ r 3 ，所以截面的面积为.故选33333D.12.B【解析】令 f x 2 x0，依题意，对任意k1，当 x0 时， y f x图象在直线e xxy k x a下方，∴ f x 2 1x x列表ey f x 得的大致图象则当 a0 时，∵f02，∴当 1k 2 时不成立；当 a 1 时，设y k0x 1 与 y f x 相切于点 x0 , f x0 .则 k02 1x0f x02x051e x0x011 x0，解得 x00,1 .2∴ k03511，故成立，∴当a Z 时, a max 1.故选 B.51ee 2二、填空题3 13.4r r rr 2r r uur 2 r rr 2【解析】∵ 2a b 2 ,∴ 2ab2 ， a,b 为单位向量，即 4a 4a bb 2 ，则4 4cos132 ，∴ cos .4714.15【解析】 六位老师值班每天两人的排法有C 62 C 42C 22 90 种，满足要求的排法有：第一种情况，王老师和李老师在同一天值班，则只能排在5 月 2种；第二种情况，王老1 号，有 C 4 =6 师和李老师不在同一天值班，有 1136 种，故共有 42 种 .因此满足此要求的概率C 4C 3P42 7 .90 1515.3【解析】由于点 C 为抛物线的焦点， 则 PC 等于点 P 到抛物线准线 x 2 的距离 d .又圆心 C到抛物线准线的距离为4，则 PQ PC PQd 3 .当点 P 为原点， Q 为 1,0 时取等号 .故 PQ PC 得最小值为 3. 16.3【解析】∵fxf x ，又∵ f3 f x ，∴ f3 xfx .x22∴ f 3 xf33 xf3 xfxf x .222∴ f x 是以 3 为周期的周期函数 .∵数列 a n 满足 a 1 1 ，且 S n 2a n n ，∴ a 11 ，∴ a 531,a 6 63 .∴ f a 5f a 6f31f 63 f 2f 0f 2f2 3 .三、解答题17. 解：（Ⅰ）由已知，得2ab a 2b ab 2c c ，即 a 2b 2c 2ab ，2R2R2R∴ cosC a2b 2c 21，∴C2 ；2ab23（Ⅱ）∵ c3 ，∴ab 3，∴ a 2sin A, b2sin B .sin Asin B32设周长为 l ，则 la bc 2sin A2sin B3 2sin A2sinA33 2sin A2sin cos A 2cos sin A3sin A3cos A33 3 2sinA33∵ 0 A,∴ 2 3 2sin A33 23 ,3∴ ABC 周长的最大值为23 .//18. 解：（Ⅰ）分别取 AC , AC 1 的中点 O,F ，连结 OB, OF, EF ，则 OF BE ，∴ OB //EF .∵ ABCA 1B 1C 1 是直三棱柱，ABC 是正三角形， O 是 AC 的中点，∴ OB 面 ACC 1 A 1 ，∴ EF 平面 ACC 1 A 1 ，∴平面 AEC 1平面 AA 1C 1 C .（Ⅱ）建立如图 Oxyz 空间直角坐标系， 设 AA 1 AB 2，则 A 0, 1,0 ,C 0,1,0 , E 3,0,1 ，uuuruuuuruuurC 1 0,1,2 , AC0,2,0 , AC 10,2,2 , AE 3,1,1 ,uuruur设平面 AEC 的法向量为 n 1x 1 , y 1, z 1 ，平面 AEC 1 的法向量为 n 2 x 2 , y 2 , z 2 ，uur uuuruur uuuuruuruur则有 n 1AC0 ， n 2 AC 1 01,0,30,1, 1uuruuur uur uuur,得 n, n 21n 1 AEn 2 AE 0uur uur 设二面角 CAE C 1 的平面角为，则 cos n 1 n 26uuruur.n 1 n 2 4∴二面角 CAE C 1 的平面角的余弦值为6.419. 解：（Ⅰ）根据残差分析，把 x$ 1$180 代入 y0.24x 8.81 得 y10.39 .10 10.390.39 .所以表中空格内的值为 0.39 .（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19 0.41 2.62 ，模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34 1.12 3.7 .2.623.7 ，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①.（Ⅲ）残差大于 1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据如表n$x ix y iy$$i 1y y 0.24x 8.76 .由公式： bn2， abx .得回归方程为x ixi 120. 解： (Ⅰ )设 P m, n ，直线 PM : yn3x m ，令 y0，得Mm 2 3n,023直线 PN : yn3 0，得Nm2 3x m ，令 y3n,0 .2uuuur 2 uuur 222222m2 3 nm 2 3 n2m28n8m n1 .∴OMON3334 3∴曲线 E 的方程是x 2y 2 1 ；43uuuruuur uuuruuur, A, D x D , y D ,(Ⅱ )∵ AB / /CD ，设 AQQC, BQ QD ,0 x A , y A , B x B , y B ,C x C , y C 则 1 x A ,1 y Ax C1,y C1 ,即 A1C, y A1CB1D, y B1y D②xxy ①，同理 xxx A 2y A 2 1x A , y A , B x B , y B ，代入椭圆方程得4 3 将 A,x B 2y B 2143化简得 3 x A x B x A x B 4 y A y B y Ay B ③把①②代入③，得3 2 2x C x D 3 x C x D x C x D 4 2 2 y C y D 4 2 2 y C y D y C y D将 C x C , y C , D x D , y D ，代入椭圆方程，同理得3 x C x D x C x D4 y C y D y C y D 代入上式得 3 x C x D 4 y C y D . 即y C y D 3 ，x Cx D4∴直线 AB 的斜率为定值3421. 解： (Ⅰ ) f x 2 x 1 ln x a x 0 .①当 a 0 时， f x 2 x1 ln x ，当 0 x 1时， f x 0 ，当 x 1 时， fx0 .当 x 1 时， f x 0 .∴ fx 在 0,递增②当 a 0 时，令 fx 0 ，得 x 1 1,x 2e a ，此时 e a1 .易知 f x 在 0,e a 递增， e a ,1 递减， 1, 递增③当 a0 时， e a1 .易知 f x 在 0,1 递增， 1,e a 递减， e a ,递增(Ⅱ )当时，由 (Ⅰ )知 f x 在 0,1 上递增， 1,e a 上递减， e a ,上递增，且 f 1 a1 2 1 a a 3 0 ，将 x e a 代入 f x ，2 x 2 2 x 2得 f xf e a 2 xa a 1 2 1 a x a1x 2 2a 222∵ a 2 ，∴ fe a0 .下面证明当 x0,1 时存在 x 0 ，使 fx 0 0 .首先，由不等式 ln xx 1 ，∴ ln11 1 1 x，∴ln x 1x x，∴ ln xx1 .xx xx考虑到 x 2 2 x x x 2 0 ，∴ f xx 22x ln x a 1 x 2 2 1 a x ax 22 x x 1a 1 x 223 .x 22 1 a x aa 1 x 1 222再令 a1 x 230 ，可解出一个根为x 13 ，212 2a 1∵ a2，∴ 03，∴0 13 1 ，就取 x 01 3, x 00,1 .2 a 12a 12a1则有 f x 0 0 .由零点存在定理及函数f x 在 0,1 上的单调性，可知f x 在 0,1 上有唯一的一个零点 .由 f 10, f e a0 ，及 f x 的单调性，可知f x 在 1,e a上有唯一零点 .a1e a，下面证明在 xe a , 上，存在 x 1 ，使f x 1 0 ，就取 x 1 e 2，则 x 1∴ f x 1x 122x 1a 1a1x 122 1 a x 1a x 1a e aa ，22由不等式 e xx 1 ，则 e aaa 1 a 0 ，即 f x 1 0 .根据零点存在定理及函数单调性知 f x 在 e a,上有一个零点 .综上可知， f x 当 a2 时，共有 3个零点.22. 解： (Ⅰ )直线 l 式过定点 A 0,1，倾斜角在2 , 内的一条直线，圆 C 的方程为x 2y21，∴当 时，直线 l 与圆 C 有 1 个公共点；12当时，直线 l 与圆 C 有 2 个公共点2(Ⅱ )依题意，点 P 在以 OA 为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为sin 0.2=2cos2 5 . 联立得 sin25∴点 P 的轨迹与圆 C 相交所得弦长是2 5 .53x x1 23. 解： (Ⅰ )当 a1时， f x2x 1x12x1 x1.23x x12其图象如图所示，易知，围成区域的面积为3.23x a 1 x 1 2(Ⅱ )当 a 111a .，即 a时， f x x a 1x2223x a 1 x a∴ f x min f 11 a 1；又 f x min 11 a 1 1 a3 22223 x a 1 xa当 a 1，即 a1时， f x1x a 1 a x. 2223x a11 x2∴ f xminf111112a a a.222∴ a 3或 a1. 22。
乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测验
乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测验物理试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，第1—5题只有一项符合题目要求，第6—10题有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）二、实验题（本大题共2小题，每空2分，共14分）11．（1）D （2）2K（3）小于 12．（1）乙（2）211212U I -U I E=I -I 2112U -Ur=I -I（3）大于三、计算题（共46分）说明：以下各题，用其他方法做答，只要正确，均相应给分13．（8分）解：设汽车匀速行驶的速度为v 1，匝道限速为v 2为保证不超速，反应时间应取0.6s ，则反应时间内汽车行驶的位移11x v t = ………………………………………………2分汽车制动过程中位移为222122v v x a -=………………………………………………3分12=x x x + …………………………………………………1分解得 =65m x ………………………………………………2分14.(9分)解：(1)（5分）由动量守恒得()A B A A B B m m v m v m v +=+ …………………………………………3分解得 0.05/Av m s = …………………………………………1分方向：靠近空间站方向 …………………………………………1分 (2)（4分）由动量定理得A A A Ft m v m v =+ …………………………………………3分解得 3F N = …………………………………………1分 15.（9分）解：由题意可知，粒子从电容器A 飞出时偏转角最大Lt v =………………………………………1分 Eq ma = ………………………………………2分U E d=………………………………………1分yv at = ………………………………………1分tan y m v v θ=………………………………………2分2tan m UqLdmv θ= ………………………………………2分16.（10分）解：（1）（6分）由题意可知，带电粒子的运动轨迹如图示。
乌鲁木齐地区2017高三年级第二次诊断性测试理科数学及参考答案
乌鲁木齐地区2017高三年级第二次诊断性测试理科数学及参考答案乌鲁木齐地区2017年高三年级第二次诊断性测试理科数学 (问卷)(卷面分值：150分，考试时间：120分钟)注意事项：1. 本卷分为问卷(4页)和答卷(4页)，答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位置上；2. 答卷前，先将答卷密封线内(或答题卡中的相关信息)的项目填写清楚。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}230M x z x x =∈-+>，{}240N x x =-<，则M N ⋂=A. {}02，B. {}20-，C. {}12，D. {}12. 复数122i z i -=-(i 为虚数单位)在复平面上对应的点在 A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 设22()log ()0x a a x f x x a x ⎧≥=⎨+<⎩， ，，且(2)4f =，则(2)f -等于A.1B. 2C. 3D. 4 4. 执行如图所示程序框图，若输出的26S =，则判断框内为A.3k >？B. 4k >？ C.5k >？ D.6k >？5. 已知直线a 、b 及平面α、β，下列命题中正确的是8. 先把函数sin()y x ϕ=+的图像上的各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平移3π个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值可以是A. 6πB. 3πC. 6π-D.3π-9. 在ABC ∆中，“A B C <<”是“cos2cos2cos2A B C >>”的 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件10. 在ABC ∆中，1BC =，且10cos A =4B π=，则BC 边上的高等于3A. 1B. 12C. 13D. 1411. 双曲线上存在一点与其中心及一个焦点构成等边三角形，则此双曲线的离心率为A. 2B. 31C. 3D. 3112. 定义在R上的函数()y f x=为减函数，且函数(1)y f x=-的图像关于点(10)，对称，若22(2)(2)0f s s f b b-+-≤，且02s≤≤，则s b-的取值范围是A. []20-， B. []22-， C. []02，D. []04，第Ⅱ卷(非选择题)本卷包括必考题和选考题两部分。
乌鲁木齐地区2017年高三年级第二次诊断性测验(理科)
乌鲁木齐地区2017年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案及评分标准选择题答案：DDCA DABA CCBB1．选D.【解析】∵{}1,2M =，()2,2N =-，∴M N = {}1．故选D ．2．选D.【解析】()()()()122432255i i z i i i -+==--+，在复平面上对应的点为⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54，故选D ．3．选C.【解析】∵()42=f ，即2,42±==a a ，又∵a 是底数，∴2-=a 舍去，∴2=a ， ∴()38log 22==-f ，故选C ．4．选A.【解析】执行程序框图，第一次循环2,4==k S ，第二次循环3,11==k S ，第三次循环4,26==k S ，结束循环，所以判断框内应填?3>k ，故选A ．5．选D.【解析】根据线面，面面平行垂直的性质，只有D 正确，故选D ．6．选A.【解析】由()()b a b a -⊥+23得()()023=-⋅+b a b a ，即8530+⋅-=a b ，∴1⋅=-a b ，∴1cos ,2⋅==-a b a b a b ，所以a 与b 的夹角为32π．故选A ． 7．选B ．【解析】由题意可知，该几何体由底面边长为2，高为2的正三棱柱，和底面边长为1，高为1的两个正三棱柱组成，1222V =⨯+111224⨯⨯=B ． 8．选A ．【解析】把函数()ϕ+=x y sin 的图像上各点的横坐标缩短到原来的21（纵坐标不变），得到()ϕ+=x y 2sin ，再向右平移3π个单位，得到2sin 23y x πφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以Z k k ∈+=+-,232ππϕπ，ϕ可以取6π，故选A ． 9．选C ．【解析】在ABC ∆中C B A <<⇔c b a <<⇔C B A sin sin sin <<⇔C B A 222sin sin sin <<⇔C B A 222212121sin sin sin ->->- ⇔C B A 222cos cos cos >>，故选C ．10．选C ．【解析】∵cos A =∴sin A =，()sin sin C A B =+=，由,1sin sin AB BC BC C A ==，得3AB =，∴11sin 26ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=，设BC 边上的高为h ，1126ABC S BC h ∆=⋅=，∴13h =，故选C ．11．选B ．【解析】不妨取右焦点，根据题意P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2c c ，代入双曲线方程得12322222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛b c a c ，即4322222=--a c c a c ，得3242±=e ，又1e >，∴13+=e ，故选B ．12．选B ．【解析】由已知()x f y =的图象关于点()0,0中心对称，即()x f 是奇函数，∴()()()()2222222202222f s s f b b f s s f b b s s b b -+-≤⇔-≤-⇔-≥-11s b ⇔-≥-，又20≤≤s ，∴012s s b s ≤≤⎧⎨≤≤-⎩或122s s b s ≤≤⎧⎨-≤≤⎩，建立sOb 坐标系如图，设s b z -=，则b s z =-，可知直线b s z =-过点()0,2时，z 取得最大值2，在过点()0,2时，z 取得最小值2-，22z -≤≤，故选B ．13．填2．【解析】()r rr rrr r x a C x axC T 27217773711---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，常数项x 的次数为0，即6,02721==-r r ，所以676714C a -=，∴2a =.14．填2．【解析】∵y x y x y x 222422424+=⨯≥+=∴224x y +≤， 即22x y +≤，所以2x y +的最大值是2.15．填512．【解析】如图，延长AB 交抛物线的准线于G ，过B ,A 两点作准线的垂线，垂足为,C E ，准线交x 轴于D .根据题意GB GAEB CA=，即523GB GB +=，得10=GB ，又DFGF EBGB =，即DF12210=，得512=DF ，∴512=p ． 16．填e -1.【解析】由题意得()ln 11x x b a ≥+--，对一切1x >-都成立.令()()11ln --+=ax x x f ，则()a x x f -+='11，当0≤a 时，()0>'x f ，()x f 在()+∞-,1上单调递增，不成立.当0>a 时，()()，，时，时，0110111<'->>'-<<-x f ax x f a x∴()2ln 1111ln 11max --=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a a a a f x f ， 故0>a 时，2ln --≥a a b ，a a a a 2ln 1b --≥，令()a a a a h 2ln 1--=，则(),ln 12aa a h +=' 当()(),010,01<'<<>'>a h ea a h e a 时，当时，∴()e e ee e h a h -=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛='121ln 11min ，∴b a 的最小值是e -1.三、解答题17.（12分）（Ⅰ）由已知：()1212112-=-+=-n n a a n ， 1122323--⨯=⨯=n n n a a ∴ 47732329335212691512963-=⨯-⨯-⨯=--=+-+-a a a a a a a a …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知0>n a ，∴{}n a 单调递增，13224212312-+=+++++++=-nn n n n a a a a a a S7641366212=-+=S ；777131213=+=a S S ；22351377214=-+=S则当13≤n 时，2017<n S ，14≥n 时，2017>n S ，∴n 的最小值为14 …12分 18．（12分）（Ⅰ）取AD 的中点N ,连结,NM NE ,则,AD NM AD NE ⊥⊥，∴AD ⊥平面NME ，∴AD ME ⊥，过E 点，作EO NM ⊥于O ，根据题意得，1,3,2NO OM NE ===，∴OE EM == ∴ENM ∆是直角三角形，∴NE ME ⊥ ∴ADE ME 面⊥ …6分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系O xyz -，根据题意得，()()()(()2,1,0,2,3,0,2,1,0,,0,3,0A B D E M ---设平面BAE 的法向量为()1,,x y z =n ，由()(0,4,0,AB AE ==-4020y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2z =，得)1=n由（Ⅰ）知(0,ME =-为平面ADE 的法向量∴111cos ,ME ME ME⋅==⋅n n n∴二面角B AE D --的余弦值为7． …12分 19．（12分）（Ⅰ）若进货量定为13（件），则“进货量不超过市场需求量”是指“销售量不小于13（件）”相应有13138438+++=（周），“进货量不超过市场需求量”的概率为:380.552>； 同理，若进货量为14（件），则“进货量不超过市场需求量”的概率为:250.552<； ∴“进货量不超过市场需求量”的概率大于50.，进货量的最大值是13 …4分 （Ⅱ）进货量定为14（件），设“平均来说今年每周的利润”为Y若售出10件：则利润()2614310=-⨯+⨯=y ； 售出11件：则利润()3013311=-⨯+⨯=y 售出12件：则利润()3412312=-⨯+⨯=y售出13件：则利润()3811313=-⨯+⨯=y 售出14件：则利润42314=⨯=y 售出15件：则利润4421314=⨯+⨯=y 售出16件：则利润4622314=⨯+⨯=y 则Y 的分布列为：()5220205244684413421338834430226=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Y E …8分（Ⅲ）依照经验可知，只有进货量和市场需求越接近的时候，利润的期望值才越大，根据市场需求量的概率分布，我们只需考虑进货量为1413,这两种情况，当进货量为13时，利润为Y ',类似（Ⅱ），可得出Y '的分布列为：()2723143583913411343845420225252E Y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯'==由于()()E Y E Y '>，∴今年的周进货量定为13件比较合适． …12分 20．（12分）(Ⅰ)设M 点坐标为()00y ,x 根据题意得()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=+=+22220200022220334331c b a y c x c x y b y a x ；解得2322==b ,a ，所以椭圆方程为12322=+y x ； …5分 （Ⅱ）依题意直线l 不垂直于x 轴，由对称性，不妨设l 的方程为()()10y k x k =+>，则直线AB 的方程为m x ky +-=1， 联立221132y x m k x y ⎧⎪⎪⎨=-++=⎪⎪⎩，得063632222=-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+m x k m x k 易知0>∆，得()222236343220m m k k ⎛⎫-⨯+-> ⎪⎝⎭，即03222<--k m …①， 设AB 的中点为C ，则1223223c x x mk x k +==+，221223c c k my x m k k =-+=+ 点C 在直线l 上，∴⎪⎭⎫⎝⎛++=+1323322222k km k k m k ，得32m k k =-- …②， 此时2222362440m k k k --=++>与①式矛盾，故0k >不成立 当直线l 的斜率0=k 时，设()00,A x y ，则()00,B x y -，02AB y =，点O 到AB 的距离为0x ， ∴0000221y x x y S AOB =⨯⨯=∆， 又00202020203623223y x y x y x =⨯≥+，∴00361y x ≥，∴2600≤y x ，当且仅当21232020==y x 取等号，∴AOB S ∆的最大值为26 …12分 21．（12分）(Ⅰ)()()()11x ax a e a f x =++-+'， ∴ ()00='f ，又∵()00=f ，∴()x f y =在()()0,0f 处的切线方程为0=y . …4分 (Ⅱ)（1）当0≥a 时，∵0>x ，∴1>xe ，10ax a ++>∴()()()()()01111≥=+-++>+-++='ax a a ax a e a ax x f x ， ∴()x f 在()+∞,0上单调递增，∴()()00=>f x f ，符合题意（2）当21-≤a 时，()()21xf x ax a e ''=++， ∵21-≤a ，∴012≤+a ， 而0>x ，∴0<ax ， ∴012<++a ax ，∴()012<++x e a ax ，∴()0<''x f ， 则()x f '在()+∞∈,0x 时单调递减，∴()()00='<'f x f ，∴()x f 在()+∞∈,0x 时单调递减，此时()()00=<f x f ，不符合题意. （3）当021<<-a 时，取01>->ax ，此时，有01<+ax ， ∵()01>+>x x e x，∴()()()111++<+x ax e ax x…① 而()()()()1111112++<+++=++x a x a ax x ax …②由①②得()()111++<+x a e ax x， 即()()()0111<-+-+=x a e ax x f x，此时不符合题意.综上，若0>x 时，()0>x f ，a 的取值范围是[)+∞,0. …12分请考生在第22、23题中任选一题作答，并将所选的题号下的“○”涂黑．如果多做，则按所做的第一题记分，满分10分． 22.（10分）（Ⅰ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得圆C 的极坐标方程为212cos 02ρρθ-+= …5分 （Ⅱ）点M 的直角坐标为()2cos ,2sin θθ，∴直线l的参数方程为2cos 22sin 2x tx θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）， 直线l 与圆C 交于,A B 两点，把直线参数方程代入圆C 方程得)292cos 2sin 4c s 21o 0t t θθθ+-+-=+， ()2922cos 2sin 144cos 02θθθ⎛⎫∆=+---> ⎪⎝⎭，解得：04πθ<<，5342ππθ<< 根据直线参数方程的几何意义得1294cos 2MA MB t t θ⋅=⋅=-， ∴MA MB ⋅的取值范围是19992222⎛⎛-+ ⎝⎝ ，，. …10分23．（10分）（Ⅰ）()()f x g x <222421450x x x x ⇔-<+⇔+->，∴不等式()()f x g x <的解集为()(),51,-∞-+∞ …5分（Ⅱ）令()()()47,4124219,421472,2x x x x x x x H x f x g x ⎧⎪->⎪⎪-++=-≤=+=≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩,()G x ax =，在同一坐标系下作出()(),H x G x 的图象，根据题意()()2f x g x ax +>对一切实数均成立，即()H x 的图象恒在()G x 图象的上方，∴944a -≤<. …10分 以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分。
乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验数学答案
乌鲁木齐地区2012年高三年级第一次诊断性测验文科数学试题参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项BABACABBBCDD1．选B.【解析】∵{}2,4,5,7U B =ð，∴{}()4,5U A B =I ð．2．选A.【解析】()()()2121111i i i i i i i +==-+--+．3．选B.【解析】根据题意，它是一个圆柱和一个14的球的组合体. 4．选A.【解析】由三角函数定义得点()cos ,sin P αα，它在直线5510x y +-=上， ∴5cos 5sin 10αα+-=，即1cos sin 5αα+=，两边平方，化简得24sin 225α=-. 5．选C.【解析】作出可行区域，如图，[]3,3z x y =-∈-. 6．选A. 【解析】∵()1553552a a S a +==，()1995992a a S a +==， ∴5935:5:91:3S S a a ==.7．选B.【解析】()()222f x x x =⋅--⋅a b +b a a b ，当⊥a b 时，()()22f x x =-b a 未必是一次函数，但当()f x 为一次函数时，有⊥a b 且≠a b ． 8．选B.【解析】由几何概型知()()112415P --==--． 9． 选B.【解析】∵0x >，且11y x e'=-，∴当()0,x e ∈，0y '>，函数递增；(),x e ∈+∞，0y '<，函数递减.而x e =时0y =，∴函数ln xy x e=-的零点只有1个，即x e =.10．选C.【解析】与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线可分为两类：①截距为0时，可设直线方程为y kx =，由2211k k =+，解得3k =±；②截距不为0时，可设直线方程为x y a +=，由212a -=，解得22a =±．因此符合题意的直线共有4条．11．选D.【解析】2sin 32cos32y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其图象向左平移ϕ个单位得到函数()()2cos 32cos 33y x x ϕϕ=-+=-+⎡⎤⎣⎦，要使其为奇函数，只需()cos 30ϕ=，即()32k k πϕπ=+∈Z ，∴()63k k ππϕ=+∈Z ，又0ϕ>，∴当0k =时，ϕ取最小值6π． 12．选D.【解析】如图，∵AB AC >，∴C B >，在AB 上取一点D使BD CD x ==，则题中的角()C B -可用ACD ∠表示． ∴在△ACD 中，()()222237cos 228x x C B x+---==⋅⋅， 解得2x =，于是1cos 4A =，15sin 4A =．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13． 填3.【解析】∵28a =，54c a =，∴5c =，3b =，不妨设双曲线方程为221169x y -=，由对称性知，焦点()5,0到渐近线340x y -=的距离3d =． 14．填2012.【解析】经过n 次循环，2na =，33b n =+，∴11n =时，()11231132012c =-⨯+=．15．填1.【解析】由题知：O 是1A C 的中点，又160A OB ∠=o，∴在Rt △1A BC 中，160BA C ∠=o ，∴13tan 60tan 60BC ADA B ===o o，2211981AA A B AB =-=-=．16．填278.【解析】()()()()3271.50.50.5 1.5 1.5 3.3758f f f f -=-=====．三、解答题（共6小题，共70分）17．（本小题满分12分）黑球记为a ，白球记为12,b b ，红球记为123,,c c c ，按游戏规则可以表示为：()1,a b ，()2,a b ，()1,a c ，()2,a c ，()3,a c ，()1,b a ，()12,b b ，()11,b c ，()12,b c ，()13,b c ，()2,b a ，()21,b b ，()21,b c ，()22,b c ，()23,b c ，()1,c a ，()11,c b ，()12,c b ，()12,c c ，()13,c c ，()2,c a ，()21,c b ，()22,c b ，()21,c c ，()23,c c ，()3,c a ，()31,c b ，()32,c b ，()31,c c ，()32,c c ．则基本事件共30个，∴（1）“甲、乙配对成功”的概率843015P ==； …6分 （2）甲、乙两人中至少有一人摸到白球的概率183305P ==． …12分18．（本小题满分12分）（1）∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AB AA ⊥．又AB AC ⊥，∴11AB ACC A ⊥平面，而1A C ⊂11ACC A 平面，∴1AB A C ⊥； …6分 （2）1=33AA AC AB ==Q ，∴()221132A B BC ==+=，16AC =． 取1A C 的中点D ，连结BD ，则1BD A C ⊥，∴2261022BD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭． ∴11111015622A BC S AC BD ∆=⋅=⋅⋅=，113132ABA ABC S S ∆∆==⋅⋅=， 1133322AA C S ∆=⋅⋅=，故 13153++2A ABC S -=三棱锥． …12分 19．（本小题满分12分）（1）由已知cos 1AB BC AB BC θ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，∴10cos AB BC θ⋅=>u u u r u u u r ，∴0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又()1111sin sin tan 22cos 2S AB BC πθθθθ=⋅-=⋅⋅=u u u r u u u r ， 由已知1322S <<，∴113tan 222θ<<，即1tan 3θ<<， 而0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭． …6分（2）由已知()313sin 422sin S AB AB BC BC πθθ==⋅-⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r ，代入cos 1AB BC AB BC θ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 中，得2tan 3AB θ=u u u r ．在△ABC 中，由余弦定得： ()222222cos 2AC AB BC AB BC AB BC πθ=+-⋅-=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222249499tan 2tan 29944sin 4tan θθθθ=++=+++2239tan 32tan 4θθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥2925244+=，当且仅当23tan 32tan θθ=， 即3tan 2θ=时，等号成立，此时AC u u u r 的最小值是52． …12分20.（本小题满分12分）（1）Q点(不满足22y px =，∴(在椭圆22221x y a b+=上，∴23b =，由椭圆性质知：y≤b =>1,2⎛ ⎝在抛物线上，由(2122p =⋅，解得 8p =． 又点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭只能在椭圆上，∴2231213a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，∴24a =，∴椭圆的方程为22143x y +=，抛物线的方程为216y x =． …6分 （2）当直线PQ 的斜率不存在时，P 、Q 两点关于x 轴对称，显然有1212PF F QF F ∠=∠ 成立；当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为()1y k x =-且0k ≠，由()21,16,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 消去y 得：()2222280k x k x k -++=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则12122162,1x x x x k +=+=． 而直线1PF 、1QF 的斜率分别为()11111111PF k x y k x x -==++，()12211QF k x k x -=+．于是 ()()1112121111PF QF k x k x k k x x --+=+++()()()()()()121212111111x x x x k x x -+++-=++()()121212011x x kx x -==++．不妨设112tan PF k PF F =∠()10y >，则()112tan QF k QF F π=-∠， ∴()121212tan tan tan PF F QF F QF F π∠=--∠=∠．则1212PF F QF F ∠=∠． …12分21.（本小题满分12分） （1）显然4a x ≠，因此1,143a ⎡⎤∉⎢⎥⎣⎦，∴43a <或4a >．()()21,134af x x x a -⎛⎫⎡⎤'=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭． 当0a ≠时，易知()0f x '>，或()0f x '<，则()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调．所以由题意()14133f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得1a =，或103a =（舍去）． 当0a =时，()14f x =不合题意． 综上：1a =，∴()f x 的解析式为()41xf x x =-． …6分 （2）由（1）知：()()21041f x x -'=<-，于是()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则 ()113f =≤()f x ≤113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()1,13f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 由题意可知：即要使[]0,1x ∈时满足()min g x ≤13，且()max g x ≥1． 而()2233g x x b '=+≥0，故()g x 在[]0,1上单调递增．∴()()min 02g x g b ==≤13，且 ()()2max 1132g x g b b ==++≥1． 解得 b ≤23-，或0≤b ≤16． …12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 （1）连结OD ，12BC AB =Q ，又12OB AB =，∴BC OB =．CD Q 是O e 的切线，∴在Rt △OCD 中，DB 是斜边OC 上的中线．∴DB OB OD ==，∴60BOD ∠=o，∴1302A BOD ∠=∠=o ； …5分 （2）由题意知：B 、C 、E 、D 四点共圆，∴=C E ∠∠．由（1）知：=BC BD ，∴=BDC C ∠∠，而DC 是O e 的切线，∴弦切角=BDC A ∠∠， ∴=A E ∠∠．∴=BE BA ． …10分23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（1）设点(),Q x y ，()11,P x y ，则由已知：PQ =u u u r()()11,1,1x x y y --=-111,1.x x y y -=-⎧⎨-=⎩111,1.x x y y =+⎧⇒⎨=-⎩ 而()11,P x y 满足111cos ,sin .x y αα=+⎧⎨=⎩ 故得： cos ,1sin .x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）为所求曲线2C 的方程； …5分 （2）曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，()03,θ在曲线1C 上，所以032cos θ=．曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=， 将02πθθ=+代入曲线2C 的极坐标方程中，得 002sin 2cos 32πρθθ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，即3OA ρ==． …10分24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）不等式可化为：2x +≥1，解得 x ≥1-，或x ≤3-．故不等式()f x ≥1 的解集为{|x x ≥1-，或x ≤}3-； …5分 （2）由()f x ≥23x -，得 x a +≥23x -．可化为不等式组230,2 3.x x a x -≥⎧⎨+≥-⎩或230,32.x x a x -<⎧⎨+≥-⎩ 即3,23.x x a ⎧≥⎪⎨⎪≤+⎩或3,21.3x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩0a >Q ，∴不等式组的解集为{|13ax -≤x ≤}3a +． 依题意令10,33 6.a a ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩ 解得3a =． …10分以上各题的其它解法，限于篇幅，从略．请相应评分.。
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乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测验 (理科试卷) 一、选择题（每小题5分，共12小题） 1. 已知集合}032-|{A2xxx，}3,2,1,0,1{B，则AB
.A{0,1}.B2}{0,1，.C{-1,0,1}.D{-1,-3}
2. 复数122ii .Ai.B1i.Ci.D1i 3.如图所示，程序框图输出的结果是 .A55.B89.C144.D233
4.已知等差数列{}na中，公差0d，410a，且3610,,aaa成等比
数列，则数列{}na 前9项和为 .A99.B90.C84.D70 5.函数()23xfxex的零点所在的一个区间为
.A(1,0).B10,2.C1,12.D31,
2
6.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为 .A16.B36.C48.D72
7. 在某次结对子活动中，有八位同学组成了四对“互助对子”，他们排成一排合影留念，则使得每对“互助对子”中的两位同学都相邻的排列方法种数为 A. 2520 B. 384 C. 48 D. 24
8.若tan04，则下列结论正确的是 .Asin0.Bcos0.Csin20.Dcos20 9.设函数12log(1),01()(1),1xxfxfxx，若方程axxf)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 .A)1,2[.B)1,2(.C]1,(.D)1,(
10.已知球O外接于正四面体ABCD，小球'O与球O内切于点D,与平面ABC相切，球O 的表面积为9，则小球'O的体积为 .A43.B4.C6.D323
11.设椭圆22195xy的左焦点为F，右顶点为A，点P在椭圆上，若FPPA，则直线PF的斜率可以是
.A33.B32.C1.D3
12.设函数()2sinfxx与函数11yx的图象在区间[2,4]上交点的横坐标依次分别为12,,,nxxx，则1niix .A4.B6.C8.D10 二、填空题（每小题5分，共4个小题）
13.设实数,xy满足101010xyyxy，则2xy的最小值为______
14.已知单位向量1e与2e的夹角为60，则122ee______ 15.在平面直角坐标系xOy，已知双曲线C：)0,0(12222babyax的一个焦点为)0,22(，过双曲线上一点M作一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点A，若OMA的面积为1，则其离心率为
16. 已知数列{}na满足11a，*1()2nnnaanNa，则10a_____ 三、解答题（第17-21题每小题12分） 17.如图，在△ABC中，2,1CACB，CD是AB边上的中线 （I）求证：sin2sinBCDACD； （II）若30ACD，求AB的长 18.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、点F分别是AB、BC上的点，且BEBF，将△AED，△DCF分别沿,DEDF折起，使,AC两点重合于点1A （I）若点E是边AB的中点，求证1ADEF （II）当12BE时，求三棱锥1ADEF的体积
19.某地十余万考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分为6组：第一组[40,50)，第二组[50,60)，„，第六组[90,100]，作出频率分布直方图，如图所示 （I）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩 （II）现从及格（超过60分）的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生（其中女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关？ 附：
22()()()()()nadbcKabcdacbd
20()PKk
0.01 0.05 0.025 0.010
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线22(0)ypxp的焦点为F，准线交x轴于点H，过H作直线l交抛物线于,AB两点，且2BFAF （I）求直线AB的斜率； （II）若△ABF的面积为2，求抛物线的方程
21.已知函数)1(211)1ln()(2aaxxxxf （I）求()fx的单调区间 （II）若函数()fx的图像在0x处的切线与其只有一个公共点，求a的值
22. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线M的极坐标方程为4cos，直线l的参数方程为cossinxmtyt（t为参数，0)，射线,,44与曲线M交于,,ABC三点（异于O点） （I）求证：2OBOCOA （II）当12时，直线l经过,BC两点，求m与的值 23.设()2fxxxa （I）当1a时，求不等式()4fx的解集； （II）当()fxxa时，求x的取值范围 乌鲁木齐地区2017年高三年级第一次诊断性测验 理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． 选择题答案：BACA CBBD DADC
1．选B.【解析】∵310322xxxxxA，∴2,1,0BA．故选B．
2．选A.【解析】∵iiiiiiii5522221221.故选A． 3．选C.【解析】由题意知，第一次循环2,2ci；第二次循环3,3ci；第三次循环5,4ci；…；第十次循环144,11ci，结束循环，输出c的值为144．故选C．
4．选A．【解析】设数列na的公差为d，则310ad，6102ad，10106ad，由1063a,a,a成等比数列，得26103aaa，即221061010ddd，得0d（舍）或1d，则1437aad，所以993679289919daS．故选A．
5．选C．【解析】∵022121ef，011ef，∴零点在121,上，故选C． 6．选B．【解析】由三视图知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，四棱柱的高为6，62242S，∴3666V.故选B．
7．选B．【解析】依题意，所求种数为3842444A，故选B． 8．选D．【解析】3tan042444kkkk 322222kk，∴02cos,故选D．
9．选D．【解析】作图，数形结合，选D． 10．选A．【解析】设小球O的半径为r，球O的半径为R，正四面体的高为h，则由题意得，3,24Rhhr，即23rR，又球O的表面积为9，即249R，则32R，
所以1r，则小球O的体积34433Vr．故选A． 11．选D．【解析】设,Pxy由题意得，2,,3,PFxyPAxy，∵FPPA，
0PFPA，即2260xyx，由222260195xyxxy，得34534xy，30xy
所以直线PF的斜率3PFk．故选D． 12．选C．【解析】如图，1111xxy与2sinyx的图像 有公共的对称中心01,，由图像知它们在区间42,上有八个交 点，分别为四对对称点，每一对的横坐标之和为2，故所有的横 坐标之和为8．故选C． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．填3．【解析】设zyx2，不等式组表示的平面区域如图
所示，平移直线2yx，可知当经过点2,1时，2zxy 取最小值3. 14．填3．【解析】342144222212121eeeeee． 15．填2．【解析】设00,Mxy，直线为00byyxxa，与另一条渐近线byxa
的交点A满足00byyxxabyxa得000022bxayxbbxayya即0000,22bxaybxayAba ∴002bxaycOAab，002bxaycAMab，易知22sin2baabOAMccc， ∴22220011sin24OAMSOAAMOAMbxayab，而00,Mxy在双曲线上 ∴2200221xyab，∴22222200bxayab，故4OAMabS，又1OAMS，∴4ab，而22c，即228ab，∴2ab，∴2e． 16．填10231．【解析】由已知得：1121112111nnnnaaaa，
又11a，故nnnaa21121111，121nna，1023110a． 三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤． 17.（12分）
（Ⅰ）由正弦定理得：BCDBDCDBBCsinsin，ACDADCDAACsinsin， 即CBDBDBCDBCsinsin，CDAADACDACsinsin， 又∵CD是AB边上的中线且BCAC2，∴ACDBCDsinsin2„6分 （Ⅱ）∵30ACD，由（Ⅰ）90BCD,∴120ACB,
由余弦定理得7214cos222ACBBCACBCACAB„12分
18.（12分） （Ⅰ）折叠前有,ADAECDCF，折叠后有1111,ADAEADAF，
又111=AEAFA，所以1AD平面1AEF，∴1ADEF； „5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得DA1面EFA1，又由BFBE，所以FAEA11, 以1A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则 0001，，A,001，，F010，，E200，，D
得0101，，EA,201，，DF,210，，DE, 设平面DEF的法向量为,,xyzn=，由00DEDFnn得11,1,2n=，
设直线1AE与平面DEF所成角为，得112sin3AEAEnn， 所以直线1AE与平面DEF所成角的正弦值为23. „12分 19．（12分） （Ⅰ）450.01550.02650.03750.025850.01950.0051067x