沪科版八年级数学下册18.1勾股定理课件(共20张PPT)
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八年级数学下册第18章勾股定理18.1勾股定理教学课件新版沪科版
1 0 1 2 32 5 3 4 5
知识要点 利用勾股定理表示无理数的方法
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正
整数的直角三角形的斜边.如本题中的 13 看成直角边分 别为2和3的直角三角形的斜边； 5 看成是直角边分别为
1和2的直角三角形的斜边等.
（2）以原点O为圆心，以无理数的长为半径画弧与数轴 存在交点，在原点左边的点表示负无理数，在原点右边 的点表示正无理数.
合作探究 活动：探究勾股定理与图形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面积
AB C
思考：你能发现图中的等腰 直角三角形有什么性质吗？
发现: 以等腰直角三角形两直 角边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的正 方形的面积.即我们惊奇地发现， 等腰直角三角形的三边之间有 一种特殊的关系：斜边的平方 等于两直角边的平方和.
怎样得到正方形C的面 一般直角三角形也有上述性质吗？
课堂小结
1.运用勾股定理解决实际问题的方法是什么？
（1）
实际问题 解 决 勾股定理
转化 利用
数学问题 构 建
直角三角形
（2）注意：运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到 合适的直角三角形.
2.用勾股定理作出长度为无理数的线段的思路是什么？ 构造直角三角形，即把长为无理数的线段看成是两直角边 长都为整数的直角三角形的斜边.
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由勾股定理，得
x2+52=(x+1)2
x=12 答：水深12尺，芦苇长13尺.
知识要点
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程或方程组； （4）解决实际问题.
八年级数学下册课件-18.1 勾股定理14-沪科版
解：由勾股定理得
x2 = 32+ 42=25. ∵x＞0， ∴x = 5.
y = 132- 52=144. ∵y＞0, ∴y = 12.
3、下列阴影部分是一个正方形，求此正方 形的面积.
15厘米
17厘米 解：设正方形的边长为x厘米 , 则
x2=172-152=64 答：正方形的面积是64平方厘米.
课堂小结
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b
为直角边，c为斜边，则有 a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
同学们再见
谢谢
18.1 勾股定理
问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直 角三角形三边之间有什么特殊关系？
AB C
一直角边2 + 另一直角边2 = 斜边2
观察图(1)，并填写： S1＝ 9 个单位面积； S2＝ 9 个单位面积； S3＝ 18 个单位面积． 观察图(2)，并填写： S1＝ 9 个单位面积； S2＝ 16 个单位面积； S3＝ 25 个单位面积．
图(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系 ，用它们的边长表示，是： a2+b2=c2 ．
直角三角形两条直角边的平方和， 勾股定理 等于斜边的平方。如果直角三角形
的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,
那么a2+b2=c2.
在外国则叫毕达哥拉斯 定理，或百牛定理.
a
c
b
下面动图形象的说明命题的正确性，让我们跟着以 前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
a
c
b
a2+b2=c2
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所 拼的图形证明命题吧.
安徽专版八年级数学下册第18章勾股定理课件新版沪科版ppt
阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是( B )
A．3∶4
B．5∶8
C．9∶16
D．1∶2
【点拨】利用割补法可看出阴影部分是由 10个小正方形组成的，所以阴影部分面积 与正方形ABCD面积的比是10∶16＝5∶8.
11．【阜阳校级月考】如图，已知△ABC中，∠C＝90° ，BA＝15，AC＝12，以直角边BC为直径作半圆，则 这个半圆形的面积是__1_0_.1_2_5_π_(结果保留π)．
7．【教材改编题】在△ABC中，∠C＝90°，填空： (1)若BC＝15，AC＝8，则AB＝___1_7____； (2)若AB＝2，∠B＝30°，则AC＝__1_____，BC＝____3___； (3)若AC＝2，∠B＝45°，则BC＝___2____，AB＝_2____2__； (4)若AB＝4 5 ，BC∶AC＝1∶2，则BC＝__4______．
8．【2021·成都】如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为__1_0_0____．
9．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE ＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( C ) A．48 B．60 C．76 D．80
10．如图，在一个由16个小正方形组成的正方形网格中，
【点拨】在 Rt△ABC 中，BC＝ 152－122＝9，则 这个半圆形的面积是12π·922＝10.125π.
12．【中考·河南】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D ＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于 12AC 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交
2．【中考·滨州】在直角三角形中，若勾为3，股为4，则 弦为( A ) A．5 B．6 C．7 D．8
沪科版八年级数学下册习题课件：18.1 勾股定理 第3课时(共13张PPT)
归纳小结
1、勾股定理的应用； 2、如何在数轴上作出表示无理数的 点。 3、学习反思：__________________________。
强化训练
1、在数轴上作出表示 的点。 20
作法： （1）在数轴上找到点A，使OA=4； （2）过点A作直线垂直于OA，在上取点B, 使AB=2，那么OB= ； 20 （3）以原点O为圆心，以OB为半径作 弧，弧与数轴交于点C，则OC= . 20 如图，在数轴上，点C为表示 的 20 点。
13 弧，弧与数轴交于点 C，则OC=________. 13 13 如图，在数轴上，点C为表示_______的 B 点。
-3 -2 -1 0 1 2
研读课 文 的点。 13
A · C 3 4
研读课 文
知 识 点 二
3、利用勾股定理，可以作出长为 、 、 … 2 3 的线段。按同样的方法，可以在 数轴上画出 5 表示 、 、 、 、 …的点.
1 3 1 3
1
2
3
4
5
2
O
1
2
3
4 5
3
研读课 文
练一练：在数轴上作出表示 的点(不写作法 )。 17
知 识 点 二
作法： （1）在数轴上找到点A，使OA=4； （2）过点A作直线垂直于OA，在上取点B, 使AB=2，那么OB= ； 17 （3）以原点O为圆心，以OB为半径作 弧，弧与数轴交于点C，则OC= . 17 如图，在数轴上，点C为表示 的 17 点。
2
研读课 文
C
B
C'
பைடு நூலகம்
B'
练一练：
如图，等边三角形的边长是6，求： （1）高AD的长； （2）这个三角形的面积.
最新沪科版初中数学八年级下册18.1第1课时勾股定理优质课课件
S大正方形＝4·S三角形＋S小 即正方c2=形4×12 ab+(b-a)2,
c2=2ab+a2-2ab+b2 所以 a2+b2=c2
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲。因为，这个图案被选为 2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
8
17
x
x=15
x
16
20
x=12
x 12
x=13
温馨提示：已知直角三角形的两边长，求第三边长时， 应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确！
例2 已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
BC= 5 或 7 .
B
B
4
4
C3 A
A3C
温馨提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边
或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，
知识要点
勾
弦
前提条 件
勾股定理 如果直角三角形的两直角边
长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
股
即：勾2+股2=弦2
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或 百牛定理.
公式变形： a c2 - b2 ,
(a、b、c为正数)
b c2 -a2 c a2 b2
例1 求下列直角三角形中未知边的长: 5
首页
同学们,加油！
2005年11月7日7时1课时 勾股定理
情景 引入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数 量关系进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
c2=2ab+a2-2ab+b2 所以 a2+b2=c2
温馨提示：上述这种验证勾股定理的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明 才智，它是我国古代数学的骄傲。因为，这个图案被选为 2002年在北京召开的国际数学大会的会徽.
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x=12
x 12
x=13
温馨提示：已知直角三角形的两边长，求第三边长时， 应选用勾股定理变形公式直接代入计算较为快捷准确！
例2 已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则
BC= 5 或 7 .
B
B
4
4
C3 A
A3C
温馨提示：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边
或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，
知识要点
勾
弦
前提条 件
勾股定理 如果直角三角形的两直角边
长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
股
即：勾2+股2=弦2
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或 百牛定理.
公式变形： a c2 - b2 ,
(a、b、c为正数)
b c2 -a2 c a2 b2
例1 求下列直角三角形中未知边的长: 5
首页
同学们,加油！
2005年11月7日7时1课时 勾股定理
情景 引入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
情景引入
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时， 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了A、B、C面积之间的数 量关系进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
沪科版数学八年级下册沪科版数学八年级下册课件：18.1勾股定理(2)
山东星火国际传媒集团
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
18.1勾股定理 （2）
灿若寒星
一 、小测评估
1、已知直角三角形ABC的三边为a,b,c ， ∠C＝
90°，则 a,b,c 三者之间的关系 是
.
2、矩形的一边长是5，对角线是13，则
它的面积是
.
灿若寒星
3、若一个直角三角形两条 直角边长是3和2，那么第三 条边长是多少？
A 55cm
10cAm
6cm
B
解题思路：把握题意——
48cm
找关键字词——连接相关 知识——建立数学模型 （建模）
C
55cm
B
灿若寒星
有一个圆柱,它的高等于
B
12厘米,底面半径等于3
厘米,在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它想从 点A爬到点B , 蚂蚁沿着
我怎么走 会最近呢?
圆柱侧面爬行的最短路 A
B ∴蚂蚁爬行的最短路程为100厘米。
8 0
c 灿若寒星
2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地
点C偏离欲到达点B200米，结果他在水中实际游了520米，求 该河流的2=AB2+BC2
∴AB2=AC2-BC2 =5202-2002=4802
河流的宽度为480米。
的线段.
用同样的方法，你能
否在数轴上画出表示
2，3，4， … 5
1
12
3
灿若寒星
4
5
• 用同样的方法，你
能否在数轴上画出
表示 1， 2， 3
•
…
45
1
0 1 2 32 5 3 4 5
灿若寒星
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55cm,10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点,点A上 有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂 蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B，最短线路是多少？
初中数学课件
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18.1勾股定理 （2）
灿若寒星
一 、小测评估
1、已知直角三角形ABC的三边为a,b,c ， ∠C＝
90°，则 a,b,c 三者之间的关系 是
.
2、矩形的一边长是5，对角线是13，则
它的面积是
.
灿若寒星
3、若一个直角三角形两条 直角边长是3和2，那么第三 条边长是多少？
A 55cm
10cAm
6cm
B
解题思路：把握题意——
48cm
找关键字词——连接相关 知识——建立数学模型 （建模）
C
55cm
B
灿若寒星
有一个圆柱,它的高等于
B
12厘米,底面半径等于3
厘米,在圆柱下底面上的 A点有一只蚂蚁,它想从 点A爬到点B , 蚂蚁沿着
我怎么走 会最近呢?
圆柱侧面爬行的最短路 A
B ∴蚂蚁爬行的最短路程为100厘米。
8 0
c 灿若寒星
2、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地
点C偏离欲到达点B200米，结果他在水中实际游了520米，求 该河流的2=AB2+BC2
∴AB2=AC2-BC2 =5202-2002=4802
河流的宽度为480米。
的线段.
用同样的方法，你能
否在数轴上画出表示
2，3，4， … 5
1
12
3
灿若寒星
4
5
• 用同样的方法，你
能否在数轴上画出
表示 1， 2， 3
•
…
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1
0 1 2 32 5 3 4 5
灿若寒星
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 55cm,10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点,点A上 有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂 蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B，最短线路是多少？
(精选幻灯片)勾股定理ppt课件
2 2 22
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
“总统证法”． 比较上面二式得 c2=a2+b2
16
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
17
做一做：
A
625
P
C
B
400
P的面积 =___2_2__5________ AB=_2__5_______ BC=__2_0_______
b c
a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二
A b 1 E aB ∵ S梯形ABCD= 2 a+b2
十任总统.后来， 1
人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明
= (a2+2ab+b2) 2
又∵ S梯形 ABCD=S
AED+S
EBC+S
CED
了的证明，就把 这一证法称为
1 1 11 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2)
33
34
C A
（2）在图2-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？
B C
图2-1
A
（3）你能发现图2-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3
s1 s2
s3
返 拼回 图 4
合作 & 交S流1+☞S2=S3
a等²+腰a直²=角c三²角形两直角边
沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示 法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用 同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补， 以 盈 补 虚” 的原理， 有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德 总统拼图
毕达哥拉 斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′
沪科版八年级数学下册课件-18.1 勾股定理 (1)
长？
C? B
2.在一个直角三角形中，两边长分
别为4、5，求第三边长为多少？
课堂小结
1 基本知识 勾股定理 2 基本技能 拼图：赵爽弦图；毕达哥拉斯拼图
3 数学思想 数形结合；由特殊到一般 4 数学方法 观察、探索、猜想、验证、归纳、应用
5 数学文化 勾股定理的历史
课后作业
必做题：1.《教材》P28 第1题、第7题 2.自学课本P25-26
图1
图2
A、B、C 面积关系
a、b、c三 边长的关
系
4 9 13 9 25 34
sA+sB=sC a2+b2=c2
直角三角形两直角边长的平方之 和等于斜边长的平方。
由此，我们猜想出 命题: ：如果直角三角形两直角边长分别为
a,b, 斜边长为c,那么 a2 + b2 = c2.
c a
b
拼图证明
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形 的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c或以（a+b）为边 长的正方形？
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
大正方形的面积可以表示为 ； (a+b)2 也可以表示为 c2 4 1 ab
2
(a b)2 c2 4 1 ab 2
a2 2ab b2 c2 2ab
毕达哥拉斯拼图
可得: a2 + b2 = c2
继续探究
bc
a
锐角三角形
a2+b2>c2
b
c
a
直角三角形
a2+b2=c2
沪科版数学八年级下册《18.1勾股定理》课件4
灿若寒星
例2、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB
于D，∠A=60°，CD=，3求线段AB的长．
Cห้องสมุดไป่ตู้
B
DA
灿若寒星
例3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°， AB=4，CD=2．求四边形ABCD的面积．
A
A
E
D
A
B
C
F D
B
C
D
B
C
M
灿若寒星
分类思想
1．直角三角形中，已知两边长，求第三 边时，应分类讨论 2．当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况
灿若寒星
例4、如图，有一块直角三角形纸片，两直角
边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求
CD的长．
A
方程思想：直角三 角形中，已知一直 角边，以及另一直 角边和斜边的等量 关系，可建立方程 求解．
6 Cx
灿若寒星
6
E
x
4
D 8-x B
例5、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=8cm，BC=6cm，你能求出CE的长吗？
初中数学课件
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《18．1勾股定理》
灿若寒星
灿若寒星
命题：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b ，斜边长为c，那么a2+b2=c2
b
c
a
你能证明这个命题是正确的命题吗？
灿若寒星
毕达哥拉斯证法：
a a
c
b
b
Ｓ大正方形=4×
1ab+a2+b2
例2、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB
于D，∠A=60°，CD=，3求线段AB的长．
Cห้องสมุดไป่ตู้
B
DA
灿若寒星
例3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°， AB=4，CD=2．求四边形ABCD的面积．
A
A
E
D
A
B
C
F D
B
C
D
B
C
M
灿若寒星
分类思想
1．直角三角形中，已知两边长，求第三 边时，应分类讨论 2．当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况
灿若寒星
例4、如图，有一块直角三角形纸片，两直角
边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求
CD的长．
A
方程思想：直角三 角形中，已知一直 角边，以及另一直 角边和斜边的等量 关系，可建立方程 求解．
6 Cx
灿若寒星
6
E
x
4
D 8-x B
例5、如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=8cm，BC=6cm，你能求出CE的长吗？
初中数学课件
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《18．1勾股定理》
灿若寒星
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命题：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b ，斜边长为c，那么a2+b2=c2
b
c
a
你能证明这个命题是正确的命题吗？
灿若寒星
毕达哥拉斯证法：
a a
c
b
b
Ｓ大正方形=4×
1ab+a2+b2