liu9-5隐函数的求导公式
隐函数求导的方法是什么？
隐函数求导的方法是什么？隐函数如何求导，隐函数求导的方法有是什么?不了解的小伙伴们看过来。
下面由小编为你精心准备了“隐函数求导的方法是什么?”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!隐函数求导的方法是什么?一、隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2y-e^xy)。
求导法则对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。
三、显函数与隐函数1、显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
显函数可以用y=f(x)来表示。
2、隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
3、隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。
2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。
5隐函数的求导法则
z z ( y z ) ( z x) x y x y
证：记 F (x, y, z) = x+y+z (x2+y2+z2), u = x2+y2+z2, 有 F x = 1 'u 2x = 1 2x 'u
F y = 12y 'u ,
F z = 12z 'u
y z
z 例 3 设 x y z 4 z 0 ，求 2 . x
2 2 2
2
2 2 2 F ( x , y , z ) x y z 4z , 解 令
则 Fx 2 x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
x z 2 z ( 2 z ) x x ( 2 z ) x 2 z 2 2 x ( 2 z )2 (2 z )
( 2 z )2 x 2 . 3 (2 z )
例4 设 z 3 3 xyz a 3 , 求 z x .
解
公式法 : 令 F ( x , y, z ) z 3 xyz a , 则
3 3
F yz F 3 yz , F 3 z 3 xy, z . F z xy
dy Fx x y . y x dx Fy
2. F ( x , y , z ) 0
隐函数存在定理 2 设函数 F ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程 F ( x , y , z ) 0 -(2)在点 P ( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内恒能唯 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z f ( x , y )-(3)，它满足条件 z0 f ( x0 , y0 )， 并有
隐函数的求导公式法
隐函数的求导公式法
隐函数是一类特殊的函数，其函数值由方程给出，而非显式地给出。
对于隐函数，我们需要使用求导公式法来求导。
首先，我们需要了解隐函数的定义。
如果在一个方程中，一个或多个变量被表示为其他变量的函数，那么这个方程就是隐函数。
例如，考虑方程 (F(x, y) = 0)，其中 (F) 是可微的。
我们可以使用隐函数求导公式来求 (y) 关于 (x) 的导数。
隐函数求导的一般步骤如下：
1.对方程 (F(x, y) = 0) 进行全微分，得到 (dF = 0)。
2.利用全微分的性质，将 (dF = 0) 改写为关于 (x) 和 (y) 的偏微分方
程组。
3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式。
4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数。
下面是一个具体的例子：
考虑隐函数 (F(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0)。
1.对方程进行全微分，得到 (dF = 2x dx + 2y dy = 0)。
2.将 (dF = 0) 改写为偏微分方程组：(\begin{cases}2x dx + 2y dy = 0
\ dx = - \frac{2y}{2x} dy\end{cases})。
3.解这个偏微分方程组，得到 (y) 关于 (x) 的表达式：(y = \pm
\sqrt{1 - x^2})。
4.对 (y) 关于 (x) 的表达式求导，得到 (y) 关于 (x) 的导数：(y' =
\mp \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}})。
9-5隐函数的求导公式
方法】 公式法 公式法； 推导法 直接法：两边对x求导 推导法(直接法 求导) 【方法】(1)公式法；(2)推导法 直接法：两边对 求导
y 【解】 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x x+ y y− x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y
∂u ∂v 克莱姆法则解出 , 即可 ∂x ∂x
( J ≠ 0, 保证分母有意义 )
机动 目录 上页 下页 返回
x ∂z ∂ 2 z ( 2 − z ) + x ∂x ( 2 − z ) + x ⋅ 2 − z = 2 = 2 2 ∂x (2 − z ) (2 − z )
( 2 − z )2 + x 2 . = 3 (2 − z )
推导法略） （推导法略）
机动
目录
上页
下页
返回
∂ z ∂ x ∂y 【例 3】设 z = f ( x + y + z , xyz )，求 ， ， . 】 ∂x ∂y ∂z ∂z 思路】 【思路】 把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 ， ∂x ∂x 把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得 ， ∂y ∂y 把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得 . ∂z 【解Ⅰ】令 u = x + y + z , v = xyz ,
∂F y dy 同理 = Fyx + Fyy ⋅ dx ∂x
该法比较常用 代入上式化简，结果相同. 该法比较常用) 代入上式化简，结果相同. (该法比较常用
先用商的求导公式,再用复合函数求导法则. 【此即】先用商的求导公式,再用复合函数求导法则.
隐函数的求导公式
隐函数的求导公式在数学的领域中，隐函数是一个十分重要的概念，而与之紧密相关的隐函数求导公式则是解决众多问题的有力工具。
首先，让我们来明确一下什么是隐函数。
简单来说，如果方程 F(x, y) ＝ 0 能确定 y 是 x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
比如说，方程 x^2 ＋ y^2 ＝ 1 就确定了一个隐函数。
那为什么我们需要隐函数求导呢？这是因为在很多实际问题中，函数关系并不是直接给出的，而是以隐函数的形式存在。
为了研究这些问题，就需要对隐函数进行求导。
接下来，咱们就来探讨隐函数求导的公式。
对于一个由方程 F(x, y) ＝ 0 所确定的隐函数 y ＝ y(x)，其求导公式为：dy/dx ＝ F_x ／ F_y这里的 F_x 表示 F 对 x 的偏导数，F_y 表示 F 对 y 的偏导数。
为了更好地理解这个公式，咱们通过一个具体的例子来看看。
假设我们有方程 x^2 ＋ y^2 4 ＝ 0，要求 y 对 x 的导数。
首先，我们对 F(x, y) ＝ x^2 ＋ y^2 4 分别求关于 x 和 y 的偏导数。
F_x ＝ 2x ，F_y ＝ 2y 。
然后，根据隐函数求导公式，dy/dx ＝ F_x ／ F_y ＝－2x ／ 2y ＝x ／ y 。
再来看一个稍微复杂一点的例子，方程 xy ＋ e^y ＝ 0 。
先求偏导数，F_x ＝ y ，F_y ＝ x ＋ e^y 。
所以，dy/dx ＝ F_x ／ F_y ＝ y ／（x ＋ e^y) 。
在运用隐函数求导公式时，有几个要点需要注意。
一是要准确求出偏导数，这就要求我们对常见的函数求导法则非常熟悉。
二是要注意符号的问题，确保计算过程中符号的正确性。
三是对于一些复杂的方程，可能需要多次运用求导法则和隐函数求导公式，要有耐心和细心。
隐函数求导公式在很多领域都有广泛的应用。
在物理学中，比如研究一些复杂的运动轨迹问题时，常常会遇到隐函数的形式，通过求导可以得到速度、加速度等重要物理量。
9.5隐函数的求导公式
y x
x y 0,
2 2
在J 0 的条件下， 解方程组，得
u y
u x x y u x
x u
v y u x , v x v x
u v x v y xu yv , 2 2 x y x x y x x y x y
2 2
则 (1)Fx 2 x, Fy 2 y 连续 ,
(2)F (0,1) 0,
(3)Fy (0,1) 2 y
( 0,1)
2 0,
依定理知方程 x y 1 0 在点 (0,1) 的某邻域内能唯一确定一个可导的函数
2 2
y 1 x
2
且f (0) 1.
(1,0)
Fv Gv , Fv Gv
Fu Fx v 1 (F ,G ) Gu G x x J ( u, x )
Fy u 1 (F ,G ) Gy y J ( y, v ) Fv Gv
Fu
Fv
Gu Gv
Fu Gu Fv , Gv
Fu v 1 (F ,G ) Gu y J ( u, y )
x
思考题解答 x y 1 记 F ( x , y , z ) ( ) , 则 Fx ， z z z y 1 x y ( y ) Fy ( ) , Fz 2 ( ) 2 , z z z z z y ( ) z F z F z
作 业
p.89 习题9-5
Fy Gy
Fu Gu
Fv . Gv
例6
设 xu yv 0， yu xv 1，
u u v v 求 ， ， 和 . x y x y 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对x求导并移项,得
隐函数的导数和微分
隐函数的导数和微分在微积分中，函数的导数和微分是两个重要的概念。
当函数关系以显式形式给出时，求导和微分是相对简单的。
然而，当函数关系以隐式形式给出时，我们就需要使用隐函数的导数和微分的概念。
一、隐函数的导数考虑一个平面上的曲线，可以用方程 f(x, y) = 0 来表示，其中 y 是 x 的函数。
我们可以将这个方程看作是两个变量 x 和 y 的关系式。
若我们想要计算这个曲线上某点的斜率，也就是该点的切线斜率，我们可以使用隐函数的导数。
对于隐函数 f(x, y) = 0，我们可以对其两边同时求导数，得到：∂f/∂x · dx + ∂f/∂y · dy = 0这里∂f/∂x 和∂f/∂y 分别表示函数 f 对 x 和 y 的偏导数。
根据隐函数的导数的定义，我们可以得到 y 关于 x 的导数为：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)这就是隐函数的导数的计算公式。
例如，考虑方程 x^2 + y^2 - 1 = 0，这是一个单位圆的方程。
我们可以对其两边同时求导数，得到：2x dx + 2y dy = 0根据隐函数的导数的计算公式，我们可以得到 y 关于 x 的导数为：dy/dx = - x / y二、隐函数的微分隐函数的微分是在求导的基础上推广得到的。
微分表示函数在某一点的增量与自变量增量之间的关系。
对于隐函数 f(x, y) = 0，我们可以将其写为：f(x, y) + dy = 0当 x 发生微小的增量 dx 时，函数 f(x, y) 应该发生微小的变化 df，即：f(x + dx, y + dy) = 0我们可以将 f(x + dx, y + dy) 展开成泰勒级数，忽略高阶无穷小项，得到：f(x + dx, y + d y) ≈ f(x, y) + (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy由于 f(x + dx, y + dy) = 0，我们可以将其代入上式，得到：0 ≈ f(x, y) + (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy化简后可得：dy ≈ - (∂f/∂x) / (∂f/∂y) dx这就是隐函数的微分的计算公式。
隐函数的求导公式(20)
它满足条件 y(0) 1, 且
y( x) Fx x .
Fy
y
y(
x)
d dx
(
x) y
y
xy y2
x
y x( )
y
1
y2
y3 ,
所以 y(0) 0, y(0) 1.
6
定理2 . 若函数 F( x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F ( x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
x
y
Fu d( z ) Fv d( z ) 0
F1(
z
d
x
z2
x
d
z
)
F2(
z
d
y
z2
y
d
z
)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1d x F2 d y z
dz
z x F1
y F2 (F1d x
F2d y).
15
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
则
J (F ,G) Fu (u,v) Gu
Fv Gv
x y
y x
x2
y2, 0
(F ,G) Fx (x,v) Gx
Fv u Gv v
y
xu yv,
x
(F ,G) Fu
Fx x
u xv yu,
(u, x) Gu Gx y v
u x
1 J
(F ,G) (x,v)
xu x2
yv y2
隐函数的求导公式法
隐函数的求导公式法隐函数是数学中的一个重要概念，其求导公式法是求解隐函数导数的一种常用方法。
在一元函数中，我们通常可以直接通过求导公式来计算导数，但在多元函数中，隐函数往往以隐含的形式存在，这时候我们就需要用到隐函数的求导公式法。
隐函数的求导公式法可以用来求解含有隐函数的方程中的导数，通过这种方法，我们可以推导出隐函数的导数表达式，从而求解问题。
首先，我们先来说明一下隐函数的概念。
在二维平面上，如果一个方程能够表示成x和y的关系，即F(x,y)=0，则称y是x的隐函数。
例如，方程x^2+y^2-1=0，可表示为F(x,y)=x^2+y^2-1=0。
这个方程就是一个隐函数。
然后，我们来看看如何使用隐函数的求导公式法。
首先，假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，我们要求解这个隐函数的导数。
步骤1：对F(x,y)=0两边进行求导，得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
步骤2：将dy/dx的部分整理出来，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
通过这两个步骤，我们就得到了隐函数的求导公式。
现在，我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个隐函数方程x^2+y^2-1=0，我们要求解y对x的导数。
步骤1：对方程进行求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0。
步骤2：将dy/dx的部分整理出来，得到：dy/dx = -x/y。
所以，对于方程x^2+y^2-1=0，其隐函数的导数表达式为dy/dx = -x/y。
通过这个求导公式，我们可以求解隐函数在任意点处的导数。
例如，我们要求解在点(1,0)处的导数。
首先，我们代入x=1，y=0到dy/dx的表达式中，得到dy/dx = -1/0。
我们发现分母为0，说明在这个点导数不存在，这意味着曲线在该点处的切线是垂直于x轴的直线。
通过这个例子，我们可以看出，隐函数的求导公式法在求解隐函数导数时是十分有用的。
它不仅可以帮助我们求解隐函数的导数，还可以帮助我们理解隐函数的性质和曲线的特点。
隐函数的求导公式
2010-9-5
12
Fu v 1 (F ,G ) = = Gu x J (u , x )
Fx Gx
Fu Gu
Fv Gv
Fy u 1 ( F , G) = = Gy y J ( y, v)
Fv Gv
Fu Gu
Fv Gv
,
Fu v 1 ( F , G) = = Gu y J (u, y)
Fy Gy
Fx z = ， Fz x
Fy z = . y Fz
（2）
2010-9-5
8
定理的证明这里也从略，仅推导（ ） 定理的证明这里也从略，仅推导（2）式。
设方程在点( x0 , y0 , z0 )的某邻域内确定了连续 可导函数 z = z ( x , y ), 则有 F [ x , y , z ( x , y )] = 0.
五
思考判断题
在变换 u = x, v = x 2 + y 2 下，方程 z z y x =0 x y z = 0. u
转化为
2010-9-5
17
Fy z , = . Fz y
9
2010-9-5
z 例 3 设 x + y + z 4 z = 0 ，求 2 . x
2
2
2
2
解 令 F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 4z, 则 Fx = 2x , Fz = 2 z 4,
Fx x z , = = Fz 2 z x
z ( 2 z ) + x x 2 z ( 2 z ) + x x 2 z = 2 = 2 x ( 2 z )2 (2 z )
( 2 z )2 + x 2 . = 3 (2 z )